2026新高二数学暑假专题：解三角形的五大秒杀技（原卷版）

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暑假作业06解三角形的五大秒杀技：射影定理、

中线定理、角平分线定理、张角定理、平行四边形定理

【知识点1射影定理】

在ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.

证△明：如图，记AB=c，BC=a，AC=b，作ADBC于点D,

则BCBDDCABcosBACcosC,

即accosBbcosC,同理可证b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.

【知识点2中线定理】

1.中线长定理

1

ABC中,AD是边BC上的中线，则AD2BD2(AB2AC2).

2

2.中线向量定理

在ABC中，若点D是BC的中点，则＝＋)，

1

两边平方后，得｜｜＝＋��2(·���，�就可以得到中线、∠A及其两邻边的关系.

2

122

【知识点3角平分线��定理】4����+2����

1．角平分线定理

ABDB

在ABC中，BAC的平分线交BC于点D（如图），则有.

ACDC

1/8

【证明】因为ADBADCπ，所以sinADBsinADC，

ABDB

在BAD中使用正弦定理有，

sinADBsinBAD

ACDC

在CAD中使用正弦定理有，又BADCAD，

sinADCsinCAD

ABDB

所以.

ACDC

SABBD

该结论也可以由两三角形面积之比得证，即ABD.

SACDACCD

2.常见推论：

BAC

（）2bccos；

1AD2

bc

（2）AD2ABACBDCD（库斯顿定理）；

ABS

（3）ABD.

ACSACD

BAC

（4）SSSABADADAC2ABACcos（等面积法）.

ABCABDACD2

【知识点4张角定理】

1.张角定理

在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若D为BC上一点（如图），且BAD，CAD，

sinsinsin

则有．

ADbc

111

【证明】因为S△S△S，所以bcsinADcsinADbsin，于是等式两边同

ABCABDACD222

1sinsinsin

除以bcAD得．

2ADbc

2.张角定理与角平分线的长

2/8

特别地，如果在ABC中，角B，C所对的边分别为b，c，BAC的平分线交BC于点D，根据张角

BACBAC

sinsin

定理就会有sinBAC，再使用二倍角公式得到

22

ADbc

BACBACBACBACBAC

2sincossinsin，加以化简也就得到2bccos，即

2222AD2

ADbcbc

BAC1ADAD

cos()，根据这个思路我们就可以处理与角平分线长相关的问题了．

22bc

【注】张角定理在选择、填空题中直接用就行，但是在解答题中使用之前需要推理一下．

【知识点5平行四边形定理】

1．平行四边形定理

若四边形ABCD为平行四边形（如图），则AB2BC2CD2DA2AC2BD2．

2．定理的证明

【证明】因为四边形ABCD是平行四边形，所以ABCD，BCDA，

且ABCBCDπ，在ABC中使用余弦定理有AC2AB2BC22ABBCcosABC，

在△BCD中使用余弦定理有BD2BC2CD22BCCDcosBCD，

所以AC2BD2AB2BC2CD2DA2．

【题型1射影定理的应用】

1．（25-26高一下·山东青岛·期中）已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边，若cacosB，则ABC

的形状为（）

A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形

2．(2023·全国乙卷)在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acosB－bcosA＝c，且C＝，

π

则B＝()△5

A..C.D.

ππ3π2π

10B.5105

3/8

4．在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，c＝acosB＋2cosA，2b＝c，若cosC＝－，则ABC

1

的面积△为.4△

【题型2中线定理的应用】

1．（2025·广东汕头·二模）在ABC中，AD为BC边上的中线，AB3，AC2，则ADBC的值为（）

1155

A．B．C．D．

2222

2．在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a2b)sinA(cb)(sinCsinB)，设D

是AB的中点，若CD1，则ABC面积的最大值是．

3．(2023·新高考Ⅱ卷)记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC面积为，D为BC的

中点，且AD＝1.△△3

(1)若ADC＝，求tanB；

π

(2)若∠b2＋c2＝38，求b，c.

4．（25-26高一下·四川宜宾·期中）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，向量

pa，c2b,qcosC，cosA，且pq

(1)求角A的值；

19

(2)若c3,AD是BC边上的中线，AD，求ABC的面积．

2

5．（25-26高一下·贵州毕节·阶段检测）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，

23

sin2Asin2Bsin2CsinAsinBsinC.

3

3c2a2b2

(1)证明：sinC；

2ab

(2)求C；

7

(3)若c19，边AB上的中线CD，求边a，b的长.

2

【题型3角平分线定理的应用】

2

1．（2026·甘肃武威·模拟预测）在ABC中，BAC，AD是BAC的平分线，BD2CD，AB3，

3

则sinABC（）

212136

A．B．C．D．

14744

2π

2．（25-26高一下·重庆·阶段检测）在ABC中，BAC，AB3，BC19，BAC的平分线AD

3

交BC于点D，则AD______．

4/8

3．(2025·山东泰安模拟)已知ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b(sinB＋sinC)＝(a－c)(sinA＋sin

C).△

(1)求A；

(2)A的平分线AD交BC于D点，9b＋c＝64，求AD的最大值.

4（25-26高一下·浙江嘉兴·阶段检测）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b6，

2ab2ccosB，

(1)求角C的大小；

(2)若点D在边AB上，CD为ACB的平分线，且CD23，求边长a的值．

【题型4张角定理的应用】

22

1．在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知点D在BC边上，ADAC，sinBAC，

3

△⊥∠

AB32，AD=3，则CD=（）

A.23B.33C.4D.6

2．在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，点D在边BC上，BDBC，ABC120，AB3，

BD1，则CD______.

3．在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，ABC120，ABC的平分线交AC于点D，且BD1，

则ac的最小值为______.

π

4．在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，AD是BAC的角平分线，若BAC，AD23，

3

则2bc的最小值为.

【题型5平行四边形定理的应用】

1．在ABC中，a1，b3，c边上的中线长为1，则ABC的外接圆的半径长为．

1

2．在ABC中，a7,S63,cosB.

ABC7

（1）求b；

（2）求AC边上的中线长.

3．（2026·四川绵阳·模拟预测）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asinB3bcosA，

5/8

c6，a7b.

(1)求b的值；

(2)若D是BC边的中点，求AD的值.

23a2b2

4．已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sinC2cosA

3bc

（1）求角B的大小；

（2）若B为钝角，ABC为等腰三角形，且BC边上的中线长为7，求ABC的周长.

1．（25-26高一下·吉林延边·期中）在ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若acosBbcosAc，且

2π

C，则B（）

5

ππ3π2

A．B．C．D．

105105

＋

2．已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，acosB＋bcosA＝3，且sin2＝，b＝3，则ABC

��3

的形状为△()24△

A.直角三角形B.钝角三角形

C.等边三角形D.等腰直角三角形

3．在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝bcosC＋csinB，且ABC的面积为1＋，

则b的△最小值为()△2

A.2B.3C.D.

3．（2026·陕西延安·模拟预测）已知2的内角，，的对边3分别为，，，若，，

，是中点，则（）△𝐴��������=72sin�=3sin�

π

�=A3．2�𝐴B�．�=C．D．

1719

252

4．（2026·湖南邵阳·模拟预测）已知在中，，，.若的角平分线交边

1

于点，则（）△𝐴�𝐴=4𝐴=6cos�=8△𝐴�𝐴

��A．�𝐴=B．C．D．

12839

55532

6/8

5．（多选）（25-26高一下·吉林长春·期中）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且

A2B2C，2b3c，D为线段BC上的一点，则下列结论正确的是（）

2π

A．A

3

195

B．ABC的周长为c

2

19

C．若AD为ABC的中线，则ADc

4

3

D．若AD为ABC的角平分线，则ADc

5

6．（多选）（25-26高一下·山东潍坊·阶段检测）已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，下

面四个结论正确的是（）

A．“AB”是“sinAsinB”的必要不充分条件

B．若(ab):(bc):(ca)5:6:7，则ABC为钝角三角形

π

C．若B，a23，且ABC有两解，则b的取值范围是(3,23)

3

1519

D．在ABC中，AD是BC边的中线，若BAC120，且ABAC，AB5，则AD

22

7.（25-26高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知

32

bcosAacosB2ccosC，ABC的面积为，则a2b2的最小值为__________

2

8．（25-26高一下·山东滨州·期中）如图，设ABC的内角A，B，C所对的边分别为

π

a，b，c，3acosCccosA2bsinB，且A．若点D是ABC外一点，DC1，DA2，则四边形ABCD

3

面积的取值范围为___________．

9．（25-26高一下·吉林·期中）在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且2abcosCccosB．

(1)求角C的大小；

(2)若c4，ABC的面积为43，求该三角形的周长

(3)若a5，b3，CD为ACB的平分线，求CD的长．

7/8

10．（25-26高一下·四川达州·期中）在ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，且ctanB(2ac)tanC，

b23.

(1)求角B的大小；

(2)若AC边上的中线BD6，求A