山东省德州市庆云县2026年中考二模数学试卷（含答案）

山东省德州市庆云县2025-2026学年九年级二模数学试题一、单选题1．中国传统经典纹样，广泛应用于器物、建筑与服饰、千古流传，影响深远，下列纹样示意图中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

）A．如意纹 B．风车纹 C．柿蒂纹 D．冰裂纹2．在下列四个数中，其中是无理数的是（

）A． B． C． D．3．某几何体的三视图如图所示，该几何体为（

）A． B．C． D．4．如图，点A，B分别在平面直角坐标系x轴和y轴上，连接，已知，，将绕点B顺时针旋转得到，则点D的坐标为（

）A．4 B．2 C． D．5．某工厂计划生产300个零件，由于采用新技术，实际每天生产的零件数比原计划多，结果提前2天完成任务．设原计划每天生产个零件，可列方程为（）A． B．C． D．6．如图，在菱形中，对角线、相交于点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、；再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；作射线，交于点．若，，则（

）A．7 B．14 C．10 D．127．如图，在，，，，P为上一点，，动点M，N分别在边和射线上（点M不与点A，C重合），，令，的面积为y，则y关于x的函数图象是（

）A． B． C． D．8．如图，中，点E，F分别是，边上的中点，连接，，．若是等腰直角三角形，，则的长是（

）A．3 B． C． D．9．如图，以为直径画半圆，点C为半圆的中点，连接，，点E在弦上，，过点B作的垂线交的延长线于点D，则的值为（

）A． B． C． D．10．对某一个函数给出如下定义：对于函数y，若当，函数值y满足，且满足，则称此函数为“k型闭函数”，下列结论：①一次函数是“2型闭函数”；②若一次函数是“1型闭函数”，则；③反比例函数（，且）是“k型闭函数”，且，则；④二次函数是“k型闭函数”，则k的取值范围是．其中正确的是（

）A．①④ B．②④ C．①②③ D．①③④二、填空题11．式子在实数范围内有意义，则的取值范围是___________．12．如图，一束光线沿着平行于主光轴的方向射向凸透镜，经过凸透镜折射后，其折射光线恰与一束经过光心O的光线相交于点F（D，O，E共线）.若，，则的度数为______.13．设为一元二次方程的两个实数根，则的值为_____．14．如图，在平面直角坐标系中，A、B为反比例函数图象上的两点，点A的横坐标为3，直线AB与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知，，则k的值为________．15．如图，在正方形中，对角线，相交于点，点在边上，且，连接交于点，过点作，连接并延长，交于点，过点作分别交、于点、，交的延长线于点，现给出下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有________．三、解答题16．计算：(1)计算：；(2)．17．【项目背景】为切实关心青少年身心健康，学校开展阳光体育运动，主要活动有一分钟限时跳绳比赛、投掷实心球、长跑等．该校九年级数学兴趣小组对三项活动情况进行了调查统计．【数据收集与整理】（一）现将九年级部分女生投掷实心球的成绩分成5个小组（x表示成绩，单位：米）进行整理．A组：；B组：；C组：；D组：；E组，并绘制出扇形统计图和频数分布直方图（不完整）．规定为合格，为优秀．（二）该项活动中有40名选手参加一分钟限时跳绳比赛，现将比赛成绩（单位：个/分钟）进行统计，成绩统计表如下．一分钟限时跳绳比赛成绩统计表成绩（个/分钟）人数【数据分析与应用】(1)任务一：掷实心球的女生有人；掷实心球的女生成绩的中位数落在组；(2)任务二：若该校九年级共有200名女生，请估计这200名女生中掷实心球成绩优秀的人数；(3)任务三：将跳绳个数在161~190的选手依次记为，从中随机抽取两名选手做经验交流．请用树状图或列表法求恰好抽取到选手的概率．18．数学课题研究小组针对住房窗户“如何设计遮阳篷”这一课题进行了探究，过程如下：【方案设计】要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．该数学课题研究小组通过调查研究，设计安装了如图1的遮阳篷，其中遮阳篷垂直于墙面表示窗户．【数据收集】如图，通过查阅相关资料和实际测量：夏至日这一天的正午时刻太阳光线与遮阳篷的夹角最大，且最大角；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线与遮阳篷的夹角最小，且最小角．【问题提出】(1)如图2，若只要求设计的遮阳篷能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，当时，求的长；(2)如图3，要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．当时，根据上述方案及数据，求遮阳篷的长．（结果精确到）（参考数据：）19．为提升学生动手实践操作能力，开阔学生视野，某校决定九年级学生到中小学实践基地进行为期两周的实训，现需要租用大、小两种型号的客车，若租用9辆大型客车和6辆小型客车，则一共需要6150元，若租用8辆大型客车和12辆小型客车，则一共需要7800元．(1)租用每辆大型客车、每辆小型客车的价格分别是多少元？(2)经学校研究决定九年级全体任课教师共同参与本次实训活动，若该校计划租用大、小两种型号的客车共25辆，其中租用大型客车辆，且大型客车的数量至少比小型客车的数量多5辆，又不超过小型客车的数量的2倍，怎样租车，才能使总费用最少？并求出最少租车费用．20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，．(1)求一次函数及反比例函数的表达式；(2)若为直线上一动点，当时，求点的坐标．21．如图，为的直径，点C，D在上，，过点D作，交的延长线于点E．(1)求证：是的切线；(2)连接交于点F．若，，求的长．22．已知抛物线（a，b，c为常数，，）的顶点为P，与y轴交于点C，O为坐标原点．(1)当，，时，则该抛物线顶点P的坐标为________；(2)若．①M是抛物线上第一象限内一点，设，，且，求c的值；②若抛物线与x轴的一个交点坐标为，点D在抛物线的对称轴上，当的最小值为时，求a的值．23．如图，在中，．(1)如图，若，将绕点顺时针旋转得到线段，连接，，求的度数；(2)如图，若，将绕点顺时针旋转得到线段，连接，，点是的中点，连接交于点，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明；(3)如图，若，将绕点旋转得到线段，连接，当取最大值时，在直线上取一点，连接，将沿翻折到所在的平面内，得到，连接．当取最小值时，直接写出的值．参考答案1．C【详解】选项是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；选项不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；选项是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；选项不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．2．B【详解】解：A选项．是分数，属于有理数，B选项．开立方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数，C选项．是有限小数，属于有理数，D选项．，7是整数，属于有理数．3．B【详解】解：根据三视图，正面是一个长方形，左面也是长方形，上面是三角形，该几何体为三棱柱．4．D【详解】解：∵，，∴，∴，∵将绕点顺时针旋转得到，∴，∴，∵点D在第一象限，∴．5．A【详解】解：设原计划每天生产个零件，则实际每天生产个零件．∵原计划天数为，实际天数为，且提前2天完成任务，∴．故选：A．6．A【详解】如图，过点作于，由作图可知，射线平分，四边形是菱形，，，．7．B【详解】解：延长，使,连接，延长，交于，过点作，∵，，，∴,,∴是等边三角形，,，∵∴∴,∴,,,∵，∴，∵，∴,,,∴，∴，∴，，，则y关于x的函数为反比例函数，∴只有B选项满足条件．8．A【详解】解：延长，交的延长线于点M，∵是边的中点，∴，∵四边形是平行四边形，∴，∵F是边上的中点，∴，，∵，∴，∴，∵，∴垂直平分，∴，∴．9．D【详解】解：设半圆的圆心为，连接，过点作于点，点C为半圆的中点，，，，，为半圆的直径，，，在中，，，，，在中，，，，设则,,令，则，，,,．10．D【详解】解：①对于一次函数，随增大而增大时，；时，，即，，又，满足①正确；②对于一次函数，是“1型闭函数”，则当时，随增大而增大，，得当时，随增大而减小，，得故或②错误；③对于反比例函数，随增大而减小，，∴函数是“k型闭函数”，，约去得，③正确；④二次函数，开口向下，对称轴为，，由定义得，即当时，函数在上，随着的增大而减小，∴，解得当时，最大值在取得，最小值在取得，∴，∵，，∴在上的值随着的增大而减小，∴∴；当时，最大值在取得，最小值在取得，∴，∵，∴在上，的值随着的增大而增大，∴∴；当时，函数在上，随着的增大而增大，∴，解得综上，，④正确．综上，正确结论为①③④．11．且【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，∴，∴且，故答案为：且．12．/45度【详解】解：如图，标记点H，，，，，，，故答案为：．13．2026【详解】解：是一元二次方程的实数根，，即，对所求代数式变形：，是一元二次方程的两个实数根，根据根与系数的关系可得，代入得原式．14．6【详解】解：点在反比例函数上，横坐标为3，，即的纵坐标为．和有共同的底边，它们的高分别是点到轴的距离、点到轴的距离．，，同底三角形的面积比等于高的比：，，，，，．15．①②③【详解】解：∵四边形是正方形，∴，，∵，∴，∵，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故①正确；如图，过点O作于K，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，又∵，，∴，∴，故②正确；③∵，，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，故③正确；∵，，∴，∵，∴，∴，∴，故④错误，综上，正确的结论是①②③．16．(1)(2)【详解】（1）解：；（2）解：．17．(1)50；C(2)（人）(3)【详解】（1）解：由题意知A组占，有5人，所以掷实心球的女生的人数为：（人）．C组有人所以E组有人，将这50个女生的成绩由低到高分组排列，A组有5人，B组有10人，C组有15人，D组有15人，E组有5人，所以成绩的中位数落在C组；（2）解：E组有5人，优秀率为所以这200名女生中掷实心球成绩优秀的人数为（人）（3）由成绩统计表得跳绳个数在的选手共有人，依次记为，画树状图如下：共有12种不同的情况，且每一种可能性都相同，其中恰好抽到选手的有两种，∴恰好抽到选手的概率为．18．(1)；(2)．【详解】（1）解：如图2，在中，，，，的长为；（2）解：如图3，在中，，，，在中，，，，，，∴遮阳篷的长为．19．(1)租用大型客车每辆450元，租用小型客车每辆350元(2)租用大型客车15辆，小型客车10辆，才能使费用最少，最少为元【详解】（1）由题意，设租用大型客车每辆元，租用小型客车每辆元，，，．答：租用大型客车每辆450元，租用小型客车每辆350元；（2）由题意，大型客车辆，则小型客车辆，，，又为整数，或16，又，且，随增大而增大，当时费用最少，此时大型客车为15辆，小型客车：（辆），最少费用：（元）．20．(1)反比例函数的表达式为；一次函数的表达式为(2)点的坐标为或【详解】（1）解：一次函数与反比例函数的图象交于点，，，反比例函数的表达式为，把点，点的坐标分别代入得：，解得：，一次函数的表达式为；（2）解：①当在线段上时，如图1，过点作轴，过点作于点，过点作于点．则，设，∵，，，，，，解得：，点的坐标为；②当点在延长线时，如图2，过点作轴，过点作于点，过点作于点．则，设，∵，，，，，，解得：，经检验是分式方程的解，且符合题意，点的坐标为．综上所述，点的坐标为或；21．(1)证明：如图，连接，∵，，∴，∵为的直径，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，即．∵为半径，∴是的切线；(2)【详解】（1）略（2）解：连接交于点F．由（1）可知，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，设，，则，∴，，∵，∴，∴，解得，∴．22．(1)(2)①1；1【详解】（1）解：∵，，，，∴，∴该抛物线顶点P的坐标为；（2）解：①如图1，过M点作轴于点N，过P点作轴于点E．∵，∴，∴，∴抛物线的对称轴为直线，∵，∴，∴∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴P点坐标为，∵P为抛物线的顶点，∴P点坐标为，∴，∴M点坐标为，将，代入，得：，解得：，∴c的值为1；②∵，∴当取得最小值时，的值最小．由①知，抛物线的对称轴为直线，∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，∴抛物线的解析式为，∴C点坐标为，顶点P坐标为，∵，∴，如图2，过点P作直线与直线成角，与抛物线的交点为G，交y轴于点H，过点D作，垂足为Q，连接．在中，，∴，∴当C，D，Q三点共线，且时，取得最小值，即取得最小值，在中，，∴，即，过点C作交x轴于F，∴，在中，，即，∴，即F点坐标为，设直线的解析式为，∴，∴，∴直线的解析式为，