随机变量及其分布数学期望方差概率例题

2010年优秀模拟试卷分类汇编

第五部分：随机变量与其分布、数学期望、方差、概率

1.（2010丹东一模）

符合下列三个条件之一，某名牌大学就可录取：

①获国家高中数学联赛一等奖（保送录取，联赛一等奖从省高中数学

竞赛优胜者中考试选拔）；

②自主招生考试通过并且高考分数达到一本分数线（只有省高中数学

竞赛优胜者才具备自主招生考试资格）；

③高考分数达到该大学录取分数线（该大学录取分数线高于一本分数

线）.

某高中一名高二数学尖子生准备报考该大学，他计划：若获国家高中

数学联赛一等奖，则保送录取；若未被保送录取，则再按条件②、条件③

的顺序依次参加考试.

已知这名同学获省高中数学竞赛优胜奖的概率是0.9,通过联赛一等

奖选拔考试的概率是0.5,通过自主招生考试的概率是0.8,高考分数达

到一本分数线的概率是0.6,高考分数达到该大学录取分数线的概率是

0.3.

（I）求这名同学参加考试次数J的分布列与数学期望；

（）求这名同学被该大学录取的概率.

2.（2010丹东二模）

为了控制甲型H1NI流感病毒传播，我市卫生部防疫部门提供了批号分

别为L2.3.4的4个批号疫苗，供全市所辖的三个区市民注射，为便于观

察，每个区只能从中任选一个批号的疫苗进行接种.

（I）求三个区中恰好有两个区选择的疫苗批号相同的概率；

（）记三个区中选择疫苗批号相同的区的个数为，求的数学期望.

3.（2010抚顺模拟）

某校的学理科文科

生记者团

由理科组

和文科组

构成，具

体数据如

下表所示：

组别

性另1」男生女生男生女生

人数5432

学校准备从中选出4人到社区举行的大型公益活动进行采访，每选出一

名男生，给其所在小组记1分，每选出一名女生则给其所在小组记2分,

若要求被选出的4人中理科组、文科组的学生都有.

（I）求理科组恰好记4分的概率？

（H）设文科男生被选出的人数为，求随机变量的分布列和数学期望

4.（2010沈阳一模）

某超市为促销商品,特举办“购物有奖100%中奖”活动.凡消费者在该超市购物满1（）元，享

受一次摇奖机会，购物满20元，享受两次摇奖机会，以此类推.摇奖机的结构如图所示，

将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落.小球在下

落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中，落入A袋为一等奖，奖金为

2元，落入B袋为二等奖，奖金为1元.已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下

落的概率都是.

（I）求摇奖两次，均获得一等奖的概率；

（H）某消费者购物满20元，摇奖后所得奖金为X元，试求X的分布列

与期望；

（山）若超市同时举行购物八八折让利于消费者活动（打折后不再享受摇

奖），某消费者刚好消费20元，请问他是选择摇奖还是选择打折比较划

算.

5.（2010沈阳三模）

一个口袋中装有大小相同的个红球（且）和个白球，每次从中任

取两个球，当两个球的颜色不同时，则规定为中奖.

（I）试用〃表示一次取球中奖的概率〃；

（II）记从口袋中三次取球（每次取球后全部放回）恰有一次中奖的概率

为，求的最大值；

（III）在（H）的条件下，当m取得最大值时将个白球全部取出后，对

剩下的个红球作如下标记：记上号的有个（），其余的红球记上

号，现从袋中任取一球表示所取球的标号，求X的分布列、期望.

6.（2010高・考・资・源・网预测）

设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为，购买乙种商品的

概率为，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买

商品也是相互独立的。

（1）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率;

(2)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率;

(3)记表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一

种的人数，求的分布列与期望。

7.(2010大连二模)

某班50名学生在一模数学考试中，成绩都属于

区间［60,110］。将成绩按如下方式分成五组：

第一组［60,70)；第二组［70,80)；第三组

［80,90)；第四组［90,100)；第五组［100,110］o

部分频率分布直方图如图所示，与格(成绩不

小于90分)的人数为20。

(1)请补全频率分布直方图；

(2)在成绩属于［70,80)U［90,100］的学生中任取

两人，成绩记为，求的概率；

(3)在该班级中任取4人，其中与极格人数记为随机变

量X,写出X的分布列(结果只要求用组合数

表示），并求出期望E（X）o

8.（2010东北育才、大连育明三模）

单位为30元/件的日用品上市以后供不应求，为满足更多的消费者，某商

场在销售的过程中要求购买这种产品的顾客必须参加如下活动：摇动

如图所示的游戏转盘（上面扇形的圆心角都相等），按照指针所指区

域的数字购买商品的件数，在摇动转盘之前，顾客可以购买20元/张

的代金券（限每人至多买12张），每张可以换一件该产品，如果不能

按照指针所指区域的数字将代金券用完，则余下的不能再用，但商场

会以6元/张的价格回收代金券，每人只能参加一次这个活动，并且不

能代替别人购买。

（1）如果某顾客购买12张代金券，最好的结果是什么？出现这种

结果的概率是多少？

（2）求需要这种产品的顾客，能够购买到该产品件数的分布列与均

值；

（3）如果某顾客购买8张代金券，求该顾客得到优惠的钱数的均值。

9.（2010东北育才、大连育明二模）

由于当前学生课业负担较重，造成青少年视力普遍下降，现从某高中

随机抽取16名学生，经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况

的茎叶图（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叫）如下：

学生视力测试结果

4356667778899

50112

（I）指出这组数据的众数和中位数；

（II）若视力测试结果不低丁5.0,则称为“好视力”，求校医从这

16人中随机选取3人，至多有1人是“好视力”的概率；

（III）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校（人数

很多）任选3人，记表示抽到“好视力”学生的人数，求的分布列与

数学期望.

10.（2010东北三省四市联考）

为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下丢失数据

的列联表：

药物效果试验列联表

患病未患病总计

没服用药203050

服用药Xy50

总计MN100

工作人员曾用分层抽样的方法从50只服用药的动物中抽查10个

进行重点跟踪试验.知道其中患病的有2只.

(I)求出列联表中数据•,,M,N的值；

O画出列联表的等高条形图，并通过条形图判断药物是否有效;

O能够以97.5%的把握认为药物有效吗

参考数据：0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.

PK之k0)504025151005025010005001

k。0.0.1.2.2.3.5.6.7.10.

4557083230727068412046358798282

11.(2010银川一中二模)

某单位为加强普法宣传力度，增强法律意识，举办了“普法知识竞赛”，

现有甲、乙、丙三人同时回答一道有关法律知识的问题，已知甲回答

对这道题的概率是，甲、丙两人都回答错误的概率是，乙、丙两

人都回答对的概率是.

(1)求乙、丙两人各自回答对这道题的概率。

(2)求甲、乙、丙三人中恰有两人回答对该题的概率。

12.（2010银川一中一模）

有一种舞台灯，外形是正六棱柱，在其每一个侧面（编号为①②③④

⑤⑥）上安装5只颜色各异的灯，假若每只灯正常发光的概率为0.5,若一

个侧面上至少有3只灯发光，则不需要更换这个面，否则需要更换这个面,

假定更换一个面需要100元，用表示更换的面数，用表示更换费用。

（1）求①号面需要更换的概率；

（2）求6个面中恰好有2个面需要更换的概率；

⑶写出的分布列，求的数学期望。

13.（2010吉林市二模）

道路交通安全法中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次：“酒

后驾车，，和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精

含量Q（简称血酒含量，单位是毫克〃00毫升），当2OWQV8O0寸,

为酒后驾车；当Q280时，为醉酒驾车.某市公安局交通管理部门

在某路段的一次拦查行动中，依法检查了200辆机动车驾驶员的

血酒含量，其中查处酒后驾车的有6人，查处醉酒驾车的有2人,

依据上述材料回答下列问题：

（I）分别写出违法驾车发生的频率和醉酒驾车占违法驾车总数的百分

数；

（II）从违法驾车的8人中抽取2人，求取到醉酒驾车人数的分布列和

期望，并指出所求期望的实际意义；

（III）饮酒后违法驾驶机动车极易发生交通事故，假设酒后驾车和醉酒驾

车发生交通事故的概座分别是0.1和0.25,且每位驾驶员是否发生交通事

故是相互独立的。依此计算被查处的8名驾驶员中至少有一人发生交通事

故的概率。（精确到0.01）并针对你的计算结果对驾驶员发出一句话的倡

议.

14.（2010海南五校联考）

如图所示，质点P在正方形的四个顶点上按逆时针方向前进.现在投掷一

个质地均匀.每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上分别

写有两个1.两个2.两个3一共六个数字.质点P从A点出发，规则如

下：当正方体上底面出现的数字是1,质点P前进一步（如由A到B）；当

正方体上底面出现的数字是2,质点P前进两步（如由A到C）,当正方

体上底面出现的数字是3,质点P前进三步（如由A到）.在质点P转

一圈之前连续投掷，若超过一圈，则投掷终止.

(I)求点尸恰好返回到力点的概率;

(II)在点P转一圈恰能返回到A点的所有结果中，用随机变量表示点P恰能返问到A点

的投掷次数，求的数学期望.

15.(2010东北三校一模)

甲乙两运动员进行射击训练，已知他们击中目标的环数都稳定在

7,8,9,10环，且每次射击成绩互不影响，射击环数的频率分布表如

下，

甲运动员

射击环数频数频率

7100.1

8100.1

9X0.45

1035y

合计1001

乙运动员

射击环数频数频率

780.1

8120.15

9Z

100.35

合计801

若将频率视为概率，回答下列问题，

(1)求甲运动员击中10环的概率

(2)求甲运动员在3次射击中至少有一次击中9环以上(含9环)的

概率

(3)若甲运动员射击2次，乙运动员射击1次，表示这3次射击中

击中9环以上(含9环)的次数，求的分布列与.

16.（2010东北三校三模）

第11届哈尔滨冰雪大世界以“冰雪建筑华章，欢乐相约世界”为主题，于

2009年12月24日正式开园。在建园期间，甲、乙、丙三个工作

队负责从冰冻的松花江中采出尺寸相同的冰块。在冰景制作过程

中，需要对冰块进行雕刻，有时冰块会碎裂，假设冰块碎裂后整

块冰块就不能使用，定义：冰块利用率二假设甲、乙丙工作队所

采冰块分别占采冰总量的25%、35%、40%,各队采出的冰块利用率

分别为0.8,0.6,0.75,

（1）在采出的冰块中有放回地抽取三块，其中由甲工作队采出的冰块

数记为，求的分布列与其数学期望；

（2）在采出的冰块中任取一块，求它被利用的概率。

17.（2010大连双基测试）

一个口袋中有2个白球和个红球（，且），每次从袋中摸出两个球

（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中

奖，否则为不中奖。

（1）试用含〃的代数式表示一次摸球中奖的概率P;

（2）若，求三次摸球恰有一次中奖的概率；

（3）记三次摸球恰有一次中奖的概率为，当为何值时，最大。

18.（2010吉林H^一校联考）

甲乙两名射手互不影响地进行

射击训练，根据以往的数据统

计，他们设计成绩的分布列如射手乙

下：

射手甲

环数8910环数8910

工

概率11概率12

333326

（I）若甲乙两射手各射击两次，求四次射击中恰有三次命中10环的概

（II）若两个射手各射击1次，记所得的环数之和为，求的分布列

和期望.

19.（2010高.考.资.源.网模拟）

为了迎接2009年10月1日建国60

周年，某城市为举办的大型庆典活动

准备了四种保证安全的方案，列表如ABCD

下：

方案

3456

经费00万00万00万00万

兀兀兀兀

0000

安全系数

.6.7.8.9

其中安全系数表示实施此方案能保证安全的系数，每种方案相互独立,

每种方案既可独立用，又可以与其它方案合用，合用时，至少有一种方

案就能保证整个活动的安全。

(I)若总经费在：200万元内(含1200万元)，如何组合实施方案可

以使安全系数最高？

()要保证安全系数不小于0.99,至少需要多少经费?

20.（2009丹东二模）

某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）

的频率分布直方图如图所示.

（I）估计这次测试数学成绩的平均分；

（）假设在［90,100］段的学生的数学成绩都不相同，且都超过94分.

若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95,96,97,98,99,

100这6个数中任意抽取2个数，有放回地抽取了3次，记这3次抽取中,

恰好是两个学生的数学成绩的次数为，求的分布列与数学期望.

2010年优秀模拟试卷分类汇编

第五部分：随机变量与其分布、数学期望、方差、概率

详解答案

1.解：（I）..................................（2分）

尸（彳=2）=（1—0.9）+0.9x0.5=0.55.........（3

分）

P（4=4）=0.9x（l-0.5）=0.45..................

（4分）

（或24=4）=1-0.55=0.45）

424

P0.550.45

烤=2x0.55+4x0.45=2.9

（6分）

（）设该同学参加2.4次考试被录取的概率分别是、，则

《=0.1x0.3+0.9x0.5=0.48.........

（8分）

P2=0.9x（l-0.5）x0.8x0.6+0.9x（1-0.5）x（l-0.8）x0.3=0.243......（10分）

该同学被该校录取的概率

6+2=0.723.........（12分）

2.解；（I）三个区选择疫苗的批号的种数是......（2

分）

恰好有两个区选择的疫苗批号相同种数是，.......（3分）

三个区中恰好有两个区选择的疫苗批号相同的概率是P=.........

16

（6分）

（）选择疫苗批号相同的区的个数可能的取值为0,2,

3,.........（8分）

,,,.......（10分）

（或者，，）

4分布列是

023

391

p

8记16

（12分）

3,解：（I）记“理科组恰好记4分”的事件为A,则A为“在理科组选出

2名男生、1名女生或选出2名女生”……2.•共有种选法，基本事件数

为……2..所以……2分

（II）由题意得，所以

,...2分0123

于是的分布

列为

P2044951629

870870870870

2分（直接写出正确分布列的给4分）

通数学期望为成"嗡+1嗡+2端+3*喂……2分

4.解：记“小球落入袋中”为事件，“小球落入袋中”为事件，则

小球落入袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，故

2分

(I.获得两次一等奖的概率为・..............4分

()X可以取2,3,4

P(2)=W=16

=±

P(3)=一4416

(\A21

-=-..............8分

P⑷二⑷16

分布列234

为：

X

961

P?6?616

所以2X+3X+4X=2.5.10分

(III)参加摇奖,可节省2.5元，打折优惠,可节省2.4元，当然参加摇

奖.……12分

5.(I)每次从个球中任取两个，有种方法.

它们是等可能的，其中两个球的颜色不同的方法有种，

一次取球中奖的概率为・……4分

(II)设每次取球中奖的概率为，三次取球中恰有一次中奖的概率

是：

().

对的导数.……6分

因而在上为增函数，在上为减函数.

・••当，即，时，・.....8分

(III)由(II)知：红球共20个，则记上号的有个红球，从中任

取一球，有种取法，它们是等可能的.故X的分布列是：

X01234

113

P

220To205

10分

.……12分

6.【解析】记表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品，

记表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，

记表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，

记表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种。

（2分）

（1）C=AB+AB

P（C）=P（AB+A

=P（A•可+P,8）

=P（A）・P⑻+P⑷P⑻

=0.5x0.4+0.5x0.6

=0.5（6分）

（2）D=AB

P@）==尸（入），（5）=0.5x04=0.2

P（D）=1-P（万）=0.8（9分）

（3），故的分布列

p（^=0）=0.23=0.008

尸（J=1）=C；x0.8x0.22=0.096

尸信=2）=C；x0.82x0.2=0.384

*=3）=0.83=0.512

所以EJ=3x0.8=2.4（12分）

7.解：（1）由图得，成绩在的人数为4人,

所以在的人为16人，

所以在的频率为，

在的频率为........2分

补全的频率分布直方图如图所示......4分

（2）由题得：成绩在的有8人，

在的为16人.

所以的概率为........6分

（3）X的分布列为：

X

01234

p（x）c；q°

C50CsoGc:

.........9分

随机变量服从的是50204的超几何分布，所以期望.........12

8.解：（1）最好的结果是：摇动游戏转盘，指针指有12的区域，蹴率为

（2分）

（2）可能的取值为1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,

且J取其中每个值的概率为g

J的分布列为

123456789101112

111111111111

p

121212121212121212121212

.•.心=(1+2+…+12)、=6.5.(5分)

(3)设指针所指数字为，得到优惠的钱数为Y元。

购买8张代金券，

"80,；7>8,

107；-14(8-7/),77<8

即丫=(80,中，©分)

[2477-112,?7<8.

Er=l24(l+2+--+7)-112x7]x-jt+-jtx80x5=24.(12

分)

9.解：(I)众数：4.6和4.7；中位数

4.7.......2分

(H)设表示所取3人中有个人是“好视力”，至多有1人是“好视

力”记为事件，则.........6分

(III)的可能取值为0、1.2、3..............7

分

3?7

^=0)=(4)3=M

4464

分布列为

0123

P272791

64646464

.............10分

...............................................12分

10.(1)

比

(〃=0)C；)

以=以£

/,或)9C；。1

分

/.x=102

分

y=40

.•.”=30,N=703分

画出列联表的等高条形图

4分

由列联表的等高条形图可以初步判断药物有效

5分

(2)取值为0,1,2高.考.资/源/网

38

C=0)C；。245,

C20c30120

(J=1)。245,

C；o87

(4=2)或°诟，

4012

P3812087

245245245

E“空

2457

分

9

S=0)C；)245

。1（。4080

“7=I）C；o245

。4（）156

（7=2）备245

7012

P980156

245245245

392

匕7]=-------

2459

分

••・塔＜切说明药物有效

10分

(3)

..片:100(800-300)2马先

30x70x50x50.11分

由参考数据知不能够以97.5%的把握认为药物有效。12

分

11.解：(I)记“甲回答对这道题”、“乙回答对这道题”、“丙回答对这道

题”分别为事件A.B.C,

则，且有即

3。

/.P⑶=B，P(C)=：

o3

,—1—5—1

(H)由(I)P(A)=1-P(A)=-,P(B)=1-P(B)=-,P(C)=1-P(C)=-

583

“甲、乙、丙三人中恰有两人回答对该题”记为事件：

,其中概率为P

———43145213229

P=P(ABC+/lBC4-ABC)=---+---4----=—

58358358360

12.(1)因为①号面不需要更换的概率为.

所以①号面需要更换的概率为：1

(2)根据独立重复试验，6个面中恰好有2个面需要更换的概率为：

P6(2)=呜审导监

22264

(3)因为，又P6(0)二,P6⑴二,P6⑵=，P6⑶二,P6(4)=

,P6(5)=,P6(6)=

的分

布列为：0123456

P131551531

64326416643264

=100,100300

13.解:(I)..25%

..(2分)

则分布列如下

（II）

解：设

取到醉

,实际意义：在抽取酒驾车的两人中平均含有（）.5

个醉酒驾车人员...（8的人数分）

（III）

为随机

变量

,则012

可能

取到的

值有

0,1,2

，，

P1531

28728

p=l-0.960.752«0.70（10分）

一句话倡议：答案开放，教师酌情给分

（12分）

14.解：（I）投掷一次正方体玩具，上底面每个数字的出现都是等可

能的，其概率.

因为只投掷一次不可能返回到A点；

若投掷两次点P就恰能返回到A点，则上底面出现的两个数字应依次

为:

(I,3).(3,1).(2,2)三种结果，其概率为

若投掷三次点P恰能返回到A点，则上底面出现的三个数字应依次为:

(1,1,2).(1,2,1).(2,1,1)三种结果，其概率为

若投掷四次点P恰能返回到A点，则上底面出现的四个数字应依次为:

(1,1,1,1)

其概率为乙=(5=占

381

所以，点P恰

好返回到A点的概率为

7分

(II)在点P转一圈恰能返回到A点的所有结果共有以上问题中的

7种，

因为，，，

所以，----------------12分

15.解.

(1)设“甲运动员击中10环”为事件A,P⑷=0.35

甲运动员击中10环的概率为0.35.............

(2)设甲运动员击中9环为事件，击中10环为事件

则甲运动员在一次射击中击中9环以上(含9环)的概率

P=P(A+4)=p(4)+P(4)=0.45+0.35=0.8........4f

甲运动员在3次射击中至少有一次击中9环以上(含9环)的概率

P=1-[1-P(a+M=1-0.23=0.992

答：甲运动员在3次射击中至少有一次击中9环以上(含9环)的暇率为

0.992.……

(3)的可能取值是0,1,2,3

尸=0)=0.22x0.25=0.01

尸(4=1)=C；X0.2x0.8x0.25+0.22x0.75=0.11

2(g=2)=0.8?x0.25+C；x0-8x0.2x0.75=0.4

=3)=0.82x0.75=0.48

所以4的分布列是

0123

p0.010.110.40.48

16.解：⑴任取一块冰是由甲工作采出的冰块的概率为

依题意，

且9(3,J).............1

4

〃e=Z)=C；x:X-(Z=0,l,2,3)

“27

=())=—

64

27

^=D=—

64

9

PC=2),

64

户(<=3)=]

64

・•・J的分布列为

40123

272791

P

64646464

5分

......6分

(2)用表示事件“冰块是由甲工作队采出的”；表示事件“冰块

是由乙工作队采出的”；表示事件“冰块是由丙工作队采出的"，用

表示事件”采出的冰块能被利用”，.....8分

则，，，

尸(B|A)=0.8P(B|A)=0.6P(8|A)=0.75

10分

P(B)=P(BAi)+P(BA2)+P(8A3)

=尸（4）尸（到&）十尸（4）尸（闿4）+P（A3）P（B|A3）

=0.25x0.84-0.35x0.6+0.4x0.75=0.71

答：采出的冰块能被利用的概率是......…….12分

17.解：（1）一次摸球从个球中任选两个，有种选法，其中两球颜色

相同有种选法；一次摸球中奖的概率.•・4分

（2）若，则一次摸球中奖的概率是，三次摸球是独立重复实验,

三次摸球中恰有一次中奖的概率是8分

（3）设一次摸球中奖的概率是，则三次摸球中恰有一次中奖的概率

是，，

•••r（〃）=-12〃+3=3（〃-1）（3〃-1）

在是增函数，在是减函数，

当时，取最大值10分

‘，故时，三次摸球中恰有一次中奖的概率最大。12分

18..（I）记事件甲命中1次10环，乙命中两次10环，事件；

甲命中2次10环，乙命中1次10环，则四次射击中恰有三次命中10环

为事件