2026年高中数学数列求和与极限专项训练

2026年高中数学数列求和与极限专项训练一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=15，则该数列的前10项和S_10等于（）A.210B.240C.270D.300解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=15可得3+4d=15，解得d=3。前n项和公式S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，代入n=10，a_1=3，d=3计算得S_10=10/2[6+9×3]=270。2.若一个等比数列{b_n}的前3项依次为1，2，4，则该数列的通项公式b_n等于（）A.2^(n-1)B.2^(n+1)C.2^(n-2)D.2^n解析：由等比数列性质b_2^2=b_1b_3，代入b_1=1，b_3=4可得b_2=2。公比q=b_2/b_1=2。通项公式b_n=b_1q^(n-1)=1×2^(n-1)=2^(n-1)。3.求数列1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)的前n项和的公式，下列推导正确的是（）A.将原式拆分为n(n+1)求和B.将原式拆分为n^2+n求和C.将原式拆分为n^2+n/2求和D.将原式拆分为n(n+1)/2求和解析：原式=∑[n(n+1)]=∑[n^2+n]=∑[n^2]+∑[n]。∑[n^2]=n(n+1)(2n+1)/6，∑[n]=n(n+1)/2，相加得n(n+1)(2n+4)/6=n(n+1)(n+2)/3。4.已知数列{c_n}满足c_1=1，c_n=c_(n-1)+n(n≥2)，则c_10的值等于（）A.55B.56C.120D.130解析：由递推关系可得c_n-c_(n-1)=n，累加c_n-c_1=∑[n]=n(n+1)/2，c_n=n(n+1)/2，代入n=10得c_10=55。5.在等差数列{a_n}中，若S_10=100，S_20=380，则S_30等于（）A.560B.620C.680D.740解析：由等差数列性质S_10，S_20-S_10，S_30-S_20成等差数列，100，280，S_30-380成等差数列，2×280=100+(S_30-380)，解得S_30=680。6.若数列{d_n}的前n项和S_n=2^n-1，则d_5的值等于（）A.32B.31C.16D.15解析：d_n=S_n-S_(n-1)=2^n-1-(2^(n-1)-1)=2^n-2^(n-1)=2^(n-1)。代入n=5得d_5=2^4=16。7.已知数列{e_n}的前n项和为S_n=n^2+n，则该数列从第2项开始是（）A.等差数列B.等比数列C.摩尔数列D.调和数列解析：e_n=S_n-S_(n-1)=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=2n。从第二项开始为2,4,6,...，是公差为2的等差数列。8.求数列1/2+1/6+1/12+…+1/[n(n+1)]的前n项和的公式，下列结果正确的是（）A.1-1/(n+1)B.1-1/nC.n/(n+1)D.n/(n+2)解析：原式=∑[1/[n(n+1)]]，利用部分分式1/[n(n+1)]=1/n-1/(n+1)，原式=(1-1/2)+(1/2-1/3)+…+(1/n-1/(n+1))=1-1/(n+1)。9.若数列{f_n}的前n项和S_n=3^n-1，则数列{f_n}是（）A.等差数列B.等比数列C.等差等比混合数列D.非等差非等比数列解析：f_n=S_n-S_(n-1)=3^n-1-(3^(n-1)-1)=2×3^(n-1)。是首项为2，公比为3的等比数列。10.已知数列{g_n}的前n项和S_n=n^2+n+1，则g_100的值等于（）A.199B.200C.201D.202解析：g_n=S_n-S_(n-1)=n^2+n+1-[(n-1)^2+(n-1)+1]=2n。代入n=100得g_100=200。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_3+a_7=24，则a_5+a_9=_________。参考答案：40解析：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，a_5+a_9=2a_7，a_5+a_9=2×(a_3+a_7)/2=24。2.若数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-1，则b_1+b_2+…+b_8=_________。参考答案：255解析：b_1=S_1=1，b_2=S_2-S_1=3，…，b_8=S_8-S_7=128，原式=1+3+…+128=2^8-1=255。3.在等比数列{c_n}中，若c_2=6，c_4=54，则该数列的公比q=_________。参考答案：3解析：由等比数列性质c_4/c_2=q^2，代入c_4=54，c_2=6可得q=3。4.求数列1/1×2+1/2×3+1/3×4+…+1/(n-1)×n的前n项和的公式为_________。参考答案：1-1/n解析：原式=∑[1/[n(n-1)]]，利用部分分式1/[n(n-1)]=1/(n-1)-1/n，原式=(1-1/2)+(1/2-1/3)+…+(1/(n-1)-1/n)=1-1/n。5.已知数列{d_n}满足d_1=1，d_n=2d_(n-1)+1(n≥2)，则d_6=_________。参考答案：63解析：由递推关系可得d_n=2^n-1，代入n=6得d_6=63。6.在等差数列{a_n}中，若S_10=100，S_20=380，则该数列的公差d=_________。参考答案：3解析：由等差数列性质S_10，S_20-S_10，S_30-S_20成等差数列，100，280，S_30-380成等差数列，2×280=100+(S_30-380)，S_30=680，由S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，100=10/2[2a_1+9d]，680=30/2[2a_1+29d]，联立解得d=3。7.若数列{e_n}的前n项和为S_n=n^2+n，则该数列的第5项e_5=_________。参考答案：16解析：e_n=S_n-S_(n-1)=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=2n，代入n=5得e_5=16。8.已知数列{f_n}的前n项和S_n=3^n-1，则该数列的第10项f_10=_________。参考答案：1536解析：f_n=S_n-S_(n-1)=3^n-1-(3^(n-1)-1)=2×3^(n-1)，代入n=10得f_10=1536。9.在等比数列{g_n}中，若g_1=2，g_5=32，则该数列的前6项和S_6=_________。参考答案：62解析：由等比数列性质g_5/g_1=q^4，代入g_5=32，g_1=2可得q=2，S_6=2(1-2^6)/(1-2)=62。10.求数列1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)的前n项和的公式为_________。参考答案：n(n+1)(n+2)/3解析：原式=∑[n(n+1)]=∑[n^2+n]=∑[n^2]+∑[n]，∑[n^2]=n(n+1)(2n+1)/6，∑[n]=n(n+1)/2，相加得n(n+1)(n+2)/3。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=2^n-1，则该数列是等比数列。（）参考答案：正确解析：由S_n=2^n-1可得a_n=2^(n-1)，是首项为1，公比为2的等比数列。2.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_5=12，则a_3+a_4=12。（）参考答案：正确解析：由等差数列性质a_1+a_5=2a_3，a_3+a_4=2a_3.5，a_3+a_4=2a_3=12。3.若数列{b_n}的前n项和S_n=n^2，则该数列是等差数列。（）参考答案：正确解析：由S_n=n^2可得b_n=S_n-S_(n-1)=2n-1，是首项为1，公差为2的等差数列。4.在等比数列{c_n}中，若c_2=6，c_4=54，则该数列的公比q=3。（）参考答案：正确解析：由等比数列性质c_4/c_2=q^2，代入c_4=54，c_2=6可得q=3。5.若数列{d_n}满足d_n-d_(n-1)=1(n≥2)，则该数列是等差数列。（）参考答案：正确解析：由递推关系可得d_n=n+c，是首项为c，公差为1的等差数列。6.在等差数列{a_n}中，若S_10=100，S_20=380，则S_30=680。（）参考答案：正确解析：由等差数列性质S_10，S_20-S_10，S_30-S_20成等差数列，100，280，S_30-380成等差数列，2×280=100+(S_30-380)，S_30=680。7.若数列{e_n}的前n项和为S_n=n^2+n，则该数列从第二项开始是等比数列。（）参考答案：错误解析：从第二项开始为2,4,6,...，是公差为2的等差数列。8.在等比数列{f_n}中，若f_1=2，f_5=32，则该数列的公比q=±2。（）参考答案：错误解析：由等比数列性质f_5/f_1=q^4，代入f_5=32，f_1=2可得q=2。9.若数列{g_n}的前n项和S_n=3^n-1，则该数列是等比数列。（）参考答案：正确解析：由S_n=3^n-1可得a_n=2×3^(n-1)，是首项为2，公比为3的等比数列。10.求数列1/1×2+1/2×3+1/3×4+…+1/(n-1)×n的前n项和的公式为1-1/n。（）参考答案：正确解析：原式=∑[1/[n(n-1)]]，利用部分分式1/[n(n-1)]=1/(n-1)-1/n，原式=(1-1/2)+(1/2-1/3)+…+(1/(n-1)-1/n)=1-1/n。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.在等差数列{a_n}中，若a_1=5，a_5=15，求该数列的通项公式a_n。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=5，a_5=15可得5+4d=15，解得d=2.5。通项公式a_n=5+(n-1)×2.5=2.5n+2.5。2.求数列1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)的前n项和的公式。解：原式=∑[n(n+1)]=∑[n^2+n]=∑[n^2]+∑[n]，∑[n^2]=n(n+1)(2n+1)/6，∑[n]=n(n+1)/2，相加得n(n+1)(n+2)/3。3.在等比数列{b_n}中，若b_1=3，b_4=81，求该数列的通项公式b_n。解：由等比数列通项公式b_n=b_1q^(n-1)，代入b_1=3，b_4=81可得3q^3=81，解得q=3。通项公式b_n=3×3^(n-1)=3^n。4.已知数列{c_n}的前n项和S_n=2^n-1，求该数列的第5项c_5。解：由S_n=2^n-1可得a_n=S_n-S_(n-1)=2^(n-1)，代入n=5得c_5=2^4=16。5.在等差数列{a_n}中，若S_10=100，S_20=380，求该数列的公差d。解：由等差数列性质S_10，S_20-S_10，S_30-S_20成等差数列，100，280，S_30-380成等差数列，2×280=100+(S_30-380)，S_30=680，由S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，100=10/2[2a_1+9d]，680=30/2[2a_1+29d]，联立解得d=3。6.若数列{d_n}的前n项和为S_n=n^2+n，求该数列的通项公式d_n。解：由S_n=n^2+n可得d_n=S_n-S_(n-1)=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=2n。7.在等比数列{e_n}中，若e_1=2，e_5=32，求该数列的前6项和S_6。解：由等比数列性质e_5/e_1=q^4，代入e_5=32，e_1=2可得q=2，S_6=2(1-2^6)/(1-2)=62。8.求数列1/1×2+1/2×3+1/3×4+…+1/(n-1)×n的前n项和的公式。解：原式=∑[1/[n(n-1)]]，利用部分分式1/[n(n-1)]=1/(n-1)-1/n，原式=(1-1/2)+(1/2-1/3)+…+(1/(n-1)-1/n)=1-1/n。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.在等差数列{a_n}中，若a_1=3，a_5=15，求该数列的前10项和S_10。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=15可得3+4d=15，解得d=3。前n项和公式S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，代入n=10，a_1=3，d=3计算得S_10=10/2[6+27]=210。2.求数列1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)的前8项和。解：原式=∑[n(n+1)]=∑[n^2+n]=∑[n^2]+∑[n]，∑[n^2]=8(8+1)(2×8+1)/6=204，∑[n]=8(8+1)/2=36，相加得240。3.在等比数列{b_n}中，若b_1=2，b_4=32，求该数列的前5项和S_5。解：由等比数列通项公式b_n=b_1q^(n-1)，代入b_1=2，b_4=32可得2q^3=32，解得q=4，S_5=2(1-4^5)/(1-4)=3410。4.已知数列{c_n}的前n项和S_n=2^n-1，求该数列的第10项c_10。解：由S_n=2^n-1可得a_n=S_n-S_(n-1)=2^(n-1)，代入n=10得c_10=2^9=512。5.在等差数列{a_n}中，若S_10=100，S_20=380，求该数列的公差d。解：由等差数列性质S_10，S_20-S_10，S_30-S_20成等差数列，100，280，S_30-380成等差数列，2×280=100+(S_30-380)，S_30=680，由S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，100=10/2[2a_1+9d]，680=30/2[2a_1+29d]，联立解得d=3。6.若数列{d_n}的前n项和为S_n=n^2+n，求该数列的前7项和S_7。解：由S_n=n^2+n可得d_n=S_n-S_(n-1)=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=2n，S_7=∑[2n]=2∑[n]=2×7(7+1)/2=56。7.在等比数列{e_n}中，若e_1=3，e_5=243，求该数列的通项公式b_n。解：由等比数列性质e_5/e_1=q^4，代入e_5=243，e_1=3可得q=3，通项公式b_n=3×3^(n-1)=3^n。8.求数列1/1×2+1/2×3+1/3×4+…+1/(n-1)×n的前10项和。解：原式=∑[1/[n(n-1)]]，利用部分分式1/[n(n-1)]=1/(n-1)-1/n，原式=(1-1/2)+(1/2-1/3)+…+(1/9-1/10)=1-1/10=0.9。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.A3.B4.A5.C6.C7.A8.A9.B10.B解析：1.由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=15可得3+4d=15，解得d=3。前n项和公式S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，代入n=10，a_1=3，d=3计算得S_10=10/2[6+27]=270。2.由等比数列性质b_2^2=b_1b_3，代入b_1=1，b_3=4可得b_2=2。公比q=b_2/b_1=2。通项公式b_n=b_1q^(n-1)=1×2^(n-1)=2^(n-1)。3.原式=∑[n(n+1)]=∑[n^2+n]=∑[n^2]+∑[n]，∑[n^2]=n(n+1)(2n+1)/6，∑[n]=n(n+1)/2，相加得n(n+1)(n+2)/3。4.由递推关系可得c_n-c_(n-1)=n，累加c_n-c_1=∑[n]=n(n+1)/2，c_n=n(n+1)/2，代入n=10得c_10=55。5.由等差数列性质S_10，S_20-S_10，S_30-S_20成等差数列，100，280，S_30-380成等差数列，2×280=100+(S_30-380)，S_30=680。6.由等比数列通项公式b_n=b_1q^(n-1)，代入b_1=1，b_3=2可得q=2，b_2=b_1q=2，b_3=b_2q=4，b_4=b_3q=8，b_5=b_4q=16。7.由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，a_5+a_9=2a_7，a_5+a_9=2×(a_3+a_7)/2=24。8.由S_n=2^n-1可得a_n=2^(n-1)，是首项为1，公比为2的等比数列。9.由等比数列性质c_4/c_2=q^2，代入c_4=54，c_2=6可得q=3。10.由S_n=n^2+n可得b_n=S_n-S_(n-1)=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=2n，从第二项开始为2,4,6,...，是公差为2的等差数列。二、填空题1.402.2553.34.1-1/n5.636.37.168.15369.6210.n(n+1)(n+2)/3解析：1.由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，a_5+a_9=2a_7，a_5+a_9=2×(a_3+a_7)/2=24。2.由S_n=2^n-1可得a_n=2^(n-1)，是首项为1，公比为2的等比数列。3.由等比数列性质c_4/c_2=q^2，代入c_4=54，c_2=6可得q=3。4.原式=∑[1/[n(n-1)]]，利用部分分式1/[n(n-1)]=1/(n-1)-1/n，原式=(1-1/2)+(1/2-1/3)+…+(1/(n-1)-1/n)=1-1/n。5.由递推关系可得d_n=2^n-1，代入n=6得d_6=63。6.由等差数列性质S_10，S_20-S_10，S_30-S_20成等差数列，100，280，S_30-380成等差数列，2×280=100+(S_30-380)，S_30=680，由S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，100=10/2[2a_1+9d]，680=30/2[2a_1+29d]，联立解得d=3。7.由S_n=n^2+n可得b_n=S_n-S_(n-1)=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=2n，从第二项开始为2,4,6,...，是公差为2的等差数列。8.由S_n=3^n-1可得a_n=2×3^(n-1)，是首项为2，公比为3的等比数列。9.由等比数列性质e_5/e_1=q^4，代入e_5=32，e_1=2可得q=2，S_6=2(1-2^6)/(1-2)=62。10.原式=∑[1/[n(n-1)]]，利用部分分式1/[n(n-1)]=1/(n-1)-1/n，原式=(1-1/2)+(1/2-1/3)+…+(1/(n-1)-1/n)=1-1/n。三、判断题1.正确2.正确3.正确4.正确5.正确6.正确7.错误8.错误9.正确10.正确解析：1.由S_n=2^n-1可得a_n=2^(n-1)，是首项为1，公比为2的等比数列。2.由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，a_5+a_9=2a_7，a_5+a_9=2×(a_3+a_7)/2=24。3.由S_n=n^2+n可得b_n=S_n-S_(n-1)=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=2n，从第二项开始为2,4,6,...，是公差为2的等差数列。4.由等比数列性质c_4/c_2=q^2，代入c_4=54，c_2=6可得q=3。5.由递推关系可得d_n-d_(n-1)=1(n≥2)，d_n=n+c，是首项为c，公差为1的等差数列。6.由等差数列性质S_10，S_20-S_10，S_30-S_20成等差数列，100，280，S_30-380成等差数列，2×280=100+(S_30-380)，S_30=680。7.由S_n=n^2+n可得b_n=S_n-S_(n-1)=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=2n，从第二项开始为2,4,6,...，是公差为2的等差数列。8.由等比数列性质e_5/e_1=q^4，代入e_5=32，e_1=2可得q=2。9.由S_n=3^n-1可得a_n=2×3^(n-1)，是首项为2，公比为3的等比数列。10.原式=∑[1/[n(n-1)]]，利用部分分式1/[n(n-1)]=1/(n-1)-1/n，原式=(1-1/2)+(1/2-1/3)+…+(1/(n-1)-1/n)=1-1/n。四、简答题1.在等差数列{a_n}中，若a_1=5，a_5=15，求该数列的通项公式a_n。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=5，a_5=15可得5+4d=15，解得d=2.5。通项公式a_n=5+(n-1)×2.5=2.5n+2.5。2.求数列1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)的前n项和的公式。解：原式=∑[n(n+1)]=∑[n^2+n]=∑[n^2]+∑[n]，∑[n^2]=n(n+1)(2n+1)/6，∑[n]=n(n+1)/2，相加得n(n+1)(n+2)/3。3.在等比数列{b_n}中，若b_1=3，b_4=81，求该数列的通项公式b_n。解：由等比数列通项公式b_n=b_1q^(n-1)，代入b_1=3，b_4=81可得3q^3=81，解得q=3。通项公式b_n=3×3^(n-1)=3^n。4.已知数列{c_n}的前n项和S_n=2^n-1，求该数列的第5项c_5。解：由S_n=2^n-1可得a_n=S_n-S_(n-1)=2^(n-1)，代入n=5得c_5=2^4=16。5.在等差数列{a_n}中，若S_10=100，S_20=380，求该数列的公差d。解：由等差数列性质S_10，S_20-S_10，S_30-S_20成等差数列，100，280，S_30-380成等差数列，2×280=100+(S_30-380)，S_30=680，由S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，100=10/2[2a_1+9d]，680=30/2[2a_1+29d]，联立解得d=3。6.若数列{d_n}的前n项和为S_n=n^2+n，求该数列的通项公式d_n。解：由S_n=n^2+n可得d_n=S_n-S_(n-1)=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=2n。7.在等比数列{e_n}中，若e_1=2，e_5=32，求该数列的通项公式b_n。解：由等比数列性质e_5/e_1=q^4，代入e_5=32，e_1=2可得q=2，通项公式b_n=2×2^(n-1)=2^n。8.求数列1/1×2+1/2×3+1/3×4+…+1/(n-1)×n的前n项和的公式。解：原式=∑[1/[n(n-1)]]，利用部分分式1/[n(n-1)]=1/(n-1)-1/n，原式=(1-1/2)+(1/2-1/3)+…+(1/(n-1)-1/n)=1-1/