27版53高中同步新教材必修第一册数学人教A版疑难破第四章　与对数函数有关的复合函数的定义域、值域、单调性问题

06与对数函数有关的复合函数的定义域、值域、单调性问题疑难点对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象和性质a的范围

0<a<1a>1图象

定义域

(0,+∞)

值域

R

性质过定点过定点(1,0),即x=1时,y=0

单调性减函数增函数

函数值的变化当x>1时,y<0;当0<x<1

时,y>0当x>1时,y>0;当0<x<1

时,y<0

对称性y=logax与y=lo

x的图象关于x轴对称

特别提醒

对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象恒过点

,(1,0),(a,1),且图象恒过第一、四象限.记忆口诀

对数增减有思路,函数图象看底数;底数只能大于0,等于1来也不行;底数若是大于1,图象从下往上增;底数0到1之间,图象从上往下减;无论函数增或减,图象都过(1,0)点.1.与对数函数有关的函数的定义域(1)求对数型函数的定义域,要注意真数大于0,即在y=loga

f(x)(a>0,且a≠1)中应首先保证f(x)>0.(2)若底数中也含有变量,则底数应大于0且不等于1.2.与对数函数有关的复合函数的单调性和值域(1)y=loga

f(x)(a>0且a≠1)型函数:①单调性:首先求出函数的定义域,然后令t=f(x),当a>1时,函数y=loga

f(x)的单调性与函数t=f(x)(f(x)>0)的

单调性相同;当0<a<1时,函数y=loga

f(x)的单调性与函数t=f(x)(f(x)>0)的单调性相反.②值域:令t=f(x),先由f(x)>0求出定义域,再由定义域求出t=f(x)的值域,最后利用y=logat的单调性求出值

域.(2)y=f(logax)(a>0且a≠1)型函数:①单调性:令u=logax,通过内层函数u=logax的值域确定外层函数y=f(u)的定义域,在此定义域内讨论外层

函数的单调性,再根据复合函数“同增异减”的规律确定函数y=f(logax)的单调性.②值域:令u=logax,先由x的范围求出u=logax的范围,再由u的范围求出y=f(u)的范围.勘破疑难(1)若函数y=logaf(x)的定义域为区间D,则f(x)>0的解集为D;(2)若函数y=logaf(x)在区间D上有意义,则f(x)在区间D上大于0,注意所给区间D是定义域的子集,不一定

是定义域;(3)若函数y=logaf(x)的值域为R,则函数f(x)的值域包含(0,+∞).典例已知函数f(x)=log2(x2-mx+m-1),则下列说法错误的是

()A.当m=0时,函数f(x)的值域为RB.若函数f(x)的定义域为(-∞,1)∪(3,+∞),则m=4C.若函数f(x)在[2,+∞)上单调递增,则实数m的取值范围是(-∞,2]D.对任意的m∈R,函数f(x)都不存在最小值

C

解析对于A,当m=0时,f(x)=log2(x2-1),易知x2-1≥-1,因为(0,+∞)⊆[-1,+∞),所以f(x)的值域为R,故A正确.对于B,由题意得,x2-mx+m-1>0的解集为(-∞,1)∪(3,+∞),所以x2-mx+m-1=0的两根分别为1,3,所以

解得m=4,故B正确.对于C,令t=x2-mx+m-1,则y=log2t.易知y=log2t在定义域内单调递增,又函数f(x)在[2,+∞)上单调递增,所以由复合函数的单调性知,t=x2-mx+m-1在[2,+∞)上单调递增,且t>0,所以

解得m<3,故C错误.对于D,易知对任意的m∈R,方程x2-mx+m-1=0的判别式Δ=m2-4(m-1)=m2-4m+4=(m-2)2≥0恒成立.令u=x2-mx+m-1,则y=log2u.易知u的范围包含(0,+∞),所以函数f(x)=log2(x2-mx+m-1)的值域为R,所以函数f(x)不存在最小值,故D正确.易错警示解决与对