初中数学60个几何模型专题复习：模型45最大张角

模型45最大张角

模型故事

1471年，德国数学家米勒向诺德尔教授提出了如下十分有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬

杆呈现最长?即在什么部位，视角最大?最大视角问题是数学史上100个著名的极值问题中第一个极值问题而引人

注目，因为德国数学家米勒曾提出这类问题，因此最大视角问题又称之为''米勒问题”.

模型展现

基轴模型

£

图示

DABN

点A,B是NMDN的边DN上的两个定点，点P是边DM上的动点,则当点P在何处时,NAPB最

特点

大

结论当仆ABP的外接圆与边DM相切于点P时.NAPB最大

结论分析

结论:当4ABP的外接圆与边DM相切于点P时2APB最大

证明:如图.作△ABP的外接圆。O,

设点P'是边DM上不同于点P的任意一点，连接PAPBPA与GO交于点C,连接BC,

•・•NACB>/APB（三角形外角的性质）,NAPB=NACB（圆周角定理），

・・・当4ABP的外接圆与边DM相切于点P时,NAPB最大.

I战模型

有“角最大,"'视野最好”等字眼时,考虑用最大张角模型

2.用模型

确定最大张角模型后，作三角形的外接圆。O,当。O与动点所在直线相切时，可得到角最大

思考延伸

解决最大张角问题时可以考虑结合相似三角形或者切割线定理进行求解.

模型典例

例（创新题型-真实情境类试题）如图是某学校的足球场，已知足球场的长AD为52m,宽AB为32m,球门的长

MG为4m，宽FG为1m,若小明同学在BC边的P处带球向左边推进，当射门角度（NMPG）最大时，小明距离A

B的长度为—m.（结果保留根号）

例题图

思路点拨

MG为定线段，小明看作BC边上的动点，射门角度最大，即NMPG最大，根据最大张角模型的结论确定点

P的位置，利用垂径定理和勾股定理求解即可.

针对训练

I.如图.四边形ABCD为菱形.AB=6,/A=60。，E为CD边上的中点,BC边上有一动点P.连接PE,PD,当/DPE

最大时点P到CD的距离为一.

2.如图在矩形ABCD中.AB=6,BC=8,点E为AD边上一点.当/BEC最大M，cos/BEC的值为

第2题图

3.某游乐园的平面图如图所示，场所保卫人员想在OD段上的点M处安装监控装置，用来监控OC边上的AB

段，为了让监控效果达到最佳，必须要求/AMB最大已知ZDOC=a）o,OA=400米,/W=200通米，问在线段OD

上是否存在一点M,使得NAMB最大,若存在，请求出此时OM的长和NAMB的度数，若不存在，请说明理由.

第3题图

模型45最大张角

模型典例

例1+6V7【解析】如解图，延长MG交BC于点G：延长GM交AD于点M：则MG=AB=32m,过M,G两点

作。0与BC相切于点P,则小明在点P时射门角度最大，•・•NMGP二NPG，G=9()o,NGPG=/GMP(弦切角定理)，

,2,1

MG'PVPG'G,二誓=器即GP=MG-GG，取MG中点H面题意得H亦为MG的中点.GG=HG-Hs=

r(juu

!(M'G'一MG)=14m,MGr=HGr+MH(M'G'+MG)=18m,即G'P2=18x14=252,解得G'P=6近，则.BP

例题解图

针对训练

1.苧【解析】如解图，过D,E两点作。。与BC相切于点P.则P点运动到P时/DPE最大，过点P作PH_L

CD于点H.则PH即为所求.;四边形ABCD为差形.I.CD=AB=6.ZDCB=60°.VE为CD的中点.CE=^CD=3

乙。CP'=4P'CE/CDP'=/CP'E(弦切角定理),••.△CDP's/XCPE,:.黑=祭，即CP,2=CD-CE,解得CP':3

V2,AP'H=CP'-sinzDCF=言.

第1题解图

2.2【解析】如解图，作BC的垂直平分线PQ交BC于点Q,交AD于点P,连接BKCP^ABPC的夕杼妾圆。O,

00与直线PQ交于另一点N,则PB二PC,圆心0在PN上.・・,四边形ABCD是矩形,，AD〃BC,.100与AD相切于

点P.•••PQ=AB=6,BQ=3BC=4,；.PQ>BQ,AZBPQ<45°,.\/BPC<90。,圆心0在弦BC的上方，设EC与。O交

于点M,连接MB.?.ZBPC=ZBMC>ZBEC,.\当点E与点P重合时,/BEC最大.连接OB,

则/BON=2NBPN=NBPC.,.，OB=OP=6-OQ.在RtABOQ中，由勾股定理得(0Q2+42=(6-0QR解得0Q=|,二

0B==，.当NBEC最大时，CQSLBEC=cos乙BOQ=器=三

50B13

AEPD

第2题解图

3.解：存在.理由如下：

当过点A,B的圆与0D相切于点M时.NAMB最大.

•・•点A,B在圆上,

・••圆心必在线段AB的中垂线上，

如解图.过点A作AT10D于点T.作AB的中垂线交AB于点H,过点A作AT的垂线交AB的中垂线于点E,

点E即为过点A,B的圆的圆心，连接EB,

第3题解图

IOE与OD相切.

:.EM±OD,易得四边形AEMT是矩形，

•・•点A在。E上.

JAE二ME,

・•・西边形AEMT为正方形，

•:AB=200V5,则AH=BH=10()75,易得/AMB=NAEH,

在RtAAEH中,sin^AEH="=