自动控制系统的数学模型

第二章自动控制系统数学模型

教学目标：

（1）建立动态模拟概念，能编写系统微分方程。

（2）掌握传输函数概念及求法。

（3）经过本课学习掌握电路或系统动态结构图求法，并能应用各步骤传输函数，求系统

动态结构图。

（4）经过本课学习掌握电路或自动控制系统动态结构图求法，并对系统结构图进行变换。

（5）掌握信号流图概念，会用梅逊公式求系统闭环传输函数。

（6）经过此次课学习，使学生加深对以前所学知识了解，培养学生分析问题能力

教学要求：

（1）正确了解数学模型特点；

（2）了解动态微分方程建立通常步骤和方法；

（3）牢靠掌握传输函数定义和性质，掌握经典步骤及传输函数；

（4）掌握系统结构图建立、等效变换及其系统开环、闭环传输函数求取，并对关键传输函

数如：控制输入下闭环传输函数、扰动输入下闭环传输函数、误差传输函数,能够熟

练掌握；

（5）掌握利用梅逊公式求闭环传输函数方法；

（6）掌握结构图和信号流图定义和组成方法，熟练掌握等效变换代数法则，简化图形结构,

掌握从其它不一样形式数学模型求取系统传输函数方法。

教学关键：

有源网络和无源网络微分方程编写；有源网络和无源网络求传输函数；传输函数概念及求

法；由各步骤传输函数，求系统动态结构图；由各步骤传输函数对系统动态结构图进行变换；

梅逊增益公式应用。

教学难点：举经典例题说明微分方程建立方法；求高阶系统响应；求复杂系统动态结构图；对

复杂系统动态结构图进行变换；求第K条前向通道特记式余子式5o

教学方法：讲授

本章课时：10课时

关键内容：

2.0引言

2.1动态微分方程建立

2.2线性系统传输函数

2.3经典步骤及其传输函数

2.4系统结构图

2.5信号流图及梅逊公式

2.0引言：

什么是数学模型？为何要建立系统数学模型？

I.系统数学模型：描述系统输入输出变量和各变量之间关系数学表示式。

1)动态模型：描述系统处于暂态过程中个变量之间关系表示式，她通常是时间函数。

如：微分方程，传输函数，状态方程等。

2)静态模型：描述过程处于稳态时各变量之间关系。通常不是时间函数

2.建立动态模型方法

1)机理分析法：用定律定理建立动态模型。

2)试验法：利用试验数据提供信息，采取辨识方法建模。

3.建立动态模型意义：找出系统输入输出变量之间相互关系，方便分析设计系统，使系统控

制效果最优。

2.1动态微分方程建立

不管什么系统，输入输出量在暂态过程中全部遵照一定规律，来反应该系统特征。

为了使系统满足暂态性要求，必需对系统暂态过程进行分析，掌握其内在规律，数学模型

能够描述这一规律。

一、编写系统或元件微分方程步骤：

I.依据实际情况，确定系统输入输出变量。

2.从系统输入端开始，按信号传输次序，以此写出组成系统各个元件微分方程（或运动

方程）。

3.消去中间变量，写出输入输出变曷微分方程。

二、举例

例1R—L—C电路

l--1_

依据电路基础原理有：

叫+£%+%=%

，一—•

d2udu

nL7c——三c+Rc-c-+u=u

dt2dt'r'r

例2质量一弹簧一阻尼系统

ZZZZZ

F|二

M

卜

/////

由牛顿定律：VF=ma

”—心=心

•dtdr

^mJ+fdt+ky=F

3）电动机：RaLa

—435^^--------1

urjiyO

Ur:电枢控制输入

2：被控■

_,di..n.

电路方程：aadl⑴

动力学方程:M—M=J⑵

cdt

Ea=kq⑶

[M=5(4)

f/QM(

(4)f⑵得："=——4---⑸

的小kd

(3)(5)->(1)得:

LadMcR.

M)

砥出服dtdrR.小k.

整理并定义两个时间常数

符=北机电时间常数

kd

2=T〃电磁时间常数

Rc

电机方程

TT/CTg八1.

假如忽略阻力矩即M°=0,方程右边只有电枢回路控制量明,则电机方程是一经典二

阶方程

假如忽略，（7；=0）电机方程就是一阶

T—+^=—u

tndtkJr

小结：本节经过讲授介绍了自动控制系统数学模型，介绍了系统动态和静态数学模型，描述了

系统动态微分方程，并经过多个经典实例给出了求自动控制系统动态微分方程步骤。

2.2线性系统传输函数

求解微分方程，可求出系统输出响应,但假如方程阶次较高，则计算很繁，所以对系统设计分析

不便，所以应用传输函数将实数中微分运算变成复数中代数运算，可是问题分析大大简化.

1.传输函数定义：

传输函数：线性系统，在零初始条件下,输出信号拉氏变换和输入拉氏变换之比，叫做系统传

输函数。

线性定常控制系统微分方程通常表示式：

设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述：

n

d/、d"T/、dzx/、

方C")+60'+…+J括c«)+anc(t)

jm

=%dT"')+A后，⑺+…+]r⑺+b”N)

式中c⑴是系统输出量，I■⑴是系统输入量，《('=123,…和鸟(/=12…，⑼是和系统结构

和参数相关常系数。

设r⑴和c(t)及其各阶系数在1=0是值均为零，即零初始条件，则对上式中各项分别求拉氏变

换，并令c(s)=L[c⑴],R(s)=L|r(t)J,可得s代数方程为：

nnl,nmx

[aQs+aAs~+…++q/C(s)=[hQs+hxs~+•••+%"am]R(s)

于是，由定义得系统传输函数为:

r/cxC(s)如m+<〃I+…+*s+>M(s)

R($)%$"+qs+…+%_]S+anNG)

式中M(s)=如+As"i+…+"〃_]S+2“

N(s)=〃oS"+qs"T+…+%_|S+Q“

2.相关传输函数几点说明：

1)传输函数概念只适应于线性定常系统。

2)G(s)即使描述了输出和输入之间关系，但它不提供任何该系统物理结构。因为很多不一

样物理系统含有完全相同传输函数。

3)传输函数只和系统本身特征参数相关，和系统输入量无关。

4)传输函数不能反应系统非零初始条件下运动规律。

5)传输函数分子多项式阶次(m)小于等于分母多项式阶次(n)o

6)传输函数和微分方程之间关系。

G(s)=3

R(s)

假如将S。£置换传递函数=微分方程

dt

7)脉冲响应(脉冲过渡函数)g(t)是系统在单位脉冲3(，)输入时输出响应。因为

/?($)=/,»(，)]=1

c(t)=LH|C(.y)]==[r(t)g(t-r)dT=\r(t-r)g(T)dr

JOJO

传输函数G(s)拉氏反变换是脉冲响应g(t)

3.传输函数求法:

图2-6

输入量Xr-u,输出量Xc-i。列回路电压方程;

u=Ri+L—(2—27)

dt

即Xr(s)=RXc(s)+LSXc(s)(2-28)

Xc(s)_MR

经整理得:(2—29)

Xr(s)£s+l

其中T尸工，为电路时间常数.

R

思索题:

(唠Wy⑸f(0)-y(0),什么是零初始条件?

怎样从该框图求得夕和犷之间关系？

从微分方程C传递函数

2.3经典步骤及其传输函数

任何系统全部是由各步骤组成，知道了各经典步骤传输函数就不难求出系统传输函数，从

而对系统进行分析。这些经典步骤包含：百分比步骤、惯性步骤、积分步骤、微分步骤、振

荡步骤和时滞步骤。下面分别加以介绍：

1.百分比步骤

G(s)=K

式中K——增益

特点：输入输出量成百分比，无失真和时间延迟。

实例：电子放大器，齿轮，电阻(电位器)，感应式变送器等。

2.惯性步骤

式中T——时间常数

特点：含一个储能元件，对突变输入其输出不能立即复现，输出无振荡。

实例：图2-4所表示RC网络，直流伺服电动机传输函数也包含这一步骤。

3.微分步骤

理想微分G(s)=KS

一阶微分G(s)=zS+l

二阶微分G(s)=T2S2+2^S+1

特点：输出量正比输入量改变速度，能预示输入信号改变趋势。

实例：测速发电机输出电压和输入角度间传输函数即为微分步骤。

4.积分步骤

G($)二"

特点：输出量和输入量积分成正百分比，当输入消失，输出含有记忆功效。

实例：电动机角速度和角度间传输函数，模拟计算机中积分器等。

5.振荡步骤

G(s)=-----------------7=!---------

S2+2Ms+co；T2S2+2即+1

式中€——阻尼比(OWjcl)

巴一一无阻尼自然振荡频率

T=—

以

特点：步骤中有两个独立储能元件，并可进行能量交换，其输出出现振荡。

实例：RLC电路输出和输入电压间传输函数。

6.纯时间延时步骤

cQ)=r(r-r)

G(s)=厂

式中r一一延迟时间

特点：输出量能正确复现输入量，但须延迟一周定时间间隔。

实例：管道压力、流量等物理量控制，其数学模型就包含有延迟步骤。

小结：经过本节讲授使学生掌握了传输函数基础概念及经典步骤传输函数。并了解了经典二阶

步骤各参数物理意义。

2.4系统结构图

一、结构图定义及其组成

1.结构图：是描述系统各组成元件之间信号传输关系数学图形，它表示了系统输入输出之间

关系。

2.结构图组成:

(1)信号线：带箭头直线，箭头表示信号传输方向。

(2)分支点(引出点)：表示信号引出或测量位置。

图2-7分支点示意图

注意：同一位置引出信号大小和性质完全一样。

(3)比较点：对两个以上信号加减运算。

T3

T1T1-T2+T3

12

Ti_T1+T2T1T1-T2

-------+0-------

*、

T2T2

图2-8比较点示意图

（4）方框：方框图内输入步骤传输函数。

3.动态结构图绘制步骤：

（1）建立控制系统各元件微分方程（传输函数）要标明输入输出量。

（2）对元件微分方程进行拉氏变换，并作出各元件结构图，

（3）按系统各变量传输次序，依次将各元件结构图连接起来。

二、系统动态结构图求法

例图2-9是闭环调速系统

图2-9

（一）求各步骤传输函数和方框图

1.比较步骤和速度调整器传输函数和方框图

(⑸="二((s)=u,")!，

与+上仆

C[S

2勺.1

2%s

/,1+3//、，、1、

〃人(s)=kc---------(s)-uf(s)———)

F151+T()S

式中为滤波常数。=与6为时间常数

为百分比系数/（S）为速度调整器函数

吗⑶为速度反馈滤波传输函数

方框图如

Ur(S)UK(S)

W4S)

Uf⑸

图2-10

2.速度反馈传输函数

〃/(s)=kspn(s)%为速度反馈系数

n(S)UtiS)

图2-11

3.电动机及功率放大器装置传输函数

函数：卬($)=心=左认为功放电压放大系数

UK(S)Ud(S)

K,

图2-12

电动机电框回路微分方程：〃4-凡儿十〃

at

零初始条件下拉氏变换：〃G)=，丁(?=［《/(s)-c/(s)］卬4(s)

RQ+TdS)

明(s)—电框回路传输函数

IMS)WS)

W.1(S)

图2-13

电动机带负载时运动方程…——票警

拉氏变换：ld(s)-lz(5)=。：??Sn(s)=Tm^-Sn(s)

c,〃3/5q&Rd

n(s)=[I(s)-/(5)]=%⑸-4⑸]吗G)(2-47)

dzc,工”S

（二）系统动态结构图

n♦(S)

图2-14

三、框图等效变换

1.框图多个常见连接方法

(1)步骤串联连接传输函数

图2/5

证实：再(s)="(s)x,($)

X2(s)=卬［(S)X|G)X3(5)=W3(s)x2(s)

消去中间变量得多个步骤串联传输函数

卬(s)="(S)卬2(S)%(S)(2-50)

若有多个步骤串联，则等效函数：

%(S)W,(S)...…卬〃(*)=n吗(，)(2-51)

/=1

(2)步骤并联传输函数

w./s

Xr(S)Xr(S)

W1(S)+W2⑸+W3⑸

图2-16

证实:

xc(s)=Xj(s)+X2(.y)+X3(s)

二"(s)x,(s)+%G)X,(s)+L(s)%(S)

(2-52)

=[%=)+卬(2s)+%($)]%(s)

=w(s)xr(s)

x(g)

••-7--=Ms)=%(5)+W2(s)+/(s)(2-53)

巧⑸

若有多个步骤并联：田s)=卬］(s)卬2(s)......W“(s)=2个(5)(2-54)

f-1

(3)反馈连接等效传输函数

E(S)

Xr(S)XdS)

图2-17

特点：将输出量返回系统输入形式闭环。有两个通道［正向通道反馈通道）。

传输函数推导:

z(s)=W(s)E(s)E(5)=X,.(5)+XZ(S)xf(s)=w2(s)xc(s)

E（s）=Z（S）干卬2（S），（S）%c（S）="（S）K（S）¥卬2（《）与（$）］

。（5）±W,（5）W2（5）X（.（5）=W］（S）X,.（S）

传递函数为狡⑸=—蛇一（2-55）

1土书（$）卬2（$）

2.框图等效变换

（1）和加点从单元输入端移到输巴端

变换前：X3（s）=%（S）［X］（5）+x2（5）］

w

变换后：X3(5)=Xj(S)W](S)+尤2($)叱G)=lGAMG)+%⑸]

(2)相加点从单元输出端移到输入端

X.(S)cXr(S)

W.(S)/一

X2(S)二

图2-19

变换前：必⑸=卬I⑸再(S)+“2($)

变换后：、3(S)=X|(S)+」-X,(S)叱(S)=X|(S)W|(S)+X,(S)

L“(s)J

(3)分支点从单元输入端移到输出端

图2-30

(4)分支点从单元输出端移到输入端

图2-31

(5)分支点及相加点能够交换

图2-32

彳±±X2(S)

X2⑸

X1(S)x4⑸

X4(S)

i'

XKS)

图2-33

四、多个基础概念及术语

R⑹——

给定输入

C(s)——

输出

B(s)——

主反馈量

E(s)——

打开反馈

误差

图2-34反馈控制系统方框图

⑴前向

通路传输函数假设N($)=0

打开反馈后，输出C⑸和R⑸之比。在图中等价于C(s)和误差之比E(s)o

打开反馈后，输出量拉氏和输入量拉氏之比。

C(5)

=GG)G2(S)=G(S)

4$)

⑵反馈R路传输函数(FeedforwardTransferFunction)假设N(s)=0

主反馈信号B(s)和输出信号C(s)之比。

8($)

=H(s)

C(s)

(3)开环传输函数(Open-loopTransferFunction)假设N(s)=0

主反馈信号B(s)和误差信号E⑸之比。

⑷只有给定输入作用（N（S）=0）

3(s)Gz⑸

G,.(s)=

1+G](S)G2(S)H(S)

G]G)G2(S)R(S)

系统输出：Cr（5）=

1+G|($&($)”(s)

（5）只有扰动作用[N（s）=0]

G(.S)

G“(s)=2

1+G(S)G2(S)”(S)

G(S)N(S)

C〃(s)=2

1+G(S)G2(S)"(S)

系统总输出:

C（5）=Cr（5）+C„（5）=[G(S)R⑸+N(s)]

1+G|(5)G2(S)”(S)

小结：经过本课学习使学生掌握电路或系统动态结构图求法，并能应用各步骤传输函数，求系

统动态结构图；掌握等效概念及等效变换基础标准，能够求出复杂结构图传输函数。

2.5信号流图及梅逊公式

一、信号流图

由系统结构图能够求出系统传输函数，不过系统很复杂时，结构图简化很繁，采取信号流

图，无须对信号流图简化，应用统一公式，可求出系统传输函数。

1.绘制方法：

(1)由代数方程绘制：

例：描述系统方程组为：

X2=aXi+bX2+2X5

X^=cX?

<

XqdXi+lXq+fXi

、Xs=Xi+hXa

信号流图是由节点和支路组成信号传输网络，节点表示系统变量或是信号用“0”表示,

支路用有向线段表示。

该系统信号流图：

c

X1x2\x3

g

图2-35

(2)由系统结构图绘制

图2-36

图2-37

2.信号流图使用术语

源点：汇点：混合节点；闭通路（回环）：回路增益；前向通路；自回路：不接触回

路。

讲法：结合信号流图讲述。

3.梅逊增益公式求传输函数

利用梅逊增益公式，不用对系统结构图变换，一点写出系统传输函数。

V1n

7=/=—（2-65）

Xr△K=l

X，系统输出量；X,—系统输出量；T---系统总传输；—第K条前向通路传输；

n一从输入节点到输出节点前向通路数：信号流图特征式。

A2>1+2>2一24+…+（T）'”ZL（2-66）

-信号流图中全部不一•样回环传输之和。

-信号流图中每两个互不接触回环传输乘积之和。

一信号流图中每三个互不接触回环传输乘积之和。

ZL,“-信号流图中每m个互不接触回环传输乘积之和。

4-第K条前向通路特征式余子式，是在中除去和第K条前向通路相接触各回环传输（立

即其置零）。

例1：图求系统总传输。

X,

»O

X.

图2—38

依据梅逊增益公式：T二阳

△hi

此系统有两条前向通路n=2,其传输7；=abcd,T2=fd;三个回环:La=be,Lh=-abcdg,Lc=-fdg

三个回环只有L”和L，互不接触

，系统特征方程式：△=1-+犷L、

=1-(L〃+，+4)+L/c

=l-be+(abc+f-bef)dg

△1为除去(在△中)得T1特征余子式劣=1

&在中△除去和T2接触回环I”,人得特征余子式△=1-%

系统传输为：T=ig7；.A,=!(?；△,+T2A2)

abcd+fitbe)

\-be+(f+abc-bef)dg

例2：图求系统传输函数

X,

图2—39

信号流图

系统前向通路:T1=W1W3W5,T2统2W4W5

系统回环及传输：乙a=-WlW3V5Hl

ZZ?=-W2W4W5

Nc二一W3H2

Nd二-W4H2

=La+Lb+Lc+Ld=-(W1W3W5H1+W2W4W5H1+W3H2+W4H2)

•・,各回环相互接触=W/3=0

A=1-Z〃=1+W1W3W5m+W2W4W5Hl+W3Hl+W4H2各回环和前向通路T1,T2接触

Al=A2=1

系统传输函数：

wT1A1+T2A2W1W3W5+W2W4W5

W(S)=----------=-----------