2026年考研数学一线性代数专项训练题

2026年考研数学一线性代数专项训练题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在题后的括号内。）1.设A为n阶可逆矩阵，B为n阶矩阵，且满足AB=BA。若C为A的伴随矩阵，则下列等式成立的是（）A.B(A)B=|B|AB.B(A)B=|A|AC.B(A)B=|B|AD.B(A)B=|A|A解析：由AB=BA，可得B与A可交换，进而有B(A)B=BAA=|A|B。由于A为可逆矩阵，其伴随矩阵A满足AA=|A|E，故A=|A|A^-1。代入原式得B(A)B=|A|BA^-1B=|A|B，因此正确答案为B。2.设向量组α1=(1,0,1),α2=(1,1,0),α3=(0,1,1),α4=(1,1,1)。则该向量组的秩为（）A.1B.2C.3D.4解析：将向量组写成矩阵形式，进行行变换：[101;110;011;111]→[101;01-1;011;010]→[101;01-1;002;001]→[101;01-1;001;000]可见矩阵的秩为3，故向量组秩为3，正确答案为C。3.设A为n阶实对称矩阵，且满足A^2-A=0。若λ为A的非零特征值，则λ的取值范围是（）A.λ=1B.λ=-1C.λ=0D.λ=±1解析：由A^2-A=0，可得A(A-E)=0。若λ为A的非零特征值，则λ满足λ(λ-1)=0，解得λ=1。由于A为实对称矩阵，其特征值必为实数，且λ≠0，故λ=1。正确答案为A。4.设A为n阶矩阵，B为n阶可逆矩阵，且满足(A-B)B^-1=AB^-1-A^-1。则矩阵A的行列式|A|等于（）A.|B|B.|B^-1|C.|B|^2D.|B|^(-1)解析：由(A-B)B^-1=AB^-1-A^-1，两边右乘B得A-B=AB-A^-1，进而(A-B)A=AB-A^-1B。整理得AA-AB=AB-A^-1B，即A(A-B)=B(A-B)，若A-B≠0，则A=B，故|A|=|B|。正确答案为A。5.设V为n维线性空间，T为V上的线性变换，且T的秩为n-1。则下列说法正确的是（）A.T存在唯一的特征向量B.T存在n个线性无关的特征向量C.T的核维数为1D.T的像维数为n-1解析：由线性变换的基本定理，T的秩为n-1，则T的核维数为1（由秩-核维数定理）。根据线性变换的像与核关系，像维数为n-1。正确答案为D。6.设A为n阶矩阵，且满足A^3=0。则矩阵A的秩最大为（）A.n-1B.n-2C.n-3D.0解析：由A^3=0，可得r(A^3)=0。由矩阵乘法秩的性质，r(A^3)≤min{r(A),r(A^2)}，故r(A)≤0，r(A^2)≤0。若A为非零矩阵，则r(A)≥1，故r(A)=0。正确答案为D。7.设α1,α2,α3为三维线性空间V中的三个向量，且线性无关。若向量β可以由α1,α2,α3线性表示，但表示法不唯一，则下列条件成立的是（）A.α1,α2,α3线性相关B.α1,α2线性相关C.α2,α3线性相关D.α1,α3线性相关解析：由β可以由α1,α2,α3线性表示但表示法不唯一，可得α1,α2,α3,β线性相关。又α1,α2,α3线性无关，故β可以由α1,α2,α3线性表示且表示系数唯一，矛盾。因此必有α1,α2,α3中两个向量线性相关。正确答案为B。8.设A为n阶正定矩阵，B为n阶可逆矩阵，则矩阵B^TAB的惯性指数（正惯性指数、负惯性指数、零惯性指数的个数）与A的惯性指数的关系是（）A.相同B.可能不同C.一定不同D.与B无关解析：由合同变换性质，若A为正定矩阵，则对任意可逆矩阵B，B^TAB仍为正定矩阵，其惯性指数与A相同。正确答案为A。9.设A为n阶矩阵，且满足A^k=0（k为正整数）。则矩阵A的秩为（）A.0B.n-1C.nD.0或n解析：由A^k=0，可得r(A^k)=0。由矩阵乘法秩的性质，r(A^k)≤min{r(A),r(A^2),...,r(A^(k-1))}，故r(A)=0。正确答案为A。10.设V为n维线性空间，T为V上的线性变换，且T的像为V的子空间W。若W的维数为n-1，则下列说法正确的是（）A.T存在唯一的特征向量B.T存在n个线性无关的特征向量C.T的核维数为1D.T的像维数为n-1解析：由线性变换的基本定理，T的像维数为n-1，则T的核维数为1（由维数分解定理）。正确答案为C。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。请将答案填在题中横线上。）1.设A为n阶矩阵，且满足A^2+A=0。若A的秩为n-1，则矩阵A的伴随矩阵A的秩为______。参考答案：1解析：由A^2+A=0，可得A(A+E)=0。若A的秩为n-1，则A为非零矩阵，故A+E为可逆矩阵。由矩阵乘法秩的性质，r(A)r(A+E)=n-1，故r(A)=1。由伴随矩阵性质，r(A)=n-r(A)=n-1。正确答案为1。2.设α1=(1,1,1),α2=(1,2,3),α3=(1,3,λ)。若α1,α2,α3线性无关，则λ的取值范围是______。参考答案：λ≠5解析：由α1,α2,α3线性无关，可得其行列式|111;123;13λ|=1(2λ-9)-1(λ-3)+1(3-2)=λ-5故λ≠5。正确答案为λ≠5。3.设A为n阶矩阵，且满足A^2=2A。若A的秩为n-1，则矩阵A的行列式|A|等于______。参考答案：0解析：由A^2=2A，可得A(A-2E)=0。若A的秩为n-1，则A为非零矩阵，故A-2E为可逆矩阵。由矩阵乘法秩的性质，r(A)r(A-2E)=n-1，故r(A)=1。由矩阵秩与行列式关系，|A|=0。正确答案为0。4.设V为n维线性空间，T为V上的线性变换，且T的秩为n-2。则下列说法正确的是______。参考答案：T的核维数为2解析：由线性变换的基本定理，T的秩为n-2，则T的核维数为n-(n-2)=2。正确答案为T的核维数为2。5.设α1=(1,0,1),α2=(0,1,1),α3=(1,1,λ)。若α1,α2,α3线性相关，则λ的取值范围是______。参考答案：λ=1或λ=2解析：由α1,α2,α3线性相关，可得其行列式|101;011;11λ|=1(λ-1)-0+1(1-0)=λ-1故λ=1。又由α1,α2线性相关，可得1×1=0，矛盾。故λ=2。正确答案为λ=1或λ=2。6.设A为n阶矩阵，且满足A^3=0。若A的秩为n-2，则矩阵A的伴随矩阵A的秩为______。参考答案：0解析：由A^3=0，可得r(A^3)=0。由矩阵乘法秩的性质，r(A^3)≤min{r(A),r(A^2)}，故r(A)=0。由伴随矩阵性质，r(A)=n-r(A)=n-2。正确答案为0。7.设α1=(1,1,1),α2=(1,2,3),α3=(1,3,λ)。若α1,α2,α3线性无关，则λ的取值范围是______。参考答案：λ≠5解析：由α1,α2,α3线性无关，可得其行列式|111;123;13λ|=1(2λ-9)-1(λ-3)+1(3-2)=λ-5故λ≠5。正确答案为λ≠5。8.设A为n阶正定矩阵，B为n阶可逆矩阵，则矩阵B^TAB的惯性指数与A的惯性指数的关系是______。参考答案：相同解析：由合同变换性质，若A为正定矩阵，则对任意可逆矩阵B，B^TAB仍为正定矩阵，其惯性指数与A相同。正确答案为相同。9.设A为n阶矩阵，且满足A^2=2A。若A的秩为n-1，则矩阵A的行列式|A|等于______。参考答案：0解析：由A^2=2A，可得A(A-2E)=0。若A的秩为n-1，则A为非零矩阵，故A-2E为可逆矩阵。由矩阵乘法秩的性质，r(A)r(A-2E)=n-1，故r(A)=1。由矩阵秩与行列式关系，|A|=0。正确答案为0。10.设V为n维线性空间，T为V上的线性变换，且T的秩为n-1。则下列说法正确的是______。参考答案：T的核维数为1解析：由线性变换的基本定理，T的秩为n-1，则T的核维数为n-(n-1)=1。正确答案为T的核维数为1。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。请判断下列命题的正误，正确的填"√"，错误的填"×"。）1.设A为n阶矩阵，且满足A^2=I。则矩阵A的特征值只能是1或-1。（）参考答案：√解析：由A^2=I，可得A(A-I)=0。若λ为A的特征值，则λ满足λ(λ-1)=0，解得λ=1或λ=-1。正确答案为√。2.设α1,α2,α3为三维线性空间V中的三个向量，且线性无关。若向量β可以由α1,α2,α3线性表示，则表示法唯一。（）参考答案：√解析：由α1,α2,α3线性无关，且β可以由α1,α2,α3线性表示，根据线性表示的唯一性定理，表示系数唯一。正确答案为√。3.设A为n阶矩阵，且满足A^2-A=0。则矩阵A的特征值只能是0或1。（）参考答案：√解析：由A^2-A=0，可得A(A-E)=0。若λ为A的特征值，则λ满足λ(λ-1)=0，解得λ=0或λ=1。正确答案为√。4.设A为n阶正定矩阵，B为n阶可逆矩阵，则矩阵B^TAB仍为正定矩阵。（）参考答案：√解析：由合同变换性质，若A为正定矩阵，则对任意可逆矩阵B，B^TAB仍为正定矩阵。正确答案为√。5.设V为n维线性空间，T为V上的线性变换，且T的秩为n-1。则下列说法正确的是T的核维数为1。（）参考答案：√解析：由线性变换的基本定理，T的秩为n-1，则T的核维数为n-(n-1)=1。正确答案为√。6.设α1=(1,0,1),α2=(0,1,1),α3=(1,1,λ)。若α1,α2,α3线性无关，则λ的取值范围是λ≠5。（）参考答案：√解析：由α1,α2,α3线性无关，可得其行列式|101;011;11λ|=1(2λ-9)-0+1(3-2)=λ-5故λ≠5。正确答案为√。7.设A为n阶矩阵，且满足A^3=0。则矩阵A的秩最大为n-3。（）参考答案：×解析：由A^3=0，可得r(A^3)=0。由矩阵乘法秩的性质，r(A^3)≤min{r(A),r(A^2)}，故r(A)=0。正确答案为×。8.设A为n阶矩阵，且满足A^2+A=0。若A的秩为n-1，则矩阵A的伴随矩阵A的秩为n-1。（）参考答案：×解析：由A^2+A=0，可得A(A+E)=0。若A的秩为n-1，则A为非零矩阵，故A+E为可逆矩阵。由矩阵乘法秩的性质，r(A)r(A+E)=n-1，故r(A)=1。由伴随矩阵性质，r(A)=n-r(A)=n-1。正确答案为×。9.设V为n维线性空间，T为V上的线性变换，且T的秩为n-2。则下列说法正确的是T的核维数为2。（）参考答案：√解析：由线性变换的基本定理，T的秩为n-2，则T的核维数为n-(n-2)=2。正确答案为√。10.设α1=(1,1,1),α2=(1,2,3),α3=(1,3,λ)。若α1,α2,α3线性相关，则λ的取值范围是λ=1或λ=2。（）参考答案：√解析：由α1,α2,α3线性相关，可得其行列式|101;011;11λ|=1(λ-1)-0+1(1-0)=λ-1故λ=1。又由α1,α2线性相关，可得1×1=0，矛盾。故λ=2。正确答案为√。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。请将答案写在答题卡上相应的位置。）1.设A为n阶矩阵，且满足A^2=I。若A的特征值只能是1或-1，证明A可对角化。证明：由A^2=I，可得A(A-I)=0。若λ为A的特征值，则λ满足λ(λ-1)=0，解得λ=1或λ=-1。故A的特征值只有1和-1。由n阶矩阵可对角化的充要条件是其特征值的代数重数等于几何重数，而1和-1的代数重数等于几何重数，故A可对角化。2.设α1,α2,α3为三维线性空间V中的三个向量，且线性无关。若向量β可以由α1,α2,α3线性表示，但表示法不唯一，证明α1,α2,α3线性相关。证明：由β可以由α1,α2,α3线性表示但表示法不唯一，可得α1,α2,α3,β线性相关。又α1,α2,α3线性无关，故β可以由α1,α2,α3线性表示且表示系数唯一，矛盾。因此必有α1,α2,α3中两个向量线性相关。3.设A为n阶矩阵，且满足A^2-A=0。若A的秩为n-1，证明A的特征值只能是0或1。证明：由A^2-A=0，可得A(A-E)=0。若λ为A的特征值，则λ满足λ(λ-1)=0，解得λ=0或λ=1。由A的秩为n-1，则A为非零矩阵，故A的特征值只能是0或1。4.设V为n维线性空间，T为V上的线性变换，且T的秩为n-1。证明T的核维数为1。证明：由线性变换的基本定理，T的秩为n-1，则T的核维数为n-(n-1)=1。5.设α1=(1,0,1),α2=(0,1,1),α3=(1,1,λ)。若α1,α2,α3线性无关，证明λ≠5。证明：由α1,α2,α3线性无关，可得其行列式|101;011;11λ|=1(2λ-9)-0+1(3-2)=λ-5故λ≠5。6.设A为n阶矩阵，且满足A^3=0。若A的秩为n-2，证明A的秩最大为n-2。证明：由A^3=0，可得r(A^3)=0。由矩阵乘法秩的性质，r(A^3)≤min{r(A),r(A^2)}，故r(A)=0。由A的秩为n-2，则A的秩最大为n-2。7.设A为n阶正定矩阵，B为n阶可逆矩阵，证明B^TAB仍为正定矩阵。证明：由合同变换性质，若A为正定矩阵，则对任意可逆矩阵B，B^TAB仍为正定矩阵。8.设V为n维线性空间，T为V上的线性变换，且T的秩为n-1。证明T存在非零特征向量。证明：由线性变换的基本定理，T的秩为n-1，则T的核维数为1。取T的核中非零向量β，则β是T的非零特征向量。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分。请将答案写在答题卡上相应的位置。）1.设A为3阶矩阵，且满足A^2-A=0。若A的秩为2，求A的特征值。解：由A^2-A=0，可得A(A-E)=0。若λ为A的特征值，则λ满足λ(λ-1)=0，解得λ=0或λ=1。由A的秩为2，则A为非零矩阵，故A的特征值只能是0或1。又A的秩为2，故A的特征值为1（重数为1），0（重数为1）。2.设α1=(1,0,1),α2=(0,1,1),α3=(1,1,λ)。若α1,α2,α3线性无关，求λ的取值范围。解：由α1,α2,α3线性无关，可得其行列式|101;011;11λ|=1(2λ-9)-0+1(3-2)=λ-5故λ≠5。3.设V为4维线性空间，T为V上的线性变换，且T的秩为3。求T的核维数。解：由线性变换的基本定理，T的秩为3，则T的核维数为4-3=1。4.设A为3阶矩阵，且满足A^2=I。若A的特征值只能是1或-1，求A的行列式。解：由A^2=I，可得A(A-I)=0。若λ为A的特征值，则λ满足λ(λ-1)=0，解得λ=1或λ=-1。由A的行列式等于其特征值的乘积，故|A|=1×1×(-1)=-1。5.设α1=(1,0,1),α2=(0,1,1),α3=(1,1,λ)。若α1,α2,α3线性相关，求λ的取值范围。解：由α1,α2,α3线性相关，可得其行列式|101;011;11λ|=1(2λ-9)-0+1(3-2)=λ-5故λ=1或λ=2。6.设A为3阶矩阵，且满足A^3=0。若A的秩为1，求A的秩最大为1。解：由A^3=0，可得r(A^3)=0。由矩阵乘法秩的性质，r(A^3)≤min{r(A),r(A^2)}，故r(A)=0。由A的秩为1，则A的秩最大为1。7.设A为3阶正定矩阵，B为3阶可逆矩阵，求B^TAB的惯性指数。解：由合同变换性质，若A为正定矩阵，则对任意可逆矩阵B，B^TAB仍为正定矩阵，其惯性指数与A相同。8.设V为3维线性空间，T为V上的线性变换，且T的秩为2。求T的核维数。解：由线性变换的基本定理，T的秩为2，则T的核维数为3-2=1。六、论述题（本大题共11小题，每小题2分，共22分。请将答案写在答题卡上相应的位置。）1.论述线性变换的秩与核维数之间的关系。答：由线性变换的基本定理，线性变换T的秩与核维数之和等于线性空间的维数。即若V为n维线性空间，T为V上的线性变换，则r(T)+dimker(T)=n。这是线性代数中一个非常重要的基本定理，它揭示了线性变换的像空间维数与核空间维数之间的密切关系。2.论述矩阵可对角化的充要条件。答：n阶矩阵A可对角化的充要条件是其特征值的代数重数等于几何重数。具体来说，若A的特征值λ1,λ2,...,λn的代数重数分别为n1,n2,...,nn，且geomi(λi)=n_i，则A可对角化。这个定理在线性代数中非常重要，它为我们提供了一种判断矩阵是否可对角化的有效方法。3.论述正定矩阵的性质。答：正定矩阵具有以下重要性质：（1）正定矩阵是实对称矩阵；（2）正定矩阵的特征值都是正数；（3）正定矩阵的行列式为正数；（4）正定矩阵的逆矩阵仍为正定矩阵；（5）正定矩阵可以通过合同变换化为单位矩阵；（6）正定矩阵的惯性指数为(n,0)，即正惯性指数为n，负惯性指数和零惯性指数都为0。4.论述线性相关与线性无关的区别。答：线性相关与线性无关是线性代数中两个基本概念，它们描述了向量组中向量之间的关系。具体来说：（1）线性相关：若向量组α1,α2,...,αm中存在不全为零的系数k1,k2,...,km，使得k1α1+k2α2+...+kmαm=0，则称该向量组线性相关；（2）线性无关：若向量组α1,α2,...,αm中只有全为零的系数k1,k2,...,km，使得k1α1+k2α2+...+kmαm=0，则称该向量组线性无关。线性相关与线性无关的区别在于：线性相关的向量组中至少存在一个向量可以由其他向量线性表示；而线性无关的向量组中任何一个向量都不能由其他向量线性表示。5.论述矩阵乘法秩的性质。答：矩阵乘法秩的性质主要包括：（1）r(AB)≤min{r(A),r(B)}；（2）若A为可逆矩阵，则r(AB)=r(B)；（3）若B为可逆矩阵，则r(AB)=r(A)；（4）若A为m×n矩阵，B为n×k矩阵，则r(A)+r(B)-n≤r(AB)≤min{r(A),r(B)}。这些性质在线性代数中非常重要，它们为我们提供了一种研究矩阵乘法秩的有效方法。6.论述线性变换的特征值与特征向量的定义。答：在线性代数中，线性变换T的特征值与特征向量是描述线性变换的重要概念。具体来说：（1）特征值：若存在非零向量β，使得T(β)=λβ，则称λ为线性变换T的特征值；（2）特征向量：若存在非零向量β，使得T(β)=λβ，则称β为线性变换T的特征向量。特征值与特征向量之间的关系是：若λ为线性变换T的特征值，则T在特征向量β上的作用相当于将β伸缩λ倍。7.论述矩阵的秩与其伴随矩阵的秩之间的关系。答：矩阵的秩与其伴随矩阵的秩之间有以下关系：（1）若A为n阶矩阵，则r(A)=n-r(A)；（2）若A为n阶可逆矩阵，则A为可逆矩阵；（3）若A为n阶不可逆矩阵，则A的秩为1；（4）若A为n阶矩阵，则AA=|A|E。这些性质在线性代数中非常重要，它们为我们提供了一种研究矩阵秩的有效方法。8.论述线性变换的像与核之间的关系。答：线性变换的像与核之间有以下关系：（1）线性变换T的像是由T的所有特征向量组成的子空间；（2）线性变换T的核是由T的所有特征值为0的向量组成的子空间；（3）线性变换T的像与核的维数之和等于线性空间的维数；（4）线性变换T是可逆的当且仅当T的像等于整个线性空间。这些关系在线性代数中非常重要，它们揭示了线性变换的本质特征。9.论述线性空间中基与维数的定义。答：线性空间中基与维数的定义如下：（1）基：线性空间V中一组线性无关的向量，使得V中任何一个向量都可以由这组向量线性表示；（2）维数：线性空间V的基中所含向量的个数。基与维数是线性代数中两个基本概念，它们描述了线性空间的本质特征。10.论述矩阵的相似变换的性质。答：矩阵的相似变换具有以下重要性质：（1）相似矩阵有相同的特征值；（2）相似矩阵有相同的行列式；（3）相似矩阵有相同的秩；（4）相似矩阵有相同的迹；（5）相似矩阵有相同的特征多项式。这些性质在线性代数中非常重要，它们为我们提供了一种研究矩阵相似变换的有效方法。11.论述线性变换的合同变换的性质。答：线性变换的合同变换具有以下重要性质：（1）合同变换不改变矩阵的秩；（2）合同变换不改变矩阵的惯性指数；（3）合同变换不改变矩阵的正定性；（4）合同变换不改变矩阵的特征值；（5）合同变换不改变矩阵的行列式。这些性质在线性代数中非常重要，它们为我们提供了一种研究矩阵合同变换的有效方法。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.C3.A4.A5.C6.D7.B8.A9.D10.D二、填空题1.12.λ≠53.04.T的核维数为15.λ=1或λ=26.07.λ≠58.相同9.010.T的核维数为1三、判断题1.√2.√3.√4.√5.√6.√7.×8.×9.√10.√四、简答题1.证明：由A^2=I，可得A(A-I)=0。若λ为A的特征值，则λ满足λ(λ-1)=0，解得λ=1或λ=-1。故A的特征值只有1和-1。由n阶矩阵可对角化的充要条件是其特征值的代数重数等于几何重数，而1和-1的代数重数等于几何重数，故A可对角化。2.证明：由β可以由α1,α2,α3线性表示但表示法不唯一，可得α1,α2,α3,β线性相关。又α1,α2,α3线性无关，故β可以由α1,α2,α3线性表示且表示系数唯一，矛盾。因此必有α1,α2,α3中两个向量线性相关。3.证明：由A^2-A=0，可得A(A-E)=0。若λ为A的特征值，则λ满足λ(λ-1)=0，解得λ=0或λ=1。由A的秩为n-1，则A为非零矩阵，故A的特征值只能是0或1。4.证明：由线性变换的基本定理，T的秩为n-1，则T的核维数为n-(n-1)=1。5.证明：由α1,α2,α3线性无关，可得其行列式|101;011;11λ|=1(2λ-9)-0+1(3-2)=λ-5故λ≠5。6.证明：由A^3=0，可得r(A^3)=0。由矩阵乘法秩的性质，r(A^3)≤min{r(A),r(A^2)}，故r(A)=0。由A的秩为n-2，则A的秩最大为n-2。7.证明：由合同变换性质，若A为正定矩阵，则对任意可逆矩阵B，B^TAB仍为正定矩阵。8.证明：由线性变换的基本定理，T的秩为n-1，则T的核维数为n-(n-1)=1。取T的核中非零向量β，则β是T的非零特征向量。五、应用题1.解：由A^2-A=0，可得A(A-E)=0。若λ为A的特征值，则λ满足λ(λ-1)=0，解得λ=0或λ=1。由A的秩为2，则A为非零矩阵，故A的特征值只能是0或1。又A的秩为2，故A的特征值为1（重数为1），0（重数为1）。2.解：由α1,α2,α3线性无关，可得其行列式|101;011;11λ|=1(2λ-9)-0+1(3-2)=λ-5故λ≠5。3.解：由线性变换的基本定理，T的秩为3，则T的核维数为4-3=1。4.解：由A^2=I，可得A(A-I)=0。若λ为A的特征值，则λ满足λ(λ-1)=0，解得λ=1或λ=-1。由A的行列式等于其特征值的乘积，故|A|=1×1×(-1)=-1。5.解：由α1,α2,α3线性相关，可得其行列式|101;011;11λ|=1(2λ-9)-0+1(3-2)=λ-5故λ=1或λ=2。6.解：由A^3=0，可得r(A^3)=0。由矩阵乘法秩的性质，r(A^3)≤min{r(A),r(A^2)}，故r(A)=0。由A的秩为1，则A的秩最大为1。7.解：由合同变换性质，若A为正定矩阵，则对任意可逆矩阵B，B^TAB仍为正定矩阵，其惯性指数与A相同。8.解：由线性变换的基本定理，T的秩为2，则T的核维数为3-2=1。六、论述题1.答：由线性变换的基本定理，线性变换T的秩与核维数之和等于线性空间的维数。即若V为n维线性空间，T为V上的线性变换，则r(T)+dimker(T)=n。这是线性代数中一个非常重要的基本定理，它揭示了线性变换的像空间维数与核空间维数之间的密切关系。2.答：n阶矩阵A可对角化的充要条件是其特征值的代数重数等于几何重数。具体来说，若A的特征值λ1,λ2,...,λn的代数重数分别为n1,n2,...,nn，且geomi(λi)=n_i，则A可对角化。这个定理在线性代数中非常重要，它为我们提供了一种判断矩阵是否可对角化的有效方法。3.答：正定矩阵具有以下重要性质：（1）正定矩阵是实对称矩阵；（2）正定矩阵的特征值都是正数；（3）正定矩阵的行列式为正数；（4）正定矩阵的逆矩阵仍为正定矩阵；（5）正定矩阵可以通过合同变换化为单位矩阵；（6）正定矩阵的惯性指数为(n,0)，即正惯性指数为n，负惯性指数和零惯性指数都为0。4.答：线性相关与线性无关是线性代数中两个基本概念，它们描述了向量组中向量之间的关系。具体来说：（1）线性相关：若向量组α1,α2,...,αm中存在不全为零的系数k1,k2,...,km，使得k1α1+k2α2+...+kmαm=0，则称该向量组线性相关；（