高考数学全程复习 复数

复数

⑤基础巩固

【教材回扣】

1.复数的定义及分类

(I)复数的定义:

形如〃+历5,b£R)的数叫做复数,其中实部是,虚部是

6=0)，

(2)更数z=a+加(a=0),

虚数3#0)

(aHO).

2.复数的有关概念

(1)复数相等:q+Z)i=c+di今.伍，b,c,d£R)

(2)共扼复数:a+6i与c+di共规妗>(a,b,c,d£R)

(3)复数的模:向量OZ的模叫做复数z=a+勿的模，记作团或|〃+方|,即团=|。+历|=〃

(尸20,b£R).

3.复数的几何意义

及数N=〃+历与复:平面内的点及平面向量OZ=(mb)(a,〃£R)是一一对应

关系.

4.复数的运算

(1)(〃+/)土(c+di)=G3

(2)(。+历)《+4)=血.

⑶器

(4)©i4n=(13,14"+2=同,j4〃+3=正

②(1+评=国,(1—i)2=0

=回

(l+i)(l—i)=0

=园

b+ai

⑤1的立方根“7+多口+串的性质.

有炉=],y3=],"=8，82=削

【题组练透】

题组一判断正误(正确的打“J”，错误的打“X”)

1.复数z=q+〃i(m6£R)中,虚部为玩0

2.复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小，如4+3i>3+3i,3+4i>3+3i等.()

3.原点是实轴与虚轴的交点.()

4.复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量

的模.()

题组二教材改编

1.复数工的共弱复数是0

1-2

A.i+2B.i—2C.-2—iD.2—i

2.当力<1时，复数〃K3+i)—(2+i)在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

3.已知复数z与(z+2)2—8i都是纯虚数，则2=.

题组三易错自纠

1.复数4上4-口31的虚部是0

3—4i

A.-IB.IC.iD.-i

2.(多选题)已知复数z=-l+3i(i为虚数单位)，5为z的共挽复数，若复数”=］，

Z

则下列结论正确的是()

A.①在复平面内对应的点位于第二象限

B.|训=1

c①的实部为一:

D.⑦的虚部为也i

2

3.已知(l+2i)T=4+3i,贝ijz=.

堂⑦题型讲解

题型一复数的概念

［例1］⑴［2020•浙江卷］已知若。-1+(。-2H(i为虚数单位)是实数，则0=()

A.IB.-IC.2D.-2

(2)［2()20•全国卷川］复数1的虚部是()

1—3i

A.一’3B.-1C.1D.3

10101010

2

(3)(多选题)若复数z=,其中i为虚数单位，则下列结论不正确的是0

1+1

A.z的虚部为一i

B.|z|=2

C./为纯虚数

D.z的共枕或数为1i

［听课记录］

类题通法

解决复数概念问题的方法及注意事项

(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z=a+3i,(a,6WR),

则该复数的实部为。，虚部为6.

(2)求一个复数的共艇复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚邮变

为相反效，即得原复数的共4厄复数.复数zi=a+/)i与z：=c+di共辄Oa=c,b=—d{a,b,

c,d£R).

巩固训练i：(1)已知”为实数，若复数m+i)(i—2i)为纯虚数，则。等于()

A.-*B.2C?D.-2

22

(2)［2021•山东泰安质量检测］若更数(2—i)(〃+i)的实部与虚部互为相反数，则实数。=()

A.3B「C.」D.-3

33

(3)12020・江苏卷］已知i是虚数单位，则复数z=(l十i)—(2—i)的实部是.

题型二复数的运算高频考点

角度I复数的基本运算

[例2](1)若复数z满足(z-I)(i-l)=i,则/=()

、4+3i4-3i

A.—rBi.

22

_3+4i3—4i

22

(2)已知i为虚数单位,则Q+i)(3-4i)=()

2—i

A.5B.5i

3-2i

［听课记录］

类题通法

复数运算的技巧

(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的

共抚复数，注意要把i的卷写成最简形式.

(2)记住以下结论，可提高运算速度.

@(Hi)2=±2i:②l+】=i;

1—i

③।—i;④ai;

1+ii

⑤j4”=］,i4〃+l=i,i4,,+2=_1>i4,r+3=-i(“£N).

巩固训练2：(1)已知更数z满足(3+4i)z=l—2i,则z=()

A1.2.12.

A.—+1nB.——i

5555

5555

5—

(2)若=m+/?i,其中〃?，〃£R,则机一〃等于0

1+2i

A.14B.12C.-12D.-14

5555

(3)(2021东淄博模拟］若复数z满足2z+7=3—2i,其中i为虚数单位，则z=.

角度复数的综合运算

［例3］(1)［2020•全国卷I偌Z=i+i,则|/一2才=()

A.OB.IC.2D.2

；2021_

(2)若z=.，则z+z=________.

1—1

3+i——

(3)［2()21•衡水中学调研卷］已知复数z=(］二:；尸z是z的共辗复数，则z-z=.

［听课记录］

类题通法

复数的模与共聊复数的运算性质

(l)|zi-z2|=|zi|-k2|；(2)lz2l=；］；

(3)|z|=|z|:(4)z-z=|z|2.

巩固训练3：(l)［2O21•山东青岛教学质量检测］已知i为虚数单位，实数m〃满足(2—i)(〃

一切)=(一8一i)i,则ab的值为()

A.6B.-6C.5D.-5

(2)设z的共挽复数是z,若z+z=4,z.z=8,则z=()

Z

A.iR.-iC.±1D.士i

(3)(多选题)下列命题正确的是。

A.若复数z满足1£R,则z£R

z

B.若复数z满足Z2£R,则Z£R

C.若复数Zl，Z2满足Z1Z2ER,则Z［=Z2

D.若复数z£R,则z£R

题型三复数的几何意义

［例4］⑴在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2),则i-z=()

A.l+2iB.-2+i

C.l-2iD.-2-i

(2)［2021•山东济南模拟］设发数z=2i(其中i为虚数单位)，则复数z在复平面内对应的

1+i

点所在的象限为。

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

(3)设复数z满足条件z|=l,那么|z+22+i|的最大值是0

A.3B.23C.1+22D.4

［听课记录］

类题通法

1.确定复数对应点的位置的关键

把复数z化为代数形式，利用复数z、复平面上的点Z及向量亦相互联系，即z=a+8i(%

b£R)OZ(a,Z?)<=>5Z.

2.复数的模|Z|即复数对应的向量的模|西，回一Z2|表示复数Zi对应的点与复数Z2对应的

点之间的距离.

巩固训练4：(1)设z=-3+2i,则在复平面内W对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

⑵［2019•全国卷I］设复数z满足|z—i|=l,z在复平面内对应的点为(x,y),则0

A.(x+l)2+/=lB.(x-I)2+/=I

C.x2+0^-l)2=lD.x2+(y+l)2=l

(3)复数z满足|z—(l+i)|=1,则|z|的最小值是.

i考⑦命题预测

［预测1］核心素养一直观想象、数学运算

已知复数z=5"q£R,若复数z对应的点在复平面内位于第四象限，则实数

2+i1-i

4的取值范围是0

A.(1,+8)B.(一8,0)

C.(0,1)D.(一8,1)

［预测2］新题型——多选题

设复数z=-；+23i，则以下结论正确的是0

A.z2^0B.z2=z

C.z3=lD.z2020=z

第五节复数

课前基础巩固

［教材回扣］

ab实数纯虚数非纯虚数且力=而=。且b=-d\ja2+b2Z(a,b)(a±c)+(b±(l)\(ac—b(!)

+(6c+Mi山3匚吗i-1一⑵-2ii-⑵-i

/十屋

［题组练透］

题组一

1.X2.X3.J4.J

题组二

5二一5(2+。=一10—5i

1.解析:

i-2-(2-i)(2+i)-5

=-2-i,

共姬复数为-2+i,故选B.

答案：B

2.解析：w(3+i)-(2+i)=(3w-2)+(m-1)i

2

3

/.3/H—2>0,ni—l<0,

・••其对应的点在第四象限.

故选D.

答案：D

3.解析：设z=bi(b£R且bWO),

；.(z+2)2—8i=/i+2)2-8i

=(一〃+4)+(46—8)i.

•・・(z+2)2—8i为纯虚数，

・・・一〃+4=0且4/)一8二0,

A6=-2,：.z=-2i

答案:~2i

题组三

4+3i=(4+3i)(3+4i)=25i

1.解析:

3-4i(3—4i)(3+4i)25

故其虚部是1.

故选B.

答案：B

£=T-3i=」+3.

2.解析:

z-1+3i22

A中，（。在复平面内对应的点为位于第二象限，A正确;

(-2)+〔212=1,B正确;

B中,画=

C中，口的实部为一J,C正确;

2

口中,.虚部为;'D错误•

故选ABC.

答案：ABC

工解析:常晨;

・・・z=2+i.

答案：2+i

课堂题型讲解

题型一

例1解析：(1)因为。-1+(。一2万是实数，所以。-2=0,所以4=2.故选C.

T.

(2)利用复数除法法则得一^l+3il+3i所以虚部为比，选D.

i—3i(l-3i)(l+3i)10

(3)复数-=2(1-1)=i,所以z的虚部为一1,选项A错误；|z|=S，选项

1+i(14-i)(l-i)

B错误；z2=-2i,为纯虚数，选项C正确；I=l+i,选项D错误.故选ABD.

答案：(1)C(2)D(3)ABD

巩固训练1解析：(lXa+i)(l—2i)=〃+2+(l—24)i,

•・•复数是纯虚数，，"+2=()且I-2。工0,

得“=—2且〃片］，即〃=-2.故选D.

2

(2)(2—i)・(a+i)=(2a+l)+(2—4)i,因为该复数的实部与虚部互为相反数，所以(20+1)

+(2—0)=0,解得〃=—3,故选D.

(3)z=(l+i)(2—i)=3+i,所以实部是3.

答案：(1)D(2)D(3)3

题型二

例2解析：⑴由题意知z=」~+l

i—1

_2i-l

i-1

、-3-4i

r=---------

-2i

故选B.

(2+i)(3—4i)=10—5i=5(2—i)=

2-i2-i2-i

故选A.

M+3i)M+Si)

(3)原式=

闻(3-心i)®+/i)

答案：(l)B(2)A(3)—l+i

l-2i(l-2i)(3-4i)=一故选

巩固训练2解析：(1上=1-2］B.

3+4i-(3+4i)(3-4i)55

c、5—3i_(5—3i)(l-2i)_113.

(2)————i

l+2i(l+2i)(l-2i)55

.113

・・m=-5,n=—$,

i7

:.m—n=$,故选B.

(3)设z=a+6i,(a、b是实数)，则£=。一万，

V2z+z=3-2i,

2a+2bi+a—bi=3—2i,

・・・34=3,b=-2,

解得Q=1,b=-2

则z=1-2i.

答案：(l)B(2)B(3)l—2i

例3解析：(l)・.'z=l+i,

.\z2-2z=(H-i)2-2(l+i)=I+2i+i2-2-2i=-2,

.•・|z2—2z|=|-2|=2.故选D.

；202l；4X5O5+I:

(2)Z===

1—i|—i1—i

i(l+i)=7+i

"(l-i)(l+i)-2

/.z+z=­1.

I3+i|I3+i|=2=1

(3)方法一：V|z|=

Id-3i)2l|1-3i|242

3+i=_3i

方法二:+

—2(1+3i)44’

答案：⑴D⑵一间

巩固训练3解析：⑴由(2-i)(a-bi)=(-8-i)i,整理得(2。-6)—(a+26)i=l-8i,即

2a~b=l,

解得即a8=2X3=6,

4+2力=8,h=3,

故选A.

2a=4Q-2：

(2)设2=。+加(a,8£R),则，'解得，'当z=2+2i时，z=-i,

4+62=8,[b=±2.z

当N=2-2i时，z=i.故选D.

z

(3)对于A,由।£R,即：£R得z£R,£R,R.故A正确

ZzzI#

[或设l=a,则N=%R)

对于B,显然i2=-l,但iCR.故B错误；

对于C,若zi=l,Z2=2,则ZIZ2=2,满足zg£R,而它们的实部不相等，不是共舸

复数，故C错误；对于D,z£R,则WwR.故D正确.故选AD.

答案：(1)A(2)D(3)AD

题型三

例4解析：⑴由题意知，z=l+2i,所以iz=i(l+2i)=-2+i,故选B.

2i=2i(l-i)，

Q)z==1+

1+i(l+i)(l-i)

故复数z在平面内对应的点在第一象限，故选A.

(3)团=1表示单位圆上的点，那么|z+22+i|表示在单位圆上的点到(-22,-1)的距

离,求最大值转化为点(一22,-1)的距离，求最大值转化为点(一22,-1)到原点的距离

加上圆的半径，点(一22,-1)到原点的距离为3,所以最大值为4.

故选D.

答案：(1)B(2)A(3)D

巩固训练4解析：(l)・・・z=-3+2i,

・•・z=-3-2i

故W在复平面内对应的点的坐标是(-3,-2