统计案例教案

高中数学人教版选修『2全套教案

第一章统计案例

第一课时1.1回归分析的基本思想及其初步应用（一）

教学要求：通过典型案例的探索，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用.

教学重点：了解线性回归模型与函数模型的差异，了解判断刻划模型拟合效果的方法一

相关指数和残差分析.

教学难点：解释残差变量的含义，了解偏差平方和分解的思想.

教学过程：

一、复习准备：

1.提问：“名师出高徒”这句彦语的意思是什么？有名气的老师就一定能教出厉害的学

生吗？这两者之间是否有关？

2.复习：函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系.回归分析是

对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤：采集数据T作散

点图T求回归直线方程T利用方程进行预报.

二、讲授新课：

1.教学例题：

①例1从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示：

编号12345678

身高165165157170175165155170

/cm

体重4857505464614359

/kg

求根据一位女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一位身高为172cm的女大

学生的体重.（分析思路T教师演示T学生整理）

计理器得:

0=-85712*当x・172时，

.——\i-0849.㈡

1―，故线性回归方程,7-0.849x172-85.712

-60.316(^).^

J-O849X-85712.

第一步：作散点图=>第二步：求回归方程，>第三步：代值计算

②提问：身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？

不一定，但普通可以认为她的体重在60.316kg摆布.

③解释线性回归模型与一次函数的不同

事实上，观察上述散点图，我们可以发现女大学生的体重y和身高X之间的关系并不能

用一次函数y=bx+a来严格刻划（因为所有的样本点不共线，所以线性模型只能近似

地刻划身高和体重的关系）.在数据表中身高为165cm的3名女大学生的体重分别为

48kg、57kg和61kg,如果能用一次函数来描述体重与身高的关系，那末身高为165cm

的3名女在学生的体重应相同.这就说明体重不仅受身高的影响还受其他因素的影响，

把这种影响的结果e（即残差变量或者随机变量）引入到线性函数模型中，得到线性回

归模型y=bx+a+e,其中残差变量e中包含体重不能由身高的线性函数解释的所有

部份.当残差变量恒等于3时，线性回归模型就变成一次函数模型.因此，一次函数模

型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的普通形式.

2.相关系数：相关系数的绝对值越接近于1,两个变量的线性相关关系越强，它们的

散点图越接近一条直线，这时用线性回归模型拟合这组数据就越好，此时建立的线性问

归模型是故意义.

3.小结：求线性回归方程的步骤、线性回归模型与一次函数的不同.

第一课时1.1回归分析的基本思想及其初步应用（一）

教学要求：通过典型案例的探索，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用.

教学重点：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和.

教学难点：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方利、残差平方和、回归平方和.

教学过程：

、复习准备:

1.由例1知，预报变量(体重)的值受解释变量(身高)或者随机误差的影响.

2.为了刻划预报变量(体重)的变化在多大程度上与解释变量(身高)有关？在多大

程度上与随机误差有关？我们引入了评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差

平方和、回归平方和.

二、讲授新课：

1.教学总偏差平方和、残差平方和、回归平方和：

(1)总偏差平方和：所有单个样本值与样本均值差的平方和，即SST=Zn(y-y)2.

i

i=1

残差平方和：回归值与样本值差的平方和，即SSE=En(y-y)2.

ii

i=1

n

回归平方和：相应回归值与样本均值差的平方和，即SSR=Z(y-y)2.

i

i=1

(2)学习要领：①注意y、y、亍的区别；②预报变量的变化程度可以分解为由解释

ii

变量引起的变化程度与残差变量的变化程度之和，即

nnn

E(y--y)2=E(y-y)2+Z(y--y)2；③当总偏差平方和相对固定时，残差平方利

iiii

i=1i=1i=1

越小，则回归平方和越大，此时模型的拟合效果越好；④对于多个不同的模型，我们还

2(y-y)2

可以引入相关指数R2=1--_—来刻划回归的效果，它表示解释变量对预报变

£(y"y)2

i

i=1

量变化的贡献率.R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合的效果越好.

2.教学例题：

例2关于x与Y有如下数据：

X24568

y3040605070

为了对X、丫两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型：y=6.5x+17.5,

y=7x+17,试比较哪一个模型拟合的效果更好.

分析：既可分别求出两种模型下的总偏差平方和、残差平方和、回归平方和，也可分别

求出两种模型下的相关指数，然后再进行比较，从而得出结论.

（答案：R2=1_M"）=1.^^=0.845，R?=1-——Ii=1=0.82，84.5%>82%,所

1题-蔡10002，（y.1000

II

hlkl

以甲选用的模型拟合效果较好.）

3.小结：分清总偏差平方和、残差平方和、回归平方和，初步了解如何评价两个不同

模型拟合效果的好坏.

第三课时L1回归分析的基本思想及其初步应用（三）

教学要求：通过典型案例的探索，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用.

教学重点：通过探索使学生体味有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了

解在解决实际问题的过程中寻觅更好的模型的方法.

教学难点：了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关指数对不

同的模型进行比较.

教学过程：

一、复习准备：

1.给出例3：一只红铃虫的产卵数y和温度x有关，现采集了7组观测数据列于下表中，

试建立y与x之间的回归方程.

温度x/C21232527293235

产卵数y/711212466115325

个

（学生描述步骤，教师演示）

2.讨论：观察右图中的散点图，发现样本点并没有分布在某

个带状区域内，即两个变量不呈线性相关关系，所以不能直接

用线性回归方程来建立两个变量之间的关系.

二、讲授新课：

1.探索非线性回归方程的确定：

①如果散点图中的点分立在一个直线状带形区域，可以选线性回归模型来建模：如果

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散点图中的点分布在个曲线状带形区域，就需选择非线性回归模型来建模.

②根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线V:Cec?x的周围

1

(其中c,c是待定的参数)，故可用指数函数模型来拟合这两个变量.

12

③在上式两边取对数，得lny=cx+lnc,再令z=lny,则z=cx+lnc,而z与x间

2121

回归方程来拟合.

④利用计算器算得a=-3.843,b=0.272,z与x间的线性回归方程为

z=0.272X-3.843,因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为y=eo.272x-3.843.

⑤利用回归方程探索非线性回归问题，可按“作散点图T建模T确定方程”这三个

步骤进行.

其关键在于如何通过适当的变换，将非线性回归问题转化成线性回归问题.

2.小结：用回归方程探索非线性回归问题的方法、步骤.

三、巩固练习：

为了研究某种细菌随时间X变化，繁殖的个数，采集数据如下：

天数X/天123456

繁殖个数y/个612254995190

(1)用天数作解释变量，繁殖个数作预报变量，作出这些数据的散点图；

(2)试求出预报变量对解释变量的回归方程.【答案：所求非线性回归方程为

V=e0.69x+1.112.)

第四课时1.1回归分析的基本思想及其初步应用(四)

教学要求：通过典型案例的探索，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用.

教学重点：通过探索使学生体味有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了

解在解决实际问题的过程中寻觅更好的模型的方法，了解可用残差分析的方法，比较两

种模型的拟合效果.

教学难点：了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关指数对不

同的模型进行比较.

教学过程：

一、复习准备：

1.提问：在例3中，观察散点图，我们选择用指数函数模型来拟合红铃虫的产卵数y和

温度X间的关系，还可用其它函数模型来拟合吗？

2.讨论：能用二次函数模型

44152962572984110241225

711212466115325

y=gx2+c,来拟合上述两个变量间的关系

吗？（令t=X2,则y=ct+c,此时y与t间

34

的关系如下：

观察y与t的散点图，可以发现样本点并不分布

在一条直线的周围，因此不宜用线性回归方程来拟合它，即不宜用二次曲线y=cx2+c

34

来拟合y与x之间的关系.）小结：也就是说，我们可以通过观察变换后的散点图来判

断能否用此种模型来拟合.事实上，除了观察散点冬以外，我们也可先求出函数模型，

然后利用残差分析的方法来比较模型的好坏.

二、讲授新课：

1.教学残差分析：

①残差：样本值与回归值的差叫残差，即6=丫-丫.

iii

②残差分析：通过残差来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据,

这方面的分析工作称为残差分析.

③残差图：以残差为横坐标，以样本编号，或者身高数据，或者体重估计值等为横坐

标，作出的图形称为残差图.观察残差图，如果残差点比较均匀地落在水平的带状区

域中,

说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，模型拟合精度越高，回归方程

的预报精度越高.

2.例3中的残差分析：

计算两种模型下的残差

2W2825Q27Q29Q32Q35/

尸11，21，2W66“115^3254?

0518^・016721.76M-9149-8.889P•1415332928-

C7

47693r19397P58359-41.003^•40.107。・5326077965-

8，

普通情况下，比较两个模型的残差比较艰难（某些样本点上一个模型的残差的绝对

值比另一个模型的小，而另一些样本点的情况则相反），故通过比较两个模型的残差的

平方和的大小来判断模型的拟合效果.残差平方和越小的模型，拟合的效果越好.

由于两种模型下的残差平方和分别为1450.673和15448.432,故选用指数函数模

型的拟合效果远远优丁选用二次函数模型.（固然，还可用相关指数刻划回归效果）

3.小结：残差分析的步骤、作用

三、巩固练习：练习：教材P13第1题

第一课时1.2独立性检验的基本思想及其初步应用（一）

教学要求：通过探索“吸烟是否与患肺癌有关系”引出独立性检验的问题，并借助样本

数据的列联表、柱形图和条形图展示在吸烟者中患肺癌的比例比不吸烟者中患肺癌的比

例高，让学生亲身体验独立性检验的实施步骤与必要性.

教学重点：理解独立性检验的基本思想及实施步骤.

教学难点：了解独立性检验的基本思想、了解随机变量段的含义.

教学过程：

一、复习准备：

回归分析的方法、步骤，刻划模型拟合效果的方法（相关指数、残差分析）、步骤.

二、讲授新课：

1.教学与列联表相关的概念：

①分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别的变量称为分类变量.分类

变量的取值一定是离散的，而且不同的取值仅表示个体所属的类别，如性别变量，只取

男、女两个值，商品的等级变量只取一级、二级、三级，等等.分类变量的取值有时可

用数字来表示，但这时的数字除了分类以外没有其他的含义.如用“0”表示“男”，用

“1”表示“女”.

②列联表：分类变量的汇总统计表（频数表）.

不患肺癌患肺癌总计

普通我们只研究每一个分类变量只取两个值，

不吸烟7775427817

这样的列联表称为2x2,如吸烟与患肺癌

吸烟2099492148

的列联表：

总计9874919965

2.教学三维柱形图和二维条形图的概念：

由列联表可以粗略估计出吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异.（教师在课堂上

用EXCEL软件演示三维柱形图和二维条形图，引导学生观察这两类图形的特征，并分析

由图形得出的结论）

3.独立性检验的基本思想.：

①独立性检验的必要性（为什么中能只凭列联表的数据和图形下结论？）：列联表中的

数据是样本数据，它只是总体的代表，具有随机性，故需要用列联表检验的方法确认所

得结论在多大程度上合用于总体.

②独立性检验的步骤（略）及原理（与反证法类似）:

反证法假设检验

要证明结论A备择假设H

1

在A不成立的前提下进行推在H不成立的条件下，即H成立的条件下进行推理

10

理

推出矛盾，意味着结论A成推出有利于H成立的小概率事件（概率不超过a的事件）

1

立发生，意味着H成立的可能性（可能性为（1—a））很

1

大

没有找到矛盾，不能对A下推出有利于H成立的小概率事件不发生，接受原假设

1

任何结论，即反证法不成功

③上例的解决步骤

第一步：提出假设检验问题H：吸烟与患肺癌没有关系一H:吸烟与患肺癌有

01

关系

第二步：选择检验的指标n(ad-bc"(它越小，原假设“H：

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)o

吸烟与患肺癌没有关系”成立的可能性越大：它越大，备择假设“H：吸烟与忌肺癌有

1

关系”成立的可能性越大.

第三步：查表得出结论

P(k2>k0.500.400.250.150.100.00.020.010.000.00

)55051

k0.450.701.322.072.703.85.026.637.8710.8

5832644593

第二课时1.2独立性检验的基本思想及其初步应用(二)

教学要求：通过探索“吸烟是否与患肺癌有关系”引出独立性检验的问题，并借助样本

数据的列联表、柱形图和条形图展示在吸烟者中患肺癌的比例比不吸烟者中患肺癌的比

例高，让学生亲身体验独立性检验的实施步骤与必要性.

教学重点：理解独立性检验的基本思想及实施步骤.

教学难点：了解独立性检验的基本思想、了解随机变量废的含义.

教学过程：

一、夏习准备：

独立性检验的基本步骤、思想

二、讲授新课：

1.教学例1：

例1在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶；而此外772

名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175名秃顶.分别利用图形和独立性检验

方法判断秃顶与总心脏病是否有关系？你所得的结论在什么范围内有效？

①第一步：教师引导学生作出列联