人教版小学数学三年级上册第六单元第三节约分练习十七知识清单

人教版小学数学三年级上册第六单元第三节约分练习十七知识清单​一、【核心概念】分数的再认识与基本性质​（一）【基础】分数的意义深化​在三年级上册的学习中，我们已经初步认识了分数，知道一个物体或图形被平均分成几份，其中的一份或几份可以用分数表示。在“练习十七”所依托的第六单元第三节，我们对分数的意义进行了更深入的理解。分数不仅仅表示一个物体的一部分，还可以表示一个整体（如一群小动物、一堆苹果）的一部分。例如，把6个苹果看作一个整体，平均分成3份，每份是这些苹果的三分之一，即2个苹果。这为我们后续学习分数的基本性质和应用打下了基础。重点在于理解“整体1”的含义，它可以是一个物体、一个计量单位，也可以是许多物体组成的一个整体。​（二）【重要】分数的各部分名称及关系​任何一个分数都由三部分组成：中间的一条横线叫做分数线，表示平均分；分数线下面的数叫做分母，表示把整体“1”平均分成的总份数；分数线上面的数叫做分子，表示所取的份数。例如，在分数34\frac{3}{4}43​中，4是分母，表示把一个整体平均分成4份，3是分子，表示取其中的3份。理解分子与分母的关系是理解分数大小的基础。分母越大，表示分的份数越多，每份就越小；分子越大，表示取的份数越多，这个分数就越大（在分母相同的情况下）。​（三）【基础】分数单位的理解​把整体“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫做分数单位。例如，25\frac{2}{5}52​的分数单位是15\frac{1}{5}51​，78\frac{7}{8}87​的分数单位是18\frac{1}{8}81​。一个分数的分母是几，它的分数单位就是几分之一；分子是几，就表示有几个这样的分数单位。例如，49\frac{4}{9}94​里面有4个19\frac{1}{9}91​。理解分数单位是进行分数比较和简单分数加减法的基础。​二、【基本原理】分数的基本性质​（一）【核心概念】【高频考点】分数的基本性质定义​分数的分子和分母同时乘或者除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变。这是分数中一个非常重要的基本性质，它是我们进行约分和通分的依据。例如，12=1×22×2=24\frac{1}{2}=\frac{1\times2}{2\times2}=\frac{2}{4}21​=2×21×2​=42​，48=4÷28÷2=24\frac{4}{8}=\frac{4\div2}{8\div2}=\frac{2}{4}84​=8÷24÷2​=42​，这两个分数的大小是一样的。这个性质来源于除法中商不变的规律，因为分数可以看作分子除以分母的除法算式。​（二）【难点】性质中“0除外”的理解​为什么必须强调“0除外”呢？因为如果分子和分母同时乘0，分数就变成了00\frac{0}{0}00​，而0不能做分母，这个分数没有意义。同时，如果分子和分母同时除以0，也是不允许的，因为0不能作为除数。所以，在应用分数的基本性质时，必须牢记所乘或除以的数不能是0。​（三）【重要】分数基本性质的应用场景​分数的基本性质主要有两个应用方向：一是将分数化为指定分母或分子的形式，例如，把23\frac{2}{3}32​化成分母是12的分数；二是进行约分和通分。约分是把一个分数化成同它相等但分子、分母都比较小的分数；通分是把异分母分数分别化成和原来相等的同分母分数。​三、【核心方法】约分​（一）【核心概念】【高频考点】约分的定义​把一个分数化成同它相等，但分子、分母都比较小的分数，叫做约分。约分是基于分数的基本性质，将分子和分母同时除以它们的公因数。约分的过程就是不断简化分数的过程，最终结果通常要化成最简分数。​（二）【基础】最简分数的定义​分子和分母只有公因数1的分数，叫做最简分数。也就是说，分子和分母是互质数。例如，23\frac{2}{3}32​、35\frac{3}{5}53​、78\frac{7}{8}87​都是最简分数。而24\frac{2}{4}42​不是最简分数，因为2和4除了1以外，还有公因数2。在进行分数计算和结果表达时，通常要求将结果化为最简分数。​（三）【方法】约分的方法​1.逐步约分法：每次用分子和分母的公因数（1除外）去除分子和分母，通常从较小的公因数开始，如2、3、5等，一直除到得到最简分数为止。例如，约分1218\frac{12}{18}1812​：先用公因数2去除，得到69\frac{6}{9}96​；再用公因数3去除，得到23\frac{2}{3}32​。23\frac{2}{3}32​是最简分数。​2.一次约分法：直接找出分子和分母的最大公因数，然后用这个最大公因数一次性去除分子和分母，直接得到最简分数。例如，约分1218\frac{12}{18}1812​，12和18的最大公因数是6，直接用6去除，得到23\frac{2}{3}32​。这种方法更快捷，但需要能够准确找出最大公因数。​（四）【重要】约分的书写格式​在练习本或试卷上，约分通常有规范的书写格式。常用的有逐次约分法和一次约分法的划线法。例如，约分812\frac{8}{12}128​：​逐次约分：812=8÷212÷2=46=4÷26÷2=23\frac{8}{12}=\frac{8\div2}{12\div2}=\frac{4}{6}=\frac{4\div2}{6\div2}=\frac{2}{3}128​=12÷28÷2​=64​=6÷24÷2​=32​。​一次约分：812=8÷412÷4=23\frac{8}{12}=\frac{8\div4}{12\div4}=\frac{2}{3}128​=12÷48÷4​=32​。在卷面上，常用斜线划掉原来的分子分母，在旁边写上约分后的结果，要保证划线和数字书写清晰。​四、【关键技能】找最大公因数​（一）【基础】公因数与最大公因数的概念​几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。例如，12的因数有1、2、3、4、6、12；18的因数有1、2、3、6、9、18。12和18的公因数有1、2、3、6，最大公因数是6。找最大公因数是进行一次性约分的关键。​（二）【方法】找最大公因数的方法​1.列举法：分别列出两个数的所有因数，再找出它们的公因数，最后确定最大公因数。这种方法适用于较小的数，比较直观。​2.筛选法：先写出一个数的因数，再从中筛选出另一个数的因数，找出最大的一个。例如，找18和27的最大公因数，先列出18的因数：1、2、3、6、9、18，从中看哪些也是27的因数，1、3、9是，最大的是9。​3.短除法：用这两个数公有的质因数连续去除，一直除到商互质为止，然后把所有的除数乘起来，所得的积就是这两个数的最大公因数。例如，求12和18的最大公因数：​用短除法，先除以2，得6和9；再除以3，得2和3。2和3互质，所以最大公因数是2×3=62\times3=62×3=6。短除法是一种比较规范且高效的方法，尤其适用于较大的数。​（三）【难点】【易错点】特殊数的最大公因数​1.相邻两个自然数（0除外）：它们的最大公因数是1。例如，4和5、7和8，最大公因数都是1。​2.一个数是另一个数的倍数：较小数就是这两个数的最大公因数。例如，12和24，12是24的因数，所以最大公因数是12。​3.两个数都是质数：它们的最大公因数是1。例如，11和13。​4.一个质数和一个合数：如果合数是质数的倍数，最大公因数是这个质数；如果不是倍数，最大公因数一般是1，但也需要具体验证。例如，7和21，最大公因数是7；7和15，最大公因数是1。​五、【综合应用】分数的简单计算与比较​（一）【基础】同分母分数加减法​同分母分数相加、减，分母不变，只把分子相加、减。计算结果，能约分的要约成最简分数。例如，27+37=57\frac{2}{7}+\frac{3}{7}=\frac{5}{7}72​+73​=75​；79−29=59\frac{7}{9}\frac{2}{9}=\frac{5}{9}97​−92​=95​。如果分子相减结果为0，则整个分数为0，例如35−35=0\frac{3}{5}\frac{3}{5}=053​−53​=0。计算后检查结果是否为最简分数，如28\frac{2}{8}82​应约分为14\frac{1}{4}41​。​（二）【重要】1减几分之几​1可以看作是分子分母相同的分数（0除外）。例如，1=22=33=44=⋯1=\frac{2}{2}=\frac{3}{3}=\frac{4}{4}=\cdots1=22​=33​=44​=⋯。计算1减去几分之几时，先把1写成与减数分母相同的分数，然后再相减。例如，1−37=77−37=471\frac{3}{7}=\frac{7}{7}\frac{3}{7}=\frac{4}{7}1−73​=77​−73​=74​。这里的关键是确定把1转化为分母是几的分数，分母由减数的分母决定。​（三）【高频考点】分数的大小比较​1.同分母分数比较大小：分子大的分数就大。例如，38>18\frac{3}{8}>\frac{1}{8}83​>81​。因为分母相同，表示平均分的份数一样，取的份数越多，这个分数就越大。​2.同分子分数比较大小：分母小的分数反而大。例如，13>14\frac{1}{3}>\frac{1}{4}31​>41​。因为分子相同，都是取一份，分母越小，表示分的份数越少，每一份就越大。​3.分子分母都不相同的分数比较：可以运用分数的基本性质，将它们转化为同分母分数或同分子分数再进行比较。或者借助中间量（如12\frac{1}{2}21​）进行比较，这需要更强的数感。在三年级阶段，主要掌握前两种直接比较和简单的转化比较。​六、【难点剖析】常见易错点与解题策略​（一）【易错点】对“平均分”的理解偏差​在解决分数实际问题时，学生常常忽略“平均分”这个前提。例如，判断“把一张长方形纸分成5份，每份是它的15\frac{1}{5}51​”是否正确？这种说法是错误的，因为没有强调“平均分”。必须说“平均分成5份”，每份才是它的15\frac{1}{5}51​。所有分数概念都建立在平均分的基础上。​（二）【易错点】分数基本性质中运算符号的混淆​在应用分数的基本性质时，有时会与加减法混淆。例如，误以为12=1+22+2=34\frac{1}{2}=\frac{1+2}{2+2}=\frac{3}{4}21​=2+21+2​=43​。这是错误的，分数的基本性质说的是乘或除同一个不为0的数，而不是加或减。正确的应该是12=1×22×2=24\frac{1}{2}=\frac{1\times2}{2\times2}=\frac{2}{4}21​=2×21×2​=42​。​（三）【易错点】约分不彻底​约分的结果必须是最简分数。有些学生在约分时，只进行了一步，得到的分数分子和分母还有公因数，就以为完成了。例如，把612\frac{6}{12}126​约分成36\frac{3}{6}63​，虽然36\frac{3}{6}63​比612\frac{6}{12}126​简单，但3和6还有公因数3，不是最简分数，应该继续约分成12\frac{1}{2}21​。检查是否是最简分数的标准就是看分子和分母是否互质。​（四）【解题步骤】分数应用题的解答要点​1.审题：仔细阅读题目，找出关键信息，明确把什么看作整体“1”，平均分成了几份，要求的是几份。​2.分析数量关系：确定用乘法还是除法。求一个数的几分之几是多少，用乘法；已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法（这在后续年级会深入学习）。在三年级，更多是结合图示来理解。​3.列式计算：根据数量关系列出算式，并正确进行计算。计算结果如果是分数，要检查是否是最简分数。​4.检验与作答：检查计算过程和结果是否合理，最后写出完整的答语。答语中要写明单位（如果分数后面有单位的话）。​七、【思维拓展】分数与生活的联系及跨学科视野​（一）分数在生活中的应用​分数的概念在生活中无处不在。例如，切生日蛋糕时，每个人分到蛋糕的几分之一；看钟表时，半小时可以用12\frac{1}{2}21​小时表示；在超市里，打折销售时经常会出现“打八折”，即现价是原价的810\frac{8}{10}108​（或45\frac{4}{5}54​）。理解分数能帮助我们更好地理解和解决生活中的实际问题。​（二）【跨学科视野】分数与美术、音乐的关联​在美术中，分割比例（约0.618）就是一种分数关系的体现，它被广泛应用于绘画、摄影和设计中，能使作品更具美感。在音乐中，音符的时值也蕴含着分数关系。全音符的时值是1，二分音符的时值是12\frac{1}{2}21​，四分音符的时值是14\frac{1}{4}41​，八分音符的时值是18\frac{1}{8}81​。一首乐曲的节拍，如四二拍，就是以四分音符为一拍，每小节有两拍，这里面包含了丰富的分数组合。​（三）【重要】分数与除法的关系​分数与除法有着密切的联系。被除数相当于分子，除数相当于分母，除号相当于分数线。即：a÷b=ab(b≠0)a\divb=\frac{a}{b}(b\neq0)a÷b=ba​(b=0)。反过来，分数也可以看作是两个数相除的商。例如，把3块月饼平均分给4个小朋友，每人分得多少块？可以用除法3÷4=343\div4=\frac{3}{4}3÷4=43​（块）。理解这种关系，有助于我们解决把低级单位的名数聚成高级单位名数的问题，例如3分米=310=\frac{3}{10}=103​米。​八、【考点与考向分析】​（一）【高频考点】填空题与选择题​1.考查分数的意义：根据图形或情境，写出所表示的分数。例如，把一个正方形平均分成4份，涂色部分占几份，要求写出分数。​2.考查分数单位：给出一个分数，问它的分数单位是什么，有几个这样的分数单位。例如，59\frac{5}{9}95​的分数单位是（），它有（）个这样的分数单位。​3.考查分数的基本性质：在括号里填上合适的数，如34=（）12=9（）\frac{3}{4}=\frac{（）}{12}=\frac{9}{（）}43​=12（）​=（）9​。​4.考查约分与最简分数：判断哪些分数是最简分数，或者把一个分数约分成最简分数后写在括号里。​5.考查分数大小比较：在圆圈里填上“>”、“<”或“=”，如25◯35\frac{2}{5}\bigcirc\frac{3}{5}52​◯53​，13◯14\frac{1}{3}\bigcirc\frac{1}{4}31​◯41​。​（二）【热点】判断题​判断题往往针对一些容易混淆的概念进行考查。​1.典型题例：把一根绳子分成6段，每段是它的16\frac{1}{6}61​。（×，因为没有平均分）​2.典型题例：35\frac{3}{5}53​的分子加上3，要使分数大小不变，分母也要加上5。（√，因为分子加3相当于乘2，分母加5也相当于乘2，符合分数的基本性质）​3.典型题例：两个分数的分子相同，那么分母大的分数就大。（×，分子相同，分母大的反而小）​（三）【重点】计算题​1.直接写出得数：考查同分母分数加减法和1减几分之几。如15+25\frac{1}{5}+\frac{2}{5}51​+52​，1−381\frac{3}{8}1−83​，79−49\frac{7}{9}\frac{4}{9}97​−94​等。计算后务必检查结果是否是最简分数，不是的要约分。​2.在括号里填上最简分数：结合单位换算。如30厘米=（）米，因为1米=100厘米，所以30厘米=30100=310\frac{30}{100}=\frac{3}{10}10030​=103​米。需要先写成分数形式，再约分。​（四）【难点】解决问题​1.求一个数的几分之几是多少：例如，有12个苹果，小华吃了总数的13\frac{1}{3}31​，小华吃了多少个？解法：12÷3×1=412\div3\times1=412÷3×1=4（个）。或者理解成把12平均分成3份，取1份。​2.涉及分数比较的实际问题：例如，同样的两本书，小明看了13\frac{1}{3}31​，小红看了14\frac{1}{4}41​，谁剩下的多？这种题需要先分析谁看得少，看得少的人剩下的就多。因为13>14\frac{1}{3}>\frac{1}{4}31​>41​，小明看得多，所以小红剩下的多。​3.简单的分数加法应用题：例如，一块菜地的27\frac{2}{7}72​种西红柿，37\frac{3}{7}73​种黄瓜，一共用了这块地的几分之几？解法：27+37=57\frac{2}{7}+\frac{3}{7}=\frac{5}{7}72​+73​=75​。注意结果是否需要约分，这里57\frac{5}{7}75​已经是最简分数。​九、【综合练习与能力提升】​（一）基础概念巩固​1.58\frac{5}{8}85​表示把整体“1”平均分成（）份，取其中的（）份，它的分数单位是（），它有（）个这样的分数单位。​2.在34\frac{3}{4}43​、510\frac{5}{10}105​、78\frac{7}{8}87​、69\frac{6}{9}96​中，最简分数有（）。​3.把45\frac{4}{5}54​的分子乘3，要使分数大小不变，分母应（）。把1520\frac{15}{20}2015​的分母除以5，要使分数大小不变，分子应（）。​（二）基本技能训练​1.约分（结果要是最简分数）：68\frac{6}{8}86​、1216\frac{12}{16}1612​、1824\frac{18}{24}2418​、2535\frac{25}{35}3525​、3240\frac{32}{40}4032​。​2.先通分或约分，再比较大小：34\frac{3}{4}43​和56\frac{5}{6}65​，25\frac{2}{5}52​和310\frac{3}{10}103​，47\frac{4}{7}74​和59\frac{5}{9}95​。​3.计算：310+410\frac{3}{10}+\frac{4}{10}103​+104​、712−512\frac{7}{12}\frac{5}{12}127​−125​、1−591\frac{5}{9}1−95​、26+36\frac