初中数学七年级上册 有理数的乘法与除法 知识清单

初中数学七年级上册有理数的乘法与除法知识清单一、有理数的乘法（一）有理数乘法的运算法则【基础】【★】有理数的乘法法则，是整个运算体系的基石，其核心在于根据因数的符号确定积的符号，再计算绝对值的积。具体可以分为以下几个层次：1、两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。这是最核心的法则。例如：（3）×（5）=+（3×5）=15；（2）×7=（2×7）=14。任何数与0相乘，都得0。2、有理数乘法法则的实质是“符号法则”与“算术运算”的结合。运算时，应先确定符号，再计算绝对值。这一顺序是避免符号错误的法则。（二）有理数乘法法则的推论【重要】【▲】基于上述法则，我们可以推导出一些重要的结论，这些结论在简化运算和判断符号时非常有用：1、多个有理数相乘的符号法则：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正；负因数的个数是奇数时，积为负。例如：计算（2）×3×（4）×（5），共有3个负因数，是奇数，所以结果为负，即（2×3×4×5）=120。2、多个有理数相乘的运算步骤：先看是否有因数为0。若有一个因数为0，积就等于0。若因数均不为0，则先确定符号（根据负因数的个数），再将所有因数的绝对值相乘。（三）有理数的乘法运算律【基础】【★】与算术数的乘法一样，有理数的乘法同样满足三大运算律，这些运算律是进行简便运算和代数变形的基础。1、乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即：a×b=b×a。这为调整运算顺序提供了依据。2、乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即：（a×b）×c=a×（b×c）。这允许我们自由组合因数，尤其是将易于相乘的组合（如整数与整数、分数与分数）先行计算。3、乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。即：a×（b+c）=a×b+a×c。这是代数运算中最重要的恒等变形之一，它实现了乘法与加法的沟通，也是后续学习合并同类项、解方程的基础。（四）乘法运算律的推广与逆用【高频考点】【热点】1、分配律的推广：乘法分配律对于两个以上的数相加同样成立，即a×（b+c+…+k）=a×b+a×c+…+a×k。同时，它也可以推广到减法，即a×（bc）=a×ba×c。2、分配律的逆用：这是简便运算的常用技巧。当多个乘积项中含有相同的因数时，可以将该因数提取出来，将其他项相加减。即：a×b+a×c=a×（b+c）。例如：计算23×17+23×83=23×（17+83）=23×100=2300。（五）例题解析与考点剖析1、基础运算题：直接考查法则的应用。【例1】计算：（4）×（6）；（1/2）×8。【解】（4）×（6）=+（4×6）=24；（1/2）×8=（1/2×8）=4。【考点】有理数乘法法则的符号判断与绝对值计算。2、多个因数相乘题：考查符号法则。【例2】【高频考点】计算：（1）×2×（3）×4×（5）。【解】因数中负因数有（1）、（3）、（5）共3个，是奇数个，所以结果为负。积的绝对值为1×2×3×4×5=120。所以原式=120。【易错点】学生容易数错负因数的个数，或者在绝对值计算时出错。3、简便运算题：考查运算律的应用。【例3】【热点】计算：(24)×(1/22/3+5/8)。【分析】直接通分计算较复杂，观察到括号外的因数24是括号内各分母的公倍数，直接运用乘法分配律可以简化计算。【解】原式=(24)×1/2+(24)×(2/3)+(24)×5/8=12+16+（15）=11。【解题步骤】①运用分配律，将24分别与括号内的每一项相乘；②确定每一项乘积的符号；③计算每一部分的绝对值；④将所得结果相加。【例4】【难点】计算：3.14×15.73.14×5.7。【分析】观察两项，都含有因数3.14，可以逆用乘法分配律。【解】原式=3.14×（15.75.7）=3.14×10=31.4。二、倒数（一）倒数的概念【基础】【★】1、定义：乘积是1的两个数互为倒数。这一定义揭示了倒数关系的本质是乘积为1。2、表示：如果a与b互为倒数，那么a×b=1。反之亦然。通常用1/a（a≠0）来表示a的倒数。（二）倒数的性质与求法【重要】【▲】1、正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数。这是由有理数乘法法则决定的，因为任何数与0相乘都不可能等于1。2、求一个数（0除外）的倒数，就是用1除以这个数。即：a（a≠0）的倒数是1/a。3、求小数的倒数，通常先将小数化成分数，再求倒数。例如：0.25=1/4，其倒数为4。4、求带分数的倒数，通常先将带分数化成假分数，再求倒数。例如：2又1/3=7/3，其倒数为3/7。5、互为倒数的两个数符号相同。6、倒数等于它本身的数是1和1。（三）倒数与相反数的辨析【难点】【高频考点】这是一个极易混淆的知识点，务必清晰区分：1、定义不同：相反数是只有符号不同的两个数，其和为0；倒数是乘积为1的两个数。2、符号关系：互为相反数的两个数符号相反（0除外）；互为倒数的两个数符号相同。3、特殊值：0的相反数是0，但0没有倒数；1和1的相反数分别是1和1，而它们的倒数分别是1和1（即本身）。（四）倒数在除法运算中的作用理解倒数概念是为学习有理数除法做准备的。除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数。这是化除法为乘法的关键桥梁。三、有理数的除法（一）有理数除法的运算法则【基础】【★】有理数的除法有两种等价法则，解题时可根据题目特点灵活选择。1、除法法则一（直接相除）：除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数。即：a÷b=a×(1/b)（b≠0）。这是除法运算的核心转化思想，它将我们尚未完全熟悉的除法运算，转化为已经熟练掌握的乘法运算。2、除法法则二（符号法则）：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。【注意】0不能作除数。这个法则与乘法法则高度相似，便于记忆。在能整除或进行简单除法时，此法更直接。（二）有理数除法运算的步骤【重要】【▲】无论使用哪种法则，规范的步骤是准确率的保证：1、判断除数是否为0。若除数为0，则算式无意义。2、选择法则。如果除数是分数，通常用法则一（转化为乘法）更方便；如果能整除且数字简单，可直接用法则二。3、确定符号（如果用法则二，则直接确定商的符号；如果用法则一，则在转化为乘法后，按照乘法法则确定积的符号）。4、计算绝对值的商（或积）。（三）分数的化简【基础】【★】除法运算的结果常常以分数形式呈现。理解分数线具有“除号”的含义，对于化简分数至关重要。1、分数与除法的关系：对于分数a/b（b≠0），可以理解为a÷b。2、符号的确定：分数的分子、分母与分数本身的符号，遵循“同号得正，异号得负”的规律。改变其中任意两个的符号，分数的值不变。例如：2/3=2/(3)=(2/3)。这一性质在化简分数时非常有用。（四）乘除混合运算【高频考点】【热点】有理数的乘除混合运算，是本章的综合性考查点。1、运算顺序：在没有括号的算式里，乘除属于同级运算，应该按照从左到右的顺序依次进行。这是一个极易出错的点，学生常因思维定式而先算了某一步的乘法或除法。2、统一为乘法：为了简化运算并避免顺序错误，通常将算式中的所有除法转化为乘法（乘以除数的倒数），然后按照多个有理数相乘的法则进行计算。这是解决乘除混合运算的通用策略。3、【解题步骤】（1）看清运算符号，确定没有括号干扰顺序。（2）将算式中的每个除法运算，都改写成乘以该数倒数的形式。注意，此时数字前的符号要一并保留并移动。（3）此时算式变为若干个有理数连乘的形式。（4）应用多个有理数相乘的符号法则，先确定积的符号（数一数转化后的因数中负数的个数）。（5）将所有因数的绝对值相乘（注意带分数要化为假分数，小数可化为分数以便约分）。（6）写出最终结果。4、【典型例题】【例5】计算：(18)÷2×(1/3)。【错解展示】有些学生可能会先算2×(1/3)=2/3，然后再算(18)÷(2/3)=(18)×(3/2)=27。虽然结果碰巧正确，但运算顺序是错的。如果算式变为(18)÷2×3，若先算2×3=6，再算(18)÷6=3，而正确顺序从左到右应为(18)÷2=9，9×3=27，结果截然不同。【正确解法一（按顺序）】原式=(9)×(1/3)=3。【正确解法二（统一为乘法）】原式=(18)×(1/2)×(1/3)（注意，除以2变成乘以1/2，后面的因数1/3保持不变）=+（18×1/2×1/3）（负因数有2个，为偶数，结果为正）=3。（五）乘除法的实际应用【拓展】有理数乘除法在解决实际问题中应用广泛，例如：1、平均数的计算：一组有正有负的数据的平均数，需要用到加法与除法的结合。2、增长率、变化率问题：涉及比例的计算，常表现为分数或百分数的乘法。3、物理量的计算：如速度=路程/时间，密度=质量/体积等公式中，都涉及除法运算，且物理量可能为正（表示方向、大小），也可能为负（表示相反方向）。4、盈亏问题：收入记为正，支出记为负，计算一段时间内的平均盈亏，需要进行乘除混合运算。四、有理数的乘方（一）乘方的概念【基础】【★】1、定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。乘方的结果叫做幂。在aⁿ中，a叫做底数，n叫做指数，aⁿ读作a的n次幂（或a的n次方）。...、意义：aⁿ表示有n个a相乘。即aⁿ=a×a×...×a（n个a）。3、特例：一个数可以看作这个数本身的一次方。例如：5就是5¹，指数1通常省略不写。指数2次方读作平方，指数3次方读作立方。（二）有理数乘方的符号法则【重要】【▲】乘方运算的本质是乘法，因此其符号由底数和指数共同决定，这是乘方运算的核心考点。1、正数的任何次幂都是正数。2、负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。3、0的任何正整数次幂都是0。掌握这个法则，可以快速判断乘方结果的符号。例如：（2）⁴=16（负数的偶次幂）；（2）³=8（负数的奇次幂）。（三）乘方的运算与书写规范【难点】【高频考点】书写和运算中的细小差别，会导致结果的天壤之别，必须高度重视。1、底数为负数和分数时的书写规范：●当底数是负数时，必须将底数连同其负号用括号括起来，再写指数。例如：（3）²与3²截然不同。（3）²表示两个3相乘，结果是9；而3²表示3²的相反数，结果是9。●当底数是分数时，必须将分数用括号括起来，再写指数。例如：（2/3）²表示两个2/3相乘，结果是4/9；而2/3²则被理解为2÷3²=2/9。2、乘方的运算顺序：乘方是比乘除更高一级的运算。在含有乘方的混合运算中，要先算乘方，再算乘除，最后算加减。有括号时，先算括号里面的。3、【典型例题】【例6】计算：（1）(2)⁴；（2）2⁴；（3）(2/3)³；（4）2³/3。【解】（1）(2)⁴=16；（2）2⁴=16；（3）(2/3)³=8/27；（4）2³/3=8/3。【易错点】对（1）和（2）、（3）和（4）的辨析，是考试中常见的陷阱。（四）乘方的简单应用【拓展】1、10的乘方：10ⁿ=100…0（n个0），这在科学记数法中非常关键。2、1的任何次幂都是1；1的奇次幂是1，1的偶次幂是1。3、理解指数增长（爆炸性增长）的含义，例如“拉面问题”、“折纸问题”等，感受乘方运算的巨大威力。五、有理数的混合运算（一）运算顺序【基础】【★】有理数的混合运算，是前序所有知识点的综合应用，其核心是严格遵循运算顺序：1、先乘方，再乘除，最后加减。2、同级运算，从左到右进行。3、如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。（二）运算策略与技巧【重要】【▲】【热点】在进行混合运算时，除了遵循顺序，灵活运用运算律可以大大简化计算，提高准确率。1、转化策略：将减法转化为加法，将除法转化为乘法。这样可以统一运算形式，避免因符号和运算种类过多而混乱。整个算式最终可以看作是一系列有理数的和（代数和）。2、巧用运算律：●加法交换律、结合律：用于凑整、抵消（如相反数相加、同分母分数相加）。●乘法交换律、结合律：用于凑整（如25与4，125与8等）、约分。●乘法分配律：正向使用可以拆括号，简化带分数、小数的运算；逆向使用（提取公因数）可以合并有相同因数的项，这是简便计算的核心技巧之一。3、分段处理策略：对于较长的算式，可以将其看作由加减号连接成的若干“段”（即项），先分别计算每一段的值（每一段内可能包含乘方、乘除等运算），最后再将这些段相加减。（三）解题规范与步骤【高频考点】1、【详细解题步骤模板】（以计算(2)²×34÷(1/2)为例）（1）审题：观察运算种类（乘方、乘、除、减），有无括号。（2）分步计算（按顺序）：①算乘方：(2)²=4。原式变为4×34÷(1/2)。②算乘除（同级运算从左到右）：先算4×3=12。原式变为124÷(1/2)。再算4÷(1/2)=4×(2)=8。原式变为12(8)。③算加减：12(8)=12+8=20。（3）检查：回头检查每一步的符号和计算是否有误。2、【简便运算示例】【例7】【热点】计算：1⁴（10.5）×1/3×[2(3)²]【分析】此题综合性强，涉及乘方、括号、分数、乘除。应严格按顺序，并注意1⁴与(1)⁴的区别。【解】原式=10.5×1/3×[29]（注意：1⁴=1；(3)²=9）=10.5×1/3×(7)（计算中括号内：29=7）=1[0.5×1/3×(7)]（乘除部分可先看成一个整体，符号待定）=1[(0.5×1/3×7)]（三个因数，一个负号，结果为负）=1（7/6）（0.5=1/2，1/2×1/3×7=7/6）=1+7/6=1/6。（四）常见错误与应对策略【难点】【易错点总结】1、符号错误：这是最常见的错误。特别是在乘除、乘方中确定符号时，以及在去括号时（括号前是负号）。【对策】牢记符号法则，每一步都先确定符号再计算数值。去括号时，若括号前是“”，括号内每一项都要变号。2、运算顺序错误：如乘除混合运算不按从左到右的顺序，或者加减乘除混合运算时先算了加减。【对策】熟记“先乘方，再乘除，后加减，括号优先，同级从左到右”的口诀，并在每一步操作前自问“我现在可以算这一步吗？”3、乘方运算错误：混淆(a)ⁿ与aⁿ；或者将乘方与乘法混淆，如2³算成6。【对策】深刻理解乘方的定义，明确底数的范围。对于2³，要理解它是3个2相乘，即2×2×2=8。4、运算法则记忆模糊：如除法法则、分配律应用不当。【对策】通过练习加深理解，理解法则的推导过程，而非死记硬背。例如，分配律a(b+c)=ab+ac，反过来ab+ac=a(b+c)，要能灵活运用。5、带分数、小数处理不当：进行乘除时，带分数未化为假分数，小数未化为分数，导致计算复杂或约分困难。【对策】养成统一形式的习惯。在乘除运算中，通常将带分数化为假分数，小数化为分数。六、科学记数法与近似数（一）科学记数法【基础】【★】1、定义：把一个大于10的数表示成a×10ⁿ的形式（其中1≤|a|<10，n是正整数），这种记数方法叫做科学记数法。2、对于绝对值小于1的正数（即大于0而小于1的数），也可以类似地用科学记数法表示，此时指数n为负整数。例如：0.000057=5.7×10⁻⁵。这是后续学习的重要内容，在本章作为了解或拓展。（二）科学记数法的转换【高频考点】1、将一个大数转换为科学记数法：关键是确定a和n。●确定a：将原数的小数点向左移动到只剩一位整数时，得到的数就是a（1≤a<10）。●确定n：n等于小数点移动的位数，也等于原数整数位数减1。例如：将用科学记数法表示。小数点向左移动5位，得到a=3.84，所以=3.84×10⁵。2、将科学记数法表示的数还原：将a的小数点向右移动n位，位数不够时补0。例如：将6.02×10⁴还原。将6.02的小数点向右移动4位，得到60200。（三）近似数与有效数字【基础】【重要】1、近似数：在实际问题中，许多数据难以获得准确值，或者不需要十分精确，常使用与实际数非常接近的数，即近似数。2、精确度：表示一个近似数与准确数的接近程度。常见的精确度表示方式有：●精确到哪一位：如精确到个位、十分位（0.1）、百分位（0.01）等。●保留几个有效数字。3、有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。例如：0.03070，左边第一个非0数字是3，从3起，到最后的0止，有效数字是3,0,7,0，共4个有效数字。（四）近似数的取法与考点【热点】【易错点】1、四舍五入法：求一个数的近似数，通常用四舍五入法。【例8】用四舍五入法，按括号内的要求对下列各数取近似数：（1）0.34082（精确到千分位）→0.341（千分位是万分位上的8四舍五入进1）（2）64.8（精确到个位）→65（十分位上的8四舍五入）（3）1.5046（精确到0.01）→1.50（注意，这里的0不能省略，它表示精确到了百分位）（4）30542（精确到百位）→3.05×10⁴（或者写成30500，但科学记数法能更清晰地表示出精确度。30500精确到百位还是万位？不明确。所以对于大数，常用科学记数法表示其近似数：3.05×10⁴，表示精确到百位。）2、【易错点】●近似数末尾的0不能随意去掉。如1.50与1.5，数值相等，但精确度不同，1.50精确到百分位，1.5精确到十分位。●大数取近似数时，用科学记数法表达更规范，可以避免歧义。●对于用科学记数法表示的近似数a×10ⁿ，其精确度由a的末位数字在原数中所处的数位决定。例如，近似数2.30×10⁵，a=2.30，末位0在百分位，但由于乘以了10⁵，这个百分位对应的原数数位是千位，所以这个数精确到千位。七、本章思想方法与核心素养提升（一）数形结合思