新北师大版八年级数学下册第四章分解因式的知识点归纳

第四章分解因式分解因式是代数运算中的一项基本技能，它与整式乘法互为逆过程，在代数式的化简、求值、解方程等方面都有着广泛的应用。本章我们将系统学习分解因式的概念、基本方法以及相关的注意事项，为后续的数学学习打下坚实的基础。一、分解因式的概念1.1分解因式的定义把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式分解因式。*理解要点：*分解对象：多项式。*分解结果：几个整式的乘积。这里的“整式”包括单项式和多项式。*过程要求：必须进行到每一个因式都不能再分解为止（在指定的数域内，如无特别说明，本章指在有理数范围内）。1.2分解因式与整式乘法的关系分解因式与整式乘法是互逆变形的关系。例如：*整式乘法：`(a+b)(a-b)=a²-b²`*分解因式：`a²-b²=(a+b)(a-b)`可以说，分解因式是将“和差”形式转化为“积”的形式，而整式乘法则是将“积”的形式转化为“和差”形式。二、分解因式的基本方法2.1提公因式法2.1.1公因式的定义一个多项式各项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。2.1.2提公因式法的概念如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。2.1.3提公因式的步骤1.确定公因式：*系数：取各项系数的最大公约数。*字母：取各项都含有的相同字母。*指数：取相同字母的最低次幂。2.提取公因式：将公因式写在括号外面，然后用原多项式的每一项除以公因式，所得的商写在括号里面，作为另一个因式。*注意事项：*公因式可以是单项式，也可以是多项式。*提公因式后，括号内各项的项数与原多项式的项数相同。*如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数是正的，同时括号内各项都要变号。*提公因式要彻底，即提完公因式后，括号内的多项式不能再含有公因式。2.2运用公式法我们学过的一些乘法公式，可以反过来用于分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。2.2.1平方差公式*公式形式：`a²-b²=(a+b)(a-b)`*语言描述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。*结构特征：*左边是一个二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反。*右边是两个一次二项式的乘积，一个因式是这两个数的和，另一个因式是这两个数的差。2.2.2完全平方公式*公式形式：*`a²+2ab+b²=(a+b)²`*`a²-2ab+b²=(a-b)²`*语言描述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的两倍，等于这两个数的和（或差）的平方。*结构特征：*左边是一个三项式，其中两项是两个数（或式）的平方，且这两项的符号相同，第三项是这两个数（或式）的积的两倍，符号可正可负。*右边是一个二项式的平方，这个二项式是左边两个平方项的底数的和或差。*运用公式法的注意事项：*要熟悉各个公式的结构特征，准确判断一个多项式是否符合公式的条件。*运用公式前，有时需要先对多项式进行适当变形或化简，使其符合公式的形式。*公式中的字母可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式。2.3十字相乘法（二次三项式的因式分解）对于二次三项式`x²+px+q`，如果能找到两个数`a`和`b`，使得`a+b=p`且`ab=q`，那么`x²+px+q=(x+a)(x+b)`。这种分解因式的方法叫做十字相乘法。*步骤：1.将二次项系数分解为1×1（对于首项系数为1的二次三项式）。2.将常数项分解为两个因数`a`和`b`的积。3.交叉相乘再相加，看其和是否等于一次项系数。如果`1×b+1×a=a+b=p`，则分解成功。4.写成`(x+a)(x+b)`的形式。*对于二次项系数不为1的二次三项式`ax²+bx+c`，十字相乘法的思路是将二次项系数`a`分解为`m×n`，常数项`c`分解为`p×q`，并使得`mq+np=b`，则`ax²+bx+c=(mx+p)(nx+q)`。这种情况相对复杂，需要多练习以提高熟练度。三、分解因式的一般步骤分解因式时，通常按照以下步骤进行：1.“一提”：先看多项式的各项是否有公因式，如果有，应先提取公因式。2.“二套”：在提取公因式后，观察剩余的多项式的项数和形式：*如果是二项式，考虑是否符合平方差公式。*如果是三项式，考虑是否符合完全平方公式或十字相乘法。3.“三查”：检查每一个因式是否还能继续分解因式，直到每一个因式都不能再分解为止。*温馨提示：*分解因式的方法往往不是唯一的，可能需要综合运用多种方法。*分解因式一定要彻底。*分解的结果要写成整式乘积的形式。*相同的因式要写成幂的形式，