2026年天津市北师大版高中数学高三年级第12章数列综合练习题

2026年天津市北师大版高中数学高三年级第12章数列综合练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N），则数列{a_n}的前n项和S_n等于（）A．2^n-1B．n•2^nC．n•2^n-1D．2^n+n-1解析：由a_n+1=2a_n+1可得a_n+1+1=2(a_n+1)，即{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，故a_n+1=2^n，即a_n=2^n-1。S_n=1+3+5+…+(2n-1)=n^2，又S_n=2^n-1，所以n^2=2^n-1，当n=1时成立，当n≥2时矛盾，故选B。2.若数列{b_n}的前n项和T_n满足T_n=4b_n-3，且b_1=2，则b_3等于（）A．4B．8C．16D．32解析：由T_n=4b_n-3可得T_n-1=4b_n-1-3，两式相减得b_n=4b_n-4b_n-1，即b_n/4=b_n-1，故{b_n}是首项为2，公比为4的等比数列，b_3=2×4^2=32，故选D。3.已知数列{c_n}满足c_1=1，c_n+1/c_n=1+1/n（n∈N），则数列{c_n}的极限为（）A．1B．2C．eD．无穷大解析：由c_n+1/c_n=1+1/n可得ln(c_n+1)-ln(c_n)=ln(1+1/n)，累加可得ln(c_n)=ln(c_1)+ln(1+1/2)+…+ln(1+1/n)=ln(1×3×…×(n+1)/n!)，故c_n=(n+1)/n!，当n→∞时，c_n→0，但数列{c_n}的极限为1（可通过夹逼定理证明），故选A。4.已知数列{d_n}的前n项和S_n=2^n+n，则a_5等于（）A．32B．33C．34D．35解析：由S_n=2^n+n可得a_n=S_n-S_n-1=2^n+n-(2^(n-1)+n-1)=2^n-1，故a_5=2^5-1=31，但选项无31，重新计算发现S_n=2^n+n，故a_n=S_n-S_n-1=2^n+n-(2^(n-1)+n-1)=2^n-1，a_5=31，选项有误，正确答案应为31。5.已知数列{e_n}满足e_1=1，e_n+1=3e_n+2（n∈N），则数列{e_n+1}的前n项和等于（）A．3^n-1B．3^n+nC．3^n-nD．3^n+n-1解析：由e_n+1=3e_n+2可得e_n+1+1=3(e_n+1)，即{e_n+1}是首项为2，公比为3的等比数列，故e_n+1=2×3^(n-1)，前n项和为2(3^n-1)/(3-1)=3^n-1，故选A。6.已知数列{f_n}的前n项和T_n=2^n+n^2，则a_4等于（）A．24B．30C．36D．42解析：由T_n=2^n+n^2可得a_n=T_n-T_n-1=2^n+n^2-(2^(n-1)+(n-1)^2)=2^n-1+2n-1，故a_4=2^4-1+2×4-1=16，选项有误，重新计算发现a_n=2^n-1+2n-1，a_4=16，选项有误。7.已知数列{g_n}满足g_1=1，g_n+1=2g_n+1（n∈N），则数列{g_n}的前n项和S_n等于（）A．2^n-nB．2^n+nC．2^n-n+1D．2^n+n-1解析：由g_n+1=2g_n+1可得g_n+1+1=2(g_n+1)，即{g_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，故g_n+1=2^n，即g_n=2^n-1，S_n=n•2^n-n，故选D。8.已知数列{h_n}的前n项和T_n=3^n-n，则a_3等于（）A．18B．24C．30D．36解析：由T_n=3^n-n可得a_n=T_n-T_n-1=3^n-n-(3^(n-1)-(n-1))=2×3^(n-1)-1，故a_3=2×3^2-1=17，选项有误，重新计算发现a_n=2×3^(n-1)-1，a_3=17，选项有误。9.已知数列{i_n}满足i_1=1，i_n+1=2i_n+1（n∈N），则数列{i_n}的前n项和S_n等于（）A．2^n-nB．2^n+nC．2^n-n+1D．2^n+n-1解析：由i_n+1=2i_n+1可得i_n+1+1=2(i_n+1)，即{i_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，故i_n+1=2^n，即i_n=2^n-1，S_n=n•2^n-n，故选D。10.已知数列{j_n}的前n项和T_n=2^n+n^2，则a_4等于（）A．24B．30C．36D．42解析：由T_n=2^n+n^2可得a_n=T_n-T_n-1=2^n+n^2-(2^(n-1)+(n-1)^2)=2^n-1+2n-1，故a_4=2^4-1+2×4-1=16，选项有误，重新计算发现a_n=2^n-1+2n-1，a_4=16，选项有误。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{k_n}的前n项和T_n=3^n-n^2，则k_4=________。解：由T_n=3^n-n^2可得k_n=T_n-T_n-1=3^n-n^2-(3^(n-1)-(n-1)^2)=2×3^(n-1)-2n+1，故k_4=2×3^3-2×4+1=53。2.已知数列{l_n}满足l_1=1，l_n+1=3l_n+2（n∈N），则l_5=________。解：由l_n+1=3l_n+2可得l_n+1+1=3(l_n+1)，即{l_n+1}是首项为2，公比为3的等比数列，故l_n+1=2×3^(n-1)，即l_n=2×3^(n-1)-1，l_5=2×3^4-1=161。3.若数列{m_n}的前n项和S_n=2^n+n^2，则m_3=________。解：由S_n=2^n+n^2可得m_n=S_n-S_n-1=2^n+n^2-(2^(n-1)+(n-1)^2)=2^n-1+2n-1，故m_3=2^3-1+2×3-1=19。4.已知数列{p_n}满足p_1=1，p_n+1=2p_n+1（n∈N），则p_6=________。解：由p_n+1=2p_n+1可得p_n+1+1=2(p_n+1)，即{p_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，故p_n+1=2^n，即p_n=2^n-1，p_6=2^6-1=63。5.若数列{q_n}的前n项和T_n=3^n-n^2，则q_2=________。解：由T_n=3^n-n^2可得q_n=T_n-T_n-1=3^n-n^2-(3^(n-1)-(n-1)^2)=2×3^(n-1)-2n+1，故q_2=2×3^1-2×2+1=3。6.已知数列{r_n}满足r_1=1，r_n+1=3r_n+2（n∈N），则r_7=________。解：由r_n+1=3r_n+2可得r_n+1+1=3(r_n+1)，即{r_n+1}是首项为2，公比为3的等比数列，故r_n+1=2×3^(n-1)，即r_n=2×3^(n-1)-1，r_7=2×3^6-1=1457。7.若数列{s_n}的前n项和S_n=2^n+n^2，则s_4=________。解：由S_n=2^n+n^2可得s_n=S_n-S_n-1=2^n+n^2-(2^(n-1)+(n-1)^2)=2^n-1+2n-1，故s_4=2^4-1+2×4-1=19。8.已知数列{t_n}满足t_1=1，t_n+1=2t_n+1（n∈N），则t_8=________。解：由t_n+1=2t_n+1可得t_n+1+1=2(t_n+1)，即{t_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，故t_n+1=2^n，即t_n=2^n-1，t_8=2^8-1=255。9.若数列{u_n}的前n项和T_n=3^n-n^2，则u_3=________。解：由T_n=3^n-n^2可得u_n=T_n-T_n-1=3^n-n^2-(3^(n-1)-(n-1)^2)=2×3^(n-1)-2n+1，故u_3=2×3^2-2×3+1=7。10.已知数列{v_n}满足v_1=1，v_n+1=3v_n+2（n∈N），则v_9=________。解：由v_n+1=3v_n+2可得v_n+1+1=3(v_n+1)，即{v_n+1}是首项为2，公比为3的等比数列，故v_n+1=2×3^(n-1)，即v_n=2×3^(n-1)-1，v_9=2×3^8-1=6561。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{w_n}的前n项和S_n=2^n+n^2，则{w_n}是等比数列。解：由S_n=2^n+n^2可得w_n=S_n-S_n-1=2^n+n^2-(2^(n-1)+(n-1)^2)=2^n-1+2n-1，故w_n不是常数，且w_n/w_(n-1)≠常数，所以{w_n}不是等比数列，错误。2.已知数列{x_n}满足x_1=1，x_n+1=2x_n+1（n∈N），则{x_n}是等比数列。解：由x_n+1=2x_n+1可得x_n+1+1=2(x_n+1)，即{x_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，故{x_n}是等比数列，正确。3.若数列{y_n}的前n项和T_n=3^n-n^2，则{y_n}是等差数列。解：由T_n=3^n-n^2可得y_n=T_n-T_n-1=3^n-n^2-(3^(n-1)-(n-1)^2)=2×3^(n-1)-2n+1，故y_n-y_(n-1)≠常数，所以{y_n}不是等差数列，错误。4.已知数列{z_n}满足z_1=1，z_n+1=3z_n+2（n∈N），则{z_n}是等比数列。解：由z_n+1=3z_n+2可得z_n+1+1=3(z_n+1)，即{z_n+1}是首项为2，公比为3的等比数列，故{z_n}是等比数列，正确。5.若数列{a_n}的前n项和S_n=2^n+n^2，则{a_n}是等比数列。解：由S_n=2^n+n^2可得a_n=S_n-S_n-1=2^n+n^2-(2^(n-1)+(n-1)^2)=2^n-1+2n-1，故a_n不是常数，且a_n/a_(n-1)≠常数，所以{a_n}不是等比数列，错误。6.已知数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=2b_n+1（n∈N），则{b_n}是等比数列。解：由b_n+1=2b_n+1可得b_n+1+1=2(b_n+1)，即{b_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，故{b_n}是等比数列，正确。7.若数列{c_n}的前n项和T_n=3^n-n^2，则{c_n}是等差数列。解：由T_n=3^n-n^2可得c_n=T_n-T_n-1=3^n-n^2-(3^(n-1)-(n-1)^2)=2×3^(n-1)-2n+1，故c_n-c_(n-1)≠常数，所以{c_n}不是等差数列，错误。8.已知数列{d_n}满足d_1=1，d_n+1=3d_n+2（n∈N），则{d_n}是等比数列。解：由d_n+1=3d_n+2可得d_n+1+1=3(d_n+1)，即{d_n+1}是首项为2，公比为3的等比数列，故{d_n}是等比数列，正确。9.若数列{e_n}的前n项和S_n=2^n+n^2，则{e_n}是等差数列。解：由S_n=2^n+n^2可得e_n=S_n-S_n-1=2^n+n^2-(2^(n-1)+(n-1)^2)=2^n-1+2n-1，故e_n-e_(n-1)≠常数，所以{e_n}不是等差数列，错误。10.已知数列{f_n}满足f_1=1，f_n+1=2f_n+1（n∈N），则{f_n}是等比数列。解：由f_n+1=2f_n+1可得f_n+1+1=2(f_n+1)，即{f_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，故{f_n}是等比数列，正确。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知数列{g_n}的前n项和T_n=2^n+n^2，求证{g_n}是递增数列。证明：由T_n=2^n+n^2可得g_n=S_n-S_n-1=2^n+n^2-(2^(n-1)+(n-1)^2)=2^n-1+2n-1，g_(n+1)=2^(n+1)-1+2(n+1)-1=2×2^n+2n，g_(n+1)-g_n=2×2^n+2n-(2^n-1+2n-1)=2^n+2>0，故{g_n}是递增数列。2.已知数列{h_n}满足h_1=1，h_n+1=3h_n+2（n∈N），求证{h_n}是等比数列。证明：由h_n+1=3h_n+2可得h_n+1+1=3(h_n+1)，即{h_n+1}是首项为2，公比为3的等比数列，故{h_n}是等比数列。3.若数列{i_n}的前n项和S_n=3^n-n^2，求证{i_n}是递增数列。证明：由S_n=3^n-n^2可得i_n=S_n-S_n-1=3^n-n^2-(3^(n-1)-(n-1)^2)=2×3^(n-1)-2n+1，i_(n+1)=2×3^n-2(n+1)+1=2×3^n-2n-1，i_(n+1)-i_n=2×3^n-2n-1-(2×3^(n-1)-2n+1)=4×3^(n-1)-2>0，故{i_n}是递增数列。4.已知数列{j_n}满足j_1=1，j_n+1=2j_n+1（n∈N），求证{j_n}是等比数列。证明：由j_n+1=2j_n+1可得j_n+1+1=2(j_n+1)，即{j_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，故{j_n}是等比数列。5.若数列{k_n}的前n项和T_n=2^n+n^2，求证{k_n}是递增数列。证明：由T_n=2^n+n^2可得k_n=S_n-S_n-1=2^n+n^2-(2^(n-1)+(n-1)^2)=2^n-1+2n-1，k_(n+1)=2^(n+1)-1+2(n+1)-1=2×2^n+2n，k_(n+1)-k_n=2×2^n+2n-(2^n-1+2n-1)=2^n+2>0，故{k_n}是递增数列。6.已知数列{l_n}满足l_1=1，l_n+1=3l_n+2（n∈N），求证{l_n}是等比数列。证明：由l_n+1=3l_n+2可得l_n+1+1=3(l_n+1)，即{l_n+1}是首项为2，公比为3的等比数列，故{l_n}是等比数列。7.若数列{m_n}的前n项和S_n=3^n-n^2，求证{m_n}是递增数列。证明：由S_n=3^n-n^2可得m_n=S_n-S_n-1=3^n-n^2-(3^(n-1)-(n-1)^2)=2×3^(n-1)-2n+1，m_(n+1)=2×3^n-2(n+1)+1=2×3^n-2n-1，m_(n+1)-m_n=2×3^n-2n-1-(2×3^(n-1)-2n+1)=4×3^(n-1)-2>0，故{m_n}是递增数列。8.已知数列{n_n}满足n_n+1=2n_n+1（n∈N），求证{n_n}是等比数列。证明：由n_n+1=2n_n+1可得n_n+1+1=2(n_n+1)，即{n_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，故{n_n}是等比数列。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂生产一种产品，第一年产量为1万件，以后每年的产量比前一年增长2倍，求第5年的产量。解：设第n年的产量为a_n，则a_1=1，a_n+1=2a_n，故{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，a_n=2^(n-1)，a_5=2^(5-1)=16（万件）。2.某城市人口增长率为每年10%，若2020年人口为100万，求2025年的人口。解：设第n年的人口为p_n，则p_1=100，p_n+1=1.1p_n，故{p_n}是首项为100，公比为1.1的等比数列，p_n=100×1.1^(n-1)，p_5=100×1.1^4≈146.41（万）。3.某投资项目的年收益率为20%，若初始投资为10万元，求第4年的收益。解：设第n年的收益为b_n，则b_1=10×0.2=2，b_n+1=1.2b_n，故{b_n}是首项为2，公比为1.2的等比数列，b_n=2×1.2^(n-1)，b_4=2×1.2^3≈3.456（万元）。4.某湖泊污染治理，每年污染物减少率为30%，若2020年污染物浓度为100mg/L，求2024年的污染物浓度。解：设第n年的污染物浓度为c_n，则c_1=100，c_n+1=0.7c_n，故{c_n}是首项为100，公比为0.7的等比数列，c_n=100×0.7^(n-1)，c_4=100×0.7^3≈34.3（mg/L）。5.某公司员工工资每年上涨15%，若2020年工资为5000元，求2023年的工资。解：设第n年的工资为w_n，则w_1=5000，w_n+1=1.15w_n，故{w_n}是首项为5000，公比为1.15的等比数列，w_n=5000×1.15^(n-1)，w_3=5000×1.15^2≈6612.5（元）。6.某城市道路建设，每年新建道路长度是前一年的1.5倍，若2020年新建道路长度为10km，求2025年的新建道路长度。解：设第n年的新建道路长度为d_n，则d_1=10，d_n+1=1.5d_n，故{d_n}是首项为10，公比为1.5的等比数列，d_n=10×1.5^(n-1)，d_5=10×1.5^4≈50.625（km）。7.某农场种植果树，第一年收获水果100吨，以后每年的收获量比前一年增加20%，求第6年的收获量。解：设第n年的收获量为f_n，则f_1=100，f_n+1=1.2f_n，故{f_n}是首项为100，公比为1.2的等比数列，f_n=100×1.2^(n-1)，f_6=100×1.2^5≈259.2（吨）。8.某科技公司研发投入，每年投入比前一年增加25%，若2020年研发投入为1000万元，求2024年的研发投入。解：设第n年的研发投入为g_n，则g_1=1000，g_n+1=1.25g_n，故{g_n}是首项为1000，公比为1.25的等比数列，g_n=1000×1.25^(n-1)，g_4=1000×1.25^3≈1525.8（万元）。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.C3.A4.C5.A6.C7.D8.B9.D10.C解析：1.由a_n+1=2a_n+1可得a_n+1+1=2(a_n+1)，即{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，故a_n+1=2^n，即a_n=2^n-1，S_n=n•2^n-1，a_5=5×2^5-1=319，选项有误，重新计算发现a_n=2^n-1，S_n=n•2^n-1，a_5=5×2^5-1=319，选项有误。二、填空题1.532.1613.194.635.36.14577.198.2559.710.6561三、判断题1.×2.√3.×4.√5.×6.√7.×8.√9.×10.√四、简答题1.证明：由T_n=2^n+n^2可得g_n=S_n-S_n-1=2^n+n^2-(2^(n-1)+(n-1)^2)=2^n-1+2n-1，g_(n+1)=2^(n+1)-1+2(n+1)-1=2×2^n+2n，g_(n+1)-g_n=2×2^n+2n-(2^n-1+2n-1)=2^n+2>0，故{g_n}是递增数列。2.证明：由h_n+1=3h_n+2可得h_n+1+1=3(h_n+1)，即{h_n+1}是首项为2，公比为3的等比数列，故{h_n}是等比数列。3.证明：由S_n=3^n-n^2可得i_n=S_n-S_n-1=3^n-n^2-(3^(n-1)-(n-1)^2)=2×3^(n-1)-2n+1，i_(n+1)=2×3^n-2(n+1)+1=2×3^n-2n-1，i_(n+1)-i_n=2×3^n-2n-1-(2×3^(n-1)-2n+1)=4×3^(n-1)-2>0，故{i_n}是递增数列。4.证明：由j_n+1=2j_n+1可得j_n+1+1=2(j_n+1)，即{j_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，故{j_n}是等比数列。5.证明：由T_n=2^n+n^2可得k_n=S_n-S_n-1=2^n+n^2-(2^(n-1)+(n-1)^2)=2^n-1+2n-1，k_(n+1)=2^(n+1)-1+2(n+1)-1=2×2^n+2n，k_(n+1)-k_n=2×2^n+2n-(2^n-1+2n-1)=2^n+2>0，故{k_n}是递增数列。6.证明：由l_n+1=3l_n+2可得l_n+1+1=3(l_n+1)，即{l_n+1}是首项为2，公比为3的等比数列，故{l_n}是等比数列。7.证明：由S_n=3^n-n^2可得m_n=S_n-S_n-1=3^n-n^2-(3^(n-1)-(n-1)^2)=2×3^(n-1)-2n+1，m_(n+1)=2×3^n-2(n+1)+1=2×3^n-2n-1，m_(n+1)-m_n=2×3^n-2n-1-(2×3^(n-1)-2n+1)=4×3^(n-1)-2>