线性代数期末考试试卷-答案合集详解

XXX大学线性代数期末考试题

一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分）

1.若，贝IJ。

2.若齐次线性方程组只有零解，则应满足,

3.已知矩阵，满足，则与分别是阶矩阵。

4.矩阵的行向量组线性。

5.阶方阵满足，则。

二、判断正误（正确的在括号内填，错误的在括号内填“X”。每小题2分，共10分）

1.若行列式中每个元素都大于零，则。一）

2.零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。....

3.向量组中，如果与对应的分量成比例，则向量组线性相关。..）

4.，则。）

5.若为可逆矩阵的特征值，则的特征值为...）

三、单项选择题（每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10

分）

1.设为阶矩阵，且，则...）。

①2"②③2向④4

2.维向量.（....n）线性无关的充要条件是...）o

①四，…，%中任意两个向量都线性无关

②四，a2，…，％中存在一个向量不能用其余向量线性表示

③%,a?，…，%中任一个向量都不能用其余向量线性表示

④%,a,,---,中不含零向量

3.下列命题中正确的是...）..................

①任意〃个〃+1维向量线性相关

②任意〃个〃+1维向量线性无关

③任意〃+1个〃维向量线性相关

④任意〃+1个〃维向量线性无关

4.设，均为.阶方阵，下面结论正确的是...）。

①若，均可逆，则可逆②若，均可逆，则可逆

③若可逆，则可逆④若可逆，则，均可逆

5.若是线性方程组的基础解系，则是的..）

①解向量②基础解系③通解④A的行向量

四、计算题（每小题9分，共63分）

1.计算行列式。

解.

x-\-abcdx+a+b+c+dbed

ax+bcdx+a+O+c+"x+bcd

abx+cdx+a+b+c+dbx+cd

ahcx+dx+〃+Z?+c+dbcx+d

\bcd\bcd

1x+bcd0x00

={x+a+b+c+d)=(x+a+〃+c+d)=(x+a+b+c+d)x

1bx+cd00x0

1bcx+d000.v

2.设，且.求,,

解.,

3.设.且矩阵满足关系式.求。

4.问取何值时，下列向量组线性相关？。

5.为何值时，线性方程组有唯一解，无解和有无穷多解？当方程组有无穷多解时求其通解。

①当且时，方程组有唯一解；

②当4=一2时方程组无解

③当时，有无穷多组解，通解为

6.设.求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。

7.设，求的特征值及对应的特征向量。

王、证明题（7分）

若是阶方阵，且证明。其中为单位矩阵。

XXX大学线性代数期末考试题答案

一、填空题

1...2...3..4.相..

5.

二、判断正误

1••••■«••«4...5..X

三、单项选择题

1...2.........3..4..........5..①

网、计算题

1.

x-\-abcdx+a+b+c+dbed

ax+bcdx+a+O+c+"x+bcd

abx+cdx+a+b+c+dbx+cd

ahcx+dx+〃+Z?+c+dbcx+d

\bcd\bcd

1x+bcd0x00

={x+a+b+c+d)=(x+a+〃+c+d)=(x+a+b+c+d)x

1bx+cd00x0

1bcx+d000.v

2.

3.

12-341000

023200

C-B=，(c-B)=

00I123210

00i014321

10001000

-200-2100

,X=E

1-2101-210

0-201-21

4.

当或时，向量组线性相关。

5.

①当且时，方程组有唯一解:

②当；1二一2时方程组无解

③当时，有无穷多组解，通解为

6.

121312131213

4901001-4-201-4-2

(%，，%)=->->

1-1-3-70-3-4-1000-16-16

0-3-1-70-3-1-700-13-13

100-2

0102

=0011

0000

则，其中构成极大无关组,

7.

2-100

\AE-A\=0A-10=(4-1)3=0

0-2A-1

特征值，对于入1=1,,特征向量为

王、证明题

|A+Z|=|A+A4[=即+A,|=-(/+A)=-(/+A)

一、选择题(本题共4小题，每小题4分，满分16分。每小题给出的四个选项中，只有一

项符合题目要求)

1、设，为n阶方阵，满足等式，则必有()

(A)A=0或3=0;⑻A+B=0；(C)网=0或同=0;(D)|A+@=0。

2.和均为阶矩阵，且，则必有()

(A...(B)..(C.…(D.o

3、设为矩阵，齐次方程组仅有零解的充要条件是()

(A)A的列向量线性无关；(B)A的列向量线性相关；

(C)A的行向量线性无关；(D)A的行向量线性相关.

4.阶矩阵为奇异矩阵的充要条件是()

(A)A的秩小于n；(B)|工0；

(0A的特征值都等于零；(D)A的特征值都不等于零；

二、填空题(本题共4小题，每题4分，满分16分)

5.若4阶矩阵的行列式，是A的伴随矩阵，则=o

6.为阶矩阵，且，则。

7、已知方程组无解，则。

8、二次型是正定的，则的取值范围是。

三、计算题(本题共2小题，每题8分，满分16分)

1+X111

11-x11

9、计算行列式。=

111+)，1

1111-y

10、计算〃阶行列式

%+3x2…

%x,+3•••

x?…xn+3

四、证明题(本题共2小题，每小题8分，满分16分。写出证明过程)

11、若向量组线性相关，向量组线性无关。证明：

(1)%能有%，%线性表出；

(2)%不能由四,巴,巴线性表出。

12.设是阶矩方阵，是阶单位矩阵，可逆，且。

证明

(1)(E+/(A))(E+A)=2E；

(2)f(f(A))=Ao

五、解答题(本题共3小题，每小题12分，满分32分。解答应写出文字说明或演算步骤)

13、设，求一个正交矩阵使得为对角矩阵。

14.己知方程组与方程组有公共解。

求。的值。

15.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知，，是它的三个解向量，且

(1\(\\

2

，%+%

43

4

求该方程组的通解。

解答和评分标准

一、选择题

1.C；2.D；3.A；4.Ao

二、填空题

5.-125;6.7、-1；8、

三、计算题

9、解：第一行减第二行，第三行减第四行得:

xx00

1111

D=

00yy

111\-y

第二列减第一列，第四列减第二列得：（4分）

按第一行展开得

-X10

D=x0y0

01一y

按第三列展开得

—x0

D=-xy=x2y\（4分）

1J

10、解：把各列加到第一列，然后提取第一列的公因子，再通过行列式的变换化为上三

角形行列式

1%...4

一.“+城"..%

（4分）

\•••

1x2…xn4-3

1x2…z

仆JO3...0

00...3

=3”T停;+3）（4分）

四、证明题

11.证明：

（1）、因为线性无关，所以线性无关。，

又线性相关，故能由线性表出。（4分）

r（at,a2,4）=3,

（2）、（反正法）若不，则能由线性表此

不妨设a4=kxax+A2a2+k3a、。

由（1）知，能由线性表出,

不妨设%=乙。2+Z2a3。

所以=k1(4％+，2%)+k2al+23a39

这表明线性相关，矛盾。

12.证明

(1)(£+f(A))(E+A)=[E+(E-A)(£+A)-'](E+A)

=(E+A)+(E—A)(E+A)T(E+A)=(E+A)+(E—A)=2E（4分）

⑵f(f(A))=[E-f(A)][E+f(A)]-]

由(1)得：，代入上式得

/6A))=[E-(Ed)(E+A)\#E+A)=gE+4)-(E-A)(E+A)《(E+A)

=；(E+A)—g(E—A)=A（4分）

五、解答题

13廨:

（1）由得的特征值为，，（4分）

（2）的特征向量为,

的特征向量为，

0

4=5的特征向量为&1（3分）

1

（3）因为特征值不相等，则正交。（2分）

（4）将单位化得，，（2分）

010

11

⑸取。=（/不〃2，必）=0

F正

i1

0

\»2五

」00、

(6)P-'AP=020（1分）

1005,

14.解：该非齐次线性方程组对应的齐次方程组为

AY=0

因，则齐次线性方程组的基础解系有1个非零解构成，即任何一个非零解都是它的

基础解系。（5分）

另一方面，记向量，则

=A（2〃[一％—）=2A7-A-A=2b-b-b=O

直接计算得，就是它的一个基础解系。根据非齐次线性方程组解

的结构知，原方程组的通解为

.o（7分）

15、解：将①与②联立得非齐次线性方程组：

X1+x2+x3=0,

x[+2X2+ax3=0,

2

x}+4X2+ax3=0,

X1+2X2+x3=a-\.

若此非齐次线性方程组有解.则①与②有公共解.且③的解即为所求全部公共解.

对③的增广矩阵A作初等行变换得：

......................（4分）

1°当时，有，方程组③有解，即①与②有公共解，其全部公共解即为③的通解，此

时

‘1010、

_0100

A—>f

0000

、0000,

则方程组③为齐次线性方程组，其基础解系为:

所以①与②的全部公共解为，k为任意常数.・・・・（4分）

2°当时，有，方程组③有唯一解，此时

000、

0101

A->9

001-1

000,

故方程组③的解为：.即①与②有唯一公共解・・（4分）

线性代数习题和答案

第一部分选择题（共28分）

单项选择题（本大题共14小题.每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题

目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。

1.设行列式=m,=n,则行列式等于（）

.A.m+nB.-（m+n）

.C.n-mD.m-n

2.设矩阵A=,则A-1等于（）

.A.B.

.C.D.

3.设矩阵人=,A*是A的伴随矩阵，则A*中位于（1,2）的元素是（）

.A.-6B.6

.C.2D.-2

4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC,则必有（）

.A..-0B.BC时A-0

.C.A0时B=CD.|A|0时B=C

5.已知3X4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（AT）等于（）

.A.lB.2

.C.3D.4

6.设两个向量组al,a2,…，as和Bl,B2,…，Bs均线性相关，则（）

A.有不全为0的数人I,A2,,,,,入s使入la1+X2a2+…+入sas=0和人1BI+人2B2+…1sBs=0

B.有不全为。的数人1,A.2,,,,,入s使入1(al+Bl)+入2(。2+82)+…+入s(as+Bs)=0

C.有不全为0的数人1,X2,…，入s使入1(al-Bl)+X2(a2-B2)+…+Xs(as-Bs)=0

D.有不全为。的数人1,入2,…，人s和不全为0的数u1,42,…,ns使入1a1+入2a2+•••+入sas=0

和uIB1+u2B2+—+us3s=0

7.设矩阵A的秩为r,则A中（)

A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0

C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为0

8.设Ax=b是一非齐次线性方程组,ni,n2是其任意2个解，则下列结论错误的是

A.ni+n2是Ax=o的一个解ni+?112是Ax=b的一个解

22

c.n1-n2是Ax=o的一个解D.2nI-n2是Ax=b的一个解

9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）

A.秩（A）＜nB.秩（A尸n—I

C.A=OD.方程组Ax=O只有零解

10.设A是一个n（23）阶方阵，下列陈述中正确的是（）

A.如存在数人和向量a使Aa=入a,则a是A的属于特征值X的特征向量

B.如存在数X和非零向量a,使（入E-A）a=0,则入是A的特征值

C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量

D.如入I,入2,入3是A的3个互不相同的特征值，al,a2,a3依次是A的属于入1,入2,入3的特

征向量，则a2,a3有可能线性相关

11.设X0是矩阵A的特征方程的3重根,A的属于X0的线性无关的特征向量的个数为k,则必有（）

.A.k<3B.k<3

Ck=3D.k>3

12.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）

AJA/必为1B.|A|必为1

C.A-'=ATD.A的行（列）向量组是正交单位向量组

13.设A是实对称矩阵,C是实可逆矩阵,B=CTAC.则（）

A.A与B相似

.B.A与B不等价

.C.A与B有相同的特征值

.D.A与B合同

14.下列矩阵中是正定矩阵的为：)

’10()、’111'

C.02-3D.120

<0-35；<102,

第二部分非选择题（共72分）

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格

内。错填或不填均无分。

111

15.356=.

92536

16.设A=,B=.则A+2B=

17.设A=(aij)3X3,|A|=2,Aij表示|A|中元素aij的代数余子式(i,j=l,2,3),则

(allA21+al2A22+al3A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2二

I8设向量(2,-3,5)与向量(-4,6,a)线性相关，则户

19.设A是3X4矩阵，其秩为3,若n1,U2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解

为

20.设A是mXn矩阵，A的秩为r（＜n）,则齐次线性方程组Ax=O的一个基础解系中含有解的个数

为.

21.设向量a、B的长度依次为2和3,则向量a+B与a-B的内积（a+B,a-B）=

22.设3阶矩阵A的行列式|A|=8,已知A有2个特征值-1和4,则另一特征值为

23.设矩阵人=，已知。=是它的一个特征向量，则。所对应的特征值为

24.设实二次型f（xl,x2,x3,x4,x5）的秩为4,正惯性指数为3,则其规范形为

三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）

25.设A=,B=.求（I）ABT；（2）|4A|.

31-12

-5|3-4

26.试计算行列式；；；:.

1-53-3

27.设矩阵A=,求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B.

28.给定向量组a1=,a2=,a3=,a4=.

试判断a4是否为al,a2,a3的线性组合；若是，则求出组合系数。

'1-2-102、

-2426-6

29•设矩阵人=27。23.

,33334,

求：⑴秩（A）；

（2）A的列向量组的一个最大线性无关组。

30.设矩阵A=的全部特征值为1,1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D,使T-IAT=D.

31.试用配方法化下列二次型为标准形

f（xl,x2,x3）=,

并写出所用的满秩线性变换。

四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）

32.设方阵A满足A3=0,试证明E-A可逆，且（E-A）-"E+A+A2.

33.设n（）是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，口，32是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明

（I）n1=00+41,n2=no+a2均是Ax=b的解；

（2）no,n1,n2线性无关。

答案：

一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）

1.D2.B3.B4.D5.C

6.D7.C8.A9.A10.B

11.A12.B13.DI4.C

二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分）

15...16...17...18.・I..I9.ni+c（n2-n1）（或n2+c（n2-n1））,C为任意常数

2O.n-„21.-..22.-..23...24.

三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）

20Y2—2、86、

25.解⑴ABT=340341810

1-12\)0>、310>

(2)|4A|=43|A|=64|A|t而

|A|=..所以14Al=64・(-2)=-128

3-I51-1

5

-5i3-1113-62

26.解-1-620=30+10=40.

20I001-5

-5-50-5-50

1-53-5-53

27.解AB=A+2B即(A-2E)B=A,而

(223、一-4-3、

(A-2E)-'=1-10-5-3

<-121,64>

-4-3Y423、‘3-8-6、

所以B=(A-2E)-*A=1-5-3102-9-6

k-164>23>1-2129；

-230、3-2、1035、<1035、

1-30-110-1020112

28.解一

022401200880011

、34-19><013-112;<00-14-14><0000;

所以a4=2a1+a2+a3,组合系