考研数学一（线性代数）模拟试卷124

考研数学一（线性代数）模拟试卷124

一、选择题（本题共9题，每题L0分，共9分。）

即a12

|A|=M々22

1、设3阶行列式的】a32033I其中a『l或一1,i=l,2,3：j=l,2,

3.则IAI的最大值是（）

A、3

B、4

C、5

D、6

标准答案：B

a\2Q13

a2\a22a23

知识点解析：由3阶行列式的定义:A1=031a32。33

二aiia22a33+ai2a23a3]+aHa2ia32-a]3a22a3]—ai2a2ia33-aua23a32，共6项.每项均

是不同行、不同列的三个元素乘积，且有三项取正号，三项取负号，由题设@产1

或一1,故IAI<6.但IAIR6.若IAI=6,则正的三项中三个元素全取1或

取一个1,两个一1,总的一1的个数为偶数个.负的三项中三个元素取一个或三个

一1,总的一1的个数为奇数，又正三项、负三项各自遍历了9个元素，与三个正

项中一1的个数矛盾，故IAIS5.同样有IAI#5.若IAI=5,IAI的六项

中总有一项的值为一1,此时IAIa.而

-111-111

1A|=1-11—002=4,

11-1020故max(IA3X3Iaij=l或一

1)=4,应选B.

2、设A,B是n阶可逆方阵，则下列公式正确的是（）

A、（A2）-1=（A-,）2

B、（A+B）」=Ar+Br

C、（A+B）（A-B）=A2-B2

D、（kA）一LkA」（k和）

标准答案：A

知识点解析：（A2）―1二（AA）「二A一=（A-I?；B不成立，例：B=-A,A+B不可

1

逆；C中，当ABWBA,即BA—AB和时，不成立；D中，（1＜人）-1二无人」不一定

等于kA-1.

-123*

Q=24£,

3、已知1369jp为3阶非零矩阵，且满足PQ=O,则（）

A、当t=6时.P的秩必为1

B、当t=6时，P的秩必为2

C、当t#6时,P的秩必为1

D、当，6时，P的秩必为2

标准答案：C

知识点解析：“AB=O”是考研出题频率极高的考点，其基本结论为：

@)Amx$Bsxn=O=>r(A)+r(B)0S;(^)AmxsBsxn=O=>组成B的每一列都是AmxsXR的

解向量.对于本题，PQ=O=>r(P)+r(Q)<3=>1<r(P)<3-r(Q).当t-6口寸，

r(Q)=1=>l<r(P)<2>r(P)=l或2,故A和B都错;兰印6时,

r(Q)=2=>l<r(P)<l=>r(P)=l.故C正确，D错.

&=

4、要使部是线性方程组AX=O的解,则系数矩阵A可能为

（）

D1-r

「20-11--102-

(A)1-2,1,11(B)(C)(D)4一2-2

L011」.01-1-

011.

A、

B、

C、

D、

标准答案：A

知识点解析：因[-2,1,l]^i=O,[-2,1,1比2=0.故选A.

•-123-

A=2-10,

5、设[331J则下列选项中是A的特征向量的是（）

A、号=[1,2,1]T

T

B、^2=[1,-2,1]

C、+=[2,1,2]T

D、0=[2,1,-2]T

即c*12a13。14一~a\4Ql3a12QiJ

a

zi&l22°23々24ana23々22〃2】

A=,B=♦

Q3i6l32a3303Ia34々33032031

々43M-以44。43°424l」

■o0or•1000"

01000010

Pl=♦P=

001020100

6、设.1000.0001.其中A可逆，则B-

等于()

-1

A、AP|P2

B、PIA电

-1

C、PIP2A

-,

D、P2AP1

标准答案：c

11

知识点解析：因B=AP2P1，故B-i=(AP2Pi)r=Pj】P2-A-=P1P2A~.

7、设n维列向量组a1，。2,…，am(mVn)线性无关，则n维列向量组由,

的，…，0m线性无关的充分必要条件为()

A、向量组四，。2,…,am可由向量组Pl,「2，…，Pm线性表出

B、向量组01，。2，…,0m可由向量组ai，。2,…'dm线性表出

C、向量组囚，。2，…，am与向量组仇，。2，…，0m等价

D、矩阵A=[ai，。2，…，am]与矩阵B=[01，陆…,%]等价

标准答案：D

知识点解析：A=[ai,9,…，a,]与8=[0],优，…，Bm]等价v=>r(ai，

<=>

am)=r(Pi，...»Pm)Pl»(2，…,Bm线性无关(已知ai，Ctm，…，斯线性无关

时).

8、已知A是3阶矩阵，r(A)=l,贝I」九=0()

A、必是A的二重特征值

B、至少是A的二重特征值

C、至多是A的二重特征值

D、一重、二重、三重特征值都可能

标准答案：B

知识点解析：A是3阶矩阵,r(A)=l,故r(0E-A)=l.那么(0E-A)X=0有两个线

性无关的特征向量，故入=0至少是二重特征值，也可能是三重，例如：

■0or

A=000,

-°°°」r(A)=l,九=0是三重特征值.

9、下列矩阵中，是正定矩阵的是()

■1-10*

(A)A=-101(B)B=

,o12、

-10O-

(C)C=042(D)D=

.021.

A、

B、

C、

D、

标准答案：D

知识点解析：具体的数值矩阵正定性的判别，可利用定理：A正定<=>A的顺序主

子式全部大于零，即A正定的必要条件：aij>0,i=l,2,n,|AI>0.其

中A中a22=0,B中b33=-2,C中ICI=0.故(A),(B),(C)都不正定.D的顺序

主子式全部大于零，故D是正定阵.故应选D.

二、填空题(本题共5题，每题L0分，共5分。)

尸「13HT

10、设。=[1,2,3|,L乙3」A=a【,则A11二_____.

1

1J_-|

2~3

2

312

3

3Kl

标准答案：L2-

-1i_L

2~3

2][i44>2

.3.

T3

知识点解析：A=aTp=L

An=(aTp)n=(aTp)(aTp)...(aTp)=aT(paT)(paT)...(PaT)p=3n

Pl111

23

2

=3121件

o

■0-2

A=2x

11、已知一2是1-22

b」的特征值，其中b(brO)是任意常数，则

标准答案：-4

知识点解析：由IXE-AI=I-2E-AI=0,且b加，可求得x=-4.

-1-oo

<5

A=o-l-o

4

004-

12、设3阶方阵A,B满足关系式A'BA-6A+BA,且L71则

B=______

标准答案：diag(3,2,I)

知识点解析：由A一1BA=6A+BA得B=6A(E—A)r=diag(3,2,1),其中

以「四­

A?_婕

•••••

-九」L八7」Xi,入2，…，猫全不为零.

13、方程组[八一为=/有解的充要条件是

5

X。，=0

标准答案："I

知识点解析因

■1-1000<21

■1-1000

01-100a

01-1002

a2

001-10a3

[AI6]=001-104

0001-1a

0001-1{

s

-10001%.00000IX

f-I

=。.

故AX=b有解<=>r(A)=r([AIb)<=><->

14、已知二次型f(X],X2，X3)=2x]2+x22+X32+2tX|X2+tX2X3是正定的，则I的取值范

围是______.

标准答案：V3

「2t01

A=

0

知识点解析：f的对应矩阵Lf正定，即A正定<=>A的顺序

主子式大于0,即

2/L

2>0,=2-/2>0=>It|<V2,

t1

r14=(2-吁呆2/=2一?>0=|川〈方

041

I2l取公

Id<7z.

共部分，知i的取值范围是V3

三、解答题(本题共74题，每题1.0分，共74分。)

15、设A是n阶矩阵，满足AA'「二E(E是n阶单位矩阵，A「是A的转置矩阵)，

且IAI<0,求IA+EI.

标准答案：由IA+EI=IA+AATI=IA(E+AT)I=IAI.I(A+E)TI=IAI.I

|A|<0

A+EI,故(1-IAI)IA+EI=0->IA+EI=0.

知识点解析：暂无解析

ior

A=020,

16、设矩阵Llo1J矩阵X满足Ax+E=A=X,其中E为3阶单位矩

阵.求矩阵X.

标准答案：由AX+E=A2+X,得(A—E)X=(A—E)(A+E).又IA-EI=-1^0,故

■2or

X=A+E=030.

,102.

知识点解析：暂无解析

J*I+x2+4=0，

1+12-为=0，

17、求齐次线性方程组1]3+羽+工5=°的基础解系.

-1100nriloor

A=11-10Of。0101,

标准答案：

Lo0111JLo0010」则方程组的解为

得方程组的基础解系I,0,0,0|T,&2=1-1，

0,一1,0,1]T.

知识点解析：暂无解析

-2-12'

A==53

18、已知片[1,1,—1]T是矩阵-1b-2的一个特征向量.（1）确

定参数a,b及匕对应的特征值储（2）A是否相似十对角矩阵，说明理由.

标准答案：（1）设A的特征向量&所对应的特征值为入，则有A&=X4，即

2-l-2=A,

即<5+a-3=人，

-1+6+2=-A»

解得入=—1,a=

-3,b=0.(2)当a=-3,b=0时，由

A-21-2

IAE—AI=-5A4-3—3=(A+l)3=0

10A+2知兀=-1是A的三重特征

对应的线性无关

特征向量只有一个，故A不能相似于对角矩阵.

知识点解析：暂无解析

19、设A是n阶实矩阵，证明：tr（AAT）=O的充分必要条件是A=0.

标准答案：充分性A=0,显然tr（AAT）=O.必要性tr（AAT）=O,设A=

4ian…ain'

々21«22…OLln

-Unl°喧…a"»j=(aij)nxn»AT=(aij)nxn»记B=AA,，则tKAAT尸

火仇=s=°

IAT<=>a)k=O,k=l,2,…，n：i=l,2,...»n,即A=O.

知识点解析：暂无解析

lx）+4=0,

20、设四元齐次线性方程组（I）为'12一乙=0,又已知某齐次线性方程组（H）的

TT

通解为k|[0,1,1,0J+k2[-1,2,2,1].（1）求线性方程组（I）的基础解系；

⑵问线性方程组（I）和（II）是否有非零公共解?若有，则求出所有的非零公共解..若

没有，则说明理由.

标准答案：（1）线性方程组（I）的解为得所求

基础解系言二[0,0,1,0]T,1，0，1]T.（2）将方程组（口）的通解代入方

M+厩=0*

程组（I）,得d+&=0->k|——k2.方程组（I）和（II）有非零公共解，且为

TTTT

x=-k2[0,1,1,0]+k2[-l,2,2,l]=k2[-l,1,1,l]=k[-l,1,1,1],

其中k为任意非零常数.

知识点解析：暂无解析

21、（1）设Q,入2，…，脑是n阶矩阵A的互异特征值，囚，（12，…，即是A的分

别对应于这些特征值的特征向量，证明四，a2,...».线性无关；（2）设A,B为

n阶方阵，|BI,0,若方程IA—入BI=0的全部根入兀2，…,为]互异，3分别

是方程组（A—入B）x=0的非零解，i=l,2,,2.证明ai，。2，…，斯线性无

关.

标准答案：（1）用数学归纳法.①由特征向量a/0,故ai线性无关；②假设前K

—1个向量四，。2，…，叫-1线性无关，以下证明ai，a2，…，ak线性无关.K个

互异特征值九1，^2,.....入k对应着特征向量。2，…，ak.现设存在一组数11，

12，…,1k，使得hai，12a2，…，lk«k=O,(*)在(*)式两端左边乘A,有l]Aai，

hAai，...»lkAak=O,即1内ai，12入2a2，…，lCkak=O;(**)又在(*)式两端左边

乘屣,有1]入k。】，12入kC(2，…，lk^k«k=O.(***)用(**)式减去(***)式,得11(入1-

九k)ai+l2a2—入k)a2+...+lkTQkT—U)ak-i=0.由归纳假设ai，。2，…，akT线性

无关，故110"一入0=12。2—屣尸…=lk-lQk-l—入k)=o，又无一九k#)(i=L2,…，k

—1),故h=12=.=lkT=0.代回(*)式,于是lkak=0,由ai#0,有lk=0,于是a”

(X2,…，ak线性无关.所以n的互异特征值对应特征向量a”a2,...».线性无

关.(2)由IBI和，在IA-XB|-0两端左边乘IB1|,有IB'A-XEI-0,

即I入E-BrAI=0,于是入1，入2，…，猫是矩阵BrA的n个互异特征值,又由

(A-XiB)x=0,两端左边乘Br，有出一么一入iE)x=0,B|J(XiE-B-|A)x=0,故a1,

(12，…，的为B-1的对应于入i，九2，…，猫的特征向量，由(1)知，ai，a2,…，

如线性无关.

知识点解析：暂无解析

anXL+aj2x2+ai3x3+aux4=al5,

aZiJ:l+aZ2^2+02313+a2\=a25，

v

“3]7|+a32x2^~a33x3+a34-a35,

已知线性方程组"国+&212+。43/34即工4=45的通解为[2,1,0,

1]T+k[I,—1,2,0]T.记aj=[aij,a2j»a3j，ci4j]T,j=l,2,…，5.问：

2204能否由ai，。2，式3，015线性表出，说明理由；

标准答案：04能由四，。2，«3>a5线性表出.由线性非齐次方程组的通解[2,1,

0,1]T+k[1,—1,2,0/知a5=(k+2)ct]+(—k+l)a2-2ka3+«4，故04=—(1<+2)。1—

(―k+l)a?-2kaa+as.

知识点解析：暂无解析

23、04能否由ai，。2，013线性表出，说明理由.

标准答案：04不能由山，。2,C13线性表出，因对应齐次方程组的基础解系只有一

个非零向量,故r(ai，Q2，a3，O4)=r(ai，a2,013,04,a5)=4—1=3,且由对应齐次

方程组的通解知,aj—a2+2a3=0,即ai，g,013线性相关，r(ai，。2，as)<3,若

04能由ai，。2，线性表出,则r(a4，ai,g,a3)=r(ai，012，as)<3,这和r(ai，

a2，as，04)=3矛盾，故eq不能由ai，a?,013线性表出.

知识点解析：暂无解析

(1)求x与y；(2)求一

个满足P-,AP=B的可逆矩阵P.

标准答案：(l)B的特征道为2,y,-1.由A与B相似，则A的特征值为2,y,

j2+y+(—D=2+0+z,产=0,

—1.故12y•(-1)=1A|=-2［y=l・(2)分别求出A的对应于特

征值九1=2,吊2=1，入3=-1的线性无关的特征向量为

'llronro'

Pl=0，P2=1，。3=-1・

•°」U」L1」令可逆矩阵P=[pl，P2，P3]=

ioo-

01-1,

011则PrAP=B.

知识点解析：暂无解析

-0100-

1000

A=

00J1

25、设矩阵LO012.(1)已知A的一个特征值为3,试求y；(2)求矩

阵P,使(AP)%AP)为对角矩阵.

标准答案：(1)I入E—AI=(九一1)(入+1)［产一(2+丫认+(2y—l)］=0=>y=2.(2)A为

对称矩阵，要使(AP)'「(AP)二P「A2P为对角矩阵，即将实对称矩阵A?对角化.由⑴

得A的特征值入］二—1,12,3=1，^4=3,故A?的特征值人］,2,3=1，M=9,且

000-

0100

A2=

0054

0045一A?的属于特征值入］.2,3=1的单位化的特征向量为

0

丁roio

0i

0-五

aoi

A2的属于特征值A4=9的单位化的特征向

P4=

量为令P=[pi，P2，P3，P4]=

000■

0100rl000-

11000

00，则(AP)T(AP)=

一五无0010

1LO009.

00友

知识点解析：暂无解析

26、设A是3阶矩阵，ki=l,入2=2,入3=3是A的特征值，对应的特征向量分别是

目二[2,2,-1]T,&2=[一1，2,2]T,^=[2,-1,2]T.又。=口，2,3]T.计算:

(l)An^i；(2)Anp.

■2~

2

标准答案：⑴因于是故A%=1.。产1_一1」(2)利用

A&=g,有A3加，将B表成3A的线性组合.设B=X1欧+X2陵+X3③

Tr21-r-2-

即2+122+小-1

.3.L-1.2.-2.

解得n=g■.

1.RPp=+隹+-|-^s•故

ooo

A'fi=A"佶却+$+磊3)=~A^+A-&+JA-§3=+%金+

-2■--1-2-