2026年山西省北师大版高中数学第5章函数性质综合测试卷

2026年山西省北师大版高中数学第5章函数性质综合测试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=x³-3x+1，则f(x)在区间(-2,1)上（）A.既有极大值又有极小值B.只有极大值C.只有极小值D.无极值解析：f′(x)=3x²-3，令f′(x)=0得x=±1，f(-1)=3，f(1)=-1，f(-2)=-5，f(1)=1，在(-2,-1)上f′(x)>0，(-1,1)上f′(x)<0，(1,+∞)上f′(x)>0，故f(x)在x=-1处取得极大值3，在x=1处取得极小值-1，符合选项A。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为（）A.1B.3C.2D.0解析：f(x)表示数轴上点x到1和-2的距离之和，当x=-2时，f(x)取得最小值3，选项B正确。3.若函数f(x)=x²+2ax+3在x=1处取得最小值，则a的值为（）A.-1B.1C.-2D.2解析：f′(x)=2x+2a，令f′(1)=0得a=-1，此时f(1)=2，符合题意，选项A正确。4.函数f(x)=ln(x²-2x+3)在区间(0,3)上的单调性为（）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增解析：x²-2x+3=(x-1)²+2>0，f(x)在(0,3)上单调递增，选项A正确。5.函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则a的值为（）A.eB.1/eC.2eD.e²解析：f′(x)=e^x-a，令f′(1)=e-a=0得a=e，选项A正确。6.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的最大值为（）A.3B.2C.5D.6解析：f′(x)=3x²-6x+2，令f′(x)=0得x=1±√3/3，f(-1)=-4，f(1)=-1，f(1+√3/3)≈3.1，f(1-√3/3)≈0.1，f(3)=6，最大值为6，选项D正确。7.函数f(x)=sin(x)+cos(2x)在区间[0,π/2]上的最大值为（）A.1B.√2C.√3D.2解析：f′(x)=cos(x)-2sin(2x)=cos(x)-4sin(x)cos(x)=cos(x)(1-4sin(x))，令f′(x)=0得sin(x)=1/4或sin(x)=1，x=π/2时取得最大值1，选项A正确。8.函数f(x)=x/(x²+1)在区间(-∞,0)上的单调性为（）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增解析：f′(x)=(x²+1-2x²)/(x²+1)²=-x²+1)/(x²+1)²，在(-∞,0)上f′(x)>0，单调递增，选项A正确。9.函数f(x)=x³-3x+1的图象关于点(1,0)对称的充要条件是（）A.f(1-x)=f(1+x)B.f(1-x)=-f(1+x)C.f(1+x)=f(1-x)D.f(1+x)=-f(1-x)解析：f(x)关于(1,0)对称等价于f(1+x)=-f(1-x)，选项D正确。10.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间(1,2)上的零点个数为（）A.0B.1C.2D.3解析：f′(x)=3x²-6x+2，f(1)=0，f(2)=0，f(x)在(1,2)上单调递减，零点唯一，选项B正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x+1的极值点为_________参考答案：x=1解析：f′(x)=3x²-3，令f′(x)=0得x=±1，f(-1)=3，f(1)=-1，x=1处取得极小值-1，x=-1处取得极大值3。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间(-∞,+∞)上的最小值为_________参考答案：3解析：f(x)表示数轴上点x到1和-2的距离之和，最小值为两点间距离3。3.函数f(x)=x²+2ax+3在x=1处取得最小值，则f(0)的值为_________参考答案：5解析：a=-1，f(x)=x²-2x+3，f(0)=3-0+3=5。4.函数f(x)=ln(x²-2x+3)在区间(1,2)上的单调性为_________参考答案：单调递增解析：x²-2x+3=(x-1)²+2>0，f(x)在(1,2)上单调递增。5.函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则f′(0)的值为_________参考答案：1解析：a=e，f(x)=e^x-ex，f′(x)=e^x-e，f′(0)=1-e+e=1。6.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的最大值为_________参考答案：6解析：f(3)=27-27+6=6，f(-1)=-4，f(1)=-1，f(2)=0，最大值为6。7.函数f(x)=sin(x)+cos(2x)在区间[0,π/2]上的最大值为_________参考答案：1解析：f(π/2)=1+0=1，f(0)=0+1=1，f(π/4)=√2/2+√2/2=√2，最大值为1。8.函数f(x)=x/(x²+1)在区间(-1,1)上的值域为_________参考答案：(0,1/2]解析：f′(x)=1/(x²+1)²>0，f(x)在(-1,1)上单调递增，f(-1)=1/2，f(1)=1/2，值域为(0,1/2]。9.函数f(x)=x³-3x+1的图象关于点(1,0)对称的充要条件是_________参考答案：f(1+x)=-f(1-x)解析：f(x)关于(1,0)对称等价于f(1+x)=-f(1-x)。10.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间(0,1)上的零点个数为_________参考答案：1解析：f(0)=0，f(1)=0，f′(x)=3x²-6x+2，f(x)在(0,1)上单调递减，零点唯一。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x+1在区间(-∞,+∞)上无极值点。参考答案：×解析：f′(x)=3x²-3，令f′(x)=0得x=±1，f(-1)=3，f(1)=-1，x=-1处取得极大值3，x=1处取得极小值-1。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间(-∞,+∞)上单调递增。参考答案：×解析：f(x)在(-∞,-2)上单调递减，(-2,1)上单调递减，(1,+∞)上单调递增。3.函数f(x)=x²+2ax+3在x=1处取得最小值，则a=-1。参考答案：√解析：f′(x)=2x+2a，令f′(1)=0得a=-1。4.函数f(x)=ln(x²-2x+3)在区间(0,2)上单调递增。参考答案：√解析：x²-2x+3=(x-1)²+2>0，f(x)在(0,2)上单调递增。5.函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则a=e。参考答案：√解析：f′(x)=e^x-a，令f′(1)=0得a=e。6.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的最大值为6。参考答案：√解析：f(3)=6，f(-1)=-4，f(1)=-1，f(2)=0，最大值为6。7.函数f(x)=sin(x)+cos(2x)在区间[0,π/2]上的最大值为√2。参考答案：×解析：f(π/2)=1+0=1，f(0)=0+1=1，最大值为1。8.函数f(x)=x/(x²+1)在区间(-1,1)上单调递增。参考答案：√解析：f′(x)=1/(x²+1)²>0，f(x)在(-1,1)上单调递增。9.函数f(x)=x³-3x+1的图象关于点(1,0)对称的充要条件是f(1-x)=-f(1+x)。参考答案：×解析：充要条件为f(1+x)=-f(1-x)。10.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间(0,1)上的零点个数为2。参考答案：×解析：f(0)=0，f(1)=0，f′(x)=3x²-6x+2，f(x)在(0,1)上单调递减，零点唯一。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的极值点。参考答案：x=-1处取得极大值3，x=1处取得极小值-1。解析：f′(x)=3x²-6x+2，令f′(x)=0得x=1±√3/3，f(-1)=3，f(1)=-1，x=-1处取得极大值3，x=1处取得极小值-1。2.求函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间(-∞,+∞)上的最小值及取得最小值时的x值。参考答案：最小值为3，取得最小值时x=-2。解析：f(x)表示数轴上点x到1和-2的距离之和，最小值为两点间距离3，取得最小值时x=-2。3.求函数f(x)=x²+2ax+3在x=1处取得最小值时，a的值及函数的最小值。参考答案：a=-1，最小值为2。解析：f′(x)=2x+2a，令f′(1)=0得a=-1，f(x)=x²-2x+3，f(1)=2-2+3=2。4.求函数f(x)=ln(x²-2x+3)在区间(1,2)上的单调性。参考答案：单调递增。解析：x²-2x+3=(x-1)²+2>0，f(x)在(1,2)上单调递增。5.求函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值时，a的值及函数的极值。参考答案：a=e，极值为e-e=0。解析：f′(x)=e^x-a，令f′(1)=0得a=e，f(x)=e^x-ex，f(1)=e-e=0。6.求函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的最大值及取得最大值时的x值。参考答案：最大值为6，取得最大值时x=3。解析：f(3)=27-27+6=6，f(-1)=-4，f(1)=-1，f(2)=0，最大值为6。7.求函数f(x)=sin(x)+cos(2x)在区间[0,π/2]上的最大值及取得最大值时的x值。参考答案：最大值为1，取得最大值时x=π/2。解析：f(π/2)=1+0=1，f(0)=0+1=1，f(π/4)=√2/2+√2/2=√2，最大值为1。8.求函数f(x)=x³-3x+1的图象关于点(1,0)对称的充要条件。参考答案：f(1+x)=-f(1-x)。解析：f(x)关于(1,0)对称等价于f(1+x)=-f(1-x)。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)=x³-3x²+2x，求f(x)在区间[-1,3]上的最大值和最小值。参考答案：最大值为6，最小值为-4。解析：f(-1)=-4，f(1)=-1，f(2)=0，f(3)=6，最大值为6，最小值为-4。2.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，求f(x)在区间(-∞,+∞)上的最小值及取得最小值时的x值。参考答案：最小值为3，取得最小值时x=-2。解析：f(x)表示数轴上点x到1和-2的距离之和，最小值为两点间距离3，取得最小值时x=-2。3.已知函数f(x)=x²+2ax+3在x=1处取得最小值，求a的值及函数的最小值。参考答案：a=-1，最小值为2。解析：f′(x)=2x+2a，令f′(1)=0得a=-1，f(x)=x²-2x+3，f(1)=2-2+3=2。4.已知函数f(x)=ln(x²-2x+3)，求f(x)在区间(1,2)上的单调性。参考答案：单调递增。解析：x²-2x+3=(x-1)²+2>0，f(x)在(1,2)上单调递增。5.已知函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，求a的值及函数的极值。参考答案：a=e，极值为e-e=0。解析：f′(x)=e^x-a，令f′(1)=0得a=e，f(x)=e^x-ex，f(1)=e-e=0。6.已知函数f(x)=sin(x)+cos(2x)，求f(x)在区间[0,π/2]上的最大值及取得最大值时的x值。参考答案：最大值为1，取得最大值时x=π/2。解析：f(π/2)=1+0=1，f(0)=0+1=1，f(π/4)=√2/2+√2/2=√2，最大值为1。7.已知函数f(x)=x³-3x²+2x，求f(x)在区间(0,1)上的零点个数。参考答案：1个零点。解析：f(0)=0，f(1)=0，f′(x)=3x²-6x+2，f(x)在(0,1)上单调递减，零点唯一。8.已知函数f(x)=x³-3x+1，求f(x)的极值点及极值。参考答案：x=-1处取得极大值3，x=1处取得极小值-1。解析：f′(x)=3x²-3，令f′(x)=0得x=±1，f(-1)=3，f(1)=-1，x=-1处取得极大值3，x=1处取得极小值-1。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.B3.A4.A5.A6.D7.A8.A9.D10.B解析：2.f′(x)=3x²-3，令f′(x)=0得x=±1，f(-1)=3，f(1)=-1，在(-2,-1)上f′(x)>0，(-1,1)上f′(x)<0，(1,+∞)上f′(x)>0，故f(x)在x=-1处取得极大值3，在x=1处取得极小值-1，符合选项A。3.f(x)表示数轴上点x到1和-2的距离之和，最小值为两点间距离3，选项B正确。4.f′(x)=2x+2a，令f′(1)=0得a=-1，此时f(1)=2，符合题意，选项A正确。5.x²-2x+3=(x-1)²+2>0，f(x)在(0,3)上单调递增，选项A正确。6.f′(x)=e^x-a，令f′(1)=e-a=0得a=e，选项A正确。7.f′(x)=3x²-6x+2，f(3)=6，f(-1)=-4，f(1)=-1，f(2)=0，最大值为6，选项D正确。8.f′(x)=cos(x)-4sin(x)cos(x)=cos(x)(1-4sin(x))，令f′(x)=0得sin(x)=1/4或sin(x)=1，x=π/2时取得最大值1，选项A正确。9.f′(x)=-x²+1)/(x²+1)²，在(-∞,0)上f′(x)>0，单调递增，选项A正确。10.f(x)关于(1,0)对称等价于f(1+x)=-f(1-x)，选项D正确。11.f(1)=0，f(2)=0，f′(x)=3x²-6x+2，f(x)在(1,2)上单调递减，零点唯一，选项B正确。二、填空题1.x=112.313.514.单调递增15.116.617.118.(0,1/2]2.f(1+x)=-f(1-x)20.1三、判断题1.×22.×23.√24.√25.√26.√27.×28.√29.×30.×解析：2.f′(x)=3x²-3，令f′(x)=0得x=±1，f(-1)=3，f(1)=-1，x=-1处取得极大值3，x=1处取得极小值-1，故错误。3.f(x)在(-∞,-2)上单调递减，(-2,1)上单调递减，(1,+∞)上单调递增，故错误。4.f′(x)=2x+2a，令f′(1)=0得a=-1，故正确。5.x²-2x+3=(x-1)²+2>0，f(x)在(0,2)上单调递增，故正确。6.f′(x)=e^x-a，令f′(1)=0得a=e，故正确。7.f(3)=6，f(-1)=-4，f(1)=-1，f(2)=0，最大值为6，故正确。8.f(π/2)=1+0=1，f(0)=0+1=1，最大值为1，故错误。9.f′(x)=1/(x²+1)²>0，f(x)在(-1,1)上单调递增，故正确。10.f(x)关于(1,0)对称等价于f(1+x)=-f(1-x)，故错误。11.f(0)=0，f(1)=0，f′(x)=3x²-6x+2，f(x)在(0,1)上单调递减，零点唯一，故错误。四、简答题1.f′(x)=3x²-6x+2，令f′(x)=0得x=1±√3/3，f(-1)=3，f(1)=-1，x=-1处取得极大值3，x=1处取得极小值-