经济数学学习指导

经济数学基础学习指导

【学习进度安排表】（供参考，可酌情自行安排）

每年上半年和下半年各安排一次考试，分别1.1-1.20,7.1-7.20

在6月份和12月份，每各学期的学习时间为

5个月，分别安排如下（其中的（1.1）表示

1月1号，其它类似）

第一章极限与连续

第二宣导数与微分1.21-2.10.7.21-8.10

第三章导数的应用2.11-3.1,8.11-8.31

第四章不定积分3.2—3.20,9.1-9.20

第五章定积分3.21-4.10,9.21-10.10

第六章多元函数微分学4.11-4.30,10.11-10.31

复习，潴备考试5.1-,11.1-

希望同学们在学习的时候，认真看视频课件，每一章的最后几次课，都是对参考书（高等教

育出版社顾静相《经济数学基础（上册）》第二版）上的习题的讲解，希望大家在看

完有关章节的内容后，自行完成对应本节内容的习题，完成习题后，对于有疑问的地方，

可以直接看这部分课件的相应内容，对于这部分课件，不一定安顺序来看，可以作为大家

查阅题目解法的资料来用，但是，要求大家一定要自己做过题日之后，再来看这一部分课

件，即使作不出来，只要思考了，再看一下这部分课件，就可以起到事半功倍的效果。

【章节知识点和重点难点】

第一章极限与连续

【知识点】

函数、极限

【重点难点】

本章主要讲述了函数和极限两个问题。

1.函数

理解函数概念首先应该明确它是不同于相关关系的确定性关系，其次要能正确确定函

数的定义域和判断它的值域，理解函数符号f的含义。

在理解函数概念的基础上，还要进一步掌握函数几种特怛的表达式和几何意义，反函

数的概念，分段函数的概念和求值得方法，六类基本初等函数的性质和图像，复合函数和初

等函数的概念。

2.极限

（1）在了解数列极限的定义、函数极限的定义（六种形式）、极限存在的充分必要条件

的基础上，掌握极限的运算法则和下列求极限的方法：

（2）利用函数的连续性求极限

（3）设f（X）是初等函数，定义域为，若，则。我们知道求函数值一般是不需要技

巧的，因此这种求极限的方法是非常容易掌握的,它是求极限的苜选方法。

当函数y=f（x）在点处连续时，可以交换函数符号和极限符号，即

limf(x)=f(limx)

X->XQ

（4）利用无穷小与有界变量的乘积仍是无穷小求极限。

（5）利用无穷小量与无穷天量的倒数关系求极限。

利用以下两个重要极限及其推论求极限，即

（i）:（ii）或，及其推论:

sinkx,tankx

lim--------=k,hm--------(k00)

XA-M)X

(a,b,c为常数)

对于有理分式的极限，可以按照下面归纳的方法来求。

（I）时，当分母极限不为零时，可直接利用函数的连续性求极限。当分母极限为零时,

又分为两种情况：如果分子极限不为零，则由无穷小量与无穷大量的倒数关系可得原式的极

限为无穷大；如果分了•极限也为零，则分解因式，消去无穷小量因了•后再求极限。

（2）时，有下面的结论：

0n<m

limaoe+a/i+…+a「

a。n=m

mm|

…M+b1x-+...+bmb。

00n>m

函数概念和极限概念相结合的出的函数连续性的概念是本章的另一个重要概念，函数

连续性这部分主要应掌握函数在点连续的两个等价定义、函数在点连续和在该店极限存

在的关系、判断间断点的条件和初等函数的连续性。

【课程自主学习要求】

1.了解反函数、函数的单调性、奇偶性、有界性、周期性的概念：左、右极限的概念：无穷

小、无穷大的概念；闭区间上连续函数的性质。

2.理解函数、基本初等函数、复合函数、初等函数、分段函数的概念；需求函数与供给函数

的概念：函数极限的定义：无穷小的性质：函数在一点连续的概念：初等函数的连续性。

3.掌握复合函数的复合过程；极限四则运算法则。

4.会用函数关系描述经济问题；对无穷小进行比较；用两个重要极限求极限：判断间断点的

类型；求连续函数和分段函数的极限。

【课程章节作业】

1.求函数的定义域。

2.设，求。

设，则=（）.

3、下列函数中,哪两个函数是相等的函数：

.A.与

.B.与

4、设，求函数的定义域及。

5.下列函数中，（）是偶函数。

・.A.B.

..C.D.

6.将复合函数分解成简单函数。

7、生产某种产品的固定成本为1万元，每生产一个该产品所需费用为20元，若该产品出

售的单价为30元，试求：

（1）生产x件该种产品的总成本和平均成本：

（2）售出x件该种产品的总收入；

（3）若生产的产品都能够售出，则生产件该种产品的利润是多少？

8、求下列极限：

,、rj9+sin3x-。sin(x-1)

(1)lim--------------(2)hm——；-----

xIx~-1

x2+COS2x-1

(3)lim(l-2x)v(4)hm------------

I*(x+sinx)"

(5)lim(xev+—!—)14

(6)lim(--------------)

ix-1tx—2x2-4

9、填空、选择题

(1)下列变量中，是无穷小量的为()

.A..«■

..C...D.

(2)下列极限计算正确的是()。

A.limxsin—=limxlimsin—=0

x->0xXT。NT)X

..B.

..C.

..D.

(3)当()时，在处连续。

..A.0B.-1.C.2.D.1

10、已知f(x)=±±,求：f(0),f('),f(-x),f(^),f(x+l),f(x2).

14-X2X

IL下列各函数对中，()中的两个函数相等.

A.B.,+1

C.D.,

（提示：两个函数相等，就是它们的定义域、值域和对应法则都一样）

】2.下列结论中，（）是正确的.

A.基本初等函数都是单调函数B.偶函数的图形关于坐标原点对称

C.奇函数的图形关于坐标原点对称D.周期函数都是有界函数

13.下列函数中为奇函数的是（）.

A.B.C.D.

14.若函数，则（）成立.

A.f(-1)=f(0)B.f(0)=f(1)C.f(-1)=f(3)D.f(-3)

=f(3)

第二章导数与微分

【知识点】

导数、微分

【重点难点】

本章主要介绍了导数和微分的概念及计算方法.

I.基本概念

导数是一种特殊形式的极限，即函数的改变量与自变量的改变量之比当自变量的改变量

趋于零时的极限.

微分是导数与函数自变量的改变量的乘积或者说是函数增量的近似值.

几何意义：

/(Xo)是曲线)，=/(X)在点［/,/(.%))处的切线的斜率.

dy是曲线y=/(x)在点(%,/'(%))处的切线纵坐标对应于Z的改变量.

△y是曲线y=/(x)在点与处可导，则y=/(x)在点/处一定连续.反之，y-7(x)在点

.%处连续时，则不一定可导.

2.基本计嵬方法

本章最主要的计算是能够运用导数基本公式和运算法则(特别是乘枳和商的运算法则),

求简单函数和发合函数的导数.

求高阶导数和微分的方法与求导数的方法类似.较特殊的有

隐函数求导法:设方程F(x,)，)=O表示自变量为x因变量为y的隐函数，并旦可导，利用

复合函数求导公式将所给方程两边同时对x求导，然后解方程求出y;

对数求导法:对于两类特殊的函数，可以通过两边取对数,转化成隐函数，然后按隐函数求

导的方法求出导数y.

3.简单应用

导数:曲线y=/(x)在点加。(用,光)处的切线方程为

y-y0=f'(x0)(x-x0)

微分:当AN很小时，有近似公式

△)，dy=f(x)A^v

这个公式可以直接用来计算增量的近似值，而公式

/(X+叔)nf(x)+/(x)ZLr

可以用来计算函数的近似值.

【课程自主学习要求】

了解导数、微分的几何意义、经济意义：函数可导、可微、连续之间的关系：高阶导数

的概念。

理解导数和微分的概念。

掌握导数、微分的运算法则；导数的基本公式；复合函数的求导法则。

导数与微分的概念是建立在极限概念的基础上的，它是研究函数性态的有力工具。本章

将介绍导数与微分的概念，计算导数与微分的基本公式和方法。

【课程章节作业】

1.填空、选择题

(1).设，则()o

..A.不存在.RC.D.

(2)设，则()o

..A.B.C.D.不存在

极限lim

(3)或缙四曲=()

&T0

A...B.cosxOC.sinx..D.不存在

(4)设在处可导,且，则()。

..A.不存在B.C.0D.任意

(5)曲线在点(L0)处的切线是()

..A…B..

..C..D.

(6)函数/(x)=4在点所16处的导数值;(16)=(

2.求下列导数或微分:

(1)设，求：

(2)设，求y(

(3)设隐函数.

(4)设，求。

3.填空、选择题

(1)若，则().

A.B.

C.C.

(2)已知函数y=/(x)的微分dy=2xdx,则/-()o

A.0B.2xC.2D.x2

(3)(lncosx)r=()。

•■A.•B..C..D.

(4)若可导，且，则下列不等式不正确的是(

..A...B.

C.D.

(5)若函数f(x)在点xO处可导，则()是错误的.

A.函数f(x)在点xO处有定义B..但

C.函数f(x)在点xO处连续D.函数f(x)在点xO处可微

第三章导数的应用

【知识点】

罗尔定理、拉格朗日中值定理、

洛必达法则、

利用导数判断函数的单调区间、凹向区间及求•元函数极值和，乍函数图形的方法

【重点难点】

1.中值定理(见下面框图)

罗尔定理拉格朗日柯西定理

条件：条件：条件：

(1)/(X)在［〃，司上连(1)/(X)在［。,句上连(1)fW»g(x)在

续续

［。,以上连续

(2)/")在(出份内可(2)/(外在(外加内可

(2)/(x),g(x)在

导导

结论：

(3)f［a)=f(b)(。,力内可导

(a,b)内至少存在一点

结论：

----------->--------------►<3)g(x)wO

<------<-------------

(。涉)内至少存在一点&，使

结论：

<，使/")=0八内至少存在一点

b-a

推论1若f(x)=0,贝J久使

fM=c/⑹一/⑷fC)

g(b)-g(a)g'4)

推论2若/(x)=g'(幻

则/(x)=g(x)+C

2.洛必达法则：若分式是型或型未定式，而且，则有

lim=lim=A(或8)

v(.r)v(x)

上述公式对X->与和XT00都成立。

3、导数在研究函数特性方面的应用及函数作图

(1)判断函数的单调区间设函数/(©在区间(。力)内可导。

如果在内，，那么函数在区间内单调增加：如果在内，，那么函数在区间

内单调减少。

(2)求函数的极值设，当由小增大经过点时，若由正变负，则是极大值点；若

由负变正，则是极小值点：若不改变符号，则不是极值点。

或用二阶导数的符号判断：若，则函数在点处取得极大值；若，则函数在点处取

得极小值。

（3）求函数在闭区间上的最大值和最小值用函数的极值（或驻点的函数值）和端点值相

比较求得。

（4）判断曲线的凹向区间和拐点在某个区间内，如果，则曲线上凹：如果，则曲线F

凹。改变符号的点为曲线的拐点。

（5）求曲线的渐近线若，则为曲线的水平渐近线；若，则为曲线的铅锤渐近线。

（6）函数的作图问题是在以上（1）,（2）,（3）,（4）,（5）各问题讨论的基础上，列

表、画图。

4.导数在经济问题中的应用

（1）边际成本，边际收入，边际利润。

（2）需求弹性，供给弹性。

【课程自主学习要求】

了解罗尔定理和拉格朗日中值定理.

理解函数极值的概念.

掌握求函数的极值，判断函数的增减与函数图形的凹向,求函数图形的拐点等方法.

会用导数关系描述边际,弹性等概念;描绘函数的图形;用洛必达法则求未定式的极限.

【课程章节作业】

1.（1）在指定区间［-10,10］内，函数（）是单调增加的。

..A.B.C.D.

（2）函数f（x）=x—lnx的单调增加区间是（）。

（3）若，则是函数的（）.

A.极大值点B.最大值..C.极小值点.D.驻点

（4）若某商品的需求量c对价格p的函数q=100•（）P,则需求量对价格的弹性

EP=

2.经济应用题

1.生产某种产品台时的边际成本（元/台），固定成本500元，若已知边际收入为

试求

（1）获得最大利润时的产量；

（2）从最大利润的产量的基础再生产100台，利润有何变化？

•.2.设某产品的成本函数为

（万元）

其中q是产量，单位：台。求使平均成本最小的产量。并求最小平均成本是多少？

..3.生产某种产品的固定费用是1000万元，每多生产1台该种产品，其成本增加10万元，

又知对该产品的需求为.=120-2.（其中q是产销量，单位：台：p是价格，单位：万元）.求

（1）使该产品利润最大的产量：

（2）使利润最大的产量时的边际收入.

第四章不定积分

【知识点】

不定积分、基本积分公式、换元积分法、分部积分法、一阶微分方程

【重点难点】

I.原函数与不定积分的概念

设函数是定义在某区闾上的已知函数，如果存在一个函数，对于该区间上每一点

都有，则称是在该区间上的一个原函数。

)(X)的不定积分是/(x)的全部原函数。即

j/(.xk£r=F(x)+C

2.不定积分的性质

不定积分与求导数或微分互为逆运算。

两个函数之和的不定积分等于各自积分的和。

被枳函数的非零常数因子可移到积分号外。

3.换元积分法

第一换元法：设，则

Jf[(p(x)](p(x)dx=jf[(p(x)]d(p(x)=F[(p(x)]+C

其中可导，连续。

第二换元法：设,可导，连续，

Jf(x)dx=Jf[(p(t)](p(t)dt

=F(/)+C=F[^-,(x)]+C

4.分部积分法

Judv=MV-Jvdu

5.一阶微分方程

变量已分离的微分方程一般形式为

f(x)dx=g(y)dy

两边枳分可求得方程的通解。

•阶线性非齐次方程•般形式为

y+p(x)y=q(x)

可用常数变易法或公式法求其通解。

6、积分表

不定枳分的计算比较灵污，计算量较大。为了方便，往往把常用的枳分公式汇集在一起,

称为积分表，读者应熟记基本积分表。另•些常用积分公式则列表如下，计算有关积分时，

可查表直接应用这些公式：

1.Jtanxdx=-ln|cosx|+C

2.jcotxclx=ln|sinx|+C

3.JsecxtZr=ln|sec.r+tanA|+C

4.jescxdx=In|cscx-cotx|+C

5.jarcsinxdx=xarcsinx+V1-x1+C

6Jarccosxdx=xarccosx-xj\-x2+C

7.jarctanxdx=xarctanx-Invl+x2+C

8.Jarccotxdx=xarccotx+\n>J\+x2+C

r1,1x

9.-------ax=—arctan—4-C

Ja~+x~aa

r1,1,x-a-

10.-------dx=—In------+C

Jx~-a2ax+a

r1,.x

11.1,dx-arcsin—4-C

J77^7a

..12.

..13.

【课程自主学习要求】

理解原函数和不定积分的概念

掌握不定枳分的基本公式，掌握不定枳分的换元枳分和分部枳分法

了解不定积分的经济应用

了解微分方程的概念。会解简单的一阶微分方程

【课程章节作业】

1.填空、选择题

(1)若，贝IJ()成立.

A.B.

C.D.

(2)如果，则f(x)=().

A.2sin2..B.-2cos2..C.—2sin2..D.2cos2x

(3)已知，那么常数2=().

A•••a•B•1•••D•

(4)().

..A.B.

C.D.

(5).设是函数的一个原函数，则=().

..A...B..

•••D.

(6)设的一个原函数是，则().

・・A.B.C.D.

(7)设函数，则=().

A.x2+..B...C....D...

..(8).已知=sin..c,则f[x)=..)

.A…B.xsin....C…D.xcos.

2、试证明与是同一函数佗原函数.

3.计算下列积分

广]_X+灯一丁」

（I）------；-----dx(2)

Jr

（3）[sinxcos*xdx(4)jxsin(l-x)clr

第五章定积分

【知识点】

定枳分、变上限定积分、牛顿―莱布尼茨公式、定积分在经济管理中的应用、平而图形的而

积计算

【重点难点】

1.定积分的概念

函数在区间上的定积分是通过积分和的极限定义的：

岫=黜之/C

这与不定积分的概念是完全不同。通过牛顿-莱布尼茨公式，可以利用不定积分来计凫定积

分，从而建立了两个概念间的狭系。

2.定积分的性质

定积分的性质（见5.1.3性质1-7）在积分的理论和计克中具有弟要的应用。除了上述

性质外，以下结论在积分计算书也有重要应用：

（I）定积分的值仅依赖于被积函数和积分区间，与积分变量的选取无关。即

（2）交换定积分的积分上、下限，定积分变号，即

^fMdx=-[hf（xyix

特别地，当时，有

fJa/UWx=0

（3）对于定义在上的连续奇（偶）函数，有

「部@）为奇函数；

J/''一外公当/Xx）为偶函数.

3.变上限的定积分

如果函数在上连续，则函数

①（幻=，xe[a.b]

以X为积分上限的定积分的导数等于被积函数在上限X处的值.即

°。)=[[/«)可=/U)

一般地，如果可导，则

[『)")力m)Ag⑴

4.牛顿-莱布尼茨公式

设函数在区间上连续，a是的一个原函数，则

〕：/(%)小=尸(力)一尸(〃)

这一公式说明：只需计算的一个原函数或不定积分，就可以求得在区间上的

定积分。

5.定积分的计算

(1)定积分的换元积分法。用换元积分法计算定积分时，应注意定理5.3的条件，特别

是变换的单调性，并与不定枳分的换元法相区别。

(2)定积分的分部积分法。

6.无限区间上的广义积分

无限区间上的广义积分，原则上是把它化为一个定积分，再通过求极限的方法确定该广

义积分是否收敛。在广义积分收敛时，就求出了该广义积分的值。

7.定积分的应用

定枳分可应用于求平面图形的而枳，或在已知某经济函数的变化率或边际函数时，求总

量函数或总量函数在一定范围内的增量。

【课程自主学习要求】

理解定枳分的概念，掌握定枳分的基本性质

掌握变上限定积分的导数计算方法。

熟练运用牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式计算定积分，熟练掌握定积分的换元积分

法和分布枳分法。

了解定积分在经济管理中的应用，会利用定积分计算平面图形的面积。

【课程章节作业】

1.填空、选择题

(I)积分=().

(2)().

(3)若广义积分，则a=().

A.......B.......C.2……D.-l

(4)=().

.A.—In(x2+1....B.ln(x2+L.

...C.ln(x2+I)2...D.—In(x2+I)2x

(5)下列微分方程中()为一阶线性微分方程.

A.B、

C.D.

2.计算下列定积分

(3)

3.求曲线与直线及所围成平面图形的面积.

4.应用题

已知某产品的边际成本=2(元/件)，固定成本为0,边际收益，其中x为产量.求：

(I)产量为多少时利润最大？

(2)在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？

5、方程是阶微分方程.

6.求解初值问题

7、求微分方程满足初始条件的特解.

第六章多元函数微分学

【知识点】

空间直角坐标系、多元函数、二元函数的偏导数和全微分、隐函数和复合函数的微分法、二

元函数极值

【重点难点】

1.空间直角坐标系

空间直角坐标系的引入，使空间中的点与有序实数组(x,y、z),空间中的曲面与方程F

(x,y,z)=0建立了相应的对应关系。这为研究二元函数性质提供「直观的几何解释。

2.二元函数的极限和连续

二元函数的定义与一元函数的定义类似，但更应注意它们之间的差异。一元函数的定义

域是数轴上的点集，二元函数的定义域一般是平面上的点集。在讨论一元函数在处的极限

和连续性时，点x趋于的方式仅有从点的左、右两个方向沿数轴趋于：但在讨论二元

函数在点处的极限和连续性时，点(x.y)趋于，则可以有无穷多种方式和路径在平面上

趋于。因此.对二元函数极限和连续问题的讨论要比一元函数负杂得多。

3.偏导数和全微分

求二元函数偏导数时，只需将一个自变量看作常数，对另一自变量运用一元函数求导公

式和四则运算法则即可。但是，二元函数偏导数的存在不能保证二元函数连续。这与一元函

数可导必连续是完全不同的。

二元函数的全微分概念类似于一元函数。在一元函数微分学中，可导即可微。但是，在

二元函数中，两个偏导数存在，也不能保证函数f(x,y)在点(x,y)处可微。而f(x,y)

在点(x,y)处可微时，则偏导数存在，并且全微分