福建省高考数学试卷理科及解析

2012年福建省高考数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出分四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.（2012•福建）若复数z满足zi=l-i,则z等于（）

A.-1-iB.1-iC.-1+iD.1+i

2.（2012•福建）等差数列｛an｝中，ai+a5=10,a4=7,则数列｛an｝的公差为（）

A.IB.2C.3D.4

3.（2012•福建）下列命题中，真命题是（）

xx2

A.3xoGR,p：^0B.VxWR,2>xC.a+b=0的充要条件是m=-1D.a>l,b>l是ab>l的

eb

充分条件

4.（2012•福建）一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个儿何体不可以是（）

A.球B.三棱锥C.正方体D.圆柱

5.（2012•福建）下列不等式一定成立的是（）

A.lg（x2+l）>lgx（x>0）B.sinx+—L_>2（xwkx,kGZ）C.x2+l>2|x|（xGR）D.——>1

2

4-sinxx+l

（xGR）

6.（2012•福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为（）

A.1B.1C.1D.1

4567

为有理数

7.（2012•福建）设函数D（x）=fl,x丁二12则下列结论错误的是（）

10,x为无理数

A.D（x）的值域为｛0,1｝B.D（x）是偶函数C.D（x）不是周期函数D.D（x）不是单调函

数

8.（2012•福建）已知双曲线三二1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的

4b2

距离等于（）

A.V5B.4^2c.3D.5

\+y-3<0

9.（2012•福建）若函数丫=2乂图象上存在点（x,y）满足约束条件<x_2y_3<0，则实数m的最大值为（）

A.1BC.2D.2

22

10.（2012•福建）函数f（x）在⑶b］上有定义,若对任意xi,x2e［a,bj,有

f（勺+、2）<l［f（X］）+f（X2）］则称f（x）在［a,b］上具有性质P.设f（x）在［1,3］上具有性质P,

22

现给出如下命题:

①f（X）在［1,引上的图象是连续不断的；

@f（x2）在［1,%］上具有性质P；

③若f（x）在x=2处取得最大值1,则f（x）=l,xG［l,3J；

—、,*—,Xi+x+Xo+x

④对任意XI,X2,X3,X4GfL31，有f（二-9---d-）<-［f（XI）+f（X2）+f（X3）+f（X4）］

44

其中真命题的序号是（）

A.①②B.①③C.②④D.③④

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.

11.（2012•福建）（a+x）4的展开式中x3的系数等于8,则实数a=.

12.（2012•福建）阅读图所示的程序框图，运行相应地程序，输出的s值等于

13.（2012•福建）已知△ABC得三边长成公比为亚的等比数列，则其最大角的余弦值为

14.（2012・福建）数列｛@11｝的通项公式211=1183工擀+1,前n项和为Sn,则S2012三

屋-ab,

15.（2012•福建）对于实数a和b,定义运算“*〃:a*b：设f(x)=(2x-1)*(x-1),且关于

b2_ab,a>b

x的方程为f（x）=m（n】£R）恰有三个互不相等的实数根xi,X2>X3,则X1X2X3的取值范用是.

三、解答题：本大题共5小题，共80分，解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16.（2012•福建）受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间

有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50

辆，统计书数据如下：

品牌甲乙

首次出现故障时间X（年）0<x<ll<x<2x>20<x<2x>2

轿车数最（辆）2345545

每辆利润（万元）1231.820.9

将频率视为概率，解答下列问题：

（I）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；

（II）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为Xi,生产一辆乙品牌轿车的利润为X2,分

别求Xl,X2的分布列：

（III）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度

考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由.

17.（2012•福建）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数.

（1）sin213°+cos217°-sinl3°cosI70

（2）sin2150+cos215°-sin150cosl50

（3）sin2180+cos212°-sinl8°cosl20

（4）sin2（-18°）+COS2480-sin2（-18°）cos48°

（5）sin2（-25°）+cos2550-sin2（-25°）cos550

（I）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数

（口）根据（I）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.

18.（2012•福建）如图，在长方体ABCD・AIBICIDI中AA尸AD=1,E为CD中点.

（I）求证：BIE±ADI；

（U）在棱AAi上是否存在一点P,使得DPII平面BiAE?若存在，求AP的行；若存在，求AP的长；若不存在,

说明理由.

（m）若二面角A-BiE・Ai的大小为30°,求AB的长.

19.（2012•福建）如图，椭圆E：马+三二1（a>b>0）的左焦点为Fi,右焦点为F2,离心率e=1.过Fi的直

2

线交椭圆于A、B两点，且AABF2的周长为8.

（I）求椭圆E的方程.

（口）设动直线1：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x=4相较于点Q.试探究：在坐标平面内是

否存在定点M,使得以PQ为直径的画恒过点M?若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.

20.（2012•福建）已知函数f（x）=e'+ax2-ex,aQR.

（I）若曲线y=f（x）在点（1,f（1））处的切线平行于x轴，求函数f（x）的单调区间；

（口）式确定a的取值范围，使得曲线y=f（x）上存在唯一的点P,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P.

四、选考题（题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分。如果多做，则按

所做的前两题计分

21.（2012•福建）（1）选修4・2：矩阵与变换

设曲线2x2+2xy+y2=l在矩阵A=（aO）（a>0）对应的变换作用下得到的曲线为x2+y2=i.

b1

（I）求实数a,b的值.

<n）求A?的逆矩阵.

22.（2012•福建）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线1上两点M,N的极坐

标分别为（2,0）,（空,2E）,圆C的参数方程卜二2+2”59（6为参数）.

32ly=-V3+2sine

（I）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；

（口）判断直线1与圆C的位置关系.

23.(2012•福建)选修4-5：不等式选讲

已知函数f(x)=m-|x-2|,m£R,且f(x+2)20的解集为[-1,1].

(I)求m的值；

(II)若a,b,c£R,且,求证：a+2b+3c>9.

aK及=1n1

2012年福建省高考数学试卷(理科)

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出分四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.(2012•福建)若复数z满足zi=l-i,则z等于()

A.-1-iB.1-iC.-1+iD.1+i

考点：复数代数形式的乘除运算。

专题：计算题。

分析：1-i(1-i)(-i)

由复数Z满足zi=l-i,可得z-l'":",运算求得结果.

i-i2

解答:解：复数Z满足zi=l・i,

.•7—1-—i___(_1__-_i_)___(_-__i)——1-1.

故选A.

点评：本题主要考杳两个复数代数形式的除法，两个更数相除，分子和分母同时乘以分母的共挽复数，虚数单位i

H勺塞运算性质，属于基础题.

2.(2012•福建)等差数列｛an｝中，ai+a5=10,汕=7,则数列｛加｝的公差为()

A.IB.2C.3D.4

考点：等差数列的通项公式。

专题：计算题。

分析：设数列｛an｝的公差为d,则由题意可得2ai+4d=10,ai+3d=7,由此解得d的值.

解答：解：设数列｛an｝的公差为d,则由ai+a5=10,34=7,可得2aL4d=10,ai+3d=7,解得d=2,

故选B.

点评：本题主要考查等差数列的通项公式的应用，属「基础题.

3.(2012•福建)下列命题中，真命题是()

xx2

A.3xoeR,A0<0B.VxeR,2>xC.a+b=()的充要条件是且=-1D.a>l,b>l是ab>l的

cb

充分条件

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；全称命题；特称命题；命题的真假判断与应用。

专题：计算题。

分析：利用指数函数的单调性判断A的正误；

通过特例判断，全称命题判断B的正误；

通过充要条件判断C、D的正误；

解答：解：因为y=eX>0,x£R恒成立，所以A不正确；

因为x=-3时2一5<(-3)2,所以“£乩2x>x?不成立.

a=b=0时a+b=0,但是©没有意义，所以C不正确;

b

a>1»b>l是ab>1的充分条件，显然正确.

故选D.

点评：本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，全称命题，特称命题，命题的真假判断与应用，考查基本

知识的理解与应用.

4.(2012•福建)一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是()

A.球B.三棱锥C.正方体D.圆柱

考点：由三视图还原实物图。

专题：作图题。

分析：利用简单几何体的结构特征以及三视图的定义，容易判断圆柱的三视图不可能形状相同，大小均等

解答：解：球的三视图均为圆，且大小均等：正四面体的三视图可以形状都相同，大小均等；正方体的三视图可以

是三个大小均等的正方形；圆柱的三视图中必有一个为圆，其他两个为矩形

故一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是圆柱

故选D

点评：本题主要考查了简单几何体的结构特征，简单几何体的三视图的形状大小，空间想象能力，属基础题

5.(2012•福建)下列不等式一定成立的是()

A.Ig(x2+-)>lgx(x>0)B.sinx+_L_>2(xwkx,kWZ)C.x2+l>2|x|(xGR)D.——>1

2

4-sinxx+l

(xGR)

考点：不等式比较大小。

专题：探究型。

分析：由题意，可对四个选项逐一验证，其中C选项用配方法验证，A,B,D三个选项代入特殊值排除即可

解答：解：A选项不成立，当x=4寸，不等式两边相等；

2

B选项不成立，这是因为正弦值可以是负的，故不一定能得出sinx+「l_^2；

sinx

C选项是正确的，这是因为X2+I22|X|(XGR)<=>(|X|-1)2>0,

D选项不正确，令x=0,则不等式左右两边都为1,不等式不成立

综上，C选项是正确的

故选C

点评：本题考查不等式大小的比较，不等式大小比较是高考中的常考题，类型较多，根据题设选择比较的方法是解

题的关键

6.(2012•福建)如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为()

BD.工

-i1

考点：定枳分在求面积中的应用；几何概型。

专题：计算题。_

分析：根据题意，易得正方形OABC的面积，观察图形可得，阴影部分由函数y=x与y=7G围成，由定积分公式,

计算可得阴影部分的面积，进而由儿何概型公式计算可得答第.

解答：解：根据题意，正方形OABC的面积为1x1=1,

32

1=

而阴影部分由函数y=x与y=/围成，其面积为J(?(Vx-x)dx=(―y2--1_)|o—,

326

1

则正方形OABC中任取一点P,点P取自阴影部分的概率为包工

16

故选C.

点评：本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部分的面积.

fl,x为有理数

7.(2012•福建)设函数D(x)=:」二：受则下歹U结论错误的是()

x为无理数

A.D(x)的值域为{0,1}B.D(x)是偶函数C.D(x)不是周期函数D.D(x)不是单调函

考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法。

专题：证明题。

分析•：由函数值域的定义易知A结论正确；由函数单调性定义，易知D结论正确；由偶函数定义可证明B结论正

确；由函数周期性定义可判断D结论错误，故选D

解答：解：A显然正确；

1,

(-X)=

0,

1,

VD(x+1)=二D(x),「.T=l为其一个周期，故C错误;

0,X为无理数

VD(V2)=0，D(2)=1,D(V5)=0,显然函数D(x)不是单调函数，D正确；

故选C

点评：本题主要考查了函数的定义，偶函数的定义和判断方法，函数周期性的定义和判断方法，函数单调性的意义,

属基础题

8.(2012•福建)已知双曲线上!一二二1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的

4b2

距离等于()

A.V5B.4>/2C.3D.5

考点：双曲线的简单性质；抛物线的简单性质。

专题：计算题。

分析：确定抛物线y2=i2x的焦点坐标，从而可得双曲线的一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，即可求双曲

线的焦点到其渐近线的距离.

解答：解：抛物线y2=i2x的焦点坐标为（3,0）

•.•双曲线子-x!二1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合

/.4+b2=9

二.b2=5

双曲线的一条渐近线方程为尸lx，即fx-2y=0

2

双曲线的焦点到其渐近线的距离等于里号:型为^

故选A.

点评：本题考查抛物线的性质，考查时却显得性质，确定双曲线的渐近线方程是关键.

\+y-3<0

9.（2012•福建）若函数尸2*图象上存在点（x,y）满足约束条件<x-2y-340，则实数m的最大值为（）

A.1B.IC.2D.2

22

考点：简单线性规划。

专题：计算题；数形结合。

分析：fx+y-3<0

根据题意，由线性规划知识分析可得束条件x-2y-3<0确定的区域，由指数函数的性质分析可得函数

丫=2*与边界直线x+y=3交与点（1,2）,结合图形分析可得m的最大值，即可得答案.

解答：\+y-3<0

解：约束条件<x-2y-340确定的区域为如图阴影部分，即△ABC的边与其内部区域，

分析可得函数y=2x与边界直线x+y=3交与点（1,2）,

若函数y=2'图象上存在点（x,y）满足约束条件，

即y=2x图象上存在点在阴影部分内部，

则必有m«1,即实数m的最大值为1,

故选B.

点评：本题考查线性规划的应用与指数函数的性质，关键是得到函数y=2'与阴影部分边界直线的交点.

10.（2012•福建）函数f（x）在［a,b］上有定义，若对任意xi,X2G［a,b］,有

f（勺+，2）<l［f（X］）+f（X2）］则称f（x）在⑶b］上具有性质P.设f（x）在［1,3］上具有性质P,

22

现给出如卜.命题：

①f（x）在［1,3］上的图象是连续不断的；

@f（x2）在［1,近］上具有性质P；

③若f（x）在x=2处取得最大值1,则f（x）=1,xG［l,3］；

④对任意XI，X2»X3»X4G［1»3］,有f（—!------------）4百［'（XI）十f（X2）+f（xj）+f（X4）］

其中真命题的序号是（）

A.①②B.①③C.②④D.③④

考点：利用导数求闭区间上函数的最值；抽象函数及其应用；函数的连续性。

专题：新定义。

分析：根据题设条件，分别举出反例，说明①和②都是错误的；同时证明③和④是正确的.

解答：x

（工）l<x42

解：在①中，反例：f（x）42在［1,3|上满足性质P,

-2,2<x<3

但f（x）J（工）'I'、'？在口，3］上不是连续函数，故①不成立；

［-2,2<x<3

在②中，反例：f（x）=-x在［1,3］上满足性质P,但f（X2）=-x2在［I,加］上不满足性质P,

故②不成立；

在③中：在［1,3］±,f（2）=f（x+（4~x））弓［f（x）+f（4-x）］，

乙乙

%（x）+f（4-X）>2

.<f（x）<f（x）=f（2）=1

-max，

f（4-x）<f（x）=f（2）=1

max

故f（x）=1,

・••对任意的XI,X2G［I,3］,f（x）=1,

故③成立；

在④中,对任意XI,X2,X3,X4口1,3］,

（x+x）+（x+x

七/X1+x2+x3+x4xil223P、

有f__£__2__1）=f（/------------G----------）

42

iXi+x.x+x、

*［rfz+2sf（f34）1

L仕（盯）+f（x2））+.（£（X3）+f（x,）］

=-i［f（XI）+f（X2）+f（X3）+f（X4）］,

,X1+X9+X0+X/1、

.fZJi）f（xi）+f（X2）+f（X3）+f（X4）］,

44

故④成立.

故选D.

点评：本题考查的知识点为函数定义的理解，说明一个结论错误时，只需举出反例即可.说明一个结论正确时，要

证明对所有的情况都成立.

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.

II.（2012•福建）（a+x）4的展开式中x3的系数等于8,则实数a:2.

考点：二项式定理的应用。

专题：计算题。

分析：根据（a+x）4的展开式的通项公式为Tr+尸「，令r=3可得（a+x尸的展开式中x3的系数等于,料=8,

由此解得a的值.

解答：解：（a+x）4的展开式的通项公式为Tr+尸c；a4-rxr,

令r=3可得（a+x）4的展开式中x3的系数等于,料=8,解得a=2,

故答案为2.

点评：本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题.

12.（2D12•福建）阅读图所示的程序框图，运行相应地程序，输出的s值等于-3.

考点：循环结构。

专题：计算题。

分析：直接利用循环框图，计算循环的结果，当k=4时，推出循环，输出结果.

解答:解：由题意可知第1次判断后，s=l,k=2,

第2次判断循环，s=O,k=3,

第3次判断循环，s=-3,k=4,

不满足判断框的条件，推出循环，输出上.

故答案为：-3.

点评：本题考查循环结构的作用，注意判断框的条件以及循环后的结果，考查计算能力.

13.（2012•福建）己知△ABC得三边长成公比为亚的等比数列，则其最大角的余弦值为_

4-

考点：余弦定理；等比数列的性质。

专题：计算题。__

分析：根据三角形三边长成公比为亚的等比数列，根据等比数列的性质设出三角形的三边为a,亚a,2a,根据2a

为最大边，利用大边对大角可得出2a所对的角最大，设为6利用余弦定理表示出cos。，将设出的三边长代

入,即可求出cosO的值._

解答：解：根据题意设三角形的三边长分别为a,亚a,2a,

:2a>加a>a,二2a所对的角为最大角，设为8,

2,22

则根据余弦定理得：cos8-a+（后）_-⑵）二.返

2近晓4

故答案为：-亚

4

点评：此题考查了余弦定理，等比数列的性质，以及三角形的边角关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键.

14.（2012・福建）数列归11｝的通项公式211=118$二擀+1,前n项和为Sn,则S2012二福律

考点：数列的求和。

专题；计算题。

分析：先求出co圮的规律，进而得到ncos亚的规律，即可求出数列的规律即可求出结论.

22

解答：解：因为coH匹=0,-1,0,1,0,-1,0,1...；

2

ncos”兀=0,-2,0,4,0,-6,0,8…;

2

ncosll工的每四项和为2；

2

..•数列｛an｝的等四项和为:2+4=6.

而20124-4=503：

S2012=503x6=3018.

故答案为3018.

点评：本题主要考察数列的求和，解决本题的关键在于求出数列各项的规律.

2_卜

15.(2012•福建)对于实数a和b,定义运算“*":a"b=<&'设f(x)=(2x-1)*(x-I),且关于

b2_ab,a>b

x的方程为f(x)=m(mWR)恰有三个互不相等的实数根xi,X2,X3,则X1X2X3的取值范围是(三叵，0).

~16

考点：根的存在性及根的个数判断；分段函数的解析式求法及其图象的作法。

专题：新定义。

分析：根据所给的新定义，写出函数的分段形式的解析式，画出函数的图象，在图象上可以看出当直线与函数的图

象有三个不同的交点时m的取值，根据一元二次方程的根与系数之间的关系，写出两个根的积和第三个根，

表示出三个根之积，根据导数判断出函数的单调性，求出关于m的函数的值域，得到结果.

解答：解：:2x-14x-1时，有x<0>

(2x-l)2-(2x-l)(x-1)x40

二.根据题意得f(x)=<

(x-1)2-(2x-1)(x-1)x>0

2x2~xx40

即f(x)=<

-x2+xx>0

画出函数的图象从图象上观察当关于x的方程为f(x)=m(mGR)恰有三个互不相等的实数根时，m的取

值范围是(0,1)，

当・x2+x=m时，有x।X2=m,

当2x2-x=m时，由于直线与抛物线的交点在y轴的左边，得到叼二三警向

1-

./V1+8IDAm-M1+8m=/八1、

444

.iD-mVl+8^

八------4'

则V'=-(1-右菰一/三)，又h(ID)二正拓"■华=在mW(0,1)上是增函数，故有h(m)

4vl+8mA/1+8ID4

>h(0)=1

y=—(1-+乂m--^2=)<0在mG(01—)上成立,

74Yl+而行嬴，4

.函数丫=二一叭/1+82在这个区间

(0,—)上是一个减函数,

4

0)

••・函数的值域是(f(1)，f(0)),即(二A

416

故答案为：(工过1,0)

点评：本题考查分段函数的图象，考查新定义问题，这种问题解决的关键是根据新定义写出符合条件的解析式，本

题是一个综合问题，涉及到导数判断函数的单调性，本题是一个中档题目.

三、解答题：本大题共5小题，共80分，解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16.（2012•福建）受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间

有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50

辆，统计书数据如下：

品牌甲乙

首次出现故障时间X（年）()<X<1l<x<2x>20<x<2x>2

轿车数量（辆）2345545

每辆利润（万元）1231.820.9

将频率视为概率，解答卜.列问题：

（I）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；

（II）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为Xi,生产辆乙品牌轿车的利润为X2,分

别求X],X2的分布列;

（III）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度

考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由.

考点：离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率；离散型随机变量及其分布列。

专题：计算题。

分析：（I）根据保修期为2年，可知甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内的轿车数量为2+3,由此可求其功率;

（II）求出概率，可得Xi、X2的分布列；

（III）由（II）,计算期为E（Xi）=Ixa+2xJl+3xX=2.86（万元），E（X2）=1.8x2+2.9x22.79（万元）,

2550101010

比较期望可得结论.

解答：解：（I）设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内〃为事件A,则P（A）=2+3=1

5010

（II）依题意得，Xi的分布列为

Xi123

P139

2550Io

X2的分布列为

X21.82.9

P19

1010

(Ill)由(H)得E(Xi)=1xJL.+2X_1+3X_^.=2.86(万元)

255010

E(X2)=1.8x_X+2.9x旦2.79(万元)

1010

vE(Xi)>E(X2),

应生产甲品牌轿车.

点评：本题考查概率的求解，考查分布列与期望，解题的关键是求由概率，属于基础题.

17.(2012•福建)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数.

(1)sin2130+cos2170-sinl30cosl70

(2)sin2150+cos2150-sinl5°cosl50

(3)sin218°+cos2120-sin18°cos120

(4)sin2(-18°)+COS2480-sin2(-18°)cos48°

(5)sin2(-25°)+cos2550-sin2(-25°)cos55°

(I)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数

(TT)根据(T)的计算结果,将该同学的发现推广为二角恒等式，并证明你的结论.

考古.分析法和综合法：归纳推理。

专题:计算题。

分析:(I)选择(2),由sin2150+cos215°-sinl5°cosl50=l--isin30。.，可得这个常数的值.

2!4

(II)推广，得到三角恒等式siifa+cos?(30°-a)-sinacos(30°-a)二2.证明方法~•：直接利用两角差

4

II勺余弦公式代入等式的左边，化简可得结果.

证明方法二：利用半角公式及两角差的余弦公式把要求的式子化为—cosfos-2°)

22

cos2Ct

sina(cos3()°cosa+sin3()°sina),即l-+ios2a+^sin2a

244

-2^sin2a--°S—■,化简可得结果.

44

解答:解：选择(2),计算如下:

sin2150+cos215°-sinl50cosl50=l-lsin3(f=-?,故这个常数为工

244

(II)根据(I)的计算结果，将该同学的发现推广，得到三角恒等式siWa+cos?(30。-a)-sinacos(30°

-a)=—.

4

2

证明：(方法一)sin2a+cos2(30°-a)-sinacos(30°-a)=sin2a+a+,sina)-sina

(cos300cosa+sin300sina)

.2,321.2,Vs..1.?3-2323

=sin~a+-^os~a+^=sin~a+-^-^smacosa--^sinacosa--sin-a=—sm-a+-^cos~a=—.

44222444

,十注一、.2,2d、.cn。、1-cos^a1+cos(60^-2。).

(万7云一)sina+cos(30-a)-sinacos(30-a)=-------------+---------------------------sina

22

(cos30°cosa+sin30°sina)

o2

=1-cos2a+工(-COs60cos2a+sin600sin2a)-^-^sin2a-iina

2222

=1-£^+Z°s2a+退in2a-虫sin2a-=1-£2^a_cos^J.

244444444

点评：本题主要考查两角差的余弦公式，二倍角公式及半角公式的应用，考查归纳推理以及计算能力，属于中档题.

18.(2012•福建)如图,在长方体ABCD-A山ICIDI中AAi=AD=l,E为CD中点.

(I)求证：BIEJLADI；

(H)在棱AAi上是否存在一点P,使得DPII平面BiAE?若存在，求AP的行；若存在，求AP的长；若不存在,

说明理由.

(DI)若二面角A-BiE・Ai的大小为30°,求AB的长.

考点：用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与直线之间的位置美系；直线与平面平行的判定。

专题：证明题；综合题：数形结合；转化思想。

分析：(I)由题意及所给的图形，可以A为原点，标，标，加;的方向为X轴，Y轴，Z轴的正方向建立空

间直角坐标系，设AB=a,给出图形中各点的坐标，可求出向最而二与访无的坐标，验证其数展积为。即

可证出两线段垂直.

(II)由题意，可先假设在棱AAi上存在一点P(0,0,t),使得DPII平面B1AE,求出平面B1AE法向量，

可法向量与直线DP的方向向量内积为0,由此方程解出t的值，若能解出，则说明存在，若不存在符合条件

的I的值，说明不存在这样的点P满足题意.

(III)由题设条件，可求面夹二面角的两个平面的法向量，利用两平面的夹角为30。建立关于a的方程，解

出a的值即可得出AB的长

解答：解：(I)以A为原点，族，元，晟二的方向为X轴，Y轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，

设AB二a,则A(0,0,0),D(0,1,0),Di(0,1,1),E(W1,0),Bi(a,0,1)

2

故"^5"""(0，1，1)，B~1,-1),屈~*=(a,0,1),AE=(j，1，0),

:AD；・Bi步1-1=0

BiE±ADi；

(II)假设在棱AAi上存在一点P(0,0,t),使得DPII平面BiAE.此时而=(0,-1,t).

又设平面BiAE的法向量K(x,y,z).

___fax+t=O_

平面BiAE,，_LAE,得，ax，取x=l,得平面BiAE的一个法向量；=(1，-

母向2

-a).

要使DPII平面RiAE,只要;I正,即有:•而=0,有此得W-At=O,解得=」，即P(0,fi,1).

222

乂DP妤面BiAE,

二•存在点P，满足DPII平面B.AE,此时AP=1

2

(in)连接AiD,BiC,由长方体ABCD-A⑻CiDi及AA尸AD=1,得ADiJ_AiD.

VBiCIIAiD,AD|±B|C.

由（I）知，BiEJLADi,且BICCBIE=BI.

ADi_L平面DCBIAI,

，ADi是平面RiAiE的一个法向量，此时而一丁（0,1,1）.

——►一--a

______.-