随机过程习题答案

随机过程部分习题答案

习题2

2.1设随机过程为常数，，求的一维概率密度、均值和相关函数。

解因，所以，也服从正态分布，

E[X(t)]=E[Vt+b]=tEV+b=b

D[X(t)]=D[Vt+b]=rDV=t2

所以，的一维概率密度为

.(X一炉

.——e2,2,xe(-00,4-00),tG(0,+co)

均值函数fnx(t)=E[X(t)]=b

相关函数Rx(s")=qXCy)X(f)]=E[(Vs+b)(Vtb)]

=E[stV2+bsV+btV+b2]

=st+b2

2.2设随机变量Y具有概率密度，令，，求随机过程的一维概率密度及。

解对于任意，是随机变量Y的函数是随机变量，根据随机变量函数的分布的求法,

=p{r>--}=i-p(y<--|=i-F,(--)

ttt

对X求导得X")的一维概率密度

“、「/Inx、1八

f(x;t)=f(-------)—，/>0

Ytxt

Y,y,

均值函数mx(r)=E[X(r)]=E[e-]=J；e-f(y)dy

相关函数

Yl

Rx)=旦X(q)X&)J=E[e-'"F]=Ele-Wf)]=/e-^f[y}dy

2.3若从开始每隔秒抛掷一枚均匀的硬币做实验，定义随机过程

COS(乃Z),f时刻抛得正面

X(f)=<

2f,f时刻抛得反面

试求：(I)的一维分布函数；

(2)X⑺的二维分布函数ng,l;』，w)；

(3)的均值，方差。

解⑴।or

时，的

分布列为

X(；)

P1

22

0,x<0

/(g,x)h

一维分布函数一，0<x<1

2

1,x>\

时、-12

的分布列

为

X(l)

Pj_

22

0,x<-1

一维分布函数F(l,x)=]-,-l<x<2

2

1,x>2

\(2)

相互独-12

以的

分橄为

(⑴

X(l/2)\

01

44

1

44

Q

1

o<<2

--玉-X<

4-412

二维分布函数F（1,l：x，x,）=:

1>

减

O<>2以

2--用

一1

2-

L>2

内

(3)=—cos(^0+—-2r=—cos(rr)+r

222

%⑴=g

al(t)=E[X2(t)]-[EX(t)f=—cos2(^/)4--(2f)2-[—cos(r/)+f]2

222

=—COS2(^-/)+2/2-—COS2(^-/)-/2-tCOS(7Tt)

24

=­COS2(^-/)+r-tCOS(7Tt)

4

=[-^cos(>rr)-rJ2

，小9

W⑴7

2.4设有随机过程，其中为常数，是相互独立且服从正态分布的随机变量，求随机过

程的均值和相关函数。

解因独立，，

所以,E[A]=E[B]=0,D[A]=D[B]=a2

均值mx(r)=E[X(t)]=£[Acos(69/)+Bsin(fyr)J

=cos@/)£lA]+sin(<vf)E[B]=0

相关函数

Rx=E[X(t])X(t2)]=E[(Acos(<yr,)+^sui((y/1))(Acos(fwr2)+Bsin(6wr2))]

=E[A~coscot{coscot2+B~sina)t}sincot2+ABcosct)txsin(ot2+ABcosa)t2sin㈣

??

=cos69/!coscol2E[A|+sincotAsincot2E[B]

2

=(T(cos。/]coscot2+sin皿sincot2)

=cos69G-G）

2.5已知随机过程的均值函数和协方差函数为普通函数，令，求随机过程均值和协

方差函数.

解均值/22r(0=E[Y(t)]=E[X(r)+(p(ty\=E[X(t)]+(p{t)=(/)+

协方差Cy(tx,r2)=(/1,r2)-mY)niy(t2)

=£[丫也)丫(，2)]-啊6)叫心)

=£[(X(/])+(p(l\)(x(r2)+(p(t2)]-[mxG)+(p(")][mx(r2)4-。(/2)]

=E[X(t{)X(r2)]-mx(r,)mx(t2)其它项都约掉了

=Rxd)一用x«Mx(r2)

=CxG,f2)

2.6设随机过程，其中是常数，在上服从均匀分布，令，求和。

解&,g+r)=E[Y(f)Y(t+r)]=E[X\t)X\t+r)J

=E[A2sin2(6>r+0)A2sin2((vr+ft?r+0)]

笳i

=—E[r(l-cos(2。/+20))(1-cos(2cot+2cor+20))]

4ri

=——E[1+cos(269/+20)cos(26y/+2car+20)-cos(2<y/+20)-cos(2<yz+2(vr+20)]

r”11»

而仇cosQ/f+20)]=——cos(26yr+20)dO=——sin(2of+20)_=0

2乃44"

同理E[cos(2(w/+2(or+20)]=0

利用三角积化和差公式

E[cos(2<yr+2®)cos(2碗+20r+20)]

]_E[cos(2(yr)+cos(4。/+2a)i+40)]

2

=—COS23T

2

ai

所以，Ry(/,/+r)=—[1H—cos2(vr]

42

2

RXY(t,t+r)=E[X(t)Y(t+r)]=E[X(/)X(/+T)]

=E[Asin(cot+0)A2sin2(d>r+5+O)]

=——E[s\n((t)t+0)(1-cos(2<w/+267r+20))1

2

=——E|sin«W+O)-sin(/wr+O)cos(2cW+2M+20)]

=——E[2sin(69/+O)-sin(69f+2cor+O)-sin(3^r+Icor+30)]

而q2sin(©+0)]=-「sin(初+G)dO=0

同理E[sin(69/+2CDT+0)]=0,E[sin(369/+2cor+30)]=0

所以，/?xr(ZJ+r)=O

2.7设随机过程，其中是相互独立的随机变量，且具有均值为零，方差为1,求随机过程

的协方差函数。

解根据题意，

22

mx⑺=E[X(r)J=E[X+Yt-^Zt]=EX-^-tEY+tEZ=O

Cx,也)=瓦X()-叫&)CX«2)一%《2)J

=E[X(4)X(G)]=E[(X+H]+Zr；)(X+H2+Z；)]

因相互独立，均值为零，所以上面交叉乘积项数学期望为零

222

=EX+t,t2EY+t-t1EZ=1+//2+片改

2.8设为实随机过程，为任意实数，令

1,X(t)<x

r(r)=

0,X(t)>x

证明随机过程r(r)的均值函数和相关函数分别为XQ)的一维和二维分布函数。

证明mY(1)=E[y(0]=1XP{X(0<x}+0XP{X{0>x}

=P{X(/)<x)=Fx(x;f)

(y(G，y-2))的取值为("),(1,0),(0,1),(0,。)

0(八/2)=£[K(r1)y(r2)]=lxixP{x(r1)<x1,X(r2)<x2)

+IxOxP{X(r1)<xpX(r2)>xJ

+OxixP{X(r,)>xpX(r2)<x2}

+0xoxP{X(^)>X],X(r2)>x2)

=P{X(/,)<%|,X(r2)<x2}=Fx,x2;,r2)

2.9设是■个周期为T的周期函数，随机变量Y在(0.T)上均匀分布，令，求证随机过

程满足

+r)]=y£/W(r+力df

—ve(0T)

证明Y的密度函数为fy(y)=\T，J

0,其它

E[X(t)X(t+r)]=E1f(t-Y)f(t+r-n]

=匚f"+T-y)4(y)办

=:J：fQ-yW+r-y)dy

|et-T

t-y=u--\./(〃)/(〃+Cdu

="「J®/3+r)d"

1”

=yf0/(«)/(«+r)du

2.13设是正交增量过程，是标准正态随机变量，若对任意的，相互独立，令，求随机

过程的协方差函数。

解因是正交增量过程，，所以，

有my=E[Y(t)]=E[X(t)+V]=E[X(t)]+E[V]=0

Cy<,，2)=&G)一叫<)][丫。2)-啊。2)]

=E[Y(tJY(t2)]=E[(X侑)4-V)(x(r2)+V)]

2

=E[X^)X(t2^EW]+E[X(t.)V]+E[X(t2W]

(因独立，)

2

=E[X(r,)X(r2)]+E[V]=b，min«/)]+1(利用正交增量过程的结论)

习题4

4.1设质点在区间［0,4］的整数点做随机游动，到达0点或4点后以概率1停留在原处，在其

它整数点分别以概率向左、向右移动一格或停留在原处，求质点随机游动的一步和二步转

移概率矩阵。

解转移概率如图

1/31/31/3

一步概率转移矩阵为

100oo

111

---Oo

333

111

P=o---O

333

111

oo---

333

OO00

二步转移概率矩阵为

\0000、0000、000、

1_1\_2

00000

33333399

J_\_\_\_32

2)_0000=

333399

2_\_22

002000

33399

<0000<000017

4.2独立地重复抛掷一枚怏币，每次抛掷出现正面的概也为，对于，令，这些值分别对

应于第n・l次和第n次抛掷的结果为（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），求马

尔可夫链的一步和一步转移概率矩阵。

解对应状态为，（正，反），（反，正），（反，反）

〃00=。｛（正，正彳（正，正）｝=〃，〃01=。｛（正，反正，正）｝=。

〃02=P｛（反，正［正，正）｝=（）（不可能事件）

〃。3=P｛（反，反/正，正）｝=。（不可能事件）

同理可得下面概率

〃10=%（正，正）（正，反）｝=0,〃“=片（正，反）（正，反）｝=（）

〃12=p｛（反，正彳（正,反）｝=〃,Pi3=P｛（反，反］（正，反）｝=q

〃20=P｛（正，正“（反，正）｝二〃〃21=。｛（正，反，（反，正）｝=4

〃22=。｛（反，正?（反，正）｝=0，03=尸｛（反，反彳（反，正）｝=。

“30=刊（正，正》（反，反）｝=。，凸］=刊（正，反》（反，反）｝=0

〃32=P｛（反，正?（反，反）｝=〃，〃33=P｛（反，反?（反，反）｝=夕

一步转移概率矩阵为

pq0O)

00pq

p=

pq00

10opq)

二步转移概率矩阵为

2

pqpqq

pqpqq

2

pqpqq

pqpqr)

4.4设为有限齐次马尔可夫链，其初始分布和转移概率矩阵为

p.=P[X0=i｝=^i=l,2,3,4

r111

---

444

1114

---]_

P444

=1114

---3

484

1118

---1

444

I4>

试证P｛X7=4|x。=U<X]<4｝工尸｛X?=4|1<X]<4｝

解根据条件概率的定义及马尔可夫链的有限维分布的结论定理4.3,有

r{X.Q—1,1<X]<4)

P{XO=1,X,=2,X2=4}+P{X()=1,XI=3,X2=4}

P(XO=1,X,=2}+P{X0=l,X.=3}

11113

XXX

4-4-4-4-8-

2〃24+PJk〃34

16

PJ%+P/klxl+lxl

4444

同理有

P{\<X,<4,X2=4}

P{X2=4|1<X,<4}=

P{1<X(<4)

p[Xl=2,X2=4}+P{X,=3,X2=4)

P(X,=2)p|X,=3)

_PlPl2P24+〃2〃22〃24+P3P32P24+P&P42P24+PlPl3P34+〃2〃23〃34+P3P33P34+PAP43P34

PlPl2+P2P22+〃3〃32+〃4〃42+PlPl3+P2P23+〃3〃33+〃4〃43

111111111111113113113113

----X-X-+-X-X-+-X-X-+-X-X+-X-X+-X-X---X1X

444444484444448448448448

1111111111111111

X-4--x-+-x-+—X—+—X-+-X—+-x—+—X

4444484444444444

712

=128+128=32x19=19

?+§-128xl5~60

3232

所以，P{X2=4|X0=1,1<XI<4}^P{X2=4|1<X1<4)

4.5设为随机过程，且

X1二x(G，x?=x(幻，…,X"x(G…

为独立同分布随机变量序列，令

■=o，K=y(G=x/+c%=x〃,n>2

试证：是马尔可夫链。

证明只要证明满足无后效性，即

P化出=匕1匕=0，X=3…，工=i〃}=P化川=匕1工=，〃}即可。

根据题意，，由此知是的函数，因为是相互独立的随机变量，所以，对任意的n,与

相互独立。从而

P{L=jM=O，K=i|，…，匕=i"}

=P化用+a=心+。“%=0,X=八…,工=i〃}(因匕=()

・・

=P{=心+Cin\Y0=0*=彳,♦,匕=in}

(因与独立，条件概率等于无条件概率)

=P{Xfi+i-Citl=in+[\Yfl=in]

=P]匕M=，〃」匕=，〃}

4.6已知随机游动的转移概率矩阵为

9.50.50、

P=00.5().5

、0.500.5,

求三步转移概率矩阵P⑶及当初始分布为

P{X°-1}-P(XQ-2)-O,P{Xo-3}-l

时，经三步转移后处于状态3的概率。

r

①.50.50、f0.50.50、0.250.50.25、

解p⑵=00.50.5°0.50.5=0.250.250.5

00.5)(0.5

300.5,、0.50.250.25)

"0.250.50.25](0.50.50、(0.250.3750.375、

P(3)=0.250.250.5°0.50.5=0.3750.250.375

0.250.25J10.510.375

00.50.3750.25

、0.57>

,0.250.3750.375、

pT⑶=(000.3750.250.375=(0.3750.3750.25)

k0.3750.3750.25

所以，必（3）=。-25

4.7已知本月销售状态的初始分布和转移概率矩阵如下

9.8o.io.r

(1)P,(())=(0.4,().2,().4),P=().1().7().2

k0.20.20.6,

9.70.10.1O.r

0.10.60.20.1

(2)Pf(0)=(0.2,0.2,0.3,0.3),P=

0.10.10.60.2

、0.1O.i0.20.6；

求下一、二个月的销售状态。

(0.80.10.1、

解(I)PT(l)=PT(0)P=(0.40.20.4)0.10.70.2=(0.420.260.32)

820.20.6,

9.8o.io.n(0.80.10.1、9670.170.16、

严=0.10.70.20.10.70.2=0.190.540.27

”.20.20.6j10.20.20.6,

、0.30.280.42,

，0.670.170.16'

PT(2)=PT(0)P⑵=(0.40.20.4)0.190.540.27=(0.4260.2880.286)

0.30.280.42

、/

r

0.70.10.10.1、

0.10.6().20.1

(2)PT(l)=PT(0)P=(0.20.20.30.3)

0.10.10.60.2

k0.10.10.20.6,

=(0.220.20.30.28)

,0.70.10.10.11(0.70.10.10.11<0.520.150.170.16、

0.10.60.20.10.10.60.20.10.160.40.270.17

0.10.10.60.20.10.10.60.20.160.150.430.26

0.20.6乂0.10.1

0.10.20.6,,0.16().1.50.27().42,

「0.520.15().170.16、

0.160.4().270.17

二P「(0)P⑵=(0.2,0.2,0.3,0.3)

0.16().15().430.26

、().160.15().27().42,

=(0.2320.20.2980.27)

4.8某商品六年共24个季度销售记录如下表（状态1一畅销，状态2—滞销）

季节123456789101112

2

销售状态1121221112I

季节131415161718192021222324

销售状态11221112111

以频率估计概率，求（1）销售状态的初始分布，（2）三步转移概率矩阵及三步转移后的销

售状态的分布。

解状态1的个数为15个、状态2的个数为9个

（1）所以，销售状态的初始分布为

15

PT(0)=0.275)

124

（2）求一步转移概率

状态共有7个，状态共有7个,

状态共有7个，状态共有2个,

所以，，

一步转移概率矩阵为

11A

--I

22L

72

——

--

99/

711\1111712>、

(I1I2313

一

----X----X-一

-22-22229X—4-29

P-2-3636

21-72-271272291

一71

I--I----1--一

lI-)XX

k99979299X—4-99'162162

72ZJ/

三步转移概率矩阵为

"2323v

p⑶_36362

91712

J&2而八9>

(2313x72326]'389259)

---h一4-648J°60.4]

7236x97236x9=648

9171x79171x2181311031O.62().38

x12916J

13241162x9324162x9j<2916

三步转移后的俏售状态分布为

0.60.4、

pT(3)=pT(())p⑶=(0.6250.375=(0.61().39)

0.620.38,

4.9设老鼠在如图所示的迷宫中作随机游动，当它处在某个方格中有k条通道时，以概率

随机通过任一通道，求老鼠作随机游动的状态空间、转移概率矩阵。

解状态空间为/={1,2,3，…,9}

转移概率矩阵为

9100

\_j_

000

22

11

00

22

0010

00010

00I00

j_

0000

22

]_J_J_

00

333

00010

习题6

6.1设有随机过程，其中为常数，是在区间上服从均匀分布的随机变量，问是否为

平稳过程。

解£[%(/)]=Efcosfc?/4-0)1=(Tcos(<yz+0)—d6-0

Jo2乃

Rx(r,r+r)=E[X(t)X(f+r)]=E|cos(sf+0)cos(<w/+or+0)]

=J()cos(<yr+cos(69r+(OT+0)-d3

]「2万

二“Jo10OSGT+cos(2&r+fy3+2。)卜/9

,与t无关

E|X⑺『=之(。)=:<8

所以X(f)是平稳过程。

6.2设有随机过程，其中是均值为零、方差为的正态随机变量，求：

(1)X⑴和X七)的概率密度：

4

(2)X⑺是否为平稳过程。

解(I)因正态随机变量的线性函数仍为正态随机变显，对任意t,服从正态分布。

X⑴=-A,X(；)=#A,

E[X(1)]=E[-A]=0,D|X(1)]=D[-A]=DA=a2

E[X(:)]=EA]=0,£>[X4)1=力[噂川=:DA=(

424222

所以X⑴的概率密度为

X(L)的概率密度为

4

(2)Rx(r,r+r)=E[Acos(7rt)Acos(7vt+.TZT)]

,与t有关

所以，不是平稳过程。

63设有随机过程，其中是服从瑞利分布的随机变量，其概率密度为

是在上服从均匀分布且与相互独立的随机变量，为常数，问是否为平稳过程。

解先求出瑞利分布的数学期望和的数学期望，

以EM7f+0°*exp({-广-7-[}J^=-]f+°°-rexplr-3—%^(-3—尸)、

Jo(J-2a~J°2b2b

xdexp{

22

=-xexp{--^y}|74-j^exp{-^T)^

2(7D2CT

=立W{-白}小誓4二卷产公

41710,

r

E[X(t)]=£14cos@/+€))]=EA-Elcos@f十。)]

=后erJ；cos(<yr+0)*de=0

Rx(t,t+r)=E[X(t)X(t+r)]=£[Acos(3，+O)Acos(。，+次+0)]

=EA2-E[cos(<y/+0)/1cos(69/+m+0)1

,1

=2o"•—E{cos@7)+cos(2of+GT+20)]

2

7r211

=cr[cos@r)+cos(2。，+/7+28)]——(16

Jo24

=(J2cos(次)与t无关

目X(r)『=&(())=，<00

所以，是平稳过程。

6.4设有随机过程，其中是周期为T的实值连续函数，是在(0,T)上服从均匀分布的随

机变量，证明是平稳过程并求相关函数。

解，为常数

Rx«"+不)=反而X(f+r)]=J：f(t+O)f(t+T+O)^dO

,与t无关

22

^X(r)|=Rx(0)=f(y)dy<oo

所以，是平稳过程。

砥(7)=3J：+T)dy

6.5设是平稳过程，且把互独立，求的相关函数，是否为平稳过程。

解因是平稳过程，它们的均值是常数、相关函数与I无关是的函数，又相互独立。

所以，是常数

Rz+r)=E[X(f)Y⑺X。+r)Y(t+r)]

=E[X(t)X(t+T)Y(t)Y(t+T)]

=E[X(t)X(t+r)-E[y(r)y(z+r)]

=7?x(r)/?r(r)与t无关

2

E|z(r)|=Ry(0)=Rx(0)/?r(0)<00

所以，是平稳过程。

6.13设正态随机过程具有均值为零，相关函数为，求给定t时的随机变量的协方差矩

阵。

解因是正态过程，且均值为零，相关函数与t无关，所以是平稳过程，则对任意给定的

t,服从正态分布，

Cov(X(t\X(t+r))=Cx(r,Z+r)

Id

2

=RxQ"+r)一/n；=R5(r)=6^>r=0,1,2,3

所以，，，

3

Cx(/,/+2)=RX(2)=Cx«/+3)=Rx(3)=6—

同理Cov(X(t+1),X。+r))=CX(r+l,r+r)

IT

2

=Rx(/+1,/+r)--Rx(r-1)=6e,r=0,1,2,3

所以，

l2

Q>v(X(/+2),X(r+r))=Cx(r+2,r+r)=6e，r=0,1,2,3

2

Cov(X(r+3),X(z+r))=Cx(/+3,r+r)=6e,r=0,1,2,3

所以协方差矩阵为

'CxJt)

Cx(/,/+l)CxQ,f+2)g«/+3)、

(，+1")C*xQ++1)C、(，+1/+2)Cx(，+1/+3)

Cx(/+2,/)Cx(I+2j+1)Cx(/+2,/+2)Cx«+2"+3)

«x(，+3j)CxQ+3,f+1)Cx«+3"+2)Cx(，+3"+3),

6.15设随机过程和是单独且联合平稳随机过程，其中为常数，是在上服从均匀分

布的随机变量，求和。

解/?xr(r)=E[X(r)K(r4-r)J=E[ocos(0f+中)。sin«w+次+中)]

"

-2一Efsin<yr+sin(2<y/+<yr+2①)]

M

=2一[sin69r+sin(269/++2(p)]—d(p

，071

仍

=2-cor

因RXY(T)=RYX(-r)

所以(r)=/?xr(-r)=?sin(一。彳)=一gsin(0T)

习题7

7.2设平稳过程的相关函数，求的谱密度。

解Sx（⑼=「0（2"&=j：—

=rd""）2r+「e*+加）z〃

J-00Jo

I(a-jia)t0I-((!-¥j(t))r-HC

-oo--------e0

a-jcoatjs

1I2。

E诉二K

设有平稳过程，其中为常数,是在上服从均匀分布的随机变量，求的谱密度。

0£（-兀，九）

解。的概率密度为fg）=入'

0,其它

Rx(r)=EfX(/)X(Z+r)l=E[acos(例J+®)acos(g/+例/+。)]

2

afcos(690z+6)COS(Q)/+690r+0)—d6

J2TI

9

=——[cosa)oT+cos(2①0f+。()r+20)\d0

44山

2

=^-COS690r

jMr_>r

Sx(69)=JRx(r)e~dr=J^-cos690re?Jr

=[「：【/为|+e-^ye-^dr

2

=+"9+统"]dr

=—[2^>(0-g)+2形(co+牡))]

4

7.4已知平稳过程的相关函数，求谱密度。

J(1)

解Sx((w)=jRx(T)e~"dT=j[4«-Mcos(")+cos(3;rr)[e-""，4

=「：+于汝]e-iMTdT+[J2e-T\e^+6一八上加2丁+『:cosG")"""公

j°2[e"-，s-'7)*+e”T(e+")K]d7+「'2[e-"+j(加兀)】？+/""6M'""[dr

+Icos(3^r)^->rJr

J-00

1

=2[-----------F----------]+2[-----------+-----------]

1-j((i)-7T)1一，(切+乃)1+./(&—；F)14-/(刃+万)

+7l[d(。-34)+演3+37)]

二号不K+E不］+9(-6(。+3初

7.6当平稳过程通过如图所示的系统时，证明输出的谱密度为。

,、Y(t)=X(t)+X(t-T)

X(t)

(+)

------延迟----------1

证明RY(T)=E[Y(i)Y(t+r)]=f[x(r)4-X(z-T)(X(r+工)+X(f+r-7))]

E[X(t)X(t+T)+X(t-T)X(t-T+r)+X(t)X(t+7-7)+XQ—T)X(t+r)l

=2RX(r)+%(一7)+Rx«+7)

Jt1,r

SY(co)=J：J=jJ27?x(r)+/?v(r-T)+/?x(r+T)]e~dr

jtarjlOT

=2sx(0)+J：Rx«-T)e-dr+j：Rx(r+T)e-dr

ja,T

=2sx(⑼+Sx(0)"W+Sx(M)e

=2SX(。)[1+cosc9T]

7.7已知平稳过程的谱密度为，求相关函数。

解Rx(r)=—「Sxdo)=—fcoscordco

2)JY>乃J结

c~.

=——sincor算=-[sin2<yor-sin(yor]

TITTUT

7.8设有平稳过程，其中为常数，是在上服从均匀分布的随机变量，是分布密度满足

的随机变量，且相互独立，求证的谱密度为。

证明设是和的联合分布密度，因和相互