线性代数第五章答案

第五章相似矩阵及二次型

1.试用施密特法把下列向量组正交化：

（\1n

（1）（4/。3）=124；

（139）

解根据施密特正交化方法,

4=4=1,

0,

1J

、3=。3的由山[/，闻：-1_7

1

Ml\bM2-3U

（2）（4，。2，。3）=

\

解根据施密特正交化方法,

(1、

0

—1

17

i]

A—回，。2］为_1-3

…n一两卜马2

V

-n

h-瓦〃3］^」，〃3］入_

nX

厂3回用I也也］2一5

7

2.F列矩阵是不是正交阵:

/11

1---

23

11

-1-

(1)22

11

--7

32

乂

解此矩阵的第一个行向量非单位向量，故不是正交阵.

184、

----

999

814

----

⑵999

447

--

-999,

解该方阵每一个行向量均是单位向量，且两两正交，故为正交阵.

3.设x为〃维列向量令H=E-证明〃是对称的正交阵.

证明因为

Hr=(E-2xx7')7=E-2(xxr)7'=E-2(xxr)r

=E-2(xr)rxT=E-2xxT,

所以“是对称矩阵.

因为

HTH=HH=(E-2XXTKE-2XXT)

=E-2XXT-2XXT-^(2XXT)(2XXT)

=E-4XXT+4X(XTX)XT

=E-4xxr+4xxr

=E,

所以“是正交矩阵.

4.设A与3都是〃阶正交阵，证明A3也是正交阵.

T

证明因为A,8是〃阶正交阵，故A-'=A9

(AB)T(AB)=BTATAB=l^lA-iAB=E,

故A8也是正交阵.

5.求下列矩阵的特征值和特征向量:

(2-12、

(1)5-33；

1-1。-V

2—A—12

解|A—阳=5-3-23=—(2+1)3,

102A

故A的特征值为&-1(三重).

对于特征值法-1,由

(3-12、on

A+E=5-2311

。-1J0oj

得方程(A+£)x=0的基础解系pi=(l,1,-1)7,向量pi就是对应于特征值丸=-1的特征值向量.

23、

⑵213

1336)

1-223

解|A—4E|=21-23=—4——9),

336-A

故A的特征值为九二0,2,2=—1,九=9.

对于特征值为=0,由

(\23、(\23、

4=213-011

1336)(000)

得方程Ar=0的基础解系1)7,向量pi是对应于特征值九=0的特征值向量.

对于特征值22=-1,由

22323

223<0201

A+E=0

337”0

得方程(A+E)X=O的基础解系p2=(—1,1,0)1向量02就是对应于特征值22=-1的特;正值向量.

对于特征值々3=9,由

/\

z823/l1T

/-1

n23-o1

2

A-9E=l3-83o

\3-o0

\7

、

得方程(4-9£比=0的基础解系〃3=(1/2,1/2,1)［向量内就是对应于特征值否=9的特征值向

量

Foon

oo1o

01o0

0.(和书后答案不同，以书后为主，但解题步骤可以参考)

1ooJ

001

-O2^1o

o1^O

解|A—AE|==(2-1)2(2+1)2,

100

-A

故A的特征值为九=丸2=-1,23=^4=1.

对于特征值4|=々2=-1,由

/1^1、

r031OO1

10b

11o11o

11

11oooo

A+E=11

1^OOOO

L10

\7

得方程(A+E)x=0的基础解系P1=(1,0,0,-1)\P2=(O,1,-1,0)\向量Pl和P2是对应于特征值

，1=彳2=-1的线性无关特征值向量.

对于特征值九尸2尸1,由

z

7oo1f1ooA

0-1O—

A0-lo1T

一o

010ooo

1o-lo7oooo

\l7

得方程(A-E)X=O的基础解系P3=(l,0,(),1)\P4=((),1,1,0)/,向量P3和P4是对应于特征值

A3=/U=1的线性无关特征值向量.

6.设A为〃阶矩阵，证明A7■与A的特征值相同.

证明因为

|AME|=|(A-2£)r|=|A-2£|7=|A-2£l,

所以与A的特征多项式相同，从而与A的特征使相同.

7.设n阶矩阵A、3满足R(A)+R(B)<n,证明A与B有公共的特征值，有公共的特征向

量.

证明设R(A)=，;R(B)=t,则r+/<儿

若fli,色,an-r是齐次方程组4=0的基础解系，显然它们是A的对应于特征值2=0的

线性无关的特征向量.

类似地.设从，取…，瓦-是齐次方程组840的基础解系，则它们是B的对应于特征值

2=0的线性无关的特征向量.

由于(〃一-)+(〃-/)=〃+(〃一rT)〉凡故a\,%…，斯-仇，岳，…，瓦i必线性相关.于是有不全

为0的数k],fa,kn-r,/1,。…,ln-b使

kiai+k2a2+,，,+kn-@n~廿l、bi+l2b2+,,,+/〃一尸0.

记产%|〃[+%2。2++fc»■皿1=-(/面+，2岳++ln-rbn-),

则Z|,22,…，乂-r不全为0否则八，，2,…,Li不全为。，而

hbi+bb?+…+h6“-尸Q,

与岳，岳，…,瓦T线性无关相矛盾.

因此，产0,y是A的也是3的关于A=()的特征向量，所以A与3有公共的特征值，有公

共的特征向量.

8,设A2_3A+2E=O,证明A的特征值只能取1或2.

证明设2是4的任意一个特征值,x是A的对应于义的特征向量，则

(A2-3A4-2E)x=/i2x-3Zr+2x=(22-3/i+2)x=0.

因为xwO,所以下_34+2=0,即2是方程矛一3/1+2=0的根，也就是说4=1或2=2.

9.设4为正交阵，且圄二一1,证明;l=—1是A的特征值.

证明因为A为正交矩阵，所以A的特征值为-1或1.(需要说明)

因为|川等于所有特征值之积，又|A|=-1,所以必有奇数个特征值为-1,即届-1是A的

特征值.

10.设拄0是m阶矩普人忖〃&x,"的特征值，证明2也是，?阶矩降BA的特征值.

证明设x是AB的对应于拄0的特征向量，则有

(AB)x=Ax,

于是B(AB)x=B(Ax),

或BA(Bx)=A(Bx),

从而4是BA的特征值，且&是B4的对应于几的特征向量.

11.已知3阶矩阵4的特征值为1,2,3,求八3_5上+7川.

解令仪幻=万一5"+74则奴1)=3,奴2)=2,奴3)=3是W4)的特征值，故

|A3-5A2+7A|=|^A)|=(P(I)•奴2>d3)=3x2x3=l8.

12.已知3阶矩阵A的特征值为1,2,-3,求|A*+3A+2E|.

解因为H|=lx2x(-3)=—6M,所以A可逆，故

A*二|A|A」=_64l

A*+3A+2E=-6A-I+34+2E

令奴/1)=一6万1+3/1+2,则d1)=一1,仪2)=5,或-3)=—5是或人)的特征值，故

\A*+34+2E|=|-64」+3A+2E|=|(p(A)\

=(p(1>奴2)加一3)=-1x5x(-5)=25.

13.设A、B都是〃阶矩阵，且A可逆，证明A8与84相

似.

证明取尸=人，则

]l

p-AHP=A-ABA=BAy

印AB与BA相似.

'20r

14.设矩阵A=31x可相似对角化，求乂

1405；

解由

2-201

\A-AE\=31-2x=-(4—1)2(；1—6),

405-4

得A的特征值为41=6,42=九=1.

因为A可相似对角化，所以对于42=九=1,齐次线性方程组(A-E)x=0有两个线性无关

的解，因此R(A-£)=1.由

1o1、z1o1

3X二/

oooX-

(A-E)=4l

4O/vOOO

知当43时R(A-E)=\,即x=3为所求.

(2T2)

15.已知p=(i,1,-是矩阵A=5a3的一个特征向量.

Ub-2

(I)求参数a,b及特征向量p所对应的特征值;

解设4是特征向量P所对应的特征值，则

(2-A—1

(A-AE)p=^即5a—413二0

—1b-2-以-1,

解之得法一1,。=一3,力=0.

(2)问A能不能相似对角化？并说明理由.

解由

2—4-12

\A-AE\=5-3-23=-a-i)\

—10—2—2

得A的特征值为为=42=%=1.

由

—12)r(1011

A-E=5-23-01-1

b[o00)

7

知R(A-E)=2,所以齐次线性方程组(A-E)x=O的基础解系只有一个解向量.因此A不能相似

对角化.

16.试求一个正交的相似变换矩阵，将下列对称阵化为对角阵:

(2-20

(1)—21—2

0-20

解将所给矩阵记为A.由

2-A-20

\A-AE\=-21—X—2=(1—2)(2—4)(A+2),

0—2—A

得矩阵A的特征值为为=-2,A，2=1,%3=4.

对于九二一2,解方程(A+2E)mO,即

4-20丫叫

-23—2%2=。,

0-22人七，

J22F

得特征向量(1,2,2)。单位化得P1=(39?3).

对于22=1,解方程(A-E)x=O,即

20

20-2-O

O2-4

得特征向量(2,1,-2)丁，单位化得〃2=(],Q,

对于九二4,解方程(A-4E)x=0,即

zV\

'r-2_2O%|

-2_3%■-O

O02-2I

_A演

-47

得特征向量(2,-2,1)7,?3)?

于是有正交阵P=3,P2,P3),使P-,AP=diag(-2,1,4).

(22-2)

(2)25-4.(和书后答案不同，以书后答案为准，解题步骤可以参考)

2-45)

解将所给矩阵记为A由

2-A2-2

\A-AE\=25—4-4=-(2-i)2(/i-io),

-2—45—A

得矩阵A的特征值为九=42=1,生=10.

对于九=%2=1,解方程(4-£)m0,即

(12

24

2—4

得线性无关特征向量(-2,1,0)丁和(2,0,1)丁，将它们正交化、单位化得

T

Pi=5(~2,l,0y,p2=^j^(294,5).

对于否=10,解方程(A-10E)x=0,即

f-82

2-5

、一2-4

得特征向量（一1,—2,2）。单&化得03=：（—1,一2,2尸.

于是有正交阵P=(p],P2,p3),使尸AP=diag(l,1,10).

(1-2-4](5、

17.设矩阵A=-2x-2与八二—4相似，求x,y;并求一个正交阵

1-4-21)〔y)

P,使P-lAP=A.

解已知相似矩阵有相同的特征值，显然Q5,Q-4,&y是A的特征值，故它们也是A

的特征值.因为&-4是A的特征值，所以

5-2-4

|A+4E|=—2x+4—才=9（x—4）=0,

-4-25|

解之得44.

已知相似矩阵的行列式相同，因为

1—2—45

\A\=-2-4—2=—100,|A|二-4=—20y,

—4—21y

所以-20）=-100,尸5.

对于4=5,解方程（4-5E）x=0,得两个线性无关的特征向量（1,0,-1）［（1,一2,0）二将■它

们正交化、单位化得

P]=}(L。，-1),，P2=T^T(L—4，1)丁•

7ZX，

单位化得P3=1（2/，2）1

对于法-4,解方程（A+4E）x=0,得特征向量（2,1,2尸,

121

723372

14

于是有正交矩阵p=0,使尸AP=N.

3-372

121

723372J

18.设3阶方阵A的特征值为4=2,々=-2,%=1；对应的特征向量依次为pi=(0,1,1)1

P2=(l,1,1)7,P3=(LI,。),,求A.

解令尸=S，P2，P3),则尸AP=diag(2,-2,1)=A,A=PAP-l.

因为

所以A=PAP-]=

19.设3阶对称阵A的特征值为为=1,%2=-1,九=0;对应为、々的特征向量依次为〃尸(1,

2,2)[p2=(2,求A

(不

解设A=三＞则Api=2pi,/1。2=-2夕2,即

X1+2X2+2%3=1

1%2+2工4+2x§=2,—(J)

[玉+2思+2%=2

2工1+第一2七——2

v2x,+Xj_2AE5=—1.—(^)

2刍+$一24=2

再由特征值的性质，有

制+工4+工6=办+42+九=。.---③

由①②③解得

11_1_21

-一产，%2-2%6,&一^一彳'6,

2^1

『+尸・

I2

令46=0,得不=一彳,必=0,x3=—,

Jj)

fzTo2

1

Ao12

因此--.

3220

<

20.设3阶对称矩阵A的特征值为=6,%2=3,办=3,与特征值九二6对应的特征向量为

p尸(1,1,1)5求A

x2七'

设A=

解X4X5

因为为=6对应的特征向量为pi=(l,1,1)7,所以有

rr

A1•①.

42=43=3是A的二重特征值，根据实对称矩阵的性质定理知R(A-3E)=1.利用①可推出

因为R(A—3E)=1,所以l2=岗-3=犬5且X3f5=工6-3,解之得

X2=X3=X5=1,X1=X4=X6=4.

(411}

因此A=141

(114j

21.设a=(ai,。2,…,〃〃)‘，3工0,A=aaT.

(1)证明/i=0是A的〃-1重特征值；

证明设2是A的任意一个特征值,x是A的对应「2的特征向量，则有

Ax=Ax,

^x=A2x=aa'aa1x=a1aAx=Xa'ax,

于是可得不二加/〃，从而％=o或&

设九，石，••・，〃是A的所有特征值，因为A=a/的主对角线性上的元素为。/,故2,•­•,

〃/，所以

27

〃产+苏+…+67/J=aa=2i+22+…+%】，

这说明在为，久，•・・，%,中左且只有一个等于/。，而其余〃-1个全为0,即加0是A的〃-1

重特征值.

(2)求A的非零特征值及n个线性无关的特征向量.

解设办=/〃，A，2=•••二乙=0.

因为Aa-aaTa=(aTa)a=A\a,所以〃产。是对应于为的特征向量.

对于九2二•••二%“=(),解方程Ar=0,即aarx=^.因为。=0,所以aTx=O,即a\x\-¥a^2+,••

+“内产0,其线性无关解为

〃2=(-。2,0,0,…，0)?,

P3=(-〃3,0,6/1,0)J,

Pn=(-alh0,0,a\Y，

因此〃个线性无关特征向量构成的矩阵为

%…_区：

/、凡跖…0

2

(P|，P2，・，P〃)=♦••'••••

9n0…4/

(42]

22.设4=0-34,求川叫

I。43；

解由

1—几42

\A-AE\=0-3-A4=—(X—1)(4—5)(几+5),

043-A

得A的特征值为九=1,22=5,43=-5.

对于九=1,解方程(A—E)x=0,得特征向量pi=(l,(),0)7：

对于为=5,解方程(A-5040,得特征向量02=(2,l,2f

对于否二一5,解方程(A+5E)m0,得特征向量〃3=(1,-2,if

令产=(P|，P2，P3),则

p-IAP=diag(l,5,-5)=A,

A=PA尸，

A10O=pAl00p-l1

因为

A100=diag(l,5100,5100),

(\210—5)

6=01-212,

(0214°-2

71°

所以

2O5

165

--9o2

5)()

29o21

A00\17

<1o5*n

=051000.

、005100)

23.在某国，每年有比例为p的农村居民移居城镇，有比例为q的城镇居民移居农村,

假设该国总人口数不变，且上述人口迁移的规律也不变.把〃年后农村人口和城镇人口占

总人口的比例依次记为xn和)力(八十)%=1).

(X\(X\

(1)求关系式〃+1=A"中的矩阵A;

\yfJ

解由题意知

xn+\=xn+qyn-px,i=(1-p)xn+qy,h

%+1=泗+〃即?一分'产pxtl+(\-q)yfh

可用矩阵表示为

出十八p1-夕人xj

因此

(2)设目前农村人口与城镇人口相等，即⑶啮)

]

\A-AE\=-P-A]_*=(%—1)(2—1+P+办

得A的特征值为九=1,42=「，其中r=\—p—q.

对于为=1,解方程(A-E)x=O,得特征向量pi=(q,p)r.

对于4二人解方程(ATE)X=O,得特征向量p2=(-lj)7.

令尸=(四，。2)=(々I)则

P-|AP=diag(1,/*)=A,

A=PAP'\

A〃=PA"P」.

1(q-1Y1OY1r

-P+।A0r，1k~pQ)

_1(g+p尸q-qtJ,\

-p+q1〃一〃产〃+“少

引=1仅+P产q-疗丫0.5)

Wp+q'p-P产

1(%+(p_q)尸、

2(〃+q)[2〃+(4—〃)尸,

24.(1)设A=,求始)二川°一5AI

解由

IA-AEI=3223二：二(4-1)("5),

得A的特征值为d=1,42=5.

对于办=1,解方程(A-E)x=0,得单位特征向量协-

对于为=5,解方程(A—5E)x=0,得单位特征向量方(一I」)。

于是有正交矩阵P—使得P」AP=diag(l,5)=A,

从而A=PAP]Ak=P\kp-1.因此•

d4)二户奴人)氏=P(Ai0—5A3尸|

=P[diag(l,510)-5diag(l,59)]P-'

=Pdiag(-4,0)P-'

1fl-1Y-40^1f11]

一次11A00历(TU

2-2

2-2

（212）

（2）设A=122,求欢4）=川°-6A9+5不.

”2

解求得正交矩阵为

f-1-V3⑷

-16行

、20V2?

使得尸=diag(—1,1,5)=A,A=PAP~L于是

^)=P^A)R-|=P(A,O-6A9+5A8)/>-1

=P[A8(A/(A_5E)]尸

=Pdiag(l,1,5s)diag(-2,0,4)diag(-6,-4,0)P1

=Pdiag(12,0,0)尸

-73V2Y12Y-1-12)

抠应0一0V30

0友人0人/V2V2j

25.用矩阵记号表示下列二次型：

(1)f=x1+4xy+4y1+2xz+z1^4yz;

(\21Y^

解了=(%y,z)242y

U2l|zj

(2)fr-x1+y^-7z1-2xy-4xz-4yz;

(1-1

解J=(x,y,z)-11

1-2-2

(3)户X]斗为寻后2十式J-2，UX2+4X|X3-2A」X4+6XM3-4X2X1.

1—12-1、'%]

-113-2x

解了=（%,9,七,凡）2

2310

-1-201人xj

26.写出下列二次型的矩阵:

d)f(x)=xT(^；卜

,22、

解二次型的矩阵为行二

z123

/456

(2))，m

f(X=X\789X.

“35、

解二次型的矩阵为4=357.

、579,

27.求一个正交变换将下列二次型化成标准形:

⑴f=2X]2+3X22+3X33+4X2^3；

<200)

解二次型的矩阵为4=032.由

1023)

2-Aoo

o322

-=(2-2)(5-2)Q-2),

o23-

得A的特征值为办=2,22=5,九=1.

当办=2时，解方程(A—2E)x=0,由

oo0/o12

on2~oo-1

A—2E=2

O1(OOO

得特征向量(1,(),Of取pi=(1,(),())，.

当办=5时，解方程(A-5£)户0,由

fzOo\fzloO、

-O32lo1T

m一

A-5E=oooO

I-27/

-2

得特征向量(0,1,1)1取

当&=1时，解方程(A£)x=0,由

10O>

o202^<0111

O2%WOC

?

1

得特征向量。-1,i)r.取=(0,

于是有正交矩阵r=(pi,p2,P3)和正交变换x=7>,使

222

>2yi+5y2+y3.

2212

(2)fi=X\+X2+Xy+X4+2x\X2-2x\X4-2X2X?l+2xitX4.

110-n

1—10

解二次型矩阵为A二.由

0—111

017

1-A10—1

11-A—1

\A-AE\=1=(4+1)(%-3)(2-1)2,

0—11-A

—1011-A

得A的特征值为为二-1,石=3,&=4二1.

当九=7时，可得单位特征向量必=(：,-)一)：)『.

当%=3时，可得单位特征向量P2=(口，口，一口，一£)'.

乙乙乙乙

当&二九=1时，可得线性无关的单位特征向量

。3=+°+阴04=(°+°+°

于是有正交矩阵r=(Pl,P2,〃3,P4)和正交变换X=Ty,使

12+3y22+y32+y42.

28.求一个正交变换把二次曲面的方程

3x1+5y2+5z1+4xy-4xz-10yz=\

化成标准方程.

(32-2]

解二次型的矩阵为4=25-5.

1-2-55\

3-Z2

由|4—第=25—4—5=-A(A—2)(A—11),得A的特征值为为=2,

-2—55—A

，2=11,九=0,.

对于2I=2,解方程(A-2E)x=0,得特征向量(4,-1,17,单位化得

__L__L)

P\二’3"3c

对于42=11,解方程(4-1lE)x=O,得特征向量(1,2,-2)[单位化得。2=([,—Q).

对于23=0,解方程Ar=O,得特征向量。1,1)丁，单&化得P3=(0，u，

于是有正交矩阵尸=(PI,P2，P3),使P」AP=diag(2,11,0),从而有正交变换

使原二次方程变为标准方程2w2+lhr=l.

29.明：二次型「JAr在||刈=1时的最大值为矩阵A的最大特征值.

证明A为实对称矩阵，则有一正交矩阵丁，使得

7X7"'=diag(/li,―,…,&)=A

成立，其中为，，,一，〃为4的特征值，不妨设为最大.

作正交变换y=7k,即A小，注意到尸二底,有

f=xTAx=yTlATry=ylKy=^\y\2+/12>?22+•••+%“)/.

因为产笈正交变换，所以当||x||=l时，有

IMI=IWI=1,即―+”2+•••+y/=i.

因此

2?2

/=/liyi+/l2>2+•一+Atly^<A\,

又当yi=l,V2=y3=---=yn=O时7=21,所以/max=4.

30.用配方法化下列二次形成规范形，并写出所用变换的矩阵.

(1)/(A1,人2,A3)=A|?+3A2?+5A3?+2AIA2-4A1A3,

解J(xi,X2,JV3)=X|2+3X22+5X32+2JIX2-4XIX3

=U1+X2-2X3)2+4X2X3+2X22+X32

=U|+X2-2X3)2-2X22+(2X2+X3)2.

_,5,L。

4_y_力7y2+2%

令<%=石々，即<%==%

1为=2%+乃%

二次型化为规范形

户丘怖城,

所用的变换矩阵