成考数学(文科)成人高考(高起专)试题与参考答案

成人高考成考数学（文科）（高起专）自测试题与参考答

案

一、单选题（本大题有12小题，每小题7分，共84分）

1、下列函数中，定义域为全体实数的函数是（）

A.y=x3-1

C.y=logX^-2）

D.y=yfx

答案：D

解析:选项A的定义域为N-/20,即xW-1或±选项B的定义域为

0,即x¥/；选项C的定义域为x-2>0,即x>2,只有选项D的定义域为全体实数。

2、下列各数中，既是整数又是无理数的是（）

A.

B.V5

C.0.1010010001-

D.Ji

答案：B

解析：选项A,居于3,是整数但不是无理数；选项B,、力是无理数且不是整数;

选项C,0.1010010001…是一个无限循环小数，是有理数；选项D,万是无理数但不是

整数。因此，选项B既是整数乂是无理数。

3、在下列各数中，有最小正整数解的方程是：

A.x2-2x=0

B.x2+3x+2=0

C.x2-x-6=0

D.x2+4x+4=0

答案：A

解析：对于每个选项，我们先尝试寻找它的解。

A.x2-2x=0

x(x-2)=0

解得x=0或x=2,其中x=0是负整数，x=2是正整数。

B.x2+3x+2=0

(x+1)(x+2)=0

解得x=-1或x=-2,均不是正整数。

C.x2-x-6=0

(x-3)(x+2)=0

解得x=3或x=-2,其中x=3是正整数，x=-2不是正整数。

D.x2+4x+4=0

(x+2尸=0

解得x=-2,不是正整数。

所以，有最小正整数解的方程是A选项中的方程。

4、己知函数=若/(x)的图像关于点(/,0对称，则穴为二

A.4

B.8

C.12

D.16

答案：A

解析：因为函数ax)的图像关于点(/，幻对称，所以有&7)=2将>=/代入”X)

得/(7)=I3-6X”+9X/=4,因此/(7)=2,1(2)=4。

由于图像对称，乂》的值应该等于4/)的值，即49=«/)=4。所以正确答案是

A.4o

5^已知函数f[x)=2X3-3X2+4,求/(*)。

A.6X2-6x

B.6X2-6x+4

C.6/-3x

D.6/-3x+4

答案：A

解析：根据导数的定义和运算法则，对/")=为?-3/+4求导得：

ff(x)=(2x)+(7)'=6d-61+0=6$-6x

所以正确答案是A.6d-6x。

6^若函数/。)=a/+/»+c(a#。的图象开口向上，且顶点坐标为(/,0,则下

列哪个选项不正确？

A.a>0

B.b=-2a

答案：A

解析：

首先，我们需要求出函数的导数（尸（x））：

[f1（A）=6X2-6x\

然后，令导数等于零，解出（X）：

[6A2-6X-0][6X（X-7）=O][x=0或x=/]

接下来，我们需要确定这些点是极大值点还是极小值点。为此，我们可以使用二阶

导数检验法或者观察导数的符号变化。

使用二阶导数检验法，我们求出（f"（x））：

（X）=12x-6\

将（x=。和（x=7）分别代入（尸W）：

[r{0}=12-0-6=-@（小于零，说明（x=0是极大值点）/'（/）=/,1-6=

司

（大于零，说明（才二/）是极小值点）

因此，函数的极大值点为（x=。，极小值点为（x=0,选项A正确。

9、在下列函数中，f（x）=x'3-3x-2+4x在x=1处的导数f'（1）等于：

A.-2

B.1

C.4

D.0

答案：D

解析：根据导数的定义，f'(x)=lim(h-*O)[(f(x+h)-f(x))/h]代入f(x)=

x'3-3x2+4x,计算f'(1)：

f,(1)=lim(h->O)[(1+h厂3-3(1+h)^2+4(l+h)-(「3-3-2+41)]/h

=lim(h->O)[l+3h+3h2+h3-3-6h-3h2+4+4h-(l-3+4)]

=1im(h-*O)[2h+h3_

=2,因为当h-0时，h.3-0。

所以f'(1)=0,正确答案是D。

10、在下列函数中，函数(y=卷)的图像在下列哪个象限中？

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

答案：A

解析：首先，观察函数(了=亮)，这是一个有理函数。我们需要分析函数在各个象

限的值。

•当(x>0时，*+/〉/),所以(书>〃)。这说明当(>>0时，函数值为正。

•当(x<-/)时，&+“无所以仁》0)。这说明当。〈一力时，函数值同样为正。

•当时，(x+/〉。，但由于(x)是负数，所以(总<。)。这说明当(-八

时，函数值为负C

综卜所述,函数G=2)在第一象限和第二象限有F值，在第二象限和第四象限有

负值。但由于函数在(*=。处连续，并且在(X=0时，函数值为0,所以函数图像不会

穿过X轴，只在第一象限有正值。因此，正确答案是A,函数的图像位于第一象限。

11、已知函数/&)=/-3x+5,则函数的对称中心为()

A.(-J,2)

B.(/,2)

C.(0,2)

D.(0,5)

答案：B

解析•：要找函数的对称中心，首先需要求出函数的导数。求导得/(乃=3/-3。

令尸(x)=。，解得x=±/。将*=土/代入原函数中，得到对应的y值。当*=/时，

/(/)=I3-3*1+5=3.当时，式-/)=(-/尸-3*(-7)+5=7.因此，函数

的两个临界点为(/,0和(-1,4。由于函数是奇函数，其对称中心位于两个临界点的中

点，即((1-7)/2,(3+7)/0=(0,5)。因此，函数的对称中心为(“£,选项B正确。

12、已知函数(x)=」3-3x+2,其图象的对称轴为：

X-1

B.x二一/

C.y=7

D.y=-1

答案：A

解析：对于二次函数心)=/+"+c,其图象的对称轴为丫=-怖。将心)=声-

3x+2代入公式，得到对称轴>=-0=/。因此，正确答案为A。

二、计算题（本大题有3小题，每小题7分，共21分）

第一题：

计算题：已知函数（X）=2/-34+人求证：对于任意实数X,都有/我）＞人

答案：

证明：

首先，将不等式（X）＞x转化为：

2/-3x+1〉x

整理得：

2X2-4x+l＞0

将上式分解因式，得；

（2x-Iy）0

由于平方数总是非负的，且只有当然一/=0时，平方数（2/-/）2才等于0。但这个

解不满足原不等式，因为当＞时，有穴丫）二心

因此，对于任意实数筋（然-力2总是大于0,所以总是成立。

综上所述，对于任意实数羽都有«x）＞x。

解析：

本题考查了二次函数的性质以及不等式的解法。首先将不等式转化为二次不等式，

然后通过因式分解，得到一个平方数大于0的结论，从而证明了原不等式对于任意实数

X都成立。

第二题：

已知函数（/&）=3/-以+»在区间（［/,司）上连续，求函数（/（x））在该区间上的最

大值和最小值。

答案：

最大值：（/（1）=0

最小值：（/（劣二力

解析：

首先，函数（4*）=3，-公+3是一个二次函数，其开口向上，因此顶点是该函数

的最小值点。二次函数的顶点公式为（*=-怖），其中（a）和g）是二次项和一次项的系数。

对于函数（/（分=3/-〃+3,有（a=9和（6=-4，所以顶点的&）坐标为：

-442一

--

一

2363一

一

由于不在区间（［/,,刃）内，我们需要检查区间端点处的函数值。

计算（«/））和（«3）：

比较（«/））和（H3）,我们发现（4为:2功是区间（［［,3］）上的最大值。

因此，函数（«x））在区间（［1,3］）上的最大值为20,最小值出现在顶点（才二。处，但

我们需要检查该点的函数值是否在给定区间内。由于《今不在区间（［1,司）内，我们只需

考虑端点值。

再次计算（4药）：

［f{2}=/32-4（2）+5=12-8+5=同

因此，函数（中））在区间（［/，3）上的最小值为9。但注意到我们在计算（《$）时得

到的是20,这比（/（©）的9更大，所以实际上（/（3）是区间（"3］）上的最小值。

最终答案是：

最大值：（六为二2。

最小值：M3=2。

注意：这里存在一个错误，因为最大值和最小值小应相同。止确的最小值应为(人为二

玲。因此，正确的答案应为：

最大值：g=20)

最小值：(«幻=9

第三题：

计算题：已知函数«x)=2/-3/+4求证：4X)在区间［-/,/］上是单调递增的。

答案：

证明：

1.求导数：f'(x)=6/-6x。

2.判断导数的符号：当仍时，f(x)=6x(>-/)W0；当［0,/］时，

f(A)=6x(x-7)20。

3.由于F(x)20,所以函数/*)在区间［-/,/］上是单调递增的。

解析：

本题主要考查函数的单调性，通过求导数判断导数的符号，从而得出函数的单调性。

首先求出函数的导数，然后根据导数的符号判断函数的单调性。在木题中，导数尸(x)

在区间/］上非负，说明函数/期)在该区间上是单调递增的。

三、解答题(本大题有3小题，每小题15分，共45分)

第一题：

某市为改善市民出行条件，计划投资建设一条公交线路。根据调查，该线路若采用

普通车辆，每辆车的运营成本为每天2000元，而采用新能源车辆，每辆车的运营成本

为每天1500元。同时，新能源.乍辆的使用寿命比普通车辆长，预计每辆新能源车辆可

以节省维修和更换费用5000兀。

（1）设普通车辆的使用寿命为x年，新能源车辆的使用寿命为y年，根据题意，

写出普通车辆和新能源车辆的总成本（包括购买成本和运营成本）与使用寿命之间的函

数关系式。

（2）若该市计划购买车辆总数为N辆，且总成本控制在800万元以内，请写出满

足条件的车辆组合（N辆新能源车辆和M辆普通车辆）的数学模型，并求出M和N的取

值范围。

（3）为了使总成本最低，该市应如何选择车辆组合？请根据成本函数和取值范围,

给出具体的建议。

答案：

（1）普通车辆的总成本函数：C1=2000*365*x+5000

新能源车辆的总成本函数：C2=1500*365*y

（2）设购买Y辆普通车辆和N辆新能源车辆，则满足条件的数学模型为：

Cl*M+C2*N<8000000

N+MW8000000/1500

N+MW5333.33

因为M和N均为整数，所以取值范围为：

0WMW5333

0WNW5333

（3）为了使总成本最低，我们需要比较普通车辆和新能源车辆的单位成本。普通

车辆的单位成本为：

C1单位=2000*365/x

新能源车辆的单位成本为:

C2单位=1500*365/y

因为新能源车辆的使用寿命比普通车辆长，所以x<y,因此Cl单位>C2单位。

为了使总成本最低，应该尽量多购买新能源车辆。但由于总成本受限于800万元,

我们需要在满足成本限制的条件下，找到最优的车辆组合c

我们可以通过比较以下两种情况的总成木来确定最优组合：

•情况1：全部购买新能源车辆，即M=0,N=5333。

•情况2：全部购买普通车辆，即M=5333,N=0o

计算这两种情况的总成本：

情况1的总成本=C2*N=1500*365*5333

情况2的总成本=Cl*M=2000*365*5333

比较两种情况的总成本，选择成本较低的情况作为最优组合。

解析：

（1）根据题意，我们得到了普通车辆和新能源车辆的总成本函数。

（2）通过建立数学模型，我们确定了M和、的取值范围，即在800万元总成本内,

可以购买的车辆总数。

（3）通过比较单位成本，我们确定了为了使总成本最低，应尽量多购买新能源车

辆。通过计算两种情况的总成本，我们找到了最优的车辆组合。

第二题

题目描述

已知函数（/（x）=/-4x+3）。设（/l（a,久旬））和（周6,4份））是该函数图像上的两个

不同点,其中（a<b）,

1.如果线段(力切的斜率为(勿二劣，求(a)和(份的值。

2.在满足第1问的条件下，计算由直线。仪、(x)轴以及(y)轴所围成图形的面积。

答案与解析

第一部分：求解(a)和(份

对于给定的二次函数(/(月=/-〃+3),我们知道它的导数(F(x)=2x-0给出

了在任何点W处切线的斜率。但是，这里我们需要找到两点(冷和(用之间割线(即线段

(A3))的斜率，而不是切线的斜率。

根据题目条件，线段(力切的斜率(/〃=受警=2)。将(/«)的表达式代入得到：

(Zr-+3)-(a2-4a+3),

m-------------------------二2

b-a

化简上述等式：

-a2-4b+4a

-------b;-----a---------2

由于/=(力+a)(*a)),我们可以进一步简化为：

[(Z>+a)-4=2\

因此，

[/?+a=句

又因为(a<3,且(a)和的)应当是原方程的根，我们可以通过解方程组来找到(a)

和(方)的具体值。但注意到，这个问题实际上是一个关于(a)和(勿的线性方程，结合(a<勿

的条件，最简单的方法是直接通过尝试或逻辑推断得出9)和(份的值。在这个情况下，

我们可以假设9)和(6)是(6)=。的解，即(/-〃+3=0)的解。解这个方程可以得到

(x=/)或。=学。所以(&=7),(/?=.5)o

第二部分：计算图形的面积

现在我们已经知道了缶=，）和（，厂为，可以计算由直线（/仍）、（X）轴以及（刃轴所围

成图形的面积。线段（/出）的方程可以通过点斜式方程力二威》-肛））来求得，其中

（m=0,选取点（力迷,。）（因为（/（/）=。）,所以线段（月为的方程为:

[y=仄x-/）]

或者

卜=然-0

为了求出所围图形的面积，我们需要考虑的是从