2026年天津市人教版高中数学选修第二册第9章数列模拟试卷

2026年天津市人教版高中数学选修第二册第9章数列模拟试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_3+a_7=12，a_5=4，则该数列的通项公式a_n等于（）A.2n-6B.2n-8C.3n-9D.3n-12解析：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，代入a_5=4得2a_5=12，即a_5=4，所以首项a_1=2a_5-8=0，公差d=a_5-a_4=4-2a_1=4，故通项公式a_n=0+(n-1)×4=4n-4，选项B正确。2.已知数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=b_n+2n（n≥1），则b_6的值为（）A.21B.22C.23D.24解析：由递推关系b_n+1=b_n+2n，可得b_2=b_1+2×1=3，b_3=b_2+2×2=7，b_4=b_3+2×3=13，b_5=b_4+2×4=21，b_6=b_5+2×5=26，选项D正确。3.若数列{c_n}的前n项和S_n=3n^2-2n，则c_4的值为（）A.18B.20C.22D.24解析：由数列前n项和公式S_n=3n^2-2n，得c_n=S_n-S_{n-1}=[3n^2-2n]-[3(n-1)^2-2(n-1)]=6n-5，当n=4时，c_4=6×4-5=19，选项无正确答案，需修正题目或选项。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.4C.5D.6解析：由等比数列性质d_4=d_2q^2，代入d_2=6，d_4=54得54=6q^2，解得q=±3，选项A正确。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n(n+1)/2，则e_5的值为（）A.10B.11C.12D.13解析：由数列前n项和公式T_n=n(n+1)/2，得e_n=T_n-T_{n-1}=[n(n+1)/2]-[(n-1)n/2]=2n-1，当n=5时，e_5=2×5-1=9，选项无正确答案，需修正题目或选项。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_n+1=2f_n+1（n≥1），则f_6的值为（）A.63B.64C.65D.66解析：由递推关系f_n+1=2f_n+1，可得f_2=2f_1+1=5，f_3=2f_2+1=11，f_4=2f_3+1=23，f_5=2f_4+1=47，f_6=2f_5+1=95，选项无正确答案，需修正题目或选项。7.在等差数列{g_n}中，若a_1+a_9=20，则a_5+a_7的值为（）A.10B.12C.14D.16解析：由等差数列性质a_1+a_9=2a_5，代入a_1+a_9=20得2a_5=20，即a_5=10，又a_5+a_7=2a_6，由等差数列性质a_6=(a_5+a_7)/2，所以a_5+a_7=2a_6=2×10=20，选项无正确答案，需修正题目或选项。8.已知数列{h_n}的前n项和U_n=2^n-1，则h_4的值为（）A.8B.7C.6D.5解析：由数列前n项和公式U_n=2^n-1，得h_n=U_n-U_{n-1}=[2^n-1]-[2^{n-1}-1]=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，当n=4时，h_4=2^3=8，选项A正确。9.在等比数列{i_n}中，若i_1=1，i_3=8，则该数列的前5项和S_5等于（）A.31B.32C.33D.34解析：由等比数列性质i_3=i_1q^2，代入i_1=1，i_3=8得8=1×q^2，解得q=±2，当q=2时，S_5=1×(2^5-1)/(2-1)=31；当q=-2时，S_5=1×[1-(-2)^5]/[1-(-2)]=-31，选项A正确。10.若数列{j_n}满足j_1=3，j_n+1=j_n+2n（n≥1），则j_5的值为（）A.25B.26C.27D.28解析：由递推关系j_n+1=j_n+2n，可得j_2=j_1+2×1=5，j_3=j_2+2×2=9，j_4=j_3+2×3=15，j_5=j_4+2×4=23，选项无正确答案，需修正题目或选项。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}的首项为2，公差为3，则a_10的值为______。解：a_10=2+(10-1)×3=2+27=29。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=n^2+n，则b_3的值为______。解：b_3=S_3-S_2=3^2+3-(2^2+2)=12-6=6。3.在等比数列{c_n}中，若c_2=4，c_4=16，则该数列的公比q等于______。解：由等比数列性质c_4=c_2q^2，代入c_2=4，c_4=16得16=4q^2，解得q=±2。4.若数列{d_n}满足d_1=1，d_n+1=2d_n（n≥1），则d_5的值为______。解：由递推关系d_n+1=2d_n，可得d_2=2×1=2，d_3=2×2=4，d_4=2×4=8，d_5=2×8=16。5.在等差数列{e_n}中，若e_1=5，e_4=11，则该数列的公差d等于______。解：由等差数列性质e_4=e_1+3d，代入e_1=5，e_4=11得11=5+3d，解得d=2。6.已知数列{f_n}的前n项和T_n=3n^2-2n，则f_4的值为______。解：f_4=T_4-T_3=[3×4^2-2×4]-[3×3^2-2×3]=40-21=19。7.在等比数列{g_n}中，若g_1=2，g_3=8，则该数列的前4项和S_4等于______。解：由等比数列性质g_3=g_1q^2，代入g_1=2，g_3=8得8=2q^2，解得q=±2，当q=2时，S_4=2×(2^4-1)/(2-1)=30；当q=-2时，S_4=2×[1-(-2)^4]/[1-(-2)]=-30。8.若数列{h_n}满足h_1=3，h_n+1=h_n+2n（n≥1），则h_6的值为______。解：由递推关系h_n+1=h_n+2n，可得h_2=3+2×1=5，h_3=5+2×2=9，h_4=9+2×3=15，h_5=15+2×4=23，h_6=23+2×5=33。9.在等差数列{i_n}中，若i_1=1，i_5=9，则该数列的公差d等于______。解：由等差数列性质i_5=i_1+4d，代入i_1=1，i_5=9得9=1+4d，解得d=2。10.已知数列{j_n}的前n项和U_n=2^n-1，则j_5的值为______。解：j_5=U_5-U_4=[2^5-1]-[2^4-1]=31-15=16。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=n^2+n，则该数列是等差数列。（√）解：由S_n=n^2+n，得a_n=S_n-S_{n-1}=[n^2+n]-[(n-1)^2+(n-1)]=2n，故数列是等差数列。2.在等比数列{b_n}中，若b_1=1，b_3=8，则该数列的公比q等于2或-2。（√）解：由等比数列性质b_3=b_1q^2，代入b_1=1，b_3=8得8=1×q^2，解得q=±2。3.若数列{c_n}满足c_n+1=c_n+2（n≥1），则该数列是等差数列。（√）解：由递推关系c_n+1=c_n+2，可得c_n+1-c_n=2，故数列是等差数列，公差为2。4.在等差数列{d_n}中，若d_1+d_9=20，则d_5+d_7=20。（√）解：由等差数列性质d_1+d_9=2d_5，代入d_1+d_9=20得2d_5=20，即d_5=10，又d_5+d_7=2d_6，由等差数列性质d_6=(d_5+d_7)/2，所以d_5+d_7=2d_6=2×10=20。5.若数列{e_n}的前n项和T_n=2^n-1，则该数列是等比数列。（√）解：由T_n=2^n-1，得e_n=T_n-T_{n-1}=[2^n-1]-[2^{n-1}-1]=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，故数列是等比数列，公比为2。6.在等比数列{f_n}中，若f_2=6，f_4=54，则该数列的公比q等于3或-3。（√）解：由等比数列性质f_4=f_2q^2，代入f_2=6，f_4=54得54=6q^2，解得q=±3。7.若数列{g_n}满足g_n+1=g_n+1（n≥1），则该数列是等比数列。（×）解：由递推关系g_n+1=g_n+1，可得g_n+1-g_n=1，故数列是等差数列，公差为1。8.在等差数列{h_n}中，若h_1+h_8=20，则h_4+h_6=20。（√）解：由等差数列性质h_1+h_8=2h_4+2h_6=20，即h_4+h_6=10，选项错误，需修正题目或选项。9.若数列{i_n}的前n项和U_n=3n^2-2n，则i_n=6n-5。（√）解：由U_n=3n^2-2n，得i_n=S_n-S_{n-1}=[3n^2-2n]-[3(n-1)^2-2(n-1)]=6n-5。10.在等比数列{j_n}中，若j_1=2，j_5=32，则该数列的公比q等于4或-4。（√）解：由等比数列性质j_5=j_1q^4，代入j_1=2，j_5=32得32=2q^4，解得q=±2。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2+n，求该数列的通项公式a_n。解：当n=1时，a_1=S_1=2×1^2+1=3；当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=[2n^2+n]-[2(n-1)^2+(n-1)]=4n-1，故a_n=4n-1（n≥2），综合得a_n=4n-1。2.在等差数列{b_n}中，若a_1=5，a_5=15，求该数列的前10项和S_10。解：由等差数列性质a_5=a_1+4d，代入a_1=5，a_5=15得15=5+4d，解得d=2.5，故S_10=10×5+(10×9/2)×2.5=275。3.已知数列{c_n}满足c_n+1=2c_n（n≥1），且c_1=1，求c_4的值。解：由递推关系c_n+1=2c_n，可得c_2=2×1=2，c_3=2×2=4，c_4=2×4=8。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，求该数列的公比q。解：由等比数列性质d_4=d_2q^2，代入d_2=6，d_4=54得54=6q^2，解得q=±3。5.若数列{e_n}的前n项和T_n=n(n+1)/2，求e_5的值。解：由T_n=n(n+1)/2，得e_n=S_n-S_{n-1}=[n(n+1)/2]-[(n-1)n/2]=2n-1，当n=5时，e_5=2×5-1=9。6.在等差数列{f_n}中，若a_1=3，a_9=21，求该数列的公差d。解：由等差数列性质a_9=a_1+8d，代入a_1=3，a_9=21得21=3+8d，解得d=2。7.已知数列{g_n}的前n项和U_n=2^n-1，求g_3的值。解：由U_n=2^n-1，得g_n=S_n-S_{n-1}=[2^n-1]-[2^{n-1}-1]=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，当n=3时，g_3=2^2=4。8.在等比数列{i_n}中，若i_1=2，i_5=32，求该数列的前6项和S_6。解：由等比数列性质i_5=i_1q^4，代入i_1=2，i_5=32得32=2q^4，解得q=±2，当q=2时，S_6=2×(2^6-1)/(2-1)=126；当q=-2时，S_6=2×[1-(-2)^6]/[1-(-2)]=-126。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂计划每年比上一年增产设备10台，已知第一年生产设备50台，求该工厂第5年的产量。解：由等差数列性质a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=50，d=10，n=5得a_5=50+(5-1)×10=90。2.某城市人口每年增长5%，已知2020年人口为100万，求2025年的人口数量。解：由等比数列性质a_n=a_1q^{n-1}，代入a_1=100，q=1.05，n=5得a_5=100×1.05^4≈127.63（万）。3.某人存款计划每年比上一年多存100元，已知第一年存500元，求该人第4年的存款总额。解：由等差数列性质a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=500，d=100，n=4得a_4=500+(4-1)×100=800，故第4年存款总额为500+600+700+800=2600元。4.某产品价格每年下降10%，已知2020年价格为100元，求2024年的价格。解：由等比数列性质a_n=a_1q^{n-1}，代入a_1=100，q=0.9，n=4得a_4=100×0.9^3≈72.9（元）。5.某林场计划每年比上一年多植树2000棵，已知第一年植树5000棵，求该林场第6年的植树数量。解：由等差数列性质a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=5000，d=2000，n=6得a_6=5000+(6-1)×2000=15000。6.某公司员工工资每年上涨8%，已知2020年工资为8000元，求2023年的工资。解：由等比数列性质a_n=a_1q^{n-1}，代入a_1=8000，q=1.08，n=3得a_3=8000×1.08^2≈9331.2（元）。7.某城市道路每年新建等差数段，已知第一年新建道路3公里，第二年新建道路5公里，求第5年新建道路的长度。解：由等差数列性质a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，d=5-3=2，n=5得a_5=3+(5-1)×2=11。8.某农场计划每年比上一年多养殖鸡群20%，已知第一年养殖鸡群1000只，求第4年的养殖数量。解：由等比数列性质a_n=a_1q^{n-1}，代入a_1=1000，q=1.2，n=4得a_4=1000×1.2^3≈1728（只）。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.A3.C4.A5.C6.C7.C8.A9.A10.C二、填空题1.292.63.±24.165.26.197.30或-308.339.210.16三、判断题1.√2.√3.√4.√5.√6.√7.×8.×9.√10.√四、简答题1.a_n=4n-12.S_10=2753.c_4=84.q=±35.e_5=96.d=27.g_3=48.S_6=126或-126五、应用题1.a_5=902.a_5≈127.63（万）3.第4年存款总额2600元4.a_4≈72.9（元）5.a_6=150006.a_3≈9331.2（元）7.a_5=118.a_4≈1728（只）【解析】一、单项选择题1.由等差数列性质a_n=a_1+(n-1)d，代入a_3+a_7=2a_5=12，a_5=4得a_1=-6，d=2，故a_n=-6+(n-1)×2=2n-8，选项B正确。2.由递推关系b_n+1=b_n+2n，可得b_2=b_1+2×1=3，b_3=b_2+2×2=7，b_4=b_3+2×3=13，b_5=b_4+2×4=21，b_6=b_5+2×5=31，选项无正确答案，需修正题目或选项。3.由数列前n项和公式S_n=3n^2-2n，得c_n=S_n-S_{n-1}=[3n^2-2n]-[3(n-1)^2-2(n-1)]=6n-5，当n=4时，c_4=6×4-5=19，选项无正确答案，需修正题目或选项。4.由等比数列性质d_4=d_2q^2，代入d_2=6，d_4=54得54=6q^2，解得q=±3，选项A正确。5.由数列前n项和公式U_n=2^n-1，得h_n=U_n-U_{n-1}=[2^n-1]-[2^{n-1}-1]=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，当n=4时，h_4=2^3=8，选项A正确。6.由数列前n项和公式T_n=3n^2-2n，得e_n=S_n-S_{n-1}=[3n^2-2n]-[3(n-1)^2-2(n-1)]=6n-5，当n=4时，e_4=6×4-5=19，选项A正确。7.由等比数列性质g_3=g_1q^2，代入g_1=1，g_3=8得8=1×q^2，解得q=±2，当q=2时，S_4=1×(2^4-1)/(2-1)=15；当q=-2时，S_4=1×[1-(-2)^4]/[1-(-2)]=-15，选项无正确答案，需修正题目或选项。8.由递推关系j_n+1=j_n+2n，可得j_2=j_1+2×1=3，j_3=j_2+2×2=7，j_4=j_3+2×3=13，j_5=j_4+2×4=21，j_6=j_5+2×5=31，选项无正确答案，需修正题目或选项。9.由等差数列性质a_5=a_1+4d，代入a_1=1，a_5=9得9=1+4d，解得d=2，选项A正确。10.由数列前n项和公式U_n=2^n-1，得j_n=U_n-U_{n-1}=[2^n-1]-[2^{n-1}-1]=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，当n=5时，j_5=2^4=16，选项D正确。二、填空题1.由等差数列性质a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=2，d=3得a_n=2+(n-1)×3=2+3n-3=3n-1，当n=10时，a_10=3×10-1=29。2.由数列前n项和公式S_n=n^2+n，得b_n=S_n-S_{n-1}=[n^2+n]-[(n-1)^2+(n-1)]=2n，当n=3时，b_3=2×3=6。3.由等比数列性质c_3=c_1q^2，代入c_1=1，c_3=8得8=1×q^2，解得q=±2。4.由递推关系d_n+1=2d_n，可得d_2=2×1=2，d_3=2×2=4，d_4=2×4=8，d_5=2×8=16。5.由等差数列性质a_4=a_1+3d，代入a_1=5，a_4=11得11=5+3d，解得d=2。6.由数列前n项和公式T_n=3n^2-2n，得e_n=S_n-S_{n-1}=[3n^2-2n]-[3(n-1)^2-2(n-1)]=6n-5，当n=4时，e_4=6×4-5=19。7.由等比数列性质g_3=g_1q^2，代入g_1=2，g_3=8得8=2q^2，解得q=±2，当q=2时，S_4=2×(2^4-1)/(2-1)=30；当q=-2时，S_4=2×[1-(-2)^4]/[1-(-2)]=-30。8.由递推关系h_n+1=h_n+2n，可得h_2=h_1+2×1=3，h_3=h_2+2×2=7，h_4=h_3+2×3=13，h_5=h_4+2×4=21，h_6=h_5+2×5=33。9.由等差数列性质a_5=a_1+4d，代入a_1=1，a_5=9得9=1+4d，解得d=2。10.由数列前n项和公式U_n=2^n-1，得j_n=U_n-U_{n-1}=[2^n-1]-[2^{n-1}-1]=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，当n=5时，j_5=2^4=16。三、判断题1.由S_n=n^2+n，得a_n=S_n-S_{n-1}=[n^2+n]-[(n-1)^2+(n-1)]=2n，故数列是等差数列。2.由等比数列性质b_3=b_1q^2，代入b_1=1，b_3=8得8=1×q^2，解得q=±2。3.由递推关系c_n+1=c_n+2，可得c_n+1-c_n=2，故数列是等差数列，公差为2。4.由等差数列性质d_1+d_9=2d_5，代入d_1+d_9=20得2d_5=20，即d_5=10，又d_5+d_7=2d_6，由等差数列性质d_6=(d_5+d_7)/2，所以d_5+d_7=2d_6=2×10=20。5.由T_n=2^n-1，得e_n=U_n-U_{n-1}=[2^n-1]-[2^{n-1}-1]=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，故数列是等比数列，公比为2。6.由等比数列性质f_4=f_2q^2，代入f_2=6，f_4=54得54=6q^2，解得q=±3。7.由递推关系g_n+1=g_n+1，可得g_n+1-g_n=1，故数列是等差数列，公差为1。8.由等差数列性质h_1+h_8=2h_4+2h_6=20，即h_4+h_6=10，选项错误，需修正题目或选项。9.由U_n=3n^2-2n，得i_n=S_n-S_{n-1}=[3n^2-2n]-[3(n-1)^2-2(n-1)]=6n-5。10.由等比数列性质j_5=j_1q^4，代入j_1=2，j_5=32得32=2q^4，解得q=±2。四、简答题1.当n=1时，a_1=S_1=2×1^2+1=3；当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=[2n^2+n]-[2(n-1)^2+(n-1)]=4n-1，故a_n=4n-1。2.由等差数列性质a_5=a_1+4d，代入a_1=5，a_5=15得15=5+4d，解得d=2.5，故S_10=10×5+(10×9/2)×2.5=275。3.由递推关系c_n+1=2c_n，可得c