人教版九年级数学上册《30.3正多边形与圆》同步练习题（带答案）

第页精品试卷·第2页（共2页）人教版九年级数学上册《30.3正多边形与圆》同步练习题（带答案）一、单选题1．正六边形的中心角的度数为（

）A．45° B．60° C．90° D．120°2．一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为72°，则该正多边形的边数是（

）A．3 B．4 C．5 D．63．在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（

）A．π B．2π C．3π 4．下列四个命题中，正确的是（

）（1）各角相等的圆内接五边形是正五边形；（2）各边相等的圆内接五边形是正五边形；（3）各角相等的圆内接六边形是正六边形；（4）各边相等的圆内接六边形是正六边形．A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4） C．（1）（3）（4） D．（2）（3）（4）5．如图，已知⊙O的半径为4，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG

A．23 B．32 C．26．科学家发现苯分子中的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（如图1），图2是其平面示意图，点O为正六边形ABCDEF的中心，则∠CBFA．60° B．75° C．45° D．30°7．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若△AOB的面积为43A．4 B．23 C．22 8．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”蕴含了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．如图，⊙O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O的面积，可得π的估计值为33A．22 B．3 C．23二、填空题9．大疆航拍无人机在距地面相同的高空，沿正多边形航线飞行完成拍摄任务，它到达正多边形的每个顶点时需要转动36°才能继续沿该正多边形的边飞行，则这个正多边形的边数为__________．10．在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．如图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是___________．11．正n边形的边数变为原来的2倍时，它的每个内角增加_______，每个中心角减少_____．12．如图，在平面直角坐标系中，以正六边形ABCDEF的中心O为原点，顶点A，D在x轴上，若半径是4，则顶点C的坐标为______．13．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P为弧BCD上的动点（不与端点重合），连接AP，过点D作DQ⊥AP于点Q，连接BQ，若⊙O的半径为三、解答题14．如图，点A是⊙O(1)画出⊙O的内接正△(2)在⊙O上画出M、N两点，使得∠15．如图，正△ABC外接圆的半径为2，求正△16．大圆O和小圆O为同心圆，正六边形ABCDEF为大圆O的内接正六边形，连接AC，CE．连接OB与AC交于点K，同时小圆O与(1)求证：CE是小圆O的切线．(2)若OK=3，求阴影部分的面积．（结果用17．阅读下面材料：小岩遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且PA＝1，PB=小岩是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造△AP'(1)请你回答：图1中∠APB的度数等于____；（直接写答案）参考小岩同学思考问题的方法，解决下列问题：(2)如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=2，PB=1(3)如图4，在正六边形ABCDEF内有一点P，若∠APB＝120°，直接写出PA，PB和PF的数量关系．参考答案题号12345678答案BCDBADAB1．【答案】B【知识点】求正多边形的中心角【分析】本题考查了正多边形中心角的定义，注意准确掌握定义是关键．根据题意正多边形中心角即为360°除以正多边形边数即可选出本题答案．【详解】解：正六边形的中心角度数=360°故选：B．2．【答案】C【知识点】已知正多边形的中心角求边数【分析】根据正多边形的中心角=360°n【详解】解：设正多边形的边数为n．由题意360°n∴n=5故选：C．【点睛】本题考查正多边形的有关知识，解题的关键是记住正多边形的中心角=360°n3．【答案】D【知识点】正多边形和圆的综合、求其他不规则图形的面积【分析】本题主要考查了正方形的内切圆、外切圆、勾股定理等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．如图：连接AB、DC相交于O，由正方形的内切圆的半径是2，AC=BC=4，OA【详解】解：如图：连接AB、∵正方形的内切圆的半径是2∴AC=BC∴AB=A∴图中阴影部分的面积是π⋅故选D．4．【答案】B【知识点】正多边形和圆的综合【分析】本题考查多边形与圆的关系，熟记正多边形的概念及正多边形与圆的关系是解题的关键；根据正多边形的性质及正多边形与圆的关系逐项判断即可．【详解】（1）各角相等的圆内接五边形是正五边形，因为圆内接五边形的角度都是相等的，所以是正五边形，故符合题意；（2）各边相等的圆内接五边形是正五边形，因为圆内接五边形的边长都相等，所以是正五边形，故符合题意；（3）各角相等的圆内接六边形，因为圆内接六边形的角度相等，但各边不一定相等，所以不一定是正六边形，故不符合题意；（4）各边相等的圆内接六边形是正六边形，因为圆内接六边形的边长都是相等的，所以是正六边形，故符合题意．综上所述命题正确的有（1）（2）（4）故选：B5．【答案】A【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、正多边形和圆的综合【分析】本题考查了正多边形，等边三角形的判定及性质，熟练掌握圆内接正多边形的相关概念是解题的关键．连接OC，OD，可得△OCD是等边三角形，根据边心距即为等边三角形的高用勾股定理求出OG【详解】解：连接OC，OD

∵六边形ABCDEF是正六边形∴∠∴△OCD由题意可知OG⊥CD，则OG∴OC∴OG故选：A．6．【答案】D【知识点】正多边形的内角问题、求正多边形的中心角【分析】本题考查了正多边形的性质，中心角的计算，等腰三角形的三线合一性质，熟练掌握多边形的性质和中心角的计算是解题的关键．根据点O为正六边形ABCDEF的中心，得到AB=AF,∠BAF=∠ABC=120°【详解】∵点O为正六边形ABCDEF的中心∴AB∴∠∴∠∴∠故选：D．7．【答案】A【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、正多边形和圆的综合【分析】本题考查的知识点是正多边形与圆的综合、等边三角形的判定与性质、勾股定理，解题关键是熟练掌握正多边形与圆的关系．作OH⊥AB交AB于点H，由正六边形ABCDEF内接于⊙O推得△【详解】解：作OH⊥AB交AB∵正六边形ABCDEF内接于⊙∴∠AOB=360°÷6=60°∴△AOB∴OA∵∴∴Rt△AOH中，则S解得OA=4故选：A．8．【答案】B【知识点】含30度角的直角三角形、正多边形和圆的综合【分析】本题考查了圆内接正多边形的性质，30度的作对的直角边是斜边的一半，三角形的面积公式，圆的面积公式等，正确求出正十二边形的面积是解题的关键．根据圆内接正多边形的性质可得∠AOB=30°，根据30度的作对的直角边是斜边的一半可得【详解】解：圆的内接正十二边形的面积可以看成12个全等的等腰三角形组成，故等腰三角形的顶角为30°，如图为其中一个等腰三角形ABO，过点B作BC⊥OA∵∠AOB=30°，⊙∴∴故圆内接正十二边形的面积为：12∴⊙O的面积为∴π=3，即π的估计值为故选：B．9．【答案】10【知识点】正多边形的外角问题、已知正多边形的中心角求边数【分析】根据题意可知无人机在顶点处转动的角度即为正多边形的外角，利用多边形的外角和定理列式计算即可求解．【详解】解：设这个正多边形的边数为n根据题意，无人机到达正多边形的每个顶点时需要转动36°即该正多边形的每个外角为36°由多边形的外角和等于360°，得n=360÷36=1010．【答案】4【知识点】正多边形和圆的综合【分析】本题主要考查了正方形的内切圆、外接圆、勾股定理等知识点．如图：连接AB、DC相交于O，由正方形的内切圆的半径是2，AC=BC=4，OA【详解】解：如图：连接AB、∵正方形的内切圆的半径是2∴AC=BC∴AB=A∴图中阴影部分的面积是π⋅故答案为：4π11．【答案】180°n【知识点】多边形内角和与外角和综合、求正多边形的中心角【分析】本题考查了正多边形的外角、内角及中心角的计算方法，关键是知识的熟练应用．分别计算出两个正多边形每个内角及中心角的度数，然后作差即可求得.【详解】解：∵正n边形的每个外角为360°∴每个内角为180°−∵正2n边形的每个外角为∴正2n边形的每个内角为∴180°−∵正n边形的每个中心角为360°正2n边形的每个中心角为∴360°故答案是：180°n，180°12．【答案】2,−2【知识点】正多边形和圆的综合、写出直角坐标系中点的坐标、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形【分析】本题考查图形与坐标、涉及正多边形性质、含30°直角三角形性质及勾股定理等知识，熟练掌握正多边形性质、含30°直角三角形性质，数形结合是解决问题的关键．过点C作CG⊥AD，如图所示，利用正多边形外角性质求出内角及线段OG长，再由含30°直角三角形性质及勾股定理求出【详解】解：过点C作CG⊥AD，连接在正六边形ABCDEF中，∠因为OC所以△OCD∴CD=4在Rt△CDG中，∠则由勾股定理可得CG∴C故答案为：2,−2313．【答案】5−1/【知识点】正多边形和圆的综合、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长【分析】本题考查了圆与正多边形，勾股定理，正方形的性质等知识点，解题的关键是正确确定点Q的轨迹．如图，取AD的中点K，以AD为直径作⊙K，则点Q在正方形内部的圆弧上运动（不与端点重合）．由正方形外接圆的半径可得AD的长，进而根据勾股定理求出BK的长，根据BQ【详解】如图，取AD的中点K，以AD为直径作⊙K，连接∵四边形ABCD是正方形∴∠AOB∵OA∴AB∵DQ∴则点Q在正方形内部的圆弧上运动（不与端点重合）．∵四边形ABCD是正方形∴AD∴AK∴BK∵BQ∴当B,Q,K在一条直线上时，BQ有最小值此时BQ故答案为：5−114．【答案】(1)见解析(2)见解析【知识点】正多边形和圆的综合、圆周角定理【分析】本题考查了作图−复杂作图，等边三角形的判定、圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系：（1）从A点开始，以OA为半径．依次画弧，这样把⊙O六等份，连接⊙O的三等份点得到（2）可作直径AM，再以M点圆心，OM为半径画弧交⊙O于N，则∠解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．【详解】（1）解：如图，△ABC（2）解：如图，作直径AM，再以M点圆心，OM为半径画弧交⊙O于N，则∠15．【答案】正△ABC的边长为23，边心距为1，周长为63【知识点】正多边形和圆的综合、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形【分析】如图：连接OB，OA，延长AO交BC于D，根据等边三角形性质得出AD⊥BC，BD=CD=【详解】解：如图：连接OB，OA，延长AO交∵正△ABC外接圆是∴AD∴边心距OD=由勾股定理得：BD∴三角形边长为BC=2BD∴△ABC的周长是3BC=3×23=6【点睛】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的外接圆、三角形的面积等知识点，正确作辅助线后求出BD的长是解题的关键．16．【答案】(1)证明：如图所示，连接OE，OC，∵正六边形ABCDEF为大圆O的内接正六边形∴DE∴∠又∵OE∴OD垂直平分CE∴∠∵小圆O与CA相切于点K∴∠又∵OC∴△∴OH∴点H在小圆O上又∵OH∴CE是小圆O的切线；(2)12【知识点】正多边形和圆的综合、用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质【分析】（1）连接OE，OC，OD，设OD，CE交于H，可证明OD垂直平分CE，则∠OHC（2）证明△OCB是等边三角形，则可求出OC、OB的长，进而求出CK的长，求出S△OCB【详解】（1）略（2）解：∵正六边形ABCDEF为大圆O的内接正六边形∴∠∴△OCB∵小圆O与CA相切于点K∴CK∴OC∴CK∴S∴S∴S阴影【点睛】本题主要考查了正多边形与圆综合，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，熟知切线的性质与判定定理是解题的关键．17．【答案】(1)150°(2)135°(3)P【知识点】正多边形和圆的综合、正方形性质理解、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解【分析】（1）把△APB绕点A逆时针旋转60°得到△ACP'，由旋转的性质可得PA=P'A=1,PB（2）把△APB绕点A逆时针旋转90°得到△ADP'，由旋转的性质可得P'A=PA,P'D（3）把△APB绕点A逆时针旋转120°得到△AFP'，由旋转的性质，P'A=PA,P【详解】（1）解：如图2，把△APB绕点A逆时针旋转60