考研数学一（向量代数和空间解析几何、多元函数微分学）模拟试卷1

考研数学一（向量代数和空间解析几

何、多元函数微分学）模拟试卷1

一、选择题（本题共3题，每题1.0分，共3分。）

丁+尸（*,））/（0,0）,

1、设f（x,y）="，（"。）=（仇°），则f（x,y）在点（0,0）处

A、连续，偏导数存在.

B、连续，偏导数不存在.

C、不连续，偏导数存在.

D、不连续，偏导数不存在.

标准答案：C

知识点解析：暂无解析

y二■产，

2、在曲线z=P的所有切线中，与平面x+2y+z=4平行的切线

A、只有一条.

B、只有两条.

C、至少有三条.

D、不存在.

标准答案：B

知识点解析：暂无解析

3、设r（u）#）,x（）2+y（）2^0,则曲面'=，"）上点P（）（xo,yo,z（））（z（）=

八收+招））处的法线与z轴的关系是

A、平行.

B、异面直线.

C、垂直相交.

D、不垂直相交.

标准答案：D

知识点解析：暂无解析

二、填空题（本题共8题，每题1.0分，共8分。）

4、已知ak{1,2,-3},a2={2,一3,x},a3={一2,x,6}.⑴如aila2,则

x=；(II汝Ilailla3，则x=；(IH)Sllai，az，a3共面，则

x=.

4

标准答案：6,--3(口双二一4.(111)*二一4或一6.

知识点解析：暂无解析

rx-y=6,

X7-1=七V-=5丁Z与+8直L-^-线4414I

l2y♦z=3

5、直线Li：的夹角为.

标准答案：T

知识点解析：两条直线的夹角也就是这两条直线方向向量的夹角，L]的方向向量

S|={1,一2,1}已知，对L2应通过方程转换化其为标准方程或参数方程来求L?

X=1+6,

{y=«.

._工=-2«3,得到L2的方向向量

aSi・S]II-311宣

S2={h1,一2}.由于St\\S2\&&2所以L]与L2的夹角是3

6、与a尸{1,2,3},a2={1>—3,12}都垂直的单位向量为_______.

±±11,1,TI

标准答案：耳

知识点解析：用叉积，因为axb按定义与a,b都垂直，而

ij*

a,xa2=123=5i+5j-5A，

1-3-2可见与ai，a2都垂直的向量是c=l(i+j—

-7^7上勾1J,TI.

k)(l为任意常数).再将其单位化I”即为所求.故应填：百

7、两个平行平面口|：2x—y—3z+2=0,|~|2：2x—y—3z—5二0之间的距离是

d=|2x(-I)+(-1)xO+(-3)xO-5|

标准答案：々+(-1产+(-3户

知识点解析：暂无解析

8、设(ax0)•尸2,KiJ[(a+p)x(p+7)].(y+a)=

标准答案：4.

知识点解析：暂无解析

9、经过两个平面ni：x+y+l=O,F12：x+2y+2z=0的交线，并且与平面口3：2x一

y—z=0垂直的平面方程是.

标准答案：3x+4y+2z+2=0

知识点解析：暂无解析

2L-Z-二及/.Lil-_£JL3

10、经过点A(—1,0,4),与直线Li：I一2_3以，2_I_4

都相交的直线L的方程是.

■+1_JL_

标准答案：2-2--1

知识点解析：暂无解析

11、经过点A(—1,2,3),垂直于直线L：4-5-6且与平面p|：

7x+8y+9z+10=0平行的直线方程是.

4#+5y+6z-24=0,

17……16=0.

知识点解析：用交面式.所求直线在过点A以L的方向向量S={4,5,6)为法向

量的平面”1上，也在过A点以fl的法向量n={7,8,9}为法向量的平面02

上.山：4(x+l)+5(y-2)4-6(z—3)=0,口2：7(x+l)+8(y-2)+9(z-3尸0,故所

j4x+5y+6i-24=0.

求直线方程为l7“+8y+9z・36=0.

三、解答题(本题共29题，每题1.0分，共29分。)

12、试举例说明(a邛)x"ax(pxy).

标准答案：在平面门上取三个彼此不平行的向量a,p,y.于是ax。与阶丫都是平

面n的法向量.按叉积的定义，(axp)xy与ax(pxy)都是平面n上的向量.前者垂直

于Y，后者垂直于a,显然它们不相等.

知识点解析：暂无解析

13、已知a={2,—1,1},p={l,3,—1},试在a,B所确定的平面R内求与a

垂直的单位向量/

iJA

2-11

标准答案：n=axp=1-1={-2,3,7}是平面n的法向量，设尸{x,y,

(2x-y+z=0,

-2x+3y+7z=0,得通解k(5,8,—2)二再单位化得

知识点解析：暂无解析

14、证明(a,p,y)2<a2p2y2,并且等号成立的充要条件是a,p,丫两两垂直或者

a,仇丫市有零向量.

标准答案：按定义|a邛|=|aMsinOi，(a,p,y)=|axp|.|y|cose2,其中0】是a与。的夹

角，。2是axp与丫的夹角，从而(a,卜

丫)2=网饷2卜后出201cos2()20aF|铲|峭=『的2,等号成立的充要条件是

、、外=三

sin29|=I=cos202-由此得2，。2=0或兀.即al。，且axp//y,于是即得结

论.

知识点解析：暂无解析

I_2_Jx-1_y+1_z-2

15、证明T=T=T*2：一「=一厂=1一是异面直线，并求公垂线

方程及公垂线的长.

标准答案：L1的方向向量S1万1,2,3(,经过点P|(0,0,0),L2的方向向量

S2={1，1，1}，经过点P2(l，一1，2).由于

-12

(尸岛⑸岛)=123=-500,

11所以LL2是异面直线.公垂线L的方

7*

SHS]xS[=23■|-1,2»-1|t

向向量S与S|,S2都垂直，令那么，经

x-0y-02-O

123=0

过Li并且与S平行的平面口1的方程为-I2整理得4x+y—

x-Iy+Iz-2

111=0.

2z=0.经过L2并且与S平行的平面门2的方程为-12-1整理得x

-z+i=o.而平面“I与n2的交线即是Li与L2的公垂线L.故

L(4x+y-2z=0,3=1(瓶，"2)|_£

1-z+l=0.公垂线的长为―一I5|xS2|一一面.

知识点解析：暂无解析

1——1_y__z-1

16、求直线：一厂一丁一丁厂在平面口：x—y+2z—1=0上的投影直线Lo的方

程，并求反绕y轴旋转一周所成曲面的方程.

标准答案：经过L作平面ni与n垂直，则ni与n的交线就是L在n上的投影.L

的方向向量s={i,1,—1),n的法向量n={i,—1,21是平面n】上的两个不共

—\

线向量，点Po(l,0,1)是L上一定点.设P(x,y,z)是01上任一点，则仍oP，S，"

y

%：=o,

-12

共面，即即x—3y—2z+l=0.所以L在门上的投影是

Jr-y+2z-I=0,

lx-3y-+1=0.

知识点解析：暂无解析

[F(cx,cy)=0.

17、设a,b,c为非零常数，求以曲线「L=°为准线，母线平行于

l=(a,b,c)的柱面S的方程.

标准答案：1。过「上V点(xo,y0,0),以l=(a,b,c)为方向向量的直线方程是

x=x()+ta.y=y()+tb,z=tc,cxi)=cx—az,cy()=cy—bz这些直线即柱面S上的点(x,

y,z)满足F(cxo,cyo)=F(cx—az,cy—bz)=0.即S上V点(x,y,z)满足F(cx—

az,cy一bz)=O.2。设V(xo，yo，zo)满足方程F(cxo-azo，cyo—bzo)=O,要证

(x(),yo，zo)在柱面S

上.

c“o—az。=exrex—az=ex*

9=(*•,0)在准线r上=(*o，，o.*o)在直线['上

cy-bz=cy•ley-bz=cy*

1Q0

iJ*

/=c0-a=c(a,6,c),

该直线的方向向量°c-b(xo,yo,%)在柱面S上.因此，

柱面S的方程是F(cx-az,cy—bz)=O.

知识点解析：暂无解析

18、求下列极限:

标准答窠：

X

因此，/二门.

而5也.。』|小”因此原极限为°.

知识点解析•：暂无解析

limf

19、证明极限(r)7。。)/♦」不存在.

标准答案：(x,y)沿不同的直线y=kx趋于(0,0),有

lim=lim=l>m=0.

(«,y)-*<o.o»x2+v«-*oxJ1+Jkx>-o1+AZ”3,人“*7"，十

y・h再令(x,y)沿抛物线y-=x趋于

1

lim--=lim—

(0.0)4=T'

(0,0),有八，由二者不相等可知极限

lim工

GMT0.0)4+f不存在.

知识点解析：暂无解析

20、求下列函数在指定点处的二阶偏导数：

(1)z=arrtan工，求注;(0)z=e-"sin二.求也'

1-打*(o,o)ydxdy

标准答案:⑴按定义

dx(x,0)dtId.d(arctanx)I

-Z—=T-=L"z0)=-------3-------=-------r.

2

axdxI(x,o)dxdxJ+x

的=色/更以")|=±i_J\-2xI

故=

2222

9*(o.o>d八dx/I«-o<k\l+x/t=()(1+x)|

(n)”…吁+(e%。吁片•L(+。吟-血日,

将上式对,求导，得急-7COS7-78in7(_?)_cos7(-?)]>

把x=2,y=~L代入上式.得点.

e-2(-ir:cos2<n+2”)・沁2a+2TT2COS2IT)=(四).

行.力(2±)

知识点解析：暂无解析

21、设z=f(u,v,x),u=(p(x,y),v=w(y)都是可微函数，求复合函数z=f((p(x,

更与更

y),W(y),x)的偏导数"打

%/空0噂+6=/噌/

更=/;"+/;“(，)•

标准答案：由复合函数求导法可得力71dy

知识点解析：暂无解析

22、设u=f(x,y,z,t)关于各变量均有连续偏导数，而其中由方程组

rv2+yz-zr=0.

'①包与独

"+zsim=0确定z,t为y的函数，求""打

曳

dx也

市

也

一

一

dr一J/

心

小

dr打d/

标准答案:注意z=z(y),t=i(y),于是3y因此,我们

业-包

还要求,而,后将方程组①两边对y求导得

2y♦2+

&

_+(_k

+ZCO*—=®,

dydy*b

2X•\出

7d-zd-t1c*1d_z

d=-(2y+z),(/e*/而

dydy0.

记系数

行列式为W=(y—t")(ez+zcost)+2zt(tez+sint),则

虫=-(2,+z)-2it%一T2y+Z)3+ZCO&)

*'0e*♦zcostI/»

d-t(2y+z)U—+sinr)

dy

sinf0~W

代人②得如=亚+与"［更(川+sin/)-孝(e'+zcoat)j.

力dyWIat

知识点解析：暂无解析

23、设u=u(x,y)有二阶连续偏导数,证明:在极坐标变＜x=rco二,y=rsinO下有

d2Ud2Ud2U1duId2u

*♦彳=尸府,

标准答案：利用复合函数求导公式，有

duduHxHudy.du.八du

=.-♦--=costf一+sin"-,

drdxdrdydrdxd)(•)

dududxdady♦-du八du

==-rsinG——+rcos0-,

d6dx0。dydOdxdy

d2u

…吗㈢*W信1c小咕+2a加优8。悬+”帝

dr2

d2u

前…公唱偿)…'啕/…。g…附翁*

再呜管)呜信)用复合函数求导法及(*＞式可洱

=(-rsin^'2^-7-2r2sindcos^°"+(rcostf)2—-r—.

HO2Hx2dxdydy2dr

22222

II.J_al_d*ud"1duHndududuIduIdu

知识点解析：暂无解析

24、设z(z,y)=x3+y3~3xy(I)^-a)<x<+<»,-coVyV+幻，求z(x,'的驻点与极

值点.(H)D={(x,y)|0<x<2,-2<y<2},求证：D内的唯一极值点不是z(x,y)在

D上的最值点.

f—=3x2-3y=0

dx

—=3/-3x=0

标准答案：⑴解方程组I力得全部驻点(()，0)与(1,1).再求

弯=6以正=・=6y

dx2dxdy

考察

'AR\t0-32

(0,0)处(=tAC-B<0=(0,0)不是极值点.

Cl।「30

-3

<Ai62

(1.1)处(=tAC-B>0.4>0=(LI)是极小位点.

、RClI-36因此z(x,

y)的驻点是(0,0),(1,1),极值点是(1,1)且是极小值点.(II)D内唯一极值点

(I,1)是极小值点,z(l,1)=-1.D的边界点(0,一2)处.z(0,-2)=(-2)3=-

8Vz(1,1)因z(x,y)在有界闭区域D上连续，必存在最小值，又z(O,-2)<

知识点解析：的无解析

25、求函数z=x?y(4—x—y)在由直线x+y=6,x轴和y轴所围成的区域D上的最

大值与最小值.

标准答案：区域D如图8.1所示，它是有界闭区域.z(x,y)在D上连续，所以在

D上一定有最大值与最小值，它或在D内的驻点达到，或在D的边界上达到.为

azdz

求D内驻点，先求dx=2xy(4-x-y)-x2y=xy(8—3x-2y),行=x2(4—x—y)

r3x+2y=8.

-x2y=x2(4-x-2y).再解方程组h+2y=4•'得z(x,y)在D内的唯一驻点

(x,y)=(2,1)且2(2,1)=4.图8.।在D的边界y=0,叱xW6或

x=0,0<y<6上z(x,y)=0；在边界x+y=6(gx&6)上将y=6-x代入得z(x,y)=x2(6

-x)(一2尸2(x3一6x2),owx三6.令h(x)=2(xS-6x2),贝！h,(x)=6(x2—4x),

h'(4)=0,h(0)=0,h(4)=-64,h(6)=0,即z(x,y)在边界x+y=6(0Sx£6)上的最大值

因此.maxz(x.y)4,minz(x,y)=-64.

为0,最小值为一64.D

知识点解析：暂无解析

26、已知平面曲线Ax2+2Bxy+c/=l(C>0,AC—B?>。)为中心在原点的椭圆，求

它的面积.

标准答案：椭圆上点(x,y)到原点的距离平方为d2=x2+y2,条件为Ax?+2Bxy+Cy2

—1=0.令F(x,y,X)=x2+y2-Z(Ax2+2Bxy+Cy2—1),解方程组

F\=(2-24A)x-2B\y=0.①

=-2BAx+(2-2CA)y=0,②

=-(Ax2+2Bxy♦Cy2-I)=0,③将

①式乘x,②式乘y,然后两式相加得|(1—*A人*一BAxy]+[—*BXxy+(I一

CX)y2]=O,B|Jx2+y2=X(Ax2-»-2Bxy+Cy2)=X,于是可得d=4,从直观知道，函数

d2的条件最大值点与最小值点是存在的，其坐标不同时为零，即联立方程组

Fx』O,Fy=O有非零解，其系数行列式应为零，即

1-44-BA.由1.2A-¥CI_«

=0,亦即A------------+--------------J=0•

1-CA4。-夕〃'-R该方程一定有两个根

为，入2，它们分别对应『的最大值与最小值.因此，椭圆的面积为

S=7T八1》=--Z.•

知识点解析：暂无解析

27、求函数"=■二7)在点A([,0,1)沿点A指向8(3,—2,2)方向的

方向导数.

标准答案：

先求施的方向余弦：AB=(3-2-0,2-1)=(2,・2,1),

I=AB/\=(cosa,cos6.co。)12,-2,1).

.I/dudu

再求皿u|(W)=(茶，*

=7^^虫万■右L)呜以)

3

于是--cosa+—Icos/?+—fcosy

(i.o.i)dx(I.o.i)l(I.o.i)1(1.0,i)

1M211I

aTxT+TxT=T-

知识点解析：暂无解析

28、设有曲面S：T♦厂+了='平面n：2x+2y+z+5=o.⑴在曲面S上求平行于

平面n的切平面方程；(口)求曲面S与平面n之间的最短距离.

标准答案：⑴先写出曲面S上任意点(x(),y(),〃))处的切平面方程.记S的方程为

X22Z2.

F(x,y,z)=0,F(x,y,z)=2+'*4,则S上点M：)(xo，yo，〃))处的切平面

方程为Fx-(Mo)(X一xo)+FyXMo)(y-yo)+FzXMO)(z—Zo)=O,其中Fx'(Mo)=xo，

1

Fy'(Mo)=2yo，FZ，(MO)=5”该切平面与平面门平行,它们的法向量共线即成比例

I

为=9_'2^=4

221且2xo+2yo+zo+5#).因为Mo(xo，yo，zo)在S上，所以它满

足方程家福=T<2A)2+A：T⑵/i印

2A=±-.于是，(与,，0，飞)=土(I，；，1)一，、，.一

4入2=1.2'2,显然，(xo，yo，zo)不在平面口

上.相应的切平面方程是

_11

(x-I)+(y-y)+)=。,-(yy)-+)=。・

即x+y+y2-2=0,x*y+y-+2=0.

这就是曲面s上平行于平面n的切平面方程.(n)椭球面s是夹在上述两个切平面

之间，故曲面s上切点到平面n的距离最短或最长

</>=7T

此，曲面s到平面n的最短距离为‘3

知识点解析：暂无解析

29、求曲线•1/+/=]0在点M()(1,1,3)处的切线与法平面方程.

标准答案：这两个曲面在点Mo的法向量分别为ni=(2x,0,2Z)|(IJ,3)=2(I,0,

3),n2=(0,2y,2Z)|(IJ,3尸2(0,1,3).切线的方向向量与它们均垂直，即有

ijk

/=x/t2=jo3=-3i-3/>A.

013可取方向向量值33,—1),因此切线

*_1_y_Ix-3

方程为丁=h==T'法平面方程为3(x—l)+3(y—l)~(z-3)=0,即

3x+3y—z—3=0.

知识点解析：暂无解析

30、设z(x,y)满足

rdz.1

JdxI-xy①

I,y)=sin九②求

z(x,y).

标准答案：把y看作任意给定的常数，将等式①两边对x求积分得

=-xsiny------In.I-xy|+,

y其中(p(y)为待定函数.由②式得

fp(y)=2siny+J-ln\I-y|.

-siny——In|I-y(z(x.y)=(2-x)siny+—InI,二.I

y+(p(y)=siny,故,

知识点解析：暂无解析

舟，求dz与会

31、设dxrty

标准答案：由一阶全微分形式不变性及全微分四则运算法则得

山=e-^»Td(x2+y2)+(?♦y2)d(e7rmn?)

e…巾片(2xdx+2ydy-rdy+ydx)=em十[(2x♦y)dx+(2y-x)dy].

由dz的表达式得点=(2x+y).

对y求导*fe=ei:・——(2x+y)

x2♦y2

知识点解析：暂无解析

32、设由方程(p(bz—cy,ex—az,ay—bx)=O(*)确定隐函数z=z(x,y),其中tp

dz.dz

。丁+ab~•・

对所有变量有连续偏导数，a,b,c为非零常数，且b(p「一a(p2'#)，求3x打

标准答案：将方程(*)看成关于x,y的恒等式，两边分别对x,y求偏导数得

引・6号+&・卜-Q旨)+r；♦(-6)=0,{

①

耐,(喘-(-琮)+必，。=。，<

②由

①xa+②xb,可得

%;•(a—+b—)-a(p2,(a—+b~j=("；.a(p2)c.

\dx67\力

di.dz

因此Q---♦b=C.

dxdy

知火点解析：暂无解析

u=/(x-ut,y-ulfz-ux),求生du

设g(*,y,z)=0,'•'办

33、

标准答案：将方程组对X求偏导数得

第1+“+/;+/;)]=/;♦/;品

\dxfOX即

韭+%更=0.更〜雪亚.

dxdzdxdxAxdz

du

解得

和+“+/；+/；)]

产

普[।+<(/；+/；♦/1)〕

将方程组对y求偏导数同样可得

知识点解析：暂无解析

34、设片z(x,y)有连续的二阶偏导数并满足

d2z.d2zad2z

①T

dx2dxdya/

(I)

作变量替换u=3x+y,v=x+y,以u,v作为新的自变量，变换上述方程;(n)求满

足上述方程的z(x,y).

标准答案：⑴将z对x,y的偏导数转换为z对u,v的偏导数.由复合函数求导法

生一包弛+空_3%+।dzdz

得加一加£+前i..这里'瓦'晟仍是u,v的函数，而u,v又是x,y

的函数，因而

痣，3倍.3得卜焦.3+富卜唠.63去

②

一■3(白+互).(互+却=3>+4叁.叱

22

3x2y\aududv)\dvduQV)加2摭加'

又Sdz1—du■♦dzdvsd—z—▲d■z—

dydudydvdydudv'

♦2红♦电,

当京・停♦忠)♦虑哈)・台dudvaF，

将②，③，④代入原方程①得

2・4鲁.3学=.4以=0.

dx2dxdyafdudv

即原方程①变成兵=0.

dudv⑤

(U)由题⑴，在变量替换u=3x+y,v=x+y下，求解满足①的z=z(x,y)转化为求解

)=o,对“积分得虫=f(u)

满足⑤的z=z(u,V).由⑤)式anaddu其中f(u)为任意的

有连续导数的函数.再对u积分得z=(p(u)+v(v),其中”，中为任意的有连续的二

阶导数的函数.回到原变量得z=(p(3x+y)+\|/(x+y).

知识点解析：暂无解析

35、在半径为R的圆的一切内接三角形中，求出其面积最大者.

标准答案：用x,y,z表示三角形各边所对的中心角，则三角形的面积S可用x,

S=!*8脑丫+4-R1iny+4~/?:sinz,

y,z,R表不为222其中尸?兀一x—y将其代入得

S_1今2

2[sinx+siny—sin(x+y)]>定义域是口=｛仪，y)|x>0,y>0>x+y<27t｝.现求

-=[cosx-cos(x+y)].£=[cosy-cos(x*y)J

S(x,y)的驻点：标2力2解

(7"'?”)在D内部，又在D的边界上即x=0

Q噂=。,得唯一驻点o

或y=0或x+y=2兀时S(x.y)=0.因此，3，3,取最大值.因x=y=

—宜Idilz="n

33,因此内接等边三角形面积最大.图8.3

知识点解析：暂无解析

36、在空间坐标系的原点处，有一单位正电荷，设另一单位负电荷在椭圆

z=x，y2,x+y+z=l上移动，问两电荷间的引力何时最大，何时最小？

标准答案：用拉格朗日乘子法.令F(x,y,z,A,N)=x2+y2+z2+Mx2+y2一

z)+p(x+y4-z—1),

F',=2*♦2Ax+ju=0,

=2y+-2Ay+〃m0,

解方程组F',=2z-A+/i=0.

尸A=—+J-z=0.

=x+y+z-I=0.

缚，：=2不记

由前三个方程得x=,，代人后两个方程得｛:斛得x

%三产2一外孙(=0二且，2+外可算得

g(.W,)=9-573.g(.W2)=9+55/3•

从实际问题看，函数g的条件最大与最小值均存在，所以g在点M],M2分别达到

最小值和最大值，因而函数f在点M】，M2分别达到最大值和最小值，即两个点电

荷问的引力当单位负电荷在点M]处最大，在点M2处最小.

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自尸;8,x2+3y2+z2=6上点P(1,1,1)处指向外侧的法向量为n,求函数u二

在点P处沿方向n的方向导数.

标准答案：首先求出方向n及其方向余弦.曲面F(x,y,z)=2x2+3y2+z2―6=0,在

P处的两个法向量是la'dy'aJp=±(4x,6y,2z)|p=±2(2,3,1),点P位于第一

卦限，椭球面在P处的外法向的坐标均为正值，故可取n=(2,3,1).它的方向余

弦为

=A=泼==/fj(2,3，l)=(cos*"，2.

6du____8>

又2

质’出「一z/6z+8/〃

dzp=-

因此

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7~

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