随机变量及其分布考点总结

第二章随机变量及其分布复习

一、随机变量.

1.随机试验的构造应该是不确定的.试验如果满足下述条件：

①试验可以在一样的情形下重复进展；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验

总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.

它就被称为•个随机试验.

乡也是一个随机变量.一般地，假设g是随机变量，是连续函数或单调函数，那么也是随机变量.也

就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.

•••

3.分布X,

歹U：设离

散型随机

变量1可

能取的值

为：

&取每一

个值的

概率，

那么表称

为随机变

量€的概

率分布，

简称€的

分布列.

•••

PPiPiPi

有性质①P[N0,i=l,2,…;②〃1+〃2+…+亿+…=1・

注意：假设随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：即可以取

0〜5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.

典型例题：

1.随机变量的分布列为那么

2、袋中装有黑球和白球共7个，从中任取两个球都是白球的概率为，现在甲乙两人从袋中轮流摸去一

球：甲先取，乙后取，然后甲再取……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，用表示取

球的次数。(1)求的分布列(2)求甲取到白球的的概率

3.5封不同的信，放入三个不同的信箱，且每封信投入每个信箱的时机均等，X表示三哥信箱中放有信件

树木的最大值，求X的分布列。

4.为了解某班学生喜爱打篮球不喜爱打篮球合计

喜爱打篮球是否与

性别有关，对本班

50人进展了问卷调

查得到了如下的列

联表：

男生5

女生10

合计50

在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为•

(1)请将上面的列联表补充完整；

12)是否有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由：

(3)喜爱打篮球的10位女生中，还喜欢打羽毛球，还喜欢打乒乓球，还喜欢踢足球，现再从

喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的女生中各选出1名进展其他方面的调杳，求和不全被选

中的概率.

下面的临界值表供参考：

pk之k)

k

(参考公式：，其中)

二、几种常见概率

1.条件概率与事件的独立性

：1)B|A与AB的区别:

：2)P(B|A)的计算公式，注意分子分母事件的性质一样

：3)P(AB)的计算公式—

注意三点：前提，目标，一般情况

：4)P(A+B)的计算公式_______

注意三点:前提，目标，一版情况—

典型例题：

1、市场上供给的灯泡，甲厂产品占70%乙厂产品占30%,甲厂产品的合格率是95%,乙厂产品的合格率

80%,那么从市场上买到一个是卬厂产的合格品的概率是多少？

2.把一副扑克52张随即均分给赵钱孙李四家，A=｛赵家得到六章草花｝,B=｛孙家得到3张草花｝,计算

P(B|A),P(AB)

3.从混有5张假钞的20张百元钞票中任取两张，将其中1张在验钞机上检验发现是假钞，求两张都是假

钞的概率。

4.有外形一样的球分装在三个盒子，每个盒子10个，其中第一个盒子7球标有字母A,3个球标有字母B；

第二个盒子中五个红球五个白球；第三个盒子八个红球，两个白球；在如下规那么下：先在第一个盒子取

一个球，假设是A球，那么在第二个盒子取球；如果第一次取出的是B球，那么在第三个盒子中取球，如

果第二次取出的球是红球，那么称试验成功，求试验成功的概率。

5.在图所示的电路中，5只箱子表示保险昆，箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，当开关合上

时：电路畅通的概率是

6.甲、乙二射击运发动分别对一目标射击次，甲射中的概率为，乙射中的概率为，求:

(1)2人都射中目标的概率；(2)2人中恰有1人射中目标的概率；

(3)人至少有人射中目标的概率；(4)人至多有人射中目标的概率？

三、几种分布

1.⑴独立重复试验与二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P,那么在n次独立重复试验中这

个事件恰好发生k次的概率是：［其中.

于是得到随机变量&的概率分布如下：我们称这样的随机变量，服从二项分布，记作〜B,其

+n,p为参数，并记.

⑵二项分布的判断与应用.

①二项分布，实际是对n次独立重复试验.关键是看某一-事件是否是进展n次独立重复，且每次试验只有

两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.

②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对「总体来说又比拟小，而每次抽取时又只有两种试验结

果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.

2.几何分123•••k•••

布：“〃

表示在第k

次独立重

复试验时，

事件第一

次发生，如

果把k次

试验时事

件A发生

记为，事

A不发生记

为，那么

.根据相

互独立事

件的概率

乘法分式：

于是

得到随机

变量W的

概率分布

列.

••••••

P'1qpq2pqip

我们称目服从几何分布，并记，其中

3.⑴超几何分布：一批产品共有N件，其中有M（MVN）件次品，今抽取件，那么其中的次品数1是一

离数型随机变量，分布列为.（分子是从M件次品中取k件，从N-M件正品中取n-k件的取法数，如果

规定〈时，那么k的范围可以写为k=0,1,…，n.）

⑵超几何分布的另一种形式：一批产品由a件次品、b件正品组成，今抽取n件（lWnWa+b）,那么次

品数&的分布列为.

⑶超几何分布与二项分布的关系.

设一批产品由a件次品、b件正品组成，不放回抽取n件时，其中次品数€服从超几何分布.假设放回式抽

取：那么其中次品数的分布列可如下求得：把个产品编号，那么抽取n次共有个可能结果，等可能:

含个结果，故，即〜.［我们先为k个次品选定位置，共种选法：然后每个次品位置有a种选

法：每个正品位置有b种选法］可以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时，，因此二项分布可作为

超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样.

典型例题：

1、某气象站天气预报的准确率为，计算（结果保存两个有效数字J：

（1）5次预报中恰有4次准确的概率；（2）5次预报中至少有4次准确的概率•

2.在一个圆锥体的培养房内培养了40只蜜蜂，准备进展某种实验，过圆锥高的中点有一个不计厚度

且平行于圆锥底面的平面把培养房分成两个实验区，其中小锥体叫第一实验区，圆台体叫第二实验区,

且两个实验区是互通的。假设蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不

受影响的。

（1）求蜜蜂落入第二实验区的概率；

（2）假设其中有10只蜜蜂被染上了红色，求恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率；

（3）记为落入第一实验区的蜜蜂数，求随机变量的数学期望。

3.A、B是治疗同一种疾病的两种药，用假设干试验组进展比照试验。每个试验组由4只小白鼠组成，其

中两只服用A,两只服用B,然后观察疗效。假设在一个试验组中，服用A有效的小白鼠只数比服用B有

效狗多，就称该试验组为甲类组，设每只小白鼠服用A有效的概率为2/3,服用B有效的概率为1/2.

(1)求一个试验组为甲类组的概率。

(2)观察3个试验组，用表示3个试验组中甲类组的个数，求分布列

4.某射击运发动每次射击击中目标的概率为p(0<p<l)o他有10发子弹，现对某一目标连续射击，每次

打一发子弹，直到击中目标，或子弹打光为止。求他射击次数的分布列。

5.、由180只集成电路组成的一批产品中，有8只是次品，现从中任抽4只，用表示其中的次品数，试

求：11)抽取的4只中恰好有只次品的概率：(2)求分布列.

二、数学期望与方差.

1.期望的含••••••

义：一般

地,假设离

散型随机变

量g的概率

分布为

&

•••♦♦・

PPTPiPi

那么称心=,〃卢々〃2+3+猫〃“+…为&的数学期望或平均数、均值.数学期望乂简称期望.数学期望反映

了嘲散型随机变量取值的平均水平.

2.①随机变量的数学期望：.

①当

时，，即常数的数学期望就是这个常数本身.

②当

时，，即随机变量4与常数之和的期望等于，的期望与这个常数的和.

③当

时，，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.

⑶两

分布：，其分布列为：

(p+q=1)⑵单点分01

⑷二项分布：其分布列为〜.(P为发生的概率)布：其分

⑸几何分布：其分布列为〜.(P为发生的概率)布列为：

3.方差、标准差的定义：当随机变量，的分布列为时，那

么称为&的方差.显然，故为&&的方差与标准差都反

映了随机变量&取值的稳定与波动，集中与离散的程度.越

PqP

小，稳定性越高，波动越小.

4.方差的性质.

⑴随机变量〃=曲+。的方差。⑺=。(喈+〃)=/必.(a、b均为常数)

⑵单点分布：其分布列为----------p5---------n--------

⑶两点分布：其分布列为：(p+q=1)下---------------------------------

⑷二项分布：-----------------------------------

⑸几何分布：

5.期望与方差的关系.

⑴如果和都存在，那么

⑵设《和是互相独立的两个随机变量，那么

⑶期望与方差的转化：⑷(因为为一常数).

典型例题：

1、如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为Tl,T2,T3,T4.电流能通过Tl,T2,T3的概

率都是P,电流能通过T4的概率是0.9.电流能否通过各元件相互独立.Tl,T2,T3中至少有一个能通过

电流的概率为0.999.

(I)求夕：(II)求电沆能在汹与W之间通过的概率；

(III)表示Tl,T2,T3,T4中能通过电流的元件个数，求的期望.

2.一名小学教师为了激发学生阅读名著的热情，在班内进展名著和其作者的连线游戏，作为奖励，参加

连线的同学每连对•个奖励•朵小红花。假定♦•名小学生对四大名著没有了解，只是随即连线，试求该同

学得到小红花数X的分布列，均值，方差。

3.甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人答复一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分。假

设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为£表示甲队的总得分....

(I)求随机变量£分布列和数学期望；

(I：)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分"这

一事件，求P(AB).

4.某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响。

(I)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率

(II)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标。另外2次未击中目标的概率；

SI)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，假设有

2次连续击中，而另外1次未击中，那么额外加1分；假设3次全击中，那么额外加3分，记为射手射

击3次后的总的分数，求的分布列，均值，方差。

三、正态分布.

1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量&,位于X轴上方，;落在任一区间与直线所围成的

曲边梯形的面积

(如图阴影局部)的曲线叫g的密度曲线，以其作为

图像的函数叫做g的密度函数，由于“〃

是必然事件，故密度曲线与X轴所夹局部面积等于1.

2.⑴正态分布与正态曲线：如果随机变量&的概率密度为：.(为常数，且),称;服从参数为的

正态分布，用〜表示.的表达式可简记为，它的密度曲线简称为正态曲线.

⑵正态分布的期望与方差：假设〜，那么g的期望与方差分别为：.

⑶正态曲线的性质.

①曲线在x轴上方，与x轴不相交.②曲线关于直线对称.

③当时曲线处于最高点，当x向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低"的钟形

曲线.

④当V时，曲线上升；当,时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x轴为渐

近线，向x轴无限的靠近.

⑤当一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；越小，曲线

越“瘦高”，表示总体的分布越集中.

3.⑴标准止态分布：如果随机变量&的概率函数为，那么称《服从标准止态分布.即〜有，求

出，而P(aV