2025年北京大学中学生物理春季营试卷真题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页北京大学2025年优秀中学生物理春季试题总分：200分1．质量为的行星绕质量为的固定恒星做半径为的匀速圆周运动，以恒星为原点建立坐标系。(1)求行星的线速度；(2)当行星运动到处时，它爆炸分裂为质量各为的两个小天体，爆炸后瞬间二者只有沿方向的相对速度，而且爆炸后总机械能恰为爆炸前的二倍，求爆炸后瞬间两个小天体的速度；(3)忽略两个小天体之间的万有引力，求二者各自的轨迹，证明其均为圆锥曲线。以轴为极轴，已知圆锥曲线极坐标方程可写为，请分别针对两个小天体给出、、。2．考虑定容热容为的理想气体，其多方过程满足，式中多方指数为常量。(1)证明多方过程热容为常量，并用，，表达；(2)气体经历的某循环由四个多方过程构成，热容C与温度的关系如图所示，循环由，，，四段构成，注意图中的点未必与图中的点一一对应。已知，，，①定性画出循环的图；②用，，表达，，；③求循环效率。3．菲涅耳波带片中心的第一级透光，半径为。由内向外，第偶数级不透光，第奇数级透光。(1)已知每一级环带面积相等，试求第级环带的外半径，用表达；(2)在空间中建立坐标系，一束球面光波会聚于处，现将上述波带片置于平面内，则球面光波在经过波带片之后会聚于处，已知都远远小于，请用波长表示可能的；(3)根据前一问可知，波带片可以等效于一个焦距为负的透镜（凹透镜），请给出等效焦距。4．考虑如图所示的串联电路，其中，各元件都是理想的，给定（），其中均为已知。初始时电容器带有一定电量，电源电压为零。(1)求时刻电容器左极板电量；(2)求时间内电源输出的总能量（提示：可取极限情况检验结果）；(3)在时间内，是否可能存在某一时刻电容与电感储能相等。如果可能，请给出满足的条件；如果不可能，请说明理由。5．如图，两个质量为的球与一个质量为的杆通过两根长度为的刚性轻杆相连，球和环均可视为质点，环可在固定光滑水平杆（轴）上滑动，重力加速度g沿轴负方向。杆可以无摩擦转动，构成双摆。设三个的坐标分别是。(1)推导满足的线性微分方程组。(2)引入简正坐标（的线性组合），将上一问的方程组简化为相互独立的若干个方程，写出每个简正坐标及其对应的简正频率。6．立方反比引力场(1)请给出该引力场中的守恒量。(2)相关物理量已无量纲化，考虑一质点以初速度（0，1.2，0）由（1，0，0）处出发，求其经过y轴时的坐标和速度。7．某种理想气体的熵为，为常量，n为摩尔数，U为内能，V为体积。(1)请给出该气体的定容热容和定压热容。(2)已知两容器中各有1mol温度均为T，但压强分别为的该气体，将两容器联通后，求系统总熵变。(3)已知室内漏风，室内空气为该种气体，初态平衡时内外温度均为280K，现用火炉将室内加热至295K，请问加热前后室内气体内能密度会变大、变小还是不变？8．考虑一个电量为Q、半径为R、质量为m的均匀带电薄球壳，球壳表面电荷不可移动：(1)为使球壳悬浮在重力场中，问外加电场的方向和大小。(2)初态球壳静止，在与z轴方向（竖直向上）夹角为锐角的方向加一随时间变化的均匀磁场，问t时刻球壳的角速度大小及方向。(3)初态球壳静止，在z轴方向上有一匀强磁场B，初态球壳自转角速度为，与z轴夹角为锐角，求此时球壳受的力矩。(4)接上问，我们发现球壳自转角动量以角速度进动，试求的大小与方向。(5)接上问，若改变Q的正负号，方向是否改变？因导致的附加磁矩方向是否变化？(6)球壳自转角动量的z分量是否守恒？请说明球壳的运动形式。9．两根质量为、长度为l、电阻为R的杆上各接有一个电容C，两杆在无电阻、无摩擦的平行导轨上平行放置，空间中有垂直于导轨平面的匀强磁场B，初态左杆静止，右杆有向右的初速度。记右杆参量下标为1，左杆参量下标为2：(1)写出两杆速度、和电容带电量Q的微分方程。(2)在微分方程中消去、，可以得到一个描述RC暂态电路的方程，请根据该方程给出等效电容和等效开路电压，并说明体系水平动量是否守恒。(3)求解前两问中的方程，给出、，并给出时的、取值。10．已知波长为，题目给了基尔霍夫衍射公式：讨论平行光正入射到矩孔上发生的夫琅禾费衍射，结果可以保留复数：(1)矩孔在x，y方向的尺寸分别为a，b，衍射时波矢在x，y两个方向的衍射角分别用表示，求中心在（a，0）的矩孔在观察屏上的复振幅。(2)四个上述矩孔中心分别在（a，b）、（-a，b）、（-a，-b）、（a，-b），求合复振幅。答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．(1)(2)见解析(3)见解析【详解】（1）根据万有引力提供向心力解得行星的线速度（2）设径向速度分别为，，每个小天体质量，由径向动量守恒得切向速度不变，仍为，总动能变为两倍，有解得则爆炸后瞬间两个小天体的速度一个速度方向与轴正方向成，一个速度方向与轴负方向成。（3）此时天体总能量轨迹为抛物线，距离最近时，速度为，距离中心天体为，由能量守恒和角动量守恒，有，解得抛物线轨方程当分母为2时，距离最近由此得，抛物线方程初始，有，代入得解得则两小天体轨道方程分别为、2．(1)(2)见解析【详解】（1）根据热力学第一定律有代入得①理想气体状态方程取微分得②对多方过程取微分得③联立①②③解得（2）①四个循环的都为定值，为4个多方过程，大致图像如下②假设，多方程分别为，对四个过程依次有可得可得④由于代入得化简得即解得故，③由于根据解得另外，由第（1）问结论有⑤代入第（2）问④式有故有⑥联立⑤⑥得对应热容可得，为吸热而，为放热代入得效率3．(1)(2)，(3)【详解】（1）如图所示由于面积相等，则有解得（2）以点，点。点的光，经过第个波带片上处如图所示整个波带片的光，到达点的复振幅对傍轴近似傍轴近似即此积分依然很难求解，若取则可积分代入积分得则点光强，则有即聚焦时，光强取极大，满足解得对应（3）对公式化简得故虚焦距4．(1)(2)见解析(3)见解析【详解】（1）电容左极板电荷量为q，电路中电流为电感两端感应电动势由此得全电路欧姆定律即特征方程代入，方程有两相等实根其齐次通解其一个特解为解得则初始时，，，则有解得代回原方程得（2）电源输出能量积分得极限情况：当时，，此为瞬间充电，电路中电流为0，电容器两端电压为0，电路不消耗能量；当时，，此为无限缓慢的充电，电路电流为0，电感储能为0，电容器储能为，电阻发热为一阶小量忽略不计，满足题意。（3）电容储能电感储能令，当时，则有化简得数值解得其中对应初始时刻，此时故满足时，存在储能相等的时刻。5．(1)见解析(2)简正坐标简正频率【详解】（1）三物体纵坐标分别为0，，系统动能（忽略竖直方向速度的影响的高阶小量）

系统势能

由几何关系以及小量近似

代入得系统拉格朗日量

代入拉格朗日方程

得（2）令，有

其简正频率满足

化简得

解得

对应简正频率

分别代回其特征向量分别为

对应简正坐标分别为

【注】由题目表述，可能第二问并不想让我们用这个方法，组合①+②×s+③×t为

令

解得

则简正坐标

则简正频率

结果与上面相同。6．(1)，(2)，，【详解】（1）（1）根据题意在极坐标下可知①，②由②×r可得即守恒同时，由于即守恒（2）由E守恒可知由L守恒可知代入数据可得对有心力，其中，有比耐方程代入以及整理得解得由于时，，可知，解得，因此轨道方程为当运动到y轴时，，代回到速度公式中，可得，7．(1)，(2)(3)不变【详解】（1）根据题意，对理想气体此时则由理想气体方程有则有则（2）联通前，两气体熵分别为，联通后，总内能不变，温度不变，气体总熵为则熵的增加量为代入解得（3）设前后温度分别为，，外界大气压为，室内体积为V，加热前后室内外压强始终相等。加热前加热后由于气体内能密度故内能密度保持不变。8．(1)，方向向上(2)，方向沿轴(3)(4)，方向沿方向(5)见解析(6)见解析【详解】（1）由题知，电荷不可移动，根据平衡条件有若为正电，则电场强度方向向上，解大小为后续小球所受合力为零，质心保持静止不动（2）以磁场方向为′，以′为极轴，球心为原点，为球壳上任一点到′轴的距离，如图所示则处的感生电场大小为设极角为，根据几何关系有则有处小圆环所受电场力为对应力矩大小为对′轴总力矩冲量矩其中球壳绕直径的转动惯量则有解得方向沿轴（3）以自转角速度方向为为极轴，相同处的电荷绕圆心旋转形成电流环，每层电流环带电荷为电流电流环相对轴，所受力矩（力偶的力矩可以任选转轴），总力矩为解得（4）由其中方向沿轴，由此得方向沿方向（5）当Q符号改变时，I方向变化，力矩M方向变化，而L方向不变，故换向由于与同时换向，则附加磁矩方向不变。（6）由于外力矩方向沿平面，分量守恒，则有球壳一边绕轴以转动，另一边轴绕轴以角速度进动。9．(1)(2)，，水平动量守恒(3)，，，【详解】（1）设某时刻两杆的速度分别为、，电容器的带电量分别为Q1、Q2整个电路满足由题可知而微分方程为①（2）两杆动力学方程分别为②，③将②③联立可得两边积分可得④将④代入①整理得⑤而RC的暂态方程为⑥对比⑤⑥可知由②+③可得因此水平动量守恒。（3）对RC暂态过程⑥代入初始条件，，解得⑦将⑦代入