高等数学同济版大学微积分公式

高等数学公式

导数公式

(7g尤)'=sec2x(arcsin.E)'='

(ctgx)r=-escx

(secx)'=secrfgx(arcco&r)'=——/

VI-x2

(csex)'=-csci•etgx

,、，1

(aretgx)=-~

(axy=ax\nal+x~7

(log.x)'=；

(arcctgx)=------

xlnal+x~

基本积分表

jtgxdx=-In|cOSA|+Cf":=|sec2xdx=tgx+C

Jcos'x"

Jclgxdx=In|sinx|+C

rdxf,一

———=esc-xdx=-etgx+C

secx+尔M+CJsin"xJ

|secx-tgxdx=secx+C

jesex-ctgxdx=-csc.r+C

[aXdx=+C

JIna

^shxdx=chx-vC

Jchxdx=sfvc+C

[,*=ln(x+\lx2±a2)+C

JJd±〃2

匹£

22

n

In=jsinxdx=jcos"xdx=

0

227a

jylx+adx=7?+a~+—ln(x+ylx2+a2)+C

2

-

a---Inx+ylx2-a2+C

2

2~2~a—.x_

jyja-^dx=]Ja~-x~+—aresm—+C

2a

三角函数的有理式积分:

2w\—u~x.2du

sinx=------，cosx=--------rU=t2-9uX=-------r

\+U2\+ll22l+u2

一些初等函数：两个重要极限:

..smx।

双曲正弦:Mx="、一"'hm------=I

2a。X

双曲余弦:凶戈="+，”lim(l+-)x=e=2.1\8281828459045...

.SCO

2x

双曲正切:血=西=上"

chxex+e~x

arshx=ln(x+yjx2+1)

archx=±ln(x+>Jx2—1)

.1.1+x

arthx=­In------

2\-x

・诱导公式:

函

-a90°-a900+a1800-a180°+a270°-a270°+a3600-a3600+a

数角A

sin-sinacosacosasina-sina-cosa-cosa-sinasina

coscosasina-sina-cosa-cosa-sinasinacosacosa

tgTgactga-ctgaTgaIgactga-ctgaTgaIga

Ctg-ctgaIga-tga-ctgactgaIgaTga-ctgactg«

,和差角公式:•和差化积公式:

定积分近视计算:

矩形法：j/(x)n与:(%+/+•••+yn_1)

a

梯形法:J/(x)«+y〃)+y+…+K.】

(I

b>_

抛物线法：j/(x)x与5(%+先)+2()，2+以+…+yrt-2)+4(y+力+…+y〃T)]

a

定积分相关公式：

•倍角公式:

sin2a=2sinacosa

cos2a=2cos2[—1=l-2sin2«=cos26r-sin2«sin3a=3sina-4sin'a

ctg2a-\cos3a=4cos3a-3cosa

2ctga3tgaTg'a

吆3a=

c2/ga]—3tg2a

tg2a1一

1一吆a

•半角公式:

a,fl+cosa

C°S2=V2

a,/I-cosa1-cosasinaa.11+cosa1+cosasina

fg—=±v----------=-：-------=----------ctg—=±----------=-；-------=----------

2V1+cosasina1+cosa2Av1—cosasiiia1-cosa

•正弦定理：•余弦定理:

・反三角函数性质:

高阶导数公式一莱布尼兹(Leibniz)公式:

(人严二£c"T)a

*=o

=i/+〃(〃T)2产2"+…+〃(〃-1)…+…+wv(n)

2!k\

中值定理与导数应用:

拉格朗日中值定理：fib)-f(a)=re)S-a)

以b)-f(a)

柯西中值定理:

F(b)-F(a)F'C)

当F(x)=Mhj,柯西中值定理就居立格朗日中值定理c

曲率

空间解析几何和向量代数:

222

空间2点的距离：d==yl(x2-xl)+(y2-yi)+(z2-zl)

向量在轴上的投影Prj"赢二网・cos例碇矶〃轴的夹角。

Prju(4+G)=Prja{+Prja2

a-h=\a\-1/?cos。=axhx+a、久+生包，是一个数量

两向量之间的夹角COS。=ah+'b+a®

ijk

c=axb=axay生，同=同卡卜山/例：线速度：v=wxr.

b\么A

__4%生_

向量的混合积伍位］=(Zx6)I=久久/=收」•同cosa,a为锐角时,

Cxq，3

代表平行六面体的体积

平面的方程：

1、点法式：A(x-xo)+Z?(y-yo)+C(z-z0)=0,其中后二{A,民。，刈心,知*。)

2、一般方程：Ax+By+Cz+Q=0

3、截距世方程上+2十三=1

ahc

平面外任意一点到该湎的距离：,/JI

7A2+B2+C2

x=x4-mt

空间直线的方程=乜=匕&=二^=＞其中§={〃?,〃,〃};参数方程/)，=%0+〃/

mnp

z=z0+

二次曲面：

r2v2Z2

k力粒球面工+2+—=1

a~b~c~

2、抛物面£+t=z,(p©同号)

2P2q

3、双曲面：

222

单叶双曲面二+2—==1

a-b-c-

双叶双曲面工一二+==1(马鞍面)

a~b-c

多元函数微分法及应尾

人到八,陵,3z,.du.du.du.

全微分：dz=—dx+——dydu=—dx+—dy+—dz

dxdydxdydz

全微分的近似计算：Az才dz=<(x,y)Ax+f,x,y)Ay

多元复合函数的求导法

z=/[w(/),v(r)]与=空av

az¥

atawav/

azaMav

-az一-

z=f[u(x,y),v(x,y)]ax

avavar

当〃=M(X,>'),v=v(x,)：)时,

,du.du,

du=——dx+——ay小。0dy

dxdydxdy

隐函数的求导公式:

隐函数尸",y)=0,生=一白•=枭等)+枭-，苧

、,

dxFydx~oxFdyFvax

隐函数F(x,y,z)=O,包=-"dz_Fy

dxF.旷一E

dFdF

F(X,)，MU)二OFu(

隐函数方程组?j=^2=dudv_

G(x,y,w,v)=Od(u,v)dGdGG„G

dudv

13(EG)av1a(£G)

&-

/3(x,v)

Jd(u9x)

13(F,G)9

av-a(刖

M\

a)97

微分法在几何上的应用:

方向导数与梯度：

多元函数的极值及其求法:

设《*0，%）=人（/，）‘0）二°，令：九（/，%）=4&（/，%）=8,fyy（xQ,yQ）=C

A。小叫黑黑鬻黑

则JAC-82von寸，无极值

AC-B2=Oflj,不确定

重积分及其应用：

柱面坐标和球面坐标:

曲线积分：

第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：

设/*,y）在L上连续，L的参数方程为厂二夕⑴，（a<t<M：

a___________

（a<0特殊情况!X=t

J/(x,y)ds=jfWt),贝加V⑺+⑺力

y=夕。）

第二类曲线积分(对型示的曲线积分)：

设L的参数方程为P二°"),则：

P

JP(x,Q(x,y)dy=J{+(?[*)"(/)/(/)]dt

La

两类曲线积分之间的关系:JPdx+Qdy=J(Pcosa+Qcos6Ms,其中。和仅分别为

LL

L上积分起止点处切向邺方向角。

格林公式(孚-^-)dxdy=jPdx+Q")格林公式：Jj(黑—)dxdy=JPdx+Qdy

DOX

当尸=—),,0=x,即:学—孚=渊，得至外的面积:A=JJdxdy=—Jxdy-ydx

oxdyD2L

・平面上曲线积分与路彳疣关的条件：

1、G是一个单连通区域;

2、P(x,)，)，Q(x,)，)在G内具有一阶连续偏导数且乎一笠。注意奇点，刻(0,0),应

exdy

减去对此奇点的积分，注意方向相反！

・二元函数的全微分求积

在华=半时，。公+。办才是二元函数g,y)的全微分，其中：

exdy

(v.y)

〃(x,y)=JP(x,y)dx+Q(x,y)dy,通常i2x0=y0=0。

(和允)

曲面积分：

高斯公式:

斯托克斯公式一曲线积分与曲面积分的关系:

££邠HQ、」,QPdR

卜犷&)dzdx+------)dxdy=JPdx+Qdy+Rdz

dy--------p

dydzdzdxdxdxcosacos。cosy

上式左端又可写成gddd=nddd

~dz~dz

dxTsdx分

PQRPQR

dRc地dPdRdQdP

空间曲线积分与路径球的条件---...—

dydz7dz-dxdx一小

ijk

旋度：rotA=———

axdydz

PQR

向量场，沿有向闭曲线T的环流量，Pdx+Qdy+Rdz=产•fds

常数项级数:

等比数列4+…+=上y

i-q

等差数歹收+2+3+……如也

2

调和级数4+,+，+…+1是发散的

23n

级数审敛法：

1、正项级数的审敛法一一根植审敛法（柯西米则法）：

伊<1时，级数收敛

设：p=lim^u~xy则”>1时，级数发散

Q=1时，不确定

2、比值审敛法：

p<l时，级数收敛

设：0=hm巴电，则p>l时，级数发散

〃-xoTJ

"夕=1时，不确定

3、定义法：

sn=w）+〃2+…+/；向以存在,则收敛；否则舜如

绝对收敛与条件收敛:

(1)W|+〃2■1---卜〃“+…，其中%为任意实数；

⑵周+MI+同+•,•+”1+,,,

如果(2)收敛，则⑴肯定收敛，且称为绝对收敛级数;

如果(2)发散，而⑴收敛，则租1)为条件收敛级数。

调和级数》;发散，而2斗4攵敛；

级数:■收敛；

P级数俨T臂

乙M时收敛

得级数：

函数展开成箱级数：

一些函数展开成薛级数：

“储〃1加(〃2-1)…(加-〃+1)"

(l+x)=1+7?tr+------x2+•••+-------------------x(-1<x<1)

2!n\

sinx=x--+-----+(-1)//-1------+…(-co<x<+oo)

3!5!(2〃—1)!

欧拉公式:

cosx=

eLV=cosx+zsinx或

sinx=

三角级数:

0op

/⑺=&+ZA〃sin(〃函+)=Z(%cosnx+bnsin〃x)

〃=1〃=1

其中，出=*,=4“sin®,,=A“cos0“,〃M=龙。

正交性：!,sinx,cosx,sin2x,cos2x…sinfix,cos〃工…任意两个不同项的乘秘E[-乃/]

上的积分=0。

傅立叶级数:

周期为的周期函教的傅立叶级数:

/*)=B+£(*cos^+dsin^>周期=2/

2〃=]II

(72=0,1,2•••)

5=123…)

微分方程的相关概念:

一阶线性微分方程:

1、一阶线性微分方程半+P*))，=Q(x)