高考数学总复习《双曲线》专项测试卷附答案

高考数学总复习《双曲线》专项测试卷附答案

学校:进级：姓名：考号：

一、单项选择题

已知双曲线的渐近线方程为），=上乎文，实轴长为4,则该双曲线的标准方程为（）

1.

A.4-2=,

4-^=1®4X*

B.-8=

C.♦

工一1

D.4-2=,®48一1

2.已知双曲线宗一卓=1（。＞0,〃＞0）的右焦点为"2,0）,渐近线方程为小吗=0,则该双曲线的实轴

长为（)

A.2B.1

C.小D.2小

3.设双曲线C、一品

=1（。＞0）的左、右焦点分别为Fi,7-2,若。为C右支上的一点，且

则ian/PP2"i=()

47

A--

*3B.4

C.2D./

22

4.（2024.广东惠州调研）。心2”是“方程表示双曲线”的（）

A.必要不充分条件

B.充分不必要条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

5.（2024•河南洛阳联考）设尸B分别为双曲线，一根=1的左、右焦点，过人引圆F+），2=9的切线

F/交双曲线的右支于点P,7为切点，M为线段HP的中点，。为坐标原点，则|MO|—|M7]=（）

A.4B.3

C.2D.1

6.（2024.湖南岳阳模拟）设双曲线C：，一方=1（g），心0）的右焦点为％。为坐标原点，若双曲线及

其渐近线上各存在一点Q,P,使得四边形OPFQ为矩形，则其离心率为（）

第1页共12页

A.于

C.y/5D.^6

、2

7.（2024.河北唐山模拟）已知〃为双曲线C：也一方=1（〃>0,比>0）的右焦点，A为双曲线C上一点，直

线AFLr轴，与双曲线C的一条渐近线交于8,若|人用=|"1,则。的离心率e=（）

2S

A•续B.

3

C.D.2

22

8.（2024・湖南长沙明德中学月考）已知双曲线兴一£=1（〃>0,入0）的左、右焦点分别为Q,3,M为双

曲线上一点，若cos/居MF2=±=则此双曲线的渐近线方程为（）

A.y=±\[3x

C.y=±xD.y=±2x

9.（2024.山东潍坊模拟）如图，某建筑物白色的波浪形屋顶像翅膀一样漂浮，建筑师通过双曲线的设计

元素赋予了这座建筑以轻盈、极简和雕塑般的气质，该建筑物外形弧线的一段可以近似看成焦点在），轴上

27

的双曲线5一存=13>0,〃>0）上支的一部分.已知该双曲线的上焦点尸到F顶点的距离为36,尸到渐近线

的距离为12,则该双曲线的离心率为（）

5

3-•4

44

-D-

3•5

二、多项选择题

2

10.（2024.河北唐山模拟）已知&为双曲线C:f-?=l的两个焦点，P为双曲线C上任意一点,

则（）

第2页共12页

A.|PFI|-|PF2|=2小

B.双曲线C的渐近线方程为〉，=廿¥、

C.双曲线C的离心率为孑

D.|P?1+P?2|>2小

II.双曲线C：^-^=K«>0,心0）的焦点在圆。：『+尸=13上，圆。与双曲线C的渐近线在第一、

二象限分别交于点M,N,点£（0,㈤满足劭+由+函=0（其中O为坐标原点），则下列结论正确的是（）

A.双曲线C的一条渐近线方程为3L2），=0

B.双曲线C的离心率为孝

C.|两=1

D.△OMN的面积为6

三、填空题与解答题

92

12.（2024.河北模拟）已知双曲线C:宗一%=13>0,比>0）的左、右焦点分别是R,Fi,实轴长为4,过

B的直线与双曲线。的右支交于A,B两点，若|4B|是|AFi|和用后|的等差中项，则△AER的周长为.

13.（2024.河北六校联考）已知Q,&分别为双曲线C：，一方=1（40,力>0）的左、右焦点，且|居乃|=堂

。为双曲线C右支上一点，/为的内心，若S5“=S△如a+成立，则双曲线的离心率为

2的值为________

14.（2024.河北邢台六校联考）双曲线C:「一方

=1（30,方>0）的左顶点为人，右焦点为尸，动点8在。

上.当3?_LA尸时，质网=出几

（1）求。的离心率；

（2）若8在第一象限，证明：4BFA=2/BAF.

高分推荐题

15.（2024.河南开封模拟）3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末

状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术.如图所示的塔筒为3D打印的双曲线

第3页共12页

型塔筒，该塔筒是由离心率为小的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的.已知该塔筒（数据

均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为6cm,下底直径为9cm,高为9cm,则喉部（最细处）的直径为

cm.

一、单项选择题

I.已知双曲线的渐近线方程为5=±芈J实轴长为4,则该双曲线的标准方程为（）

D・J-f=l端一±1

,＞2

解析：设双曲线方程为力;一^=1（〃#0）,

V2fl=4,A«2=4,

当亦＞0时,2Ml=4,机=2;

当加＜0时，一,“=4,m=—4.

故所求双曲线的标准方程为卜%1或%?=L

答案：D

2.已知双曲线宏一营=1（。＞0,〃＞0）的右焦点为FQ,0）,渐近线方程为小.av=0,则该双曲线的实轴

长为（）

A.2B.1

C.V5D.2V5

解析：由题意知，渐近线方程为则5=小，又焦点为尸（2,0）,即c=2,所以廿=42+〃=4々2

=4,则。2=1,即。=1或一1（舍去），所以实轴K为2a=2.故选A.

答案：A

?2

3.设双曲线C：，一太=1（介0）的左、右焦点分别为a,出,若P为C右支上的一点，且PFJPF2,

则lanZPF2F1=()

第4页共12页

42

A-

•34

C2B.1-2

•D.5

解析：易知/=25〃，则c=5。,内尸2|=2c=10a因为P为C右支上的一点,所以|P尸i|一|P尸21=2。因

为PFJPB,所以|PQF+|PB|2=ia尸2『，则(|PBI+2a)2+|PB|2=100/,解得|PB|=6a(负值舍去)，所以伊川

=&/,所以(311/尸尸2尸1=)£|=而=?故选A.

答案：A

22

4.(2024.广东惠州调研)“心2”是“方程产+—57=1表示双曲线”的()

A.必要不充分条件

B,充分不必要条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：因为方程4一+一匚=1表示双曲线，所以(2-〃?)(勿+1)＜0,解得小＜一1或，心2,即机£(-8,

2—m〃[+1

-1)U(2,+8).

y2

因为(2,+8)是(-8,-1)U(2,+8)的真子集，所以“加＞2”是“方程不£一+—%=1表示双曲线〃的充

2—m/n+1

分不必要条件.故选B.

答案：B

92

5.(2024.河南洛阳联考)设长，约分别为双曲线与一代=1的左、右焦点，过Q引圆/+产=9的切线

尸田交双曲线的右支于点匕了为切点，M为线段QP的中点，。为坐标原点，则|"0]一|加7]=()

A.4B.3

C.2D.1

解析:连接，尸2,OT9则有|MO|=步尸2|=如川一2a)=如司-6)=11pBi-3,IM71■朋ITF山=：

|「川一#2一届=界四一4,于是有|MO|-|M7]=&PQ]-3)一@叩|-4)=1.故选D.

答案：D

第5页共12页

72

6.（2024.湖南岳阳模拟）设双曲线C:^-p=l（«>0,/>0）的右焦点为F,。为坐标原点，若双曲线及

其渐近线上各存在一点。，P,使得四边形。尸尸。为矩形，则其离心率为（）

A.小

C.小D.北

解析：双曲线的渐近线方程为尸备

・•・直线OP的方程为）=3.

直线。。的方程为>=一齐,

则Q/7的方程为尸，-c）.

b

.\解得染，-电

联立

厂十，

•・•。在双曲线上，，1,:.(T=3cr,

.故选A.

答案：A

_22

7.（2024.河北唐山模拟）已知尸为双曲线C：£一£=13>0,比>0）的右焦点，A为双曲线C上一点，直

线A/Lr轴，与双曲线C的一条渐近线交于凡若|AB|=|AQ,则C的离心率e=（）

A1^152.j3

/>•]SD♦3

C.-D.2

解析：由题意得F（c,0）,双曲线C的渐近线方程为丁=卷，由双曲线的对称性，不妨设A,8均为第一

d序82behe

象限的点，当x=c时，^2-^=1,得'=±7，所以■/]=£,当x=e时，y=—,所以逐/]="，因为依用

=IAF|,所以|8F|=2|AQ,所以与=手，得。=2九所以〃=yjr-b2=小仇所以双曲线。的离心率为e

第6页共12页

c2b2小，…「

=；=-----=寸~.故选B.

y[3b

答案：B

22

8.（2024.湖南长沙明德中学月考）已知双曲线，一%=1（*0,/»0）的左、右焦点分别为人，B,M为双

曲线上一点，若COSNRMF2=（，|MQI=2|MF2L则此双曲线的渐近线方程为（）

解析:由题意,得IMRI-IM同=2%又|MR|=2|MBL

.\IMFil=4a,\MF^=2a9

16/+4/—4c2i,,.

COSZFlMF2=-.x4ax%一=不化简得c~="厂,即如+Zr=4。厂,:.b-=3a-,

又必），/»0,・•[=/,・•・此双曲线的渐近线方程为,，=±71匕故选A.

答案：A

9.（2024.山东潍坊模拟）如图，某建筑物白色的波浪形屋顶像翅膀一样漂浮，建筑师通过双曲线的设计

元素赋予了这座建筑以轻盈、极简和雕塑般的气质，该建筑物外形弧线的一段可以近似看成焦点在丁轴上

的双曲线方一方=13>0,〃>0）上支的一部分.已知该双曲线的上焦点尸到下顶点的距离为36,尸到渐近线

的距离为12,则该双曲线的离心率为（）

55

--

3B.4

44

AC.-D-

3♦5

a|—bc\

解析：由题意知，点尸（0,4到渐近线丁=庐，即ax-by=0的距离]=忑春=〃=12.乂由题意知

〃+c=36,a=16,

2,解回纪_£_20_5

所以e=a=16=1

lc=20,

答案：B

二、多项选择题

10.（2024・河北唐山模拟）已知B为双曲线C：5一『=1的两个焦点，。为双曲线C上任意一点,

贝W)

第7页共12页

A.|PFI|-|PF2|=2小

B.双曲线C的渐近线方程为），=好坐%

C.双曲线C的离心率为孑

D.|万|+讨2立2小

2_____

解析：双曲线C：]•一『=1的焦点在）,轴上，a=®b=l,c="?+力2=2

对于A选项，||「向一『乃||=2〃=2小，而。点在哪支上并不确定，故A错误；

对于B选项，焦点在丁轴上的双曲线C的渐近线方程为>，=导=±小羽故B错误;

c?2s

对于C选项，6=；==母，故C正确；

对于D选项，设P（x,y）（xER）,

则|P0|=，？+），=d『+3F+3=<3+4是小（当且仅当x=0时取等号）,

因为。为尸历的中点，所以I花+成|=|2用|=2|瓦在2小，故D正确.

答案：CD

22

11.双曲线c：a一%=1（〃>0,A>0）的焦点在圆O：f+产=13上，圆。与双曲线C的渐近线在第一、

二象限分别交于点MN,点£（0,〃）满足初+属/+就=0（其中O为坐标原点），则下列结论正确的是（）

A.双曲线C的一条渐近线方程为3x-2y=0

B.双曲线C的离心率为「产

C.1511=1

D.△OMN的面积为6

解析：如图，双曲线C的焦距为2c=2仃，得。=仃，设MN与），轴交于点P,则由圆和渐近线

第8页共12页

"+/=|3,

fn_n

的时称性知2是MN的中点.设点“(四〃)，加>0,〃>0,则由<£=加

"=g,

可得m=a,〃=/?.故M(a,/?),N(—a,b),则P(0,h).

由题意可知|OM=c=31

由劭+品+前=0,

知点£为的重心，

2

可得|。月=§|。%

2b2(r—(r9

即a=F，7=~^=4»

所以〃=2,b=3,e=-^,M(2,3),N(-2,3),P(0,3).

所以双曲线C的渐近线方程为3x±2y=0,I时=2,M的坐标为(2,3),S,N=?(2+2)X3=6.

答案:ABD

三、填空题与解答题

22

12.(2024・河北模拟)已知双曲线C：也一£=1(〃>0,/»0)的左、右焦点分别是Q,F2f实轴长为4,过

B的直线与双曲线。的右支交于A,8两点，若|A用是|AQ|和的等差中项，则△A8Q的周长为.

解析：由M阴是HRI和|8人|的等差中项得|AQ|+18Al=2依8],根据双曲线的定义知HQ|一|AF2l=2a,|3Q|

一国同=2%两式相加得|AQ|+山川一|A8|=4a,即|AQ|+|8Q|=8a,\AB\=4at故△A8Q的周长为\2at

因为2a=4,所以△ABB的周长为24.

答案:24

13.(2024.河北六校联考)已知g分别为双曲线C:，一方=[3>()">0)的左、右焦点，且|R&|=平，

P为双曲线C右支上一点，/为的内心，若5々S=5&%+25町尸2成立，则双曲线的离心率为

%的值为.

解析:由3分别为双曲线。扇一方=1(。>0冷。)的左、右焦点,且尸画=条可得2c=*2,二2一

第9页共12页

、1+小

化筒得，e=—产.设△。尸尸2的内切圆半径为r,由双曲线的定义，得//引一俨&|

=2a,|FE|=2c,=肯尸57「々=/尸2卜r,5A/F(F2=j2cr=cr,由Sag=5公监+祝小，得,尸居卜「

I尸川-FBIa

3,故2=

^5+1小一1

答案:2-2-

14.(2024•河北邢台六校联考)双曲线C：=1(«>0,於0)的左顶点为A,右焦点为F,动点8在C

上.当8/_LA/时，\AF]=\BF].

(1)求C的高心率；

(2)若8在第一象限，证明：乙BFA=2乙BAF.

(1)解：设双曲线的半焦距为7

则F(c,0),B(C,用，

因为|4Q=|8Q,故+a+c,

故d-ac-2a2=0,即/-6-2=0,

又e>0,故e=2.

(2)证明:设8(X0,Vo),其中用>〃，yo>O.

因为e=2,故。=为，b=包,

故双曲线的渐近线方程为)=±小x,

所以NBA尸W(0,NB用£(0,y).

当时，由题意易得

此时/BR1=2NB4F