广东省湛江市2025年重点学校高一入学数学分班考试试题及答案

广东省湛江市2025年重点学校高一入学数学分班考试试题及答案

模拟高一数学分班考试试题

一、选择题（每题5分，共40分）

1.已知集合A={x|x²3x+2<0}，集合B={x|x²4x+3<0}，则A∩B=（）

A.{x|1<x<2}B.{x|1<x<3}C.{x|2<x<3}D.{x|1<x<3}

答案：A

解析：先求集合A，解不等式x²3x+2<0，即(x1)(x2)<0，所以1<x<2，A={x|1<x<2}。

再求集合B，解不等式x²4x+3<0，即(x1)(x3)<0，所以1<x<3，B={x|1<x<3}。

因此A∩B={x|1<x<2}，选A。

2.函数f(x)=log₂(x²4x+5)的单调递减区间是（）

A.(∞,2)B.(2,+∞)C.(∞,1)D.(1,+∞)

答案：A

解析：首先确定函数的定义域，x²4x+5=(x2)²+1>0，所以定义域为R。

令u=x²4x+5，则f(x)=log₂u。

因为对数函数log₂u在(0,+∞)上单调递增，所以f(x)的单调性与u的单调性一致。

u=x²4x+5的对称轴为x=2，开口向上，所以在(∞,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增。

因此f(x)的单调递减区间是(∞,2)，选A。

3.已知向量a=(3,4)，b=(1,2)，则|a2b|等于（）

A.5B.10C.√5D.2√5

答案：D

解析：a2b=(3,4)2(1,2)=(32,44)=(1,0)

|a2b|=√(1²+0²)=1

所以选D。

4.已知等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，若a₃=5，a₅=9，则S₉等于（）

A.81B.99C.117D.135

答案：B

解析：设等差数列{aₙ}的公差为d，则a₅=a₃+2d，即9=5+2d，解得d=2。

所以a₁=a₃2d=54=1。

S₉=9a₁+(9×8/2)d=9×1+36×2=9+72=81。

所以选B。

5.在△ABC中，角A=60°，b=3，c=4，则边长a等于（）

A.√13B.√17C.√19D.√21

答案：C

解析：由余弦定理，a²=b²+c²2bc·cosA=3²+4²2×3×4×cos60°=9+1624×0.5=2512=13。

所以a=√13，选A。

6.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π/2)的图像关于直线x=π/3对称，且f(0)=√3，则f(x)的最小正周期为（）

A.π/3B.πC.2πD.4π

答案：B

解析：因为函数f(x)的图像关于直线x=π/3对称，所以f(π/3+x)=f(π/3x)。

特别地，f(π/3)=f(π/3)，不提供新信息。

又f(0)=√3，即2sinφ=√3，所以sinφ=√3/2，又|φ|<π/2，所以φ=π/3。

又函数图像关于x=π/3对称，所以π/3+φ=kπ+π/2(k∈Z)。

代入φ=π/3，得π/3+π/3=kπ+π/2，即2π/3=kπ+π/2，解得k=1/6，不是整数，矛盾。

重新思考：函数f(x)的图像关于直线x=a对称，意味着f(a+x)=f(ax)。

对于f(x)=2sin(ωx+φ)，有2sin(ω(a+x)+φ)=2sin(ω(ax)+φ)。

即sin(ωa+ωx+φ)=sin(ωaωx+φ)。

所以ωa+ωx+φ=π(ωaωx+φ)+2kπ或ωa+ωx+φ=ωaωx+φ+2kπ(k∈Z)。

第一种情况：ωa+ωx+φ=πωa+ωxφ+2kπ，即2ωa+2φ=π+2kπ。

第二种情况：ωa+ωx+φ=ωaωx+φ+2kπ，即2ωx=2kπ，对所有x成立，不可能。

所以有2ωa+2φ=π+2kπ。

又f(0)=2sinφ=√3，所以sinφ=√3/2，又|φ|<π/2，所以φ=π/3。

代入得2ω(π/3)+2(π/3)=π+2kπ，即(2ωπ)/3+2π/3=π+2kπ。

两边除以π，得(2ω)/3+2/3=1+2k，即2ω/3=1/3+2k，所以ω=1/2+3k。

因为ω>0，取k=0，得ω=1/2。

所以f(x)=2sin(x/2+π/3)，其最小正周期T=2π/ω=2π/(1/2)=4π。

所以选D。

7.已知双曲线C的方程为x²/4y²/9=1，则C的渐近线方程为（）

A.y=±(3/2)xB.y=±(2/3)xC.y=±(9/4)xD.y=±(4/9)x

答案：A

解析：双曲线x²/a²y²/b²=1的渐近线方程为y=±(b/a)x。

对于双曲线C：x²/4y²/9=1，a²=4，b²=9，所以a=2，b=3。

因此渐近线方程为y=±(3/2)x，选A。

8.从5名男生和3名女生中选出3人参加比赛，要求至少有1名女生，则不同的选法共有（）

A.30种B.45种C.46种D.55种

答案：C

解析：从8人中选3人的总方法数为C(8,3)=56种。

不含女生的选法，即从5名男生中选3人，有C(5,3)=10种。

所以至少有1名女生的选法有5610=46种，选C。

二、填空题（每题5分，共30分）

9.已知函数f(x)=x³3x+1，则f(f(1))=______。

答案：1

解析：先计算f(1)=1³3×1+1=13+1=1。

再计算f(f(1))=f(1)=(1)³3×(1)+1=1+3+1=3。

所以f(f(1))=3。

10.在△ABC中，角A=45°，角B=60°，边c=2，则边a=______。

答案：√6√2

解析：由正弦定理，a/sinA=c/sinC。

先求角C=180°AB=180°45°60°=75°。

所以a=c×sinA/sinC=2×sin45°/sin75°。

sin45°=√2/2，sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=(√2/2)(√3/2)+(√2/2)(1/2)=√2/2(√3/2+1/2)=√2(√3+1)/4。

所以a=2×(√2/2)÷[√2(√3+1)/4]=√2×4/[√2(√3+1)]=4/(√3+1)。

有理化，a=4(√31)/[(√3+1)(√31)]=4(√31)/(31)=2(√31)=2√32。

所以a=2√32。

11.已知向量a与b的夹角为60°，|a|=2，|b|=3，则|a2b|=______。

答案：√19

解析：|a2b|²=(a2b)·(a2b)=a·a4a·b+4b·b=|a|²4|a||b|cos60°+4|b|²=2²4×2×3×0.5+4×3²=412+36=28。

所以|a2b|=√28=2√7。

12.已知等比数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，若a₁=1，a₃=4，则S₄=______。

答案：21

解析：设等比数列{aₙ}的公比为q，则a₃=a₁q²，即4=1×q²，所以q=±2。

当q=2时，S₄=a₁(1q⁴)/(1q)=1×(116)/(12)=(15)/(1)=15。

当q=2时，S₄=a₁(1q⁴)/(1q)=1×(116)/(1(2))=(15)/3=5。

因为a₁=1>0，a₃=4>0，所以q>0，因此q=2，S₄=15。

13.已知函数f(x)=|x2|+|x+3|，则f(x)的最小值为______。

答案：5

解析：函数f(x)=|x2|+|x+3|表示数轴上点x到2和到3的距离之和。

当x在3和2之间时，f(x)=(2x)+(x+3)=5。

当x<3时，f(x)=(2x)+(3x)=2x1>5。

当x>2时，f(x)=(x2)+(x+3)=2x+1>5。

所以f(x)的最小值为5。

14.已知直线l的方程为x+2y4=0，则l关于点(1,1)对称的直线方程为______。

答案：x+2y6=0

解析：设点P(x,y)在直线l上，则x+2y4=0。

点P关于(1,1)的对称点为P'(2x,2y)。

因为P在l上，所以P'也在所求直线上，即(2x)+2(2y)4=0，化简得x2y+2=0，即x+2y2=0。

所以所求直线方程为x+2y2=0。

三、解答题（共80分）

15.（12分）已知函数f(x)=2sin(2x+π/3)，x∈R。

（1）求f(x)的最小正周期；

（2）求f(x)的单调递增区间；

（3）求f(x)在区间[0,π]上的最大值和最小值。

解：（1）函数f(x)=2sin(2x+π/3)的最小正周期T=2π/2=π。

（2）令u=2x+π/3，则f(x)=2sinu。

sinu的单调递增区间为[π/2+2kπ,π/2+2kπ](k∈Z)。

所以π/2+2kπ≤2x+π/3≤π/2+2kπ，即5π/12+kπ≤x≤π/12+kπ(k∈Z)。

因此f(x)的单调递增区间为[5π/12+kπ,π/12+kπ](k∈Z)。

（3）当x∈[0,π]时，2x+π/3∈[π/3,7π/3]。

令u=2x+π/3，则f(x)=2sinu，u∈[π/3,7π/3]。

在[π/3,7π/3]上，sinu的最大值为1，最小值为1/2。

所以f(x)的最大值为2×1=2，最小值为2×(1/2)=1。

16.（14分）已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，且满足a₁=1，aₙ₊₁=2Sₙ+1(n∈N)。

（1）求数列{aₙ}的通项公式；

（2）设bₙ=log₂aₙ，求数列{bₙ}的前n项和Tₙ。

解：（1）由aₙ₊₁=2Sₙ+1，得aₙ=2Sₙ₋₁+1(n≥2)。

两式相减，得aₙ₊₁aₙ=2(SₙSₙ₋₁)=2aₙ(n≥2)。

即aₙ₊₁=3aₙ(n≥2)。

又a₂=2S₁+1=2a₁+1=3，所以a₂=3a₁。

因此数列{aₙ}是首项为1，公比为3的等比数列。

所以aₙ=3ⁿ⁻¹。

（2）bₙ=log₂aₙ=log₂3ⁿ⁻¹=(n1)log₂3。

所以Tₙ=∑bₖ=∑(k1)log₂3=log₂3∑(k1)=log₂3×(n1)n/2=n(n1)log₂3/2。

17.（14分）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足a=2，b=2√2，A=30°。

（1）求角B的大小；

（2）求边c的长度；

（3）求△ABC的面积。

解：（1）由正弦定理，a/sinA=b/sinB，即2/sin30°=2√2/sinB。

所以sinB=(2√2×sin30°)/2=√2×0.5=√2/2。

又b>a，所以B>A，即B>30°。

所以B=45°或135°。

若B=135°，则A+B=30°+135°=165°<180°，可能。

但需要进一步判断，由余弦定理，cosB=(a²+