高一数学知识点总结

高一数学知识点总结

总结在一个时期、一个年度、一个阶段对学习和工作生活等情况

加以回顾和分析的一种书面材料，它可使零星的、肤浅的、表面的感

性认知上升到全面的、系统的、本质的理性认识上来，不如立即行动

起来写一份总结吧。总结怎么写才能发挥它的作用呢？以下是小编精

心整理的高一数学知识点总结，仅供参考，欢迎大家阅读。

高一数学知识点总结1

集合的运算

运算类型交集并集补集

定义域R定义域R

值域＞0值域＞0

在R上单调递增在R上单调递减

非奇非偶函数非奇非偶函数

函数图象都过定点（0,1）函数图象都过定点（0,1）

注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

（1）在［a,b］上，值域是或；

（2）若，则；取遍所有正数当且仅当；

（3）对于指数函数，总有；

二、对数函数

（一）对数

1.对数的概念：

一般地，如果,那么数叫做以为底的对数，记作：（一底数，

一真数，一对数式）

说明：。1注意底数的限制，且；

。2；

。3注意对数的书写格式.

两个重要对数：

ol常用对数：以10为底的对数；

o2自然对数：以无理数为底的对数的对数.

指数式与对数式的互化

曷值真数

=N=b

底数

指数对数

（二）对数的运算性质

如果，且，//那么：

。1+；

°2-；

o3.

注意：换底公式：（，且；，且；）.

利用换底公式推导下面的结论：（1）；（2）.

（3）、重要的公式①、负数与零没有对数；②、，③、对数恒

等式

（二）对数函数

1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，

函数的定义域是（0,+8）.

注意：。1对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意

辨别。如：，都不是对数函数，而只能称其为对数型函数.

o2对数函数对底数的限制：，且.

2、对数函数的性质：

a>10<a<l<p="">

定义域x>0定义域x>0

值域为R值域为R

在R上递增在R上递减

函数图象都过定点（1,0）函数图象都过定点（1,0）

（三）黑函数

1、幕函数定义：一般地，形如的函数称为幕函数，其中为常数.

2、幕函数性质归纳.

(1)所有的幕函数在(0,+8)都有定义并且图象都过点(1,

1)；

(2)时，黑函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数.特

别地，当时，鬲函数的图象下凸；当时，幕函数的图象上凸；

(3)时，幕函数的图象在区间上是减函数.在第一象限内，当

从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时,

图象在轴上方无限地逼近轴正半轴.

第四章函数的应用

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零

点。

2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的

图象与轴交点的横坐标。

即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点.

3、函数零点的求法：

ol(代数法)求方程的实数根；

o2(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图

象联系起来，并利用函数的性质找出零点.

4、二次函数的零点：

二次函数.

(1)△>0,方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交

点，二次函数有两个零点.

(2)△=0,方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有一个交

点，二次函数有一个二重零点或二阶零点.

(3)△<0,方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函

数无零点.

5.函数的模型

高一数学知识点总结2

【(一)、映射、函数、反函数】

1、对应、映射、函数三个概念既有共性又有区别，映射是一种特

殊的对应，而函数又是一种特殊的映射.

2、对于函数的概念，应注意如下几点：

Q)掌握构成函数的三要素，会判断两个函数是否为同一函数.

(2)掌握三种表示法——列表法、解析法、图象法,能根实际问题

寻求变量间的函数关系式，特别是会求分段函数的解析式.

(3)如果y=f(u),u=g(x),那么y=f[g(x)]叫做f和g的复合函数，

其中g(x)为内函数，f(u)为外函数.

3、求函数y=f(x)的反函数的一般步骤：

Q)确定原函数的值域，也就是反函数的定义域；

(2)由y=f(x)的解析式求出x=f-l(y);

⑶将x,y对换，得反函数的习惯表达式y=f-l(x),并注明定义域.

注意①：对于分段函数的反函数，先分别求出在各段上的反函数，

然后再合并到一起.

②熟悉的应用，求「1(x0)的值，合理利用这个结论，可以避免求

反函数的过程，从而简化运算.

【(二)、函数的解析式与定义域】

1、函数及其定义域是不可分割的整体，没有定义域的函数是不存

在的，因此，要正确地写出函数的解析式，必须是在求出变量间的对

应法则的同时，求出函数的定义域.求函数的定义域一般有三种类型：

Q)有时一个函数来自于一个实际问题，这时自变量x有实际意义,

求定义域要结合实际意义考虑；

(2)已知一个函数的解析式求其定义域，只要使解析式有意义即可.

如：

①分式的分母不得为零；

②偶次方根的被开方数不小于零；

③对数函数的真数必须大于零；

④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；

⑤三角函数中的正切函数y=tanx(xeR,且keZ),余切函数

y=cotx(xFR,x/kn,k£Z)等.

应注意，一个函数的解析式由几部分组成时，定义域为各部分有

意义的自变量取值的公共部分(即交集).

(3)已知一个函数的定义域，求另一个函数的定义域，主要考虑定

义域的深刻含义即可.

已知f(x)的定义域是［a，用，求f［g(x)］的定义域是指满足

awg(x)wb的x的取值范围，而已知f［g(x)］的定义域［a,b］指的是xE［a,

b］,此时此x)的定义域,即g(x)的值域.

2、求函数的解析式一般有四种情况

(1)根据某实际问题需建立一种函数关系时，必须引入合适的变量,

根据数学的有关知识寻求函数的解析式.

(2)有时题设给出函数特征，求函数的解析式，可采用待定系数法.

比如函数是一次函数,可设f(x)=ax+b(a/O),其中a,b为待定系数,

根据题设条件，列出方程组，求出a,b即可.

⑶若题设给出复合函数f［g(x)］的表达式时，可用换元法求函数f(x)

的表达式，这时必须求出g(x)的值域，这相当于求函数的定义域.

(4)若已知f(x)满足某个等式,这个等式除f(x)是未知量外,还出现

其他未知量(如f(-x),等)，必须根据已知等式，再构造其他等式组成方

程组，利用解方程组法求出f(x)的表达式.

【(三)、函数的值域与最值】

1、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用何种方法求函

数值域都应先考虑其定义域，求函数值域常用方法如下：

Q)直接法：亦称观察法，对于结构较为简单的函数，可由函数的

解析式应用不等式的性质，直接观察得出函数的值域.

(2)换元法：运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一

种简单函数再求值域，若函数解析式中含有根式，当根式里一次式时

用代数换元，当根式里是二次式时，用三角换元.

(3)反函数法：利用函数f(x)与其反函数f-l(x)的定义域和值域间的

关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形如(arO)的函数

值域可采用此法求得.

(4)配方法：对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考

虑用配方法.

(5)不等式法求值域:利用基本不等式a+b>[a,be(Oz+8)]可

以求某些函数的值域，不过应注意条件〃一正二定三相等〃有时需用

到平方等技巧.

(6)判别式法：把y=f(x)变形为关于x的一元二次方程，利用

〃△之0〃求值域.其题型特征是解析式中含有根式或分式.

(7)利用函数的单调性求值域：当能确定函数在其定义域上(或某个

定义域的子集上)的单调性，可采用单调性法求出函数的值域.

(8)数形结合法求函数的值域：利用函数所表示的几何意义，借助

于几何方法或图象，求出函数的值域，即以数形结合求函数的值域.

2、求函数的最值与值域的区别和联系

求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的，事

实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最

小(大)值.因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角

度不同，因而答题的方式就有所相异.

如函数的值域是(0,16],值是16,无最小值.再如函数的值域是(-

8,-2]U[2,+8),但此函数无值和最小值，只有在改变函数定义域

后，如x>0时，函数的最小值为2.可见定义域对函数的值域或最值的

影响

3、函数的最值在实际问题中的应用

函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上，从文

字表述上常常表现为〃工程造价最低〃，〃利润〃或〃面积(体积)(最

小)〃等诸多现实问题上，求解时要特别关注实际意义对自变量的制约，

以便能正确求得最值.

【(四)、函数的奇偶性】

1、函数的奇偶性的定义：对于函数f(x),如果对于函数定义域内

的任意一个x,都有的x)=-f(x)(或f(-x)=f(x)),那么函数f(x)就叫做奇

函数(或偶函数).

正确理解奇函数和偶函数的定义，要注意两点：Q)定义域在数轴

上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要不充分条

件;(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.(奇偶性是函数定义域

上的整体性质).

2、奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据。为了便于判断

函数的奇偶性，有时需要将函数化简或应用定义的等价形式：

注意如下结论的运用：

(1)不论f(x)是奇函数还是偶函数，f(|x|)总是偶函数；

(2)f(x)、g(x)分别是定义域DLD2上的奇函数，那么在D1AD2

上,f(x)+g(x)是奇函数,f(x)・g(x)是偶函数,类似地有〃奇士奇二

奇〃"奇x奇二偶〃，〃偶±偶=偶〃〃偶x偶二偶〃〃奇x偶"奇"；

(3)奇偶函数的复合函数的奇偶性通常是偶函数；

(4)奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数。

3、有关奇偶性的几个性质及结论

(1)一个函数为奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函

数为偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称.

(2)如要函数的定义域关于原点对称且函数值恒为零，那么它既是

奇函数又是偶函数.

⑶若奇函数f(x)在x=0处有意义，则f(0)=0成立.

⑷若f(x)是具有奇偶性的区间单调函数,则奇(偶)函数在正负对称

区间上的单调性是相同(反)的。

⑸若f(x)的定义域关于原点对称，则F(x)=f(x)+f(-x)是偶函数,

G(x)=f(x)-f(-x)是奇函数.

(6)奇偶性的推广

函数y二f(x)对定义域内的任一x都有f(a+x)=f(a-x),则y=f(x)的

图象关于直线x=a对称,即y=f(a+x)为偶函数.函数y=f(x)对定义域内

的任-x者B有f(a+x)=-f(a-x),则y=f(x)的图象关于点(a,0)成中心对称

图形，即y=f(a+x)为奇函数。

【(五)、函数的单调性】

1、单调函数

对于函数f(x)定义在某区间［a,b］上任意两点xl,x2,当xl>x2

时，都有不等式f(xl)>(或<)f(x2)成立，称f(x)在［a,b］上单调递增(或

递减);增函数或减函数统称为单调函数.

对于函数单调性的定义的理解，要注意以下三点：

(1)单调性是与〃区间〃紧密相关的概念.一个函数在不同的区间上

可以有不同的单调性.

(2)单调性是函数在某一区间上的〃整体〃性质，因此定义中的xl,

x2具有任意性，不能用特殊值代替.

(3)单调区间是定义域的子集，讨论单调性必须在定义域范围内.

(4)注意定义的两种等价形式：

设xl、x2e［arb］,那么:

①在［a、b］上是增函数；

在［a、b］上是减函数.

②在［a、b］上是增函数.

在［a、b］上是减函数.

需要指出的是：①的几何意义是：增(减)函数图象上任意两点(xl,

f(xl)).(x2,f(x2))连线的斜率都大于(或小于)零.

⑸由于定义都是充要性命题，因此由f(x)是增(减)函数，且(或

xl>x2),这说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等

关系可以〃正逆互推〃.

5、复合函数y=f［g(x)］的单调性

若u=g(x)在区间［a,b］上的单调性，与y=f(u)在［g(a),g(b)］(或

g(b),g(a))上的单调性相同，则复合函数y=f［g(x)］在［a,b］上单调递

增;否则，单调递减简称〃同增、异减〃.

在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些

熟知函数的单调性。因此，掌握并熟记一次函数、二次函数、指数函

数、对数函数的单调性，将大大缩短我们的判断过程.

6、证明函数的单调性的方法

(1)依定义进行证明.其步骤为：①任取xl、x2eM且xl(或

<)f(x2);③根据定义，得出结论.

(2)设函数y=f(x)在某区间内可导.

如果f(x)>0,则f(x)为增函数;如果f(x)<0,则f(x)为减函数.

【(六)、函数的图象】

函数的图象是函数的直观体现，应加强对作图、识图、用图能力

的培养，培养用数形结合的思想方法解决问题的意识.

求作图象的函数表达式

与f(x)的关系

由f(x)的图象需经过的变换

y=f(x)±b(b>0)

沿y轴向平移b个单位

y=f(x±a)(a>0)

沿x轴向平移a个单位

y=-f(x)

作关于x轴的对称图形

y=f(|x|)

右不动、左右关于y轴对称

y=|f(x)|

上不动、下沿X轴翻折

y=f-i(x)

作关于直线y二x的对称图形

y=f(ax)(a>0)

横坐标缩短到原来的，纵坐标不变

y=af(x)

纵坐标伸长到原来的同倍，横坐标不变

y=f(-x)

作关于y轴对称的图形

【例】定义在实数集上的函数f(x),对任意x,yfR,有

f(x+y)4-f(x-y)=2f(x)-f(y),且f(O)wO.

①求证：f(O)=l;

②求证：y二f(x)是偶函数；

③若存在常数c,使求证对任意XER,有f(x+c)=-f(x)成立;试问

函数f(x)是不是周期函数,如果是，找出它的一个周期;如果不是，请

说明理由.

思路分析：我们把没有给出解析式的函数称之为抽象函数，解决

这类问题一般采用赋值法.

解答：①令x=y=O,则有2f(0)=2f2(0),因为f(0)/0,所以

f(o)=i.

②令x=0,则有f(x)+f(-y)=2f(0)-f(y)=2f(y)r所以f(-y)=f(y),这

说明f(x)为偶函数.

③分别用(c>0)替换x、y,有f(x+c)+f(x)=

所以，所以f(x+c)=-f(x).

两边应用中的结论，得f(x+2c)=-f(x+c)=-[-f(x)]=f(x),

所以f(x)是周期函数,2c就是它的一个周期.

高一数学知识点总结3

1.函数的奇偶性

⑴若f(x)是偶函数,那么f(x)=f(-X)；

(2)若f(x)是奇函数，0在其定义域内,则f(0)=0(可用于求参数)；

(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式:f(x)士f(-x)=0或(f(x偶0);

(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性；

(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性乂禺函数在对称的单

调区间内有相反的单调性；

2.复合函数的有关问题

Q)复合函数定义域求法：若已知的定义域为[a,b],其复合函数

f[g(x)]的定义域由不等式a<g(x)<b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域

为[a,b],求f(x)的定义域，相当于x£[a,b]时,求g(x)的值域(即为)的

定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。

(2)复合函数的单调性由〃同增异减〃判定；

3.函数图像(或方程曲线的对称性)

(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心(对

称轴)的对称点仍在图像上；

(2)证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中

心(对称轴)的对称点仍在C2上，反之亦然；

(3)曲线C1:f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程

为f(y-a/x+a)=O(ngf(-y+a/-x+a)=O);

(4)曲线Cl:f(xy)=O关于点(a,b)的对称曲线C2方程为:f(2a-

x,2b-y)=0;

(5)若函数y=f(x)对XGR时,f(a+x)=f(a・x)恒成立,则y=f(x)图

像关于直线x二a对称；

(6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x二对称；

4.函数的周期性

(l)y=f(x)对XGR时,f(x+a)=f(x-a)或f(x-2a)=f(x)(a>0)恒成立,

则y=f(x)是周期为2a的周期函数；

(2)若y=f(x)是偶函数,其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周

期为21al的周期函数；

(3)若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期

为41al的周期函数；

(4)若y=f(x)关于点(a,O),(b,O)对称，则f(x)是周期为2的周期函数;

(5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x二b(awb)对称，则函数y=f(x)是周

期为2的周期函数；

⑹y=f(x)对xeR时，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)=,则y=f(x)是周期

为2的周期函数；

5方程k=f(x)有解keD(D为f(x)的值域)；

6.a2f(x)恒成立a>[f(x)]max,;awf(x)恒成立a<[f(x)]min;

7.(l)(a>0za^l,b>0,neR+);(2)logaN=(a>0/a^l,b>0/b/l);

(3)logab的符号由口诀〃同正异负〃记

lZ;(4)alogaN=N(a>0za^lrN>0);

8.判断对应是否为映射时，抓住两点：(1)A中元素必须都有象

且;(2)B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同

的象；

9.能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇

偶性。

10.对于反函数，应掌握以下一些结论：Q)定义域上的单调函数必

有反函数;(2)奇函数的反函数也是奇函数;(3)定义域为非单元素集的偶

函数不存在反函数;(4)周期函数不存在反函数;(5)互为反函数的两个函

数具有相同的单调性;⑸y=f(x)与y=f-l(x)互为反函数，设f(x)的定义

域为A，值域为B,则有f[f--l(x)]=x(x£B),f--l[f(x)]=x(x£A).

11.处理二次函数的问题勿忘数形结合;二次函数在闭区间上必有最

值，求最值问题用〃两看法〃：一看开口方向;二看对称轴与所给区间

的相对位置关系；

12.依据单调性，利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参

数的范围问题

13.恒成立问题的处理方法：(1)分离参数法;(2)转化为一元二次方

程的根的分布列不等式(组)求解；

高一数学知识点总结4

1.二次函数y=axA2,y=a(x-h)A2,y=a(x-h)A2+k,

y=ax八2+bx+c(各式中，a/0)的图象形状相同，只是位置不同，它们

的顶点坐标及对称轴如下表：

解析式

顶点坐标

对称轴

y=axA2

(0,0)

x=0

y=a(x-h)A2

(h,0)

x=h

y=a(x-h)A2+k

(h,k)

x=h

y=axA2+bx+c

(-b/2a,[4ac-bA2]/4a)

x=-b/2a

当h>0时，y=a(x-h)八2的图象可由抛物线y二ax八2向右平行移

动h个单位得到，

当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到.

当h>0,k>0时，将抛物线y=ax八2向右平行移动h个单位，再

向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h”2+k的图象；

当h>0,k<0时，将抛物线y=ax八2向右平行移动h个单位，再

向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)A2+k的图象；

当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动

k个单位可得到y=a(x-h)A2+k的图象；

当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动

|k|个单位可得到y=a(x-h)A2+k的图象；

因此,研究抛物线y二ax八2+bx+c(a/0)的图象,通过配方,将一

般式化为y=a(x-h)A2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物

线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.

2抛物线y=ax，\2+bx+c(aH0)的图象：当a>0时，开口向上，当

a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a,顶点坐标是(・b/2a,[4ac-

bA2]/4a).

3.抛物线y=axA2+bx+c(a#0),若a>0,当x<-b/2a时，y随x

的增大而减小;当x>-b/2a时，y随x的增大而增大.若a<0,当x4-

b/2a时，y随x的增大而增大;当x>-b/2a时，y随x的增大而减小.

4抛物线y=ax、2+bx+c的图象与坐标轴的交点：

Q)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0,c);

(2)当△=b八2・4ac>0,图象与x轴交于两点A(x?,0)和B(x?,0),

其中的xl,x2是一元二次方程ax八2+bx+c=0

(a二0)的两根.这两点间的距离AB=|x?-x?|

当△二().图象与x轴只有一个交点；

当△<().图象与x轴没有交点.当a>0时，图象落在x轴的上方，x

为任何实数时，者陌y>0;当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何

实数时，都有y<0.

5.抛物线y=ax入2+bx+c的最值:如果a>0(a<0),则当x=-b/2a

时，y最小(大)值=(4ac-b八2)/4a.

顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最

值的取值.

6.用待定系数法求二次函数的解析式

(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应

值时，可设解析式为一般形式：

y=axA2+bx+c(a/0).

(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为

顶点式：y=a(x-h)A2+k(a^0).

(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式

为两根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a/O).

7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的

综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考

题，往往以大题形式出现.

高一数学知识点总结5

函数图象知识归纳

(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(x《A)中的x为横

坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的函数C,叫做函数y=f(x),(xwA)

的图象.C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来，以满

足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上.

(2)画法

A、描点法：

B、图象变换法

常用变换方法有三种

1)平移变换

2)伸缩变换

3)对称变换

4.高中数学函数区间的概念

Q)函数区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间

(2)无穷区间

5.映射

一般地，设A、B是两个非空的函数，如果按某一个确定的对应法

则f,使对于函数A中的任意一个元素x,在函数B中都有确定的元素

y与之对应，那么就称对应f:AB为从函数A到函数B的一个映射。

记作〃f(对应关系)：A(原象)B(象广

对于映射f:A-B来说，则应满足：

Q)函数A中的每一个元素，在函数B中都有象，并且象是的；

(2)函数A中不同的元素，在函数B中对应的象可以是同一个；

(3)不要求函数B中的每一个元素在函数A中都有原象。

6.高中数学函数之分段函数

Q)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

(2)各部分的自变量的取值情况.

(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并

集.

补充：复合函数

如果y=f(u)(u£M),u=g(x)(x@A),则y=f[g(x)]=F(x)(x£A)称为f、

g的复合函数。

高一数学知识点总结6

一、集合有关概念

1.集合的含义

2.集合的中元素的三个特性：

(1)元素的确定性，

(2)元素的互异性，

(3)元素的无序性，

3.集合的表示：｛…｝如：｛我校的篮球队员｝，｛太平洋,大西洋，印度

洋，北冰洋｝

(1)用拉丁字母表示集合：A二｛我校的篮球队员｝,B=｛1,2,3,4,5｝

(2)集合的表示方法：列举法与描述法。

注意：常用数集及其记法：

非负整数集(即自然数集)记作：N

正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R

1)列举法：{a,b,c……}

2)描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内

表示集合的方法。{x?R|x-3>2}/{x|x-3>2}

3)语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

4)Venn图:

4、集合的分类：

(1)有限集含有有限个元素的集合

(2)无限集含有无限个元素的集合

(3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5}

二、集合间的基本关系

1.〃包含〃关系一子集

注意：有两种可能(1)A是B的一部分，乂2)A与B是同一集合。

反之：集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或

BA

2.”相等〃关系:A=B(5>5，且545,则5=5)

实例：设A={x|x2-l=0}B={-1,1}〃元素相同则两集合相等〃

即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A

②真子集:如果A?B,且A?B那就说集合A是集合B的真子集,记

作AB(或BA)

③如果A?B,B?C,那么A?C

④如果A?B同时B?A那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，记为①

规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集C

有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-l个真子集

三、集合的运算

运算类型交集并集补集

定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合，叫做A,B的交

集.记作AB(读作A交B，),即AB={x|xA,且xB}.

由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B

的并集.记作：AB(读作A并B，),即AB=仅|乂A,或xB}).

设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元

素组成的集合，叫做S中子集A的补集(或余集)

二、函数的有关概念

1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应

关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的

数f(x)和它对应，那么就称f:A-B为从集合A到集合B的一个函数.

记作：y=f(x),x£A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数

的定义域与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xEA}

叫做函数的值域.

注意：

1.定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

(1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被开方数不小于零；

(3)对数式的真数必须大于零；

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它

的定义域是使各部分都有意义的x的值蛆成的集合.

(6)指数为零底不可以等于零，

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

相同函数的判断方法：①表达式相同(与表示自变量和函数值的字

母无关);②定义域一致(两点必须同时具备)

2.值域：先考虑其定义域

(1)观察法

(2)配方法

(3)代换法

3.函数图象知识归纳

Q)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(xwA)中的x为

横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数y=f(x)z(x

£A)的图象.C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来，

以满足y二f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上.

(2)画法

A、描点法：

B、图象变换法

常用变换方法有三种

1)平移变换

2)伸缩变换

3)对称变换

4.区间的概念

Q)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间

(2)无穷区间

(3)区间的数轴表示.

5.映射

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法

则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的

'元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个

映射。记作f：A-B

6.分段函数

Q)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

(2)各部分的自变量的取值情况.

(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并

集.

补充：复合函数

如果y=f(u)(ufM),u=g(x)(xfA),贝I」y=f[g(x)]=F(x)(xFA)称为f、

g的复合函数。

二.函数的性质

1.函数的单调性(局部性质)

(1)增函数

设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内

的任意两个自变量xl,x2,当乂1

如果对于区间D上的任意两个自变量的值xl,x2,当xlf(x2)z

那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.

注意：函数的单调性是函数的局部性质；

(2)图象的特点

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)

在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到

右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

(3).函数单调区间与单调性的判定方法

(A)定义法：

ol任取xl,x2eD,且xl

。2作差f(xl)・f(x2);

o3变形(通常是因式分解和配方)；

o4定号(即判断差f(xl)-f(x2)的正负);

o5下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).

(B)图象法(从图象上看升降)

(C)复合函数的单调性

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调

性密切相关，其规律：〃同增异减〃

注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间，不能把单调性相

同的区间和在一起写成其并集.

8.函数的奇偶性(整体性质)

Q)偶函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),

那么f(x)就叫做偶函数.

(2).奇函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=一f(x),

那么f(x)就叫做奇函数.

(3)具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.

利用定义判断函数奇偶性的步骤：

。1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；

。2确定f(-x)与f(x)的关系

。3作出相应结论:若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函

数;若f(-x)=-f(x)或若x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数.

(2)由f(-x)±f(x)=O或f(x)/f(-x)=±l来判定；

(3)利用定理，或借助函数的图象判定.

9、函数的解析表达式

(1).函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函

数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义

域.

(2)求函数的解析式的主要方法有：

1)凑配法

2)待定系数法

3)换元法

4)消参法

10.函数最大(小)值(定义见课本p36页)

。1利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值

o2利用图象求函数的最大(小)值

o3利用函数单调性的判断函数的最大(小)值：

如果函数y=f(x)在区间［a,b］上单调递增,在区间［b,c］上单调递

减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);

如果函数y=f(x)在区间［a,b］上单调递减,在区间［b,c］上单调递

增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);

高一数学知识点总结7

圆的方程定义：

圆的标准方程(X—a)2+(y—b)2=r2中，有三个参数a、b、

r,即圆心坐标为(a,b),只要求出a、b、r,这时圆的方程就被确

定，因此确定圆方程，须三个独立条件，其中圆心坐标是圆的定位条

件，半径是圆的定形条件。

直线和圆的位置关系：

L直线和圆位置关系的判定方法一是方程的观点，即把圆的方程

和直线的方程联立成方程组，利用判别式△来讨论位置关系。

①△>(),直线和圆相交、②,直线和圆相切、③A<0,直线

和圆相离。

方法二是几何的观点，即把圆心到直线的距离d和半径R的大小

加以比较。

①dR,直线和圆相离、

2、直线和圆相切，这类问题主要是求圆的切线方程、求圆的切线

方程主要可分为已知斜率k或已知直线上一点两种情况，而已知直线

上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况。

3、直线和圆相交，这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题。

切线的性质

⑴圆心到切线的距离等于圆的半径；

⑵过切点的半径垂直于切线；

⑶经过圆心，与切线垂直的直线必经过切点；

⑷经过切点，与切线垂直的直线必经过圆心；

当一条直线满足

(1)过圆心；

(2)过切点；

(3)垂直于切线三个性质中的两个时，第三个性质也满足。

切线的判定定理

经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线长定理

从圆外一点作圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连

线平分两条切线的夹角。

高一数学知识点总结8

本节内容主要是空间点、直线、平面之间的位置关系，在认识过

程中，可以进一步提高同学们的空间想象能力，发展推理能力.通过

对实际模型的认识，学会将文字语言转化为图形语言和符号语言，以

具休的长方休中的点、线、面之间的关系作为载休，使同学们在直观

感知的基础上，认识空间中点、线、面之间的位置关系，点、线、面

的位置关系是立体几何的主要研究对象，同时也是空间图形最基本的

几何元素.

重难点知识归纳

1、平面

(1)平面概念的理解

直观的理解：桌面、黑板面、平静的水面等等都给人以平面的直

观的印象，但它们都不是平面,而仅仅是平面的一部分.

抽象的理解：平面是平的，平面是无限延展的，平面没有厚薄.

(2)平面的表示法

①图形表示法：通常用平行四边形来表示平面，有时根据实际需

要，也用其他的平面图形来表示平面.

②字母表示：常用等希腊字母表示平面.

(3)涉及本部分内容的符号表示有：

①点A在直线I内，记作；②点A不在直线I内，记作；

③点A在平面内，记作；④点A不在平面内，记作；

⑤直线I在平面内，记作；⑥直线I不在平面内，记作；

注意：符号的使用与集合中这四个符号的使用的区别与联系.

(4)平面的基本性质

公理1:如果一条直线的两个点在一个平面内，那么这条直线上的

所有点都在这个平面内.

符号表示为：.

注意：如果直线上所有的点都在一个平面内，我们也说这条直线

在这个平面内，或者称平面经过这条直线.

公理2:过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.

符号表示为：直线AB存在唯一的平面，使得.

注意：〃有且只有〃的含义是：〃有〃表示存在，〃只有〃表示

唯一，不能用〃只有〃来代替.此公理又可表示为：不共线的三点确

定一个平面.

公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有

一条过该点的公共直线.

符号表示为：.

注意：两个平面有一条公共直线，我们说这两个平面相交，这条

公共直线就叫作两个平面的交线.若平面、平面相交于直线I,记作.

公理的推论：

推论1:经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.

推论2:经过两条相交直线有且只有一个平面.

推论3:经过两条平行直线有且只有一个平面.

2.空间直线

Q)空间两条直线的位置关系

①相交直线：有且仅有一个公共点，可表示为；

②平行直线：在同一个平面内，没有公共点，可表示为a//b;

③异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.

(2)平行直线

公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.

符号表示为：设a、b、c是三条直线，.

定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相

同，那么这两个角相等.

(3)两条异面直线所成的角

注意：

①两条异面直线a,b所成的角的范围是(0。，90°].

②两条异面直线所成的角与点O的选择位置无关，这可由前面所

讲过的〃等角定理〃直接得出.

③由两条异面直线所成的角的定义可得出异面直线所成角的一般

方法：

(i)在空间任取一点，这个点通常是线段的中点或端点.

(ii)分别作两条异面直线的平行线，这个过程通常采用平移的方法

来实现.

(iii)指出哪一个角为两条异面直线所成的角，这时我们要注意两条

异面直线所成的角的范围.

3.空间直线与平面

直线与平面位置关系有且只有三种：

Q)直线在平面内：有无数个公共点；

(2)直线与平面相交：有且只有一个公共点；

(3)直线与平面平行：没有公共点.

4.平面与平面

两个平面之间的位置关系有且只有以下两种：

Q)两个平面平行：没有公共点；

(2)两个平面相交：有一条公共直线.

高一数学知识点总结9

立体几何初步

1、柱、锥、台、球的结构特征

Q)棱柱：

定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个

四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、

五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱

柱。

几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是

平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

(2)棱锥

定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角

形，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱推、四棱锥、

五棱锥等

表示：用各顶点字母，如五棱锥

几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相

似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

(3)棱台:

定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间

的部分。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、

五棱台等

表示：用各顶点字母，如五棱台

几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱

交于原棱锥的顶点

(4)圆柱：

定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的

曲面所围成的几何体。

几何特征：①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半

径垂直;④侧面展开图是一个矩形。

(5)圆锥:

定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲

面所围成的几何体。

几何特征：①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图

是一个扇形。

(6)圆台：

定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间

的部分

几何特征：①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③

侧面展开图是一个弓形。

(7)球体：

定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的

几何体

几何特征：①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于

半径。

2、空间几何体的三视图

定义三视图：正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图

(从左向右)、俯视图(从上向下)

注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的

高度和长度；

俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度

和宽度；

侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度

和宽度。

3、空间几何体的直观图——斜二测画法

斜二测画法特点：

①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变；

②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。

直线与方程

(1)直线的倾斜角

定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特

别地，当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。因

此，倾斜角的取值范围是180。

(2)直线的斜率

①定义：倾斜角不是90。的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线

的斜率。直线的斜率常用k表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。

当时…当时，；当时，不存在。

②过两点的直线的斜率公式：

注意下面四点：

Q)当时，公式右边无意义,直线的斜率不存在，倾斜角为90°;

(2)k与Pl、P2的顺序无关；

(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；

(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

幕函数

定义：

形如y=xAa(a为常数)的函数,即以底数为自变量幕为因变量，指

数为常量的函数称为幕函数。

定义域和值域：

当a为不同的数值时，黑函数的定义域的不同情况如下：如果a为

任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数，则x

肯定不能为0,不过这时函数的定义域还必须根［据q的奇偶性来确定,

即如果同时q为偶数，则x不能小于0,这时函数的定义域为大于0的

所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。

当x为不同的数值时，幕函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，

函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时，则只有同时q为奇数，

函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，0才进入函数的值域

性质：

对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的

特性：

首先我们知道如果a=p/q,q和p都是整数，贝!］xA(p/q)=q次根

号(x的p次方),如果q是奇数，函数的定义域是R,如果q是偶数,

函数的定义域是［0,+8)。当指数n是负整数时，设a=-k,则

x=l/(xAk),显然x/0,函数的定义域是(©,0)U(0,+8),因此可以

看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0,一

是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：

排除了为0与负数两种可能，即对于x>0,则a可以是仟意实数；

排除了为0这种可能，即对于x<0和x>0的所有实数,q不能是

偶数；

排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a

就不能是负数。

指数函数

(1)指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0,

对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，

因此我们不予考虑。

(2)指数函数的值域为大于0的实数集合。

(3)函数图形都是下凹的。

(4)a大于1,则指数函数单调递增;a小于1大于0,则为单调递减

的。

(5)可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程

中(当然不能等于0),函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的

单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴

的单调递增函数的位置。其中水平直线y=l是从递减到递增的一个过

渡位置。

(6)函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴，永不相交。

(7)函数总是通过(0,1)这点。

(8)显然指数函数无界。

奇偶性

定义

一般地，对于函数f(x)

(1)如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函

数f(x)就叫做奇函数。

(2)如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函

数f(x)就叫做偶函数。

⑶如果对于函数定义域内的任意一个x,f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)

同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。

(4)如果对于函数定义域内的任意一个x,f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)

都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶

函数。

高一数学知识点总结10

幕函数的性质：

对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的

特性：

首先我们知道如果a=p/q,q和p都是整数,贝！Jx7p/q)=q次根

号(x的p次方),如果q是奇数，函数的定义域是R,如果q是偶数，

函数的定义域是［0,+8)。当指数n是负整数时,设a=-k,则

x=l/(xAk),显然x/0,函数的定义域是(-8,0)U(0,+8),因此可以

看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0,一

是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：

排除了为0与负数两种可能，即对于X>O,则a可以是任意实数;

排除了为0这种可能，即对于x<0x=H">0的所有实数，q不能是

偶数；

排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a

就不能是负数。

总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幕函数的定义域的

不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有

实数;

如果a为负数，则x肯定不能为0,不过这时函数的定义域还必须

根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0,这

时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定

义域为不等于0的所有实数。

在x大于。时，函数的值域总是大于0的实数。

在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。

而只有a为正数，0才进入函数的值域。

由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出寻函

数在第一象限的各自情况.

可以看到：

Q)所有的图形都通过Q,1)这点。

(2)当a大于0时，鬲函数为单调递增的，而a小于0时,幕函数

为单调递减函数。

⑶当a大于1时，黑函数图形下凹;当a小于1大于0时，幕函数

图形上凸。

(4)当a小于。时，a越小,图形倾斜程度越大。

(5)a大于0,函数过(0,0);a小于0,函数不过(0,0)点。

(6)显然幕函数

解题方法：换元法

解数学题时