第二章 一元二次方程 单元测试（含答案）初中数学北师大版（新教材）九年级上册

北师大版（2024）九年级上第二章一元二次方程单元测试一．选择题（共12小题）1．（2026春•下城区期中）如图，利用一面墙（墙的长度为20米），用34米长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道门，门宽为1米，若两个鸡场的总面积为96平方米，设AB=x,则可列方程为（）A．（34-3x）x=96B．（32-3x）x=96C．（36-3x）x=96D．12．一元二次方程2x2+x-2=0两根之积为（）A．-2B．-1C．2D．13．一元二次方程x2=4的解是（）A．x=-2B．x=2C．x1=2，x2=-2D．x1=4，x2=-44．如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，动点P从点A出发沿AC→CB运动到点B，设点P的运动路程为x,△APD的面积为y,y与x的函数图象如图②所示，则AB的长为（）A．10B．12C．14D．165．已知关于x的一元二次方程x2-2x-5=0的两个根为x1，x2，则x1x2的值为（）A．-5B．5C．2D．-26．用配方法解一元二次方程x2-4x-5=0的过程中，配方正确的是（）A．（x+2）2=1B．（x-2）2=1C．（x+2）2=9D．（x-2）2=97．如果m是一元二次方程x2-2x-1=0的一个根，那么多项式-2m2+4m+2025的值等于（）A．-2027B．-2023C．2023D．20278．关于x的方程ax2-4|x|+2=0有4个不同的实数根，则a的取值范围是（）A．a＜2B．a＞2C．1≤a≤2D．0＜a＜29．若关于x的一元二次方程x2-3x+k=0有实数根，则k的值不能为（）A．-2B．1C．2D．310．如图，在▱ABCD中，AB=4，BC=6，∠BCD的平分线交BA的延长线于点F，交AD于点E，EG⊥CD于点G．若EG=7，则EFA．1B．7C．2D．311．根据下列表格的对应值：x11.11.21.3x2+12x-15-2-0.590.842.29由此可判断方程x2+12x-15=0必有一个根满足（）A．1＜x＜1.1B．1.1＜x＜1.2C．1.2＜x＜1.3D．x＞1.312．对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列说法：

①若a-b+c=0，则方程一定有解；

②若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；

③若方程ax2+bx+c=0（a≠0）两根为x1，x2且满足x1≠x2≠0，则方程cx2+bx+a=0（c≠0），必有实数根1x1，1x2；

④若a+c=0，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实数根；

⑤若ab-bc=0，且acA．2个B．3个C．4个D．5个二．填空题（共5小题）13．如图所示的是该校一块长方形劳动场地，长36m,宽24m,要求在场地内修同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为种植区．若种植区的总面积为805m2，则所修道路的宽为______m.14．若一元二次方程x2-2x-1=0的两根为m,n,则m−1m+15．关于x的方程kx2-6x+3=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．16．关于x的方程（m-1）x2-4mx+4m+6=0有实数根，则m能取的所有正整数的和为______．17．对于一元二次方程ax2-bx-c=0（a≠0），下列说法：

①若方程的两个根是x1=-1和x2=2，则2a-c=0；

②若x=c是方程的一个根，则一定有ac-b-1=0成立；

③若a+b-c=0，则它有一个根是x=-1；

④若方程有一个根是x=m（m≠0），则方程cx2+bx-a=0一定有一个实数根x=1m．

其中正确是三．解答题（共6小题）18．解方程：

（1）x2+2x=8；

（2）（x+5）2=2（x+5）；

（3）2x-x2=0；

（4）x2-6x+2=0．19．已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2-1=0．

（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；

（2）若该方程的一个实数根为2，求m的值．20．（2025秋•黄浦区校级期末）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售200个，6月份销售288个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．

（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；

（2）若此种头盔的进价为30元/个，经市场调查，当售价为40元/个时，月销售量为600个，售价每上涨0.5元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？21．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（其中a、b、c为常数，a≠0）．

（1）当a+b+c=0时，求证：方程总有实数根；

（2）若a、b、c、k均为正数，且假设方程有实数根，且方程的两实根之和为k2−12k，两实根之积为k2+122．（2026春•下城区期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2+x=0的两个根是x1=0，x2=-1，则方程x2+x=0是“邻根方程”．

（1）通过计算，判断方程x2-5x+6=0是否是“邻根方程”；

（2）已知关于x的方程x2-（m-1）x-m=0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值；

（3）若关于x的方程ax2+bx+1=0（a、b是常数，a＞0）是“邻根方程”，令t=8a-b2，试求t的最大值．23．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程x2+x=0的两个根是x1=0，x2=-1，则方程x2+x=0是“邻根方程”．

（1）通过计算，判断方程x2+3x+2=0是否为“邻根方程”；

（2）已知关于x的方程x2-（m+2）x+2m=0是“邻根方程”，求m的值；

（3）若关于x的方程ax2+bx+2=0（a＞0）是“邻根方程”，令t=12a-b2，试求t的最大值．北师大版（2024）九年级上第二章一元二次方程单元测试

(参考答案)一．选择题（共12小题）1、D 2、B 3、C 4、A 5、A 6、D 7、C 8、D 9、D 10、C 11、B 12、C 二．填空题（共5小题）13、1； 14、3； 15、k＜3且k≠0； 16、6； 17、①③④； 三．解答题（共6小题）18、解：（1）x2+2x=8，

整理得：x2+2x-8=0，

因式分解得：（x-2）（x+4）=0，

解得：x1=2，x2=-4；

（2）（x+5）2=2（x+5），

整理得：（x+5）2-2（x+5）=0，

因式分解得：（x+5）（x+5-2）=0，

即（x+5）（x+3）=0，

解得：x1=-5，x2=-3；

（3）2x-x2=0，

因式分解得：x（2-x）=0，

解得：x1=0，x2=2；

（4）x2-6x+2=0，

整理得：x2-6x=-2，

配方得：x2-6x+9=-2+9，

即（x-3）2=7，

直接开平方得：x-3=±7，

解得：x1=3+7，x2=3-7．19、（1）证明：∵Δ=（2m）2-4（m2-1）=4m2-4m2+4=4＞0，

∴一元二次方程x2+2mx+m2-1=0总有两个不相等的实数根；

（2）∵x2+2mx+m2-1=0的一个实数根为2，

∴22+4m+m2-1=0，

解得m1=-1，m2=-3；

∴m的值为-1或-3．20、解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x,

根据题意得：200×（1+x）2=288，

解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不符合题意，舍去）．

答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%；

（2）设售价上涨y元，则每个的销售利润为（40+y-30）元，月销售量为600-y0.5×5=（600-10y）个，

根据题意得：（40+y-30）（600-10y）=10000，

整理得：y2-50y+400=0，

解得：y1=10，y2=40，

当y=10时，售价为40+10=50（元/个），

当y=40时，售价为40+40=80（元/个），

∵尽可能让顾客得到实惠，

∴该品牌头盔的实际售价应定为50元/个．

答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/21、（1）证明：∵a+b+c=0，

∴c=-a-b.

∵Δ=b2-4a（-a-b）=b2+4a2+4ab=（b+2a）2≥0

∴方程总有实数根．

（2）解：由一元二次方程根与系数的关系可得，

k2−12k=−ba，k2+12k=ca．

∴14（k2−2+1k2）=b2a2①；122、解：（1）x2-5x+6=0，

（x-2）（x-3）=0，

∴x1=3，x2=2，

∴x1-x2=3-2=1，

∴方程x2-5x+6=0是“邻根方程”．

（2）x2-（m-1）x-m=0，

∴x2-mx+x-m=0，

∴（x-m）（x+1）=0，

∴x=m或x=-1，

∵方程x2-（m-1）x-m=0（m是常数）是“邻根方程”，

∴m-（-1）=1或-1-m=1，

∴m=-1+1或m=-1-1，

∴m=0或-2；

（3）ax2+bx+1=0，

∴x=−b±b2−4a2a，

∵关于x的方程ax2+bx+1=0（a、b是常数，a＞0）是“邻根方程”，

∴−b+b2−4a2a-−b−b2−4a2a=1，

∴b2=a2+4a,

∵t=8a-b2，

∴a2+4a=8a-t.

∴t=4a-a2=-（a-2）2+4，

∵a23、解：（1）由x2+3x+2=0得，

x1=-2，x2=-1．

因为-1-（-2）=1，

所以该方程是“邻根方程”；

（2）由x2-（m+2）x+