第一章《勾股定理》单元测试卷（含答案）初中数学北师大版（新教材）八年级上册

第一章《勾股定理》单元测试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．若直角三角形的两边长为3和4，则第三边长为（

）A．5或7 B．1 C．7 D．252．如图，在△ABC中，AB=13,AC=12,BC=5，点D是AC的中点，连接BD，则BD的长为（

）A．6 B．132 C．7 D．3．在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了如下有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．则当a=22时，b+c的值为（

）a68101214…b815243548…c1017263750…A．360 B．200 C．280 D．2424．某巡逻舰在太平洋海域的A点执行任务时，发现南偏东50°方向，距离15海里的B点，有一艘敌舰正以16海里/小时的速度沿南偏西40°方向行驶．巡逻舰立即沿直线方向进行驱离，半小时后在C点成功拦截敌舰并完成驱离任务．则巡逻舰的航行速度为（

）A．16海里/小时 B．20海里/小时C．32海里/小时 D．34海里/小时5．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若正方形EFGH的边长为2，则SA．6 B．8 C．12 D．166．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AB=AC=8，点E为AC上一点，且CE=2，点D为边AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE折叠得到△A′DE，若EA′的延长线恰好经过点BA．2 B．3 C．4 D．67．在如图所示的5×5的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足△ABC为以AB为斜边的直角三角形．这样的点C有（

）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个8．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，动点E在边BC上，连接AE，将AE绕点E顺时针旋转90°至EF，连接AF、EF、CF、DF，则AF+DF的最小值是（

）A．4 B．25 C．5 D．9．如图，BD=BC=5，AB=1，AC=2，AD=2．则A．15 B．30 C．45 D．6010．如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10．若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△MAB，则∠APB等于（

）．A．120° B．135° C．150° D．160°二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，采用了如下方法进行检测：先测得门的边AB和BC的长分别为2m和1m，又测得点A与点C间的距离为2.5m12.如图，已知Rt△ABC的两直角边分别为6，8，分别以其三边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为_____13．某班数学兴趣小组到平坦的操场上测量旗杆AB的高度，信息如下：①已知绳子一端系在旗杆顶端A处，甲同学拉直绳子退至离旗杆3.5米的E点处，此时手上的绳子还剩0.5米；②甲同学继续往后退1.5米到达G点．此时手上的绳子刚好用完；③甲同学拉绳子的手到地面的距离都是1.6米；则旗杆AB的高度为______米．14.如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE,BE,DE，过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=2，PB=10，则正方形ABCD的边长为___________15．如图，在等腰直角△ABC的斜边AB上任取两点M,N，使∠MCN=45°，记AM=m,MN=n,BN=k，则以m,n,k为边长的三角形的形状是______．16．如图，河的两岸有A，B两个水文观测点，为方便联络，要在河上修一座木桥MN（河的两岸互相平行，MN垂直于河岸），现测得A，B两点到河岸的距离分别是5米，4米，河宽4米，且A，B两点之间的水平距离为12米，则AM+MN+NB的最小值是______米．三、解答题（本大题共7小题，满分72分）17．（6分）如图，八（1）班同学课间做折纸游戏，选用一张矩形纸片ABCD进行折纸．已知该纸片长AD为10cm，宽AB为8cm．折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为(1)BF=__________cm,    FC=(2)求EF的长．18．（8分）赵爽弦图是中国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时提出的勾股定理证明方法，记载于三国时期．图①是一个赵爽弦图，四个直角三角形较短的直角边长都为a，较长的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4×12ab+a−b2，由此推导出勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为(1)【探索求证】数学兴趣小组的学生用三块直角三角形硬纸板拼出图②，其中∠A=∠D=∠BCE=90(2)【问题解决】同学们经过进一步研究，发现通过勾股定理，可以计算任意已知三条边长的三角形的面积．如图③，已知△HMN中，HM=13,MN=15,HN=14，作MK⊥HN，就可以计算出△HMN的面积．请你完善解答过程，求出△HMN的面积．19．（10分）如图，在8×8的方格纸中，△ABC的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫格点三角形．(1)仅用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹）：①在图1中，作出△ABC的AC边上的高BH；②在图2中，点F为AC的中点，在AB上作点D，使∠ADF=∠ACB；(2)在8×8的方格纸中与△ABC全等且有一条公共边的格点三角形（不含△ABC）共有_____个．20．（10分）定义：若a，b，c是△ABC的三边，且a2+b(1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是．A．①一定是“方倍三角形”

B．②一定是“方倍三角形”C．①②都一定是“方倍三角形”

D．①②都一定不是“方倍三角形”(2)如图，△ABC中，∠ABC=120°，∠ACB=45°，P为AC边上一点，将△ABP沿直线BP进行折叠，点A落在点D处，连接CD，AD．若△ABD为“方倍三角形”，且AP=2，求△PDC21．（12分）已知正方形ABCD和等腰直角三角形AEF．连接CE、CF．(1)点P为线段CF的中点，连接DP①如图1所示，当点E、F分别在边AB、AD上时，请直接写出DP与CE之间的关系；②将△AEF绕点A旋转到图2的位置，请写出∠PDC与∠ACE之间的数量关系并证明；(2)将△AEF绕点A旋转到图3的位置，作FG⊥CD于点G，设FC、EC的长分别为m、n，则DG⋅DC的值是（用含m，n的式子表示）．22．（12分）已知△ACD和△ECB都是等腰直角三角形，∠ACD=∠ECB=90°．【初步探索】如图①，点A、C、B在同一条直线上，点E在CD上，连结AE、BD，线段AE与BD的数量关系是____________，位置关系是______．【拓展延伸】如图②，点A、C、B不在同一条直线上，点E在△ACD内，点B在△ACD外，连结AE、BD，1中的结论是否仍然成立？请说明理由．【知识应用】如图③，△ACD和△BCE两块等腰直角三角尺，∠ACD=∠ECB=90°．连结AE、DE．若有AE2=D23．（14分）十九世纪英国赫赫有名的谜题创作者在1903年的英国报纸上发表了“蚂蚁爬行”的问题．问题是：如图①，在一个长、宽、高分别为8m，8m，4m的长方体房间内，一只蚂蚁在右面墙与后墙及地面的墙角处（即M点处），苍蝇正好在左面墙与房顶相交位置（即N点处），并且距离后面墙2m，蚂蚁爬到苍蝇处应该怎样爬行所走路程最短，最短路程是多少m？这只蚂蚁在长方体表面爬行的问题，引起了当时很多数学爱好者的研究与讨论，今天我们也一起来研究一下这个当时非常热门的数学问题！【方案设计】为了研究上面提出的“蚂蚁爬行”的最短路线问题，小明先进行了如下操作；如图②，是由6个棱长为1cm的小正方体所搭建的几何体，一只蚂蚁从点A出发，沿几何体的表面爬到点B，沿什么路线爬行所走路程最短？（1）观察发现：蚂蚁从A点出发，为了走出最短路线，根据两点之间线段最短的知识，并结合展开与折叠原理，一共有3种不同的爬行路线．①填空：例如：图③是由上面与右面展开得到的平面图形；图④是由_______面与________面展开得到的平面图形（填“前”、“后”、“左”、“右”、“上”、“下”）；②画图：3种不同的爬行路线，小明已经画出了其中两种，请你在网格中补充出第三种展开得到的平面图，并画出相应的最短路线，即线段A3（2）比较验证③比较A1B1，A2B2，A3【问题回归】定义：如图⑤，在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方．数学语言表达：如图，如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么可用a2（3）最后让我们再回到那道十九世纪英国报纸上发表的“蚂蚁爬行”的问题（如图①），若那只蚂蚁所走的路程用d表示，则d2参考答案一、选择题1.A解：当长为4的边是斜边，长为3的边是直角边时，由勾股定理可得：第三边长为42当长为3和4的边都是直角边，第三边为斜边时，由勾股定理得：第三边长为42综上所述，第三边长为5或7．2．D解：∵AC=12，BC=5，AB=13，∴ACAB∴AC∴∠C=90∵点D是AC的中点，∴CD=1∴在Rt△BCDBD=B3．D解：根据表格中数据可得：a2+b则a2当a=22时，222解得：b=120，则c=120+2=122，∴b+c=120+122=242．4．D解：如图所示，由题意得，AF∥BE，∠FAB=50°，∠CBE=40°，AB=15海里，∴∠ABD=∠FAB=50°，∴∠ABC=180°−∠ABD−∠CBE=180−50°−40°=90°，∵敌舰以16海里/小时的速度沿南偏西40°方向行驶，半小时后在C点成功拦截敌舰并完成驱离任务，∴BC=16×1∴AC=A∴巡逻舰的航行速度为17÷15．C解：设八个全等的直角三角形中每个小直角三角形的短直角边为a，长直角边为b，斜边为c，∴a∵正方形EFGH的边长为2，∴S∵正方形ABCD的面积为S1正方形MNKT的面积为S3∴S6．B解：如图，∵CE=2，AC=8∴AE=AC−CE=6，在Rt△ABE中，由勾股定理得BE=设AD=x，则BD=AB−AD=8−x由折叠得A′D=AD=x，A′∴BA′在Rt△A∴42解得x=3，∴AD=3．7．B解：如图，满足条件的点C共有4个，．8．B解：过点F作BC的垂线交BC延长线于点G，并在BC延长线上取点Q，使得CD=CQ，连接FQ，连接AQ，∵四边形ABCD是边长为2的正方形，∴AB=BC=CD=AD=2，∠B=∠BCD=∠D=90°，由旋转性质得AE=EF，∠AEF=90°，∴∠BAE=∠GEF=90°−∠AEB，∵FG⊥BC，∴∠FGE=∠EBA=90°，∴△ABE≌△EGFAAS∴BE=GF，EG=AB=BC，∴BE+CE=CG+CE，∴CG=BE=FG，∴△FGC是等腰直角三角形，∴∠FCG=45°，∵∠DCQ=90°，∴∠DCF=∠FCG=45°，∵CD=CQ,CF=CF，∴△DCF≌△QCFSAS∴DF=QF，∴AF+DF=AF+QF，当F点在线段AQ上时，AF+DF有最小值，最小值为AQ的长，在Rt△ABQ中，AB=2,BQ=BC+CQ=4，∠ABQ=90°∴AQ=A∴AF+DF的最小值为259．C解：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E，∴DE2=AD2∴AD设AE=x，则BE=AE+AB=x+1，∴22解得x=1，即AE=1，∴DE=A又∵AB=1，∴AE=DE=AB，∴∠EAD=180°−∠E∵AB²+AC²=1²+2²=5，BC2=∴∠BAC=90°，在Rt△ABC和RtBC=BDAB=DE∴Rt△ABC≌∴∠C=∠EBD，∵∠EBD+∠ADB=∠EAD=45°，∴∠C+∠ADB=45°故选：C．10．C连接PM，如图，由旋转性质可知，△APC≌△AMB，∴AP=AM，MB=PC=10，∵∠MAP=60°，∴△APM是等边三角形，∴PM=AP=6，∵PB=8，∴MB2=PB2+MP2，∴△PMB是直角三角形，∴∠MPB=90°，∵∠MPA=60°，∴∠APB=150°．二、填空题11．已变形解：∵木门正常时，∠B应为直角，根据勾股定理，应有：A∵AB=2m，BC=1∴A又测得AC=2.5m∴A∵5≠6.25，即AB∴∠B不再是直角，木门已变形．12．24解：在Rt△ABC中，AC=6，BC=8∴AB=A则S==24．13．13.6解：连接HF并延长交AB于M，∴MF=3.5,HF=1.5,BM=1.6，AH=AF+0.5，则MH=MF+HF=5，在Rt△AMF中，A即AM在Rt△AMH中，A即AM由②−①得：解得AF=12.5，代入①得：AM∴AM∴AM=12，∴AB=AM+MB=12+1.6=13.6（米）．故答案为：13.6．14．10解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∵AP⊥AE，∴∠EAP=90°，∴∠EAB=∠PAD，又AE=AP，∴△ABE≌△ADPSAS∴BE=DP，∠AEB=∠APD，∵AE=AP=2，∠EAP=90°，∴△AEP是等腰直角三角形，∴∠AEP=∠APE=45°，EP=2∵∠APD=180°−45°=135°，∴∠AEB=135°，∴∠BEP=135°−45°=90°，在Rt△BEP中，PB=10，∴BE=P过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F，∵∠AEB=135°，∴∠BEF=45°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴EF=BF=1∴AF=AE+EF=2+1=3，在Rt△ABF中，AB=15．直角三角形解：如图：把△ACM绕C点逆时针旋转90°，得△CBD，则△ACM≌△BCD，∴∠ACM=∠BCD,CM=CD,∠MCN=∠NCD=45°，又∵CN=CN，∴△MNC≌△DNC，∴MN=ND=n,AM=BD=m，又∠DBN=45°+45°=90°，∴n∴以m、n、k为边长的三角形的形状是直角三角形．故答案为：直角三角形．16．19解：如图，将AM沿着竖直方向平移4米，即平移到NH，连接AH，BH．过点B作BQ⊥AH交AH延长线于点Q．∵将AM沿着竖直方向平移4米，即平移到NH，∴AM=HN，∴AM+MN+NB=MN+HN+BN≥MN+BH，即AM+MN+NB≥MN+BH∵河宽4米，∴MN=4（米），∴AM+MN+NB≥4+BH．∵A，B两点到河岸的距离分别是5米，4米，河宽4米，∴AQ=5+4+4=13（米），∴HQ=AQ−AH=13−4=9（米），∵A，B两点之间的水平距离为12米，∴BQ=12（米），∵BQ⊥AH交AH延长线于点Q，∴∠Q=90°．在Rt△HQBHB=H∴AM+MN+NB≥4+BH=4+15=19（米），即AM+MN+NB的最小值是19米．三、解答题17．（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，由折叠可得，AD=AF，∴AB=AF=AD=10，∵AB=8，在Rt△ABF中，A∴102∴BF=6；∵BF+CF=BC，∴6+CF=10，∴CF=4；故答案为：6；4．（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC=8，由折叠可得，EF=DE，设CE=x，∴DE=DC−CE=8−x，在Rt△EFC中，E∴8−x2解得：x=3，∴EF=DE=8−3=5．18．（1）解：∵S且S梯形∴1∴a（2）解：由题意设HK=x，∵HM=13,MN=15,HN=14，∴KN=HN−HK=14−x．∵MK⊥HN，∴∠MKH=∠MKN=90在Rt△MHKM在Rt△MNKM∴13解得x=5，∴HK=5，∴MK=13∴S19．（1）①作AE⊥BC，取格点G，连接BG并延长交AC与H，证明：由作图可知，AE=BE，∠CEA=∠GEB=90°，CE=GE，∴△CEA≌△GEBSAS∴∠ACE=∠BGE，∴∠GBE+∠ACE=∠GBE+∠BGE=90°，∴∠BHC=90°，∴BH⊥AC，即BH为△ABC的AC边上的高；②取格点M，连接FM交AB于点D即可；证明：连接AM，取格点M下方格点为N，可知∠ADF=∠ANF+∠DFN=45°+∠DFN，由勾股定理可知AM=12+22∴AM=AF，AM∴△AMF是等腰直角三角形，即∠AMF=∠AFM=45°，∵NF∥BC，∴∠AFN=∠ACB，∴∠ACB=∠AFM+∠DFN=45°+∠DFN∴∠ADF=∠ACB；（2）∵与△ABC全等且有一条公共边的格点三角形∴分别是以AB,AC,BC为公共边的三角形当公共边为AB时当公共边为BC时当公共边为AC时，不符合题意，舍去故答案为：2．20．（1）解：对于①等边三角形，三边相等，设边长为a，则a2根据“方倍三角形”定义可知：等边三角形一定是“方倍三角形”；对于②直角三角形，三边满足关系式：a2根据“方倍三角形”定义可知：直角三角形不一定是“方倍三角形”；故答案为：A；（2）由题意可知：△ABP≌△DBP，∴BA=BD，∠ABP=∠DBP，根据“方倍三角形”定义可知：BA∴AD=AB=BD，∴△ABD为等边三角形，∠BAD=60°，∴∠ABP=∠DBP=30°，∴∠PBC=90°，∵∠CPB=45°，∴∠APB=180°−45°=135°，∴∠DPC=90°，∵∠ABC=120°，∠ACB=45°，∴∠BAC=15°，∴∠CAD=45°，∴△APD为等腰直角三角形，∴AP=DP=2∴AD=2，延长BP交AD于点E，如图，∵∠ABP=∠PBD，∴BE⊥AD，PE=1∴BE=A∴PB=BE−PE=3∵∠CPB=∠PCB=45°，∴△PBC为等腰直角三角形，∴PC=2∴S21．（1）解：①∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠ADC=∠B=90°，AB=AD∵等腰直角三角形AEF∴AE=AF∴BE=DF∴△DCF≌△BCE∴CF=CE，∠DCF=∠BCE∵点P为线段CF的中点，∴PD=PC=∴DP=1∵PC=PD∴∠PCD=∠PDC如图，延长DP交EC于点M，设∠PCD=∠PDC=α，则∠DCF=∠BCE=α，∴∠ECD=90°−∠BCE=90°−α，∴∠ECD+∠CDM=90°，∴PD⊥CE；②∠PDC=∠ACE+45°证明：如图，过点A作AP⊥AC交CD的延长线于点M，连接MF，∴∠CAM=∠EAF=90°，∴∠CAE=∠MAF∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC=90°，∠DAC=45°，DA=DC∴∠DAM=45°∴DA=DM∴DC=DM∴AC=AM又∵AE=AF∴△ACE≌△AMF∴∠ACE=∠AMF∵点P为线段CF的中点，DC=DM∴DP∴∠PDC=∠FMC=∠AMF+∠AMC=∠ACE+45°，即∠PDC=∠ACE+45°（2）解：如图，连接DF,BE，过点E作EH⊥AB于点H，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD,∠BAD=90°又∵等腰直角三角形AEF∴AE=AF，∠FAE=90°∴∠DAF=∠BAE=90°−∠FAB∴△DAF≌△BAE∴∠FDA=∠EBA，DF=BE∴90°−∠FDA=90°−∠EBA即∠GDF=∠HBE又∵FG⊥CD,HE⊥BH，∴∠FGD=∠EHB=90°∴△FGD≌△EHB∴GD=BH，FG=HE设GD=BH=a，FG=HE=c,CG=b，则CH=CB+BH=CD+BH=a+b+a=2a+b在Rt△CGF