考研数学三（解答题）高频考点模拟试卷75

考研数学三（解答题）高频考点模拟试

卷75

一、解答题体题共万题，每题1.0分,共不分。）

F666勺

，066b

cca6b

cccQJ

1、计算，，cca|

标准答案：各行减上行

bb

00

=0e-aa-6

00

00

a-b0

00o

c-aa-b

纲I行展开

知识点解析：暂无解析一0）（a_"）+“c-a汽

若触照#2=。.求

标准答案：方法一

....sin6x4-x/(jr)..sin6x-6x+6x4-xf(jr)

由0=hm-------：------=lim--------------;-----------

=6$.则匚*+lim也曾

LO(6JT)L。x

„i.sin/—£…6+/(x)

=63lim-------+lim-----；---

LOtLOX

1.cosr—】t.6+/(J-)

=6hm----；----1Fhm---\---

o3zx-«x

__&6+f(”)

一36十lim9>

LQx

得1而空毕2=36.

I方法二

由siirr=x---4-o(x')得

u•

(67)3

sin6x=6x-----jy-+o(x3)=6JT-36x3+o(x3),

工耳由Ar-36/+67+。(工3)+]/(I)6+/(x)

于是由0=hm------------------------------=-36+hm-----；----,

IL°I

l#lim----：---=36.

工一。X

知识点解析：暂无解析

3、设当x>0时，方程kx+-=l有且仅有一个解，求k的取值范围.

4/'(*)=*-々，U⑺=4>o-

标准答案：设f(x)=kx+J—l(x>0),则//([)

当上0时,r(x)vo,f(x)单调减少，又

limf(x)=+oc,lim/(x)=-oo(i<0);lim/(x)=-1(&=0),

f(x)此时只有一个零点.(11)当1<>0,由P(x尸0,得*二

，由于/'(*)>0,4=

是极小值点，且极小值为

当极小值为零时,即当‘2T-=。时,

N6

有k=50,此时方程有且仅有一个根；当修—亍A,时，方程无根或有两个根.因

此，k的取值范围为仁0及k=9".

知识点解析：暂无解析

4、设(X,Y)在区域D：0<x<l,IYIgx内服从均匀分布.(1)求随机变量X的

边缘密度函数：(2)设Z=2X+1,求D(Z).

jieD,

标准答案：(1)(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)=：0，Q，.y)WD，则fx(x)=Loo

十°°f(x,y)dy=回(2)因为E(X)=J(?xx2xdx=,E(x2)=j(/x2x2xdx=所以D(X)=

E(X2)-[E(X)]2=,D(Z)=D(2X+1)=4D(X)=.

知识点解析：暂无解析

5、求下列曲线所围成的图形的面积：(I)x2+3y2=6y与直线y=x(两部分都要计

算)；(2)y=l/x与直线y=x及x=2；(3)y=lnx,y轴与直线丫=lna,y=lnb(b>

a>0)：(4)丘+右=I与两坐标轴।(5)x=2y-y2与y=2+x；(6)y=2x与直线y

=1—x,x=

知识点解析：暂无解析

6、设…((J：J\*I?d〃)dr.求/(.r).

【解题过程】

fwnj

标准答案：/Q，-L«/1+=八+xin'x•COSJT.

知识点解析：暂无解析

7、设aVb,证明：[Jabf(X)g(X)dx『4bf2(x)dxJabg2(x)dx.

标准答案：构造辅助函数F(t)=[Ja'f(x)g(x)dx产一%甲(x)dx*g2(x)dx,则F(a)=0,且

F，⑴=2ja「f(x)g(x)dx.f(l)g⑴一f2(t)Rg2(x)dx—g2(t)J：f2(x)dx4at【2f(x)g(x)f(t)g⑴一

f2(t)g2(x)-g2(t)f2(x)]dx=Hal[f(t)g(x)-g(t)f(x)]2dx<0,所以F(b)<0,即

b2b2b2b2b2b2

[Jaf(x)g(x)dx]—faf(X)dxfag(X)dx<0,即[faf(x)g(x)dx]daf(x)dxjag(x)dx.

知识点解析：暂无解析

8、设X为一个总体且E(X)=k,D(X)=1,Xi，X2，…，Xn为来自总体的简单随机

X=p|IX-k|<A?

样本，令〃A］，问n多大时才能使।L14

广演…八E(X)=3D(X)=-D(X)=।L

标准答案：〃n在切比雪夫不等式得

IV幼21一D(X)、3

丁》了‘

4即佗16.

知识点解析：暂无解析

9、设A是n阶正定矩阵，证明IA+2EI>2n.

标准答案：设矩阵A的特征值是入入2,…，猫.因为A正定，故特征值为〉

0(i=l,2,n).又A+2E的特征值是九i+2,Q+2,…，猫+2,所以IA+2EI

=01+2)02+2)…(猫+2)>2,

知识点解析：暂无解析

10、利用球面坐标计算下列积分：

(1)口,也4\&・口为介于两球面/+/+/=a2与/+乂+/之间的部分(04°<力，

n

(2)口C?+y)drd>dz,口是由曲面z=/r2+，和％=T所围成的闭区域，

a

⑶。叱+，+幺)drdydz,n为球体/-&L

标准答案：

解：（】）n可用球面•坐标友示为

C：a&了&b,0&427r

gdxdydz

n

（2）n可用球面坐标表示为

Q：O<r<1.04。<今,04342穴

r<dr

「34-y）cLrd>ck=（M：嫉入国・八;加r=J。即・j；si"政,fo

"a

8—5―

30-X，

（3）U可用球面坐标表示为

dOaB42次,04049・0&2coM

M

中/+y+/)drd城=『Sinftlrd^3称作.41阳£。§的厂

=4.吐,必乎此一*

知识点解析•：暂无解析

11、设A,B是两个随机事件，且P(A)+P(B)=0.8,P(A+B)=0.6,则

P(AB)+P(AB)=

标准答案：0.4

知识点解析:因为P(A+B尸P(A)+P(B)—P(AB),且P(A)+P(B)=0.8,

P(A+B)=0.6,所以P(AB)=0.2.又因为P(AB)=P(B)-P(A5),P(Ab)

P(AR)+P(AB)

=P(A)-P(AB),所以=P(A)+P(B)-2P(AB)=0.8-

0.4=0.4.

12、设三阶实对称矩阵A的特征值为入尸一I,12=而=1，对应于Q的特征向量为

&=(0,1,1)T,求A。

标准答案：设对应于屹=入3=1的特征向量为片（X|,X2,X3）T。由实对称矩阵的属于不

同特征值的特征向量必正交得金&二0，即X2+X3=0，解得己2=（1，0,0）T,^3=（0,

1,-l）To又由A&,◎又尸Qe,送2,犊3），故有A=Q1欧,入2&2,

o1oyo।o100

-ioi1oI00

九3宵)(自拓2月)」0-1-IL10-I0-:

知识点解析：暂无解析

设Xi,X友…，X£n>2)为取自总体N(0,1)的简单随机样本，X为样本均值，记

Yi=Xj一，i=l,2,....no求：

13、Y的方差D(Yi),i=l,2,n；

标准答案:根据题设，知Xi,X2，…，XMn>2)相互独立，且E(Xi)=0,

D(Xi)=l(i=l,2，…，n),E(X)=0。

。(匕)=D(^-X)=。［(1_：)兄_十£%］

=(1—1))5)+建。(号)

=giE+\・(…)=匕。

nnn

知识点解析：暂无解析

14、Yi与Yn的协方差Coy(Yi，Yn)o

标准答案：因为已知Xi,X2，…,Xn(n