高三 一轮复习 解题思想一 教案

数学思想在解题中的应用（一）

U1»抓住命题方向感悟考整定位震习

【真题体验】

1.（2012・江苏卷改编）已知函数），=y㈤的周期为2,当上0—1用时危）=/，那么函数y="）的图象与

函数y=Ilgx|的图象的交点共有.

2.（刈2・江苏改编）设函数段）式sin2»x,。x，WO,则方程.『解的个数是——

3.（2012.苏中三市调研）若函数危）=|2L1|,则函数ga）=/（Ax））+lnx在（0,1）上不同的零点个数为

—t>2

4.（2012•苏中三市调研）已知函数凡’若关于％的方程儿r）=L有两个不同的实根,

.¥<2,

则数k的取值范围是.

5.（2012•南京、盐城模拟）若关十x的方程依+l=lnx有解，则实数欠的取值范围是

【高考定位】

舟孝对本内容的考查主要有:

函数与方程思想、数形结合思想都是高中数学的基本思想，也是高考的重点，是解题中重要的、常用

的思想方法，使用函数与方程思想、数形结合的方法，很多棘手的问题能迎刃而解，且解法简捷.

试题类型可能是填空题，同时在解答题中经常与函数、不等式等构成综合题，难度以中高档题居多.

【应对策略】

掌握函数与方程思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等品数的性质，解有关求

值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系

式或构造中间函数，把所研究的恒题转化为讨论函数的有关性历.达到化难为易，化繁为简的目

的.理解许多有关方程的问题可以月函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解

决.

理解数形结合的本质，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与彩的相互转化来解决数学问题的一

种也要思想方法.理解数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具

体化，能够变抽象思维为形象思维的过程，有助于把握数学问懑的本质，知道它是数学的规律性与灵

活性的有机结合.

必备知识方法必彳必记:教学相长

必备知识

1.函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，

运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决.函数思想是对函数概念的本质

认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题.

2.方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组，或者构造方程，迫

过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决.方程的思想是对方程

概念的本屈认识,用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题.方程思想是动中求

静，研究运动中的等量关系.

3.实现数形结合，常与以卜.内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系：

③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数

等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义.

必备方法

I.函数和方程思想(1)函数和方程是密切相关的，对于函数)，=凡¥),当y=0时，就转化为方程氏t)=

0,也可以把函数式y=/(x)看做二元方程y-/(x)=(),函数问题(例如求函数的值域等)可以转化为方程问

题先求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程|幻=0,就是求函数y=/U)的零点.

(2)函数与不等式也可以相互转化，5寸于函数y="x),当00时，就转化为不等

式贝外>0,借助于函数图象与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式.

(3)数列的通项或前〃项知是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十

分堂要.

(4)解析几何中的许多问题，常需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理

论.

(5)立体几何中有关线段、面积、体积的计算，也常需要运用列方程或建立画数表达式的方法加以解

决.

2.数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问飕中，在求函数的值域，最值问题

中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的

计算与找理，大大简化了解题过程，这在解填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，争取购

中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野.

热点命题角度权威透析：热点突破

命题角度一利用函数与方程相互转化的观

点解决函数、方程问题

［命题要点］①函数零点与方程的根相互转化；②函数与不等式相互转化.

a(x-1)

［例1］»(2012•徐州信息卷)信知函数/)=lnx

x-\-b'

(1)当8=1时，若函数凡0在(0,+8)上为单调增函数，求。的取值范围;

(2)当〃>0且方=0时，求证：函数力幻存在唯一零点的充要条件是〃=1；

(3)设小，〃£(0,+0°),且〃?求证：丁"-f-V〃t〃

In/?!—Inn2

命题隹度二利用图象研究复杂函数的性质

［命也要点］①讨论复杂函数的性质；②与复杂的数零点、复杂方程有关的问题.

【例2】》（2012•扬州期末检测）若关于x的方程昌'MM2有四个不同的实数根，则实数k的取值范围是

方M®有关比较复杂的方程根的个数问题，一般要对方程化简变形，利用数形结合的方法求解，在

画图时，要注意尽可能是研究动直线与定曲线的交点个数.

【突破训练2】（2012•镇江质量检测）方程占=2sin兀r在区间［-2010.2012］所有根之和等于

命题角度三数形结合在求取值范围中的应用

［命即要点1①讨论抽象函数的性质；②利用数形结合建立关系求取值范围.

x+；,0,0，

若存在XI，X2，当。W即〈也〈2时,

{2山，x£2）,

,业。=73），则皿功的取值范围是.

方法锦洋》求解取值范围的问题,一般要先建立目标函数，而本题在建立目标函数的过程中，图象起了

直观、明了的作用，而求二次函数在给定区间的值域，实质也是图象法的应用.

【突破训练3】(2012・盐城模拟)若关于x的不等式『＜2一田一川至少有一个负数解，则实数a的取值范

围是.

"4»阅卷老师叮咛注重饵节前争满分

16.解题时要有应用函数与方程思想、数形结合思想的意识

一、在研究复杂方程根的个数时要能够数形结合

”0),

[例1]＞已知函数4%)=,，、,、小若方程儿0=x+a有且只有两个不相等的实数根，则实数

用一I)Q＞0),

a的取值范围是.

老师叮咛：这道题是已知方程;(x)=x+a有且只有两个不相等的实数根，但由于函数儿。的解析式未

知，所以从代数的角度显然行不通，如果从图形的角度理解，将代教问题(方程的根)转化为几何问题(

两个函数图象的交点个数)，使问懑得以顺利解决.

二、在抽象函数性质的研究中要重视数形结合思想的应用

[例2]»若定义在R上的偶函数7U）满足yu+2）=y5）,且当x£[O,l]时，J（x）=x,则函数y=Jtx）-

的零点个数为.

log4|x|

老师叮咛：这道题中函数危）在R上的解析式没有给出，所以函数）="）一104国的零点用代教法无法

求解，就算你能求出晶数贝x）在R上的解析式，那也会是一个浩大的工程，所以这类题，“以形助数”

几乎是唯一的方法.

三、函数问题中的主元思想很重要

【例3]>己知川）=log”，8],对于犯）值域内的所有实数〃?，不等式f+a+4>2机+4、恒

成立，求x的取值范围.

一,填空题

1.函数人©=«?—8的零点是.

3',OWE

2.若直线与函数yU)=<,/的图象有3个交点，则实数。的取值范围

A--4x4-6,x>1

是.

3.已知函数,")=、’"若关于x的方程危曰有两个不同的实根，则实数b

.。一1)3,x<2.

的取值范围是_______.

4.已知定义在R上的偶函数y=/(x)满足逐1-])=/(1+工)，当时，«T)=f,则方

程小t)一1川工一1|=0的根的个数为.

5.若函数yU)=f+2a|x|+4/-3的零点有且只有一个，则实数〃=.

6.已知函数人。=4中|-1.给出如下结论：①儿。是R上的单调递增函数；②对于任意

R,寅x)+火-x)=-2恒成立；③函数y=/(x)—2x+1恰有三个零点xi,也，心，且x\

+工3=0.其中正确结论的序号为.

7.设〃GN.,一元二次方程『一4x+〃=0有整数根的充要条件是〃=.

8.若关于x的方程产，=丘+2只有一个实数根，则卜的取值范围为

10gz(x+l),A-e[O,1),

9.定义在R上的奇函数/U),当x20时，凡t)=62则关于x的函

1-|A—3|,xG[l,+8).

数尸(#=/")一〃(0<。<1)的所有零点之和为.

sinTLr,OWJVW1,

10.已知函数4r)="若〃，b,c互不相等，且71々)=寅6)=/匕)，