2026年天津市北师大版高二数学第四十八章数列知识点巩固习题试卷

2026年天津市北师大版高二数学第四十八章数列知识点巩固习题试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_3=7，a_7=15，则该数列的通项公式a_n等于（）A.2n+1B.3n-2C.4n-5D.5n-8解析：由等差数列性质a_7=a_3+4d，代入a_3=7，a_7=15得4d=8，即d=2。通项公式a_n=a_1+(n-1)d，又a_1=a_3-2d=3，故a_n=3+2(n-1)=2n+1。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-n，则b_5的值为（）A.16B.31C.48D.63解析：当n≥2时，b_n=S_n-S_{n-1}=2^n-n-[2^{n-1}-(n-1)]=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}-1。验证n=1时S_1=1，b_1=S_1=1符合通项，故b_5=2^4-1=15。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=c_n+2n，则c_6的值为（）A.21B.35C.55D.77解析：由递推关系c_{n+1}=c_n+2n，可得c_2=c_1+2=3，c_3=c_2+4=7，...，c_6=c_5+10=1+2+4+6+8+10=31。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.4C.5D.6解析：由等比数列性质d_4=d_2q^2，代入d_2=6，d_4=54得6q^2=54，解得q=3。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_4等于（）A.16B.20C.24D.28解析：当n≥2时，e_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n-1。验证n=1时T_1=2，e_1=T_1=2符合通项，故e_4=2×4-1=7。6.若数列{f_n}的前n项和为S_n=3^n-1，则f_3等于（）A.26B.27C.28D.29解析：当n≥2时，f_n=S_n-S_{n-1}=3^n-1-[3^{n-1}-1]=2×3^{n-1}。验证n=1时S_1=2，f_1=S_1=2符合通项，故f_3=2×3^2=18。7.在等差数列{g_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=25，则a_3的值为（）A.5B.6C.7D.8解析：由等差数列性质a_1+a_5=2a_3，a_2+a_4=2a_3，故a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=5a_3=25，解得a_3=5。8.已知数列{h_n}满足h_1=2，h_{n+1}=2h_n+n，则h_5等于（）A.62B.64C.66D.68解析：由递推关系h_{n+1}=2h_n+n，可得h_2=2×2+1=5，h_3=2×5+2=12，h_4=2×12+3=27，h_5=2×27+4=58。9.在等比数列{i_n}中，若i_1=1，i_3=8，则i_5的值为（）A.32B.40C.48D.64解析：由等比数列性质i_3=i_1q^2，代入i_1=1，i_3=8得q^2=8，故i_5=i_1q^4=1×8^2=64。10.若数列{j_n}的前n项和为S_n=4n^2-3n，则j_4等于（）A.34B.35C.36D.37解析：当n≥2时，j_n=S_n-S_{n-1}=4n^2-3n-[4(n-1)^2-3(n-1)]=8n-7。验证n=1时S_1=1，j_1=S_1=1符合通项，故j_4=8×4-7=25。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}中，a_5=10，a_10=25，则该数列的公差d=______。参考答案：3解析：由等差数列性质a_10=a_5+5d，代入a_5=10，a_10=25得25=10+5d，解得d=3。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2^n+1，则b_3=______。参考答案：7解析：当n≥2时，b_n=S_n-S_{n-1}=2^n+1-[2^{n-1}+1]=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}。验证n=1时S_1=3，b_1=S_1=3符合通项，故b_3=2^2=4。3.若数列{c_n}满足c_1=2，c_{n+1}=c_n+3n，则c_4=______。参考答案：20解析：由递推关系c_{n+1}=c_n+3n，可得c_2=2+3=5，c_3=5+6=11，c_4=11+9=20。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=4，d_4=16，则该数列的公比q=______。参考答案：2解析：由等比数列性质d_4=d_2q^2，代入d_2=4，d_4=16得4q^2=16，解得q=2。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+2n，则e_3=______。参考答案：8解析：当n≥2时，e_n=T_n-T_{n-1}=n^2+2n-[（n-1）^2+2(n-1)]=2n+1。验证n=1时T_1=3，e_1=T_1=3符合通项，故e_3=2×3+1=7。6.若数列{f_n}的前n项和为S_n=5^n-1，则f_2=______。参考答案：24解析：当n≥2时，f_n=S_n-S_{n-1}=5^n-1-[5^{n-1}-1]=4×5^{n-1}。验证n=1时S_1=4，f_1=S_1=4符合通项，故f_2=4×5=20。7.在等差数列{g_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=30，则a_3=______。参考答案：6解析：由等差数列性质a_1+a_5=2a_3，a_2+a_4=2a_3，故a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=5a_3=30，解得a_3=6。8.已知数列{h_n}满足h_1=3，h_{n+1}=h_n+2n，则h_5=______。参考答案：35解析：由递推关系h_{n+1}=h_n+2n，可得h_2=3+2=5，h_3=5+4=9，h_4=9+6=15，h_5=15+8=23。9.在等比数列{i_n}中，若i_1=2，i_3=8，则i_4=______。参考答案：32解析：由等比数列性质i_3=i_1q^2，代入i_1=2，i_3=8得2q^2=8，解得q=2，故i_4=i_1q^3=2×8=16。10.若数列{j_n}的前n项和为S_n=3n^2-n，则j_4=______。参考答案：20解析：当n≥2时，j_n=S_n-S_{n-1}=3n^2-n-[3(n-1)^2-(n-1)]=6n-4。验证n=1时S_1=2，j_1=S_1=2符合通项，故j_4=6×4-4=20。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2+3n，则该数列是等差数列。（）参考答案：正确解析：当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=2n^2+3n-[2(n-1)^2+3(n-1)]=4n+1，且a_1=S_1=5符合通项，故{a_n}是等差数列。2.在等比数列{b_n}中，若b_1=1，b_2=2，则b_4=4。（）参考答案：错误解析：由等比数列性质b_2=b_1q，代入b_1=1，b_2=2得q=2，故b_4=b_1q^3=1×8=8。3.若数列{c_n}满足c_{n+1}=c_n+n，则该数列是等差数列。（）参考答案：错误解析：当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n，且a_1=S_1=1符合通项，但{a_n}是等差数列，而{c_n}是等差数列的累加形式，故{c_n}不是等差数列。4.在等差数列{d_n}中，若a_1+a_2+a_3=12，则a_2=4。（）参考答案：正确解析：由等差数列性质a_1+a_3=2a_2，故a_1+a_2+a_3=3a_2=12，解得a_2=4。5.若数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_3=6。（）参考答案：错误解析：当n≥2时，e_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n，且e_1=T_1=2符合通项，故e_3=2×3=6。6.在等比数列{f_n}中，若f_1=3，f_3=27，则f_5=243。（）参考答案：正确解析：由等比数列性质f_3=f_1q^2，代入f_1=3，f_3=27得3q^2=27，解得q=3，故f_5=f_1q^4=3×81=243。7.若数列{g_n}满足g_{n+1}=2g_n+1，则该数列是等比数列。（）参考答案：错误解析：当n≥2时，g_n=S_n-S_{n-1}=2^n+1-[2^{n-1}+1]=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，且g_1=S_1=2符合通项，但{g_n}是等比数列的累加形式，故{g_n}不是等比数列。8.在等差数列{h_n}中，若a_1-a_2+a_3=8，则a_2=4。（）参考答案：正确解析：由等差数列性质a_1-a_2+a_3=2a_1=8，解得a_1=4，故a_2=a_1+d=4。9.若数列{i_n}的前n项和U_n=2^n-n，则i_4=8。（）参考答案：错误解析：当n≥2时，i_n=U_n-U_{n-1}=2^n-n-[2^{n-1}-(n-1)]=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}-1，且i_1=U_1=1符合通项，故i_4=2^3-1=7。10.在等比数列{j_n}中，若j_2=6，j_4=54，则j_3=18。（）参考答案：正确解析：由等比数列性质j_4=j_2q^2，代入j_2=6，j_4=54得6q^2=54，解得q=3，故j_3=j_2q=6×3=18。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知等差数列{a_n}中，a_5=10，a_10=25，求该数列的通项公式a_n。解：由等差数列性质a_10=a_5+5d，代入a_5=10，a_10=25得25=10+5d，解得d=3。又a_1=a_5-4d=10-12=-2，故a_n=-2+3(n-1)=3n-5。2.若数列{b_n}的前n项和S_n=3^n-1，求b_3的值。解：当n≥2时，b_n=S_n-S_{n-1}=3^n-1-[3^{n-1}-1]=2×3^{n-1}。验证n=1时S_1=2，b_1=S_1=2符合通项，故b_3=2×3^2=18。3.在等比数列{c_n}中，若c_1=2，c_3=8，求该数列的通项公式c_n。解：由等比数列性质c_3=c_1q^2，代入c_1=2，c_3=8得2q^2=8，解得q=2，故c_n=2×2^{n-1}=2^n。4.已知数列{d_n}的前n项和T_n=n^2+n，求d_4的值。解：当n≥2时，d_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n，且d_1=T_1=2符合通项，故d_4=2×4=8。5.在等差数列{e_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=30，求a_3的值。解：由等差数列性质a_1+a_5=2a_3，a_2+a_4=2a_3，故a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=5a_3=30，解得a_3=6。6.若数列{f_n}满足f_{n+1}=f_n+2n，且f_1=3，求f_5的值。解：由递推关系f_{n+1}=f_n+2n，可得f_2=3+2=5，f_3=5+4=9，f_4=9+6=15，f_5=15+8=23。7.在等比数列{g_n}中，若g_2=6，g_4=54，求g_3的值。解：由等比数列性质g_4=g_2q^2，代入g_2=6，g_4=54得6q^2=54，解得q=3，故g_3=g_2q=6×3=18。8.已知数列{h_n}的前n项和S_n=4n^2-3n，求h_3的值。解：当n≥2时，h_n=S_n-S_{n-1}=4n^2-3n-[4(n-1)^2-3(n-1)]=8n-7。验证n=1时S_1=1，h_1=S_1=1符合通项，故h_3=8×3-7=17。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某工厂计划每年比上一年增加相同的产量，已知第一年产量为100吨，第三年产量为150吨，求该工厂第五年的产量。解：由等差数列性质a_3=a_1+2d，代入a_1=100，a_3=150得150=100+2d，解得d=25。故a_5=a_1+4d=100+100=200吨。2.某城市人口增长按等比数列模式发展，已知第一年人口为10万，第三年人口为20万，求该城市第五年的人口。解：由等比数列性质a_3=a_1q^2，代入a_1=10，a_3=20得20=10q^2，解得q=√2，故a_5=a_1q^4=10×4=40万。3.某人存款计划每年比上一年多存相同的金额，已知第一年存1000元，第三年存1400元，求该人第五年存的钱。解：由等差数列性质a_3=a_1+2d，代入a_1=1000，a_3=1400得1400=1000+2d，解得d=200。故a_5=a_1+4d=1000+800=1800元。4.某产品价格每年下降相同的比例，已知第一年价格为100元，第三年价格为80元，求该产品第五年的价格。解：由等比数列性质a_3=a_1q^2，代入a_1=100，a_3=80得80=100q^2，解得q=0.8，故a_5=a_1q^4=100×0.64=64元。5.某农场计划每年比上一年增加相同的产量，已知第一年产量为200吨，第三年产量为250吨，求该农场第五年的产量。解：由等差数列性质a_3=a_1+2d，代入a_1=200，a_3=250得250=200+2d，解得d=25。故a_5=a_1+4d=200+100=300吨。6.某城市人口增长按等比数列模式发展，已知第一年人口为20万，第三年人口为40万，求该城市第五年的人口。解：由等比数列性质a_3=a_1q^2，代入a_1=20，a_3=40得40=20q^2，解得q=√2，故a_5=a_1q^4=20×4=80万。7.某人投资计划每年比上一年多投相同的金额，已知第一年投5000元，第三年投8000元，求该人第五年投的钱。解：由等差数列性质a_3=a_1+2d，代入a_1=5000，a_3=8000得8000=5000+2d，解得d=1500。故a_5=a_1+4d=5000+6000=11000元。8.某产品价格每年下降相同的比例，已知第一年价格为200元，第三年价格为160元，求该产品第五年的价格。解：由等比数列性质a_3=a_1q^2，代入a_1=200，a_3=160得160=200q^2，解得q=0.8，故a_5=a_1q^4=200×0.64=128元。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.B3.A4.A5.B6.B7.A8.A9.D10.B解析：1.由等差数列性质a_7=a_3+4d，代入a_3=7，a_7=15得4d=8，故a_n=7+3(n-3)=3n-2。2.当n≥2时，b_n=S_n-S_{n-1}=2^n-n-[2^{n-1}-(n-1)]=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}-1。验证n=1时S_1=2，b_1=S_1=2符合通项，故b_5=2^4-1=15。二、填空题1.32.43.204.25.76.207.68.359.1610.20解析：5.当n≥2时，e_n=T_n-T_{n-1}=n^2+2n-[（n-1）^2+2(n-1)]=2n+1。验证n=1时T_1=3，e_1=T_1=3符合通项，故e_3=2×3+1=7。三、判断题1.√2.×3.×4.√5.×6.√7.×8.√9.×10.√解析：2.由等比数列性质b_2=b_1q，代入b_1=1，b_2=2得q=2，故b_4=b_1q^3=1×8=8。四、简答题1.a_n=3n-5解析：由等差数列性质a_10=a_5+5d，代入a_5=10，a_10=25得25=10+5d，解得d=3。又a_1=a_5-4d=10-12=-2，故a_n=-2+3(n-1)=3n-5。2.b_3=18解析：当n≥2时，b_n=S_n-S_{n-1}=3^n-1-[3^{n-1}-1]=2×3^{n-1}。验证n=1时S_1=2，b_1=S_1=2符合通项，故b_3=2×3^2=18。3.c_n=2^n解析：由等比数列性质c_3=c_1q^2，代入c_1=2，c_3=8得2q^2=8，解得q=2，故c_n=2×2^{n-1}=2^n。4.d_4=8解析：当n≥2时，d_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n，且d_1=T_1=2符合通项，故d_4=2×4=8。5.a_3=6解析：由等差数列性质a_1+a_5=2a_3，a_2+a_4=2a_3，故a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=5a_3=30，解得a_3=6。6.f_5=23解析：由递推关系f_{n+1}=f_n+2n，可得f_2=3+2=5，f_3=5+4=9，f_4=9+6=15，f_5=15+8=23。7.g_3=18解析：由等比数列性质g_4=g_2q^2，代入g_2=6，g_4=54得6q^2=54，解得q=3，故g_3=g_2q=6×3=18。8.h_3=17解析：当n≥2时，h_n=S_n-S_{