高考数学（文科）总复习考点解析及试题（含解析）第三章三角函数解三角形与平面向量

高考数学（文科）总复习考点解析及试题（含解析）

第三章三角函数、解三角形与平面向量

本章考点在高考中出现的频率非常高，下面是常见考点：

考点1任意角、弧度制、任意角的三角函数

考点2同角三角函数基本关系与诱导公式

考点3三角函数的图象与性质

考点4函数y=Asin（3x+。）的图象与性质

考点5两角和与差的正弦、余弦和正切公式

考点6简单的三角恒等变换

考点7正弦定理和余弦定理

考点8解三角形的应用

考点9平面向量的概念及线性运算

考点10平面向量基本定理及坐标表示

考点11平面向量的数量积及应用

考点测试1任意角、弧度制、任意角的三角函数

高考概览

高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值5分，低等难度

考纲研读

1.了解任意角的概念

2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化

3.理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义

一、基础小题

1.已知角。的终边与单位圆交于点卜上，则tana=（）

答案D

3

解析根据三角函数的定义，tan。=：=—一|,故选D.

-5

2.若sina<0且tana<0,则。是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

答案D

解析由sina<0,得。的终边在第三或第四象限或在y轴非正半轴上；由tana<0,

得。在第二或第四象限，故。是第四象限角.故选D.

3.sin2cos3tan4的值（）

A.小于0B.大于0C.等于0D.不存在

答案A

解析Vsin2>0,cos3<0.tan4>0.二sin2cos3tan4<0.故选A.

4.己知扇形的半径为12cm,弧长为18cm,则扇形圆心角的弧度数是（）

232n3n

A-3B-2C-D--

答案B

解析由题意知1=\a\r,：.\a\=^=yf=1-故选B-

5.如图，在平面直角坐标系xa中，角。的终边与单位圆交于点儿点力的纵坐标为

4

则COSo的值为（）

5

44

A，・

5B5

33

C，，

5°5

答案D

4

解析因为点力的纵坐标外且点在第二象限，又因为圆。为单位圆，所以力点

□4

33

横坐标XA=-由三角函数的定义可得cos。=—m故选D.

00

6.已知。是第二象限角，P（x,/）为其终边上一点，且cosa=?x,贝l]x=（）

A.A/3B.土木C.—\/2D.一小

答案D

解析依题意得cosa=7X^\=乎求0,由此解得x=一十，故选D.

7.已知角0的终边过点P~4k,3A）（K0）,则2sin®+cos9的值是（

22

5-B.-5-

22

C.E或一鼻D.随着左的取值不同而不同

55

答案B

解析因为角"的终边过点"（一44，3A）（A<0）,所以点尸到原点的距离为

3k3、~4k4…

*\/(—4^)2+(3A),:=—5k,所以sin〃='="Vc°s〃=-,2sin〃+cos〃=2X—

342

故选B

5-+-5-=-5-

a

8.若a是第二象限角，则才一定不是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

答案C

9

解析：—+2kJt<a<ji+2kn9AGZ,

n2k五an2kM

・\工~+〈二，keZ.

63333

若4=3/7（/?£Z）,《是第一象限角；

o

a

若左=3刀+1（〃0,方是第二象限角；

若衣=3〃+2（〃GZ）,《是第四象限角.故选C.

9.给出下列命题：

①第二象限角大于第一象限角；

②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；

③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形半径的大小无关;

④若sina=sin£,则。与£的终边相同；

⑤若cos，<0,则，是第二或第三象限的角.

其中正确命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

答案A

解析①中，第二象限角可能大于第一象限角，也可能小于第一象限角，比如120。是

第二象限角，370°是第一象限角，故①错误；

②中，三角形的内角是第•象限角或第二象限角或直角，故②错误；

③中，角度大小与半径无关，故③正确；

④中，。与£的终边也可以关于y轴对称，故④错误；

⑤中，。是第二或第三象限的角或(24+1)n(AGZ),故⑤错误.

故本题正确答案为A.

aaa

10.设角t是第三象限角，且sin1~=—sirr，，则角5是第象限角.

答案四

_3nna

解析由角。是第三象限角，知2々兀+n<々<2女八+亏(4£2),则女五+万<万〈在克

3noaaaa

+—(AeZ),故不是第二或第四象限角.由sin~^~=—sin方知sirry<0,所以方只能是第

什乙乙乙乙乙

四象限角.

11.在一720°〜0°范围内所有与45°终边相同的角为.

答案一675°或一315°

解析所有与45°有相同终边的角可表示为：8=45°+%X360°(AGZ),则令一

76545

720°W45°+4X360°<0°,得一7650W*X360°<一45°,解得一篙忘伙一诉，从而

360360

女=-2或左=—1,代入得£=—675°或万=—315°.

2弓

12.一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的*面积等于圆面积的历，

则扇形的弧长与圆周长之比为________.

「果18

12-

—a—~

2尸235

解析设圆的半径为八则扇形的半径为了，设扇形的圆心角为。，则=7~=加，，

5n2r

5it16,35

。=丁..•.扇形的弧长与圆周长之比为1=下二=而.

13.若tana>0,贝lj()

A.sin。>0B.cosa>0

C.sin2a>0D.cos2a>0

答案C

解析由tan〃〉0,可得a的终边在第一象限或第三象限，此时sin。与cos。同号，

故sin2a=2sinacoso>0,故选C.

14.已知角。的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点力(1,

2

a),8(2,6),且cos2a=g,则|a—引=()

1¥

L-V5C1

5B.1

答案B

解析根据题给条件，可知0,A,8三点共线，从而得到6=2a,因为cos2a-2cos2a

—1=2*1-^—-2—1=?>解得才=：,即|司=吟,所以Ia—4=Ia—2al=码.故选B.

、/43555

15.设函数(xGR)满足Hx+”)=F(x)+sinx.当OWKn时,f(x)=0,则

=()

1J31

A.-B.--C.0D.—5

答案A

解析由题意得/(2等)=a^J)+sjn手■=/e*)+sin*~+sjn岑•=¥/■)

5n11n17n1111

-=

+sin-7-4-sin+sinc=0+oo+oo.故达A.

16.在平面直角坐标系xa中，角。与角£均以公为始边，它们的终边关于y轴对

称.若sin。=),则sin£=.

答案I

解析由角。与角B的终边关于y轴对称，可得£=(2A+1)n—。，MZ,「sin。

=：,，sin£=sin[(2A+l)五—a]=sina=；.

17.已知角。的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点加一3,4),则cos"。一sin。。

+tan夕的值为()

1211217979

A——RC———T)~—

75757575

答案A

344

解析由已知得I0M\=5,因而cos^=-7,sin9=三,tan则cos2"—sin」8

553

八9164

+tan仁西―77*.故选A.

(a

18.已知sin，一cos”1,则角。的终边在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案B

解析由已知得（sin〃一cos〃）2>1,即1—2sin"cos。>1,sin〃cos0<0,又

sin”cos9,所以sin^>0>cos夕，所以角。的终边在第二象限.故选B.

19.已知角。终边上一点P的坐标是（2sin2,-2cos2）,则sina=（）

A.sin2B.-sin2C.cos2D.—cos2

答案D

解析因为r=q（2sin2）2+（—2COS2）2=2,由任意三角函数的定义，得sina=/=—

cos2.故选D.

20.已知角x的终边上一点的坐标为（sin千，cos千），则角x的最小正值为（）

5兀5兀11n2兀

A.-7"B.-C.~--D.

6363

答案B

解析Vsin^-=^,cos^~=—乎，・••角x的终边经过点口，一乎1tanx=­

□zOzy乙）v

5五Sj[sin*

.。=2行+一丁,MZ,.•.角x的最小正值为一丁.（也可用同角基本关系式tanx=——得出.）

33cosx

故选B.

JT

21.在平面直角坐标系中，点M（3,而在角a的终边上，点M2R,4）在角。+丁的终

边上，贝IJ勿=（）

A.-6或1B.-1或6

C.6D.1

答案A

解析由题意得，tanatan。+]=/=（,

,m

21+3

・••一=----,:・m=-6或1,故选A.

mm

1-3

22.已知加石,力）是单位圆（圆心在坐标原点功上任意一点，将射线力绕。点逆时针

旋转30°,交单位圆于点8（弱，㈤，则处一力的取值范围是（）

A.[-2,2]B.[-72

11

D

c.r-i,11--2-

2?

答案C

解析设X轴正方向逆时针到射线切的角为叫根据三角函数的定义得必=cos%

j^=sin（a+30°），所以XL%=COS。—sin（a+30。）=—彳sino+]cos。=sin（o+

150°1].故选C.

23.将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是______.

答案T

解析一个周角是2灭，因此分针10分钟转过的角的弧度数为卷X2

603

24.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角a（0<a〈n）的弧度

数为.

答案事

解析设圆半径为八则其内接正三角形的边长为十八所以:尸=。，，所以a=p

二、大题

3

1.已知角a的顶点与原点。重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点尸一彳

4

5,

⑴求sin（。+兀）的值;

5

（2）若角£满足sin（。+£）=7^,求cos£的值.

4

3得

解（1）由角。的终边过点一一二,5-

0

sina=­m，所以sin(o+n)=-sina=-

o□

Q43

(2)由角。的终边过点乃一一.得cosa=一三,

555

512

由sin(a+£)=/得cos(。+£)=±-.

1o1o

由£=(。+£)一。得

cosB=cos(a+B)coso+sin(a+£)sina,

btrc56i_16

所以cosP=-左或cosP=—

6563

巧1

2.己知角。终边经过点P（x,-的（丘0）,且cos。六■乂求sin。+高高的值.

解’:Pkx,一的(x#0),

...点尸到原点的距离r=yp+2.

▽〃—近•c」_馅

cosa—「x,・・cos4—/~~r-------0x.

6y/x+26

Yx#。，x=±y[\0f/.r=2^/3.

当片=415时，P点坐标为(、/"历，一小),

由三角函数的定义，有sina=一坐,—--V5,

6tanav

6m+就

Asina

6

1_6^5~^6

当x=-415时，同样可求得sina

tana6

JT

3.如图所示，动点P,0从点4（4,0）出发沿圆周运动，点尸按逆时针方向每秒钟转R

弧度，点0按顺时针方向每秒钟转右弧度，求点只点0第一次相遇时所用的时间、相遇点

的坐标及只0点各自走过的弧长.

解设只。第一次相遇时所用的时间是r,

nn

则t•17+t•一-—2五.

30

所以r=4（秒），即第一次相遇的时间为4秒.

设第一次相遇点为C,第一次相遇时一点己运动到终边在pJiX4=4*n的位置,

OO

则^f=—cos-X4=-2,yr=-sin—X4=-2-\/3.

Jo

所以。点的坐标为（一2,-2^3）.

产点走过的弧长为等•义4=与上，

0点走过的弧长为/义4=?.

4.在平面直角坐标系中，角。的顶点是坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边与

，冗兀、JI

单位圆。交于点前汨，㈤，ad7，丁.将角a终边绕原点按逆时针方向旋转7,交单

位圆于点6(汝，㈤.

⑴若汨=于求及;

(2)过43作x轴的垂线，垂足分别为C,D,记△43及△/M的面积分别为S,S,

4

且S=1S,求tano的值.

3------4

解(1)因为刘=£,yi>0,所以—茄=三,

D0

43

所以sina=z，cosa=-,

□□

nn

所以%2=cos|=coscos——sinasin：亚

4410,

/\11

(2)S=]sin0cosa=~sin2a.因为传，Th

一n

所以。+彳£

所以S=-pin

一牛sin(2a

4

因为S\=~52f

O

44

所以sin2a=-~cos2a,即tan2a=一鼻，

oJ

2tana4.一…1

所以~；~~T—=一三，解得tan〃=2或tan4=-5.

1-tan(J32

因为[金行，y\所以tan〃=2.

考点测试2同角三角函数基本关系与诱导公式

高考概览

高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值5分，低、中等难度

考纲研读

L理解同角三角函数的基本关系式：sii？a+co/。=1,晅m=tana

cosa

2.能利用单位圆中的三角函数线推导出9•土a,n土a的正弦、余弦、正切的诱导公

一、基础小题

1.计算：sin600°=（）

11A/3A/3

A.-B.--C.D.—

答案D

解析sin600°=—sin60°=一方-.故选D.

4

2.若x是第四象限角，且sinx=一（则cosx=（）

5

1133

A-B.--C.7D.-r

5555

答案C

解析x是第四象限角，cosx＞0,cosx=y]1-sin2x=[1-----.故选c.

3.己知sin（夕+兀）＜0,cos（夕一几）＞0,则下列不等关系中必定成立的是（）

A.sin〃＜0,cos。＞0B.sin夕＞0，cos，＜0

C.sin。〉0,cos。＞0D.sin。＜0,cos8＜0

答案B

解析:sin（。+n）＜0,，—sin"＜0,sin^＞0.Vcos（^—n）＞0,;・一cos，＞0,・\

cos。＜0.故选B.

4.点/（sin20130,cos2013°）在直角坐标平面上位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

答案C

解析2013°=360°X5+(180°+33°),因此2013°角的终边在第三象限，

sin2013°<0,cos2013°<0,所以点力位于第三象限.故选C.

5.已知sin。=害，则sin"。一cos'。的值为()

□

131

氏C

一

-一

A.-5-55

答案B

,3

解析sin1a—cos1a=sina-cos2a=2sinJa—1=--故选B.

5

6.已知4=sin((nJ。)+<:。5(4口:。)(曰,则4的值构成的集合是()

sinacosa

A.{1,—1,2,-2}B.{-1,1}

C.⑵-2}D.{1,-1,0,2,-2)

答案C

COSosin。cosa

解析当在为偶数时，4市-----=2・当女为奇数时，A=

cosa'sinacosQ

2.故选C.

7.-\/l—2sin(n+2)cos(n-2)=()

A.sin2-cos2B.sin2+cos2

C.±(sin2—cos2)D.cos2—sin2

答案A

解析-\/l—2sin(n+2)cos(n—2)=2sin2cos2二

^(sin2—cos2)2=|sin2—cos2=sin2—cos2.故选A.

21

8.若sin夕+cos夕=j,贝!JtanJ+:---=()

3tan。

A5n5八18r18

A-T8B--比C-TD-一工

答案D

245

解析由sin0+cos0=-,得l+2sin0cos0=-,即sin0cos0=——,则tan0

oyio

1sin°cos8______1______乂、去

tan0cos8sin0sin，cos85''汉'

9.若sin%cos夕是方程4丁+2加r+/〃=0的两个根，则力的值为()

A.1+75B.1一4C.1+75D.-1-75

答案B

解析由题意得sin0+cos0=—sin夕cos^=彳，又（sin。+cos夕）？=1+

2

2sin^cos所以孑=l+£解得加=1±十，又4=4勿—16加20,解得后0或启4,

所以必=1一4.故选B.

10.已知sin（n+。）=~\/5cos（2兀一。），|0|<—,则。=（）

JTJIJTJI

A.一~~B.---C.-D.-

6363

答案D

解析Vsin(n+夕)=—/cos(2n一夕)，/.—sin。=一小cos夕，；・tan。=^3,

JIn

・・・0\<—f：.〃=彳故选D.

,,isin2(a+Ti)cos(n+o)cos(—a—2n)

11.化简：——-------3----------------=.

tan(n+^z)sin'-+osin(—a—2兀)

答案1

sin'a(—cosa)cos。sin'acos%

解析原式=7----、：</.---r=------L=1.

tanacos。(一sina)sin4coso

1，兀

12.若sin〃cos〃=70e—,—,贝！Jcos。一sin。=

o14乙)

答案-平

〃+sin"2sin°cos〃=1-3=*'/夕歹),

解析(cos—sin〃)'=cos

〃-sin夕=-*.

Acos〃<sin0,..cos

13.若tana=*

贝I」cos'a+2sin2a=()

6448n16

A，25B.—C.1D-25

Jo

答案A

3

解析当tana=［时，原式=cos'o+4sinocosa=

1+4X3

cos"a+4sin<zcosci1+4tan464

故选A.

sin'a+cos：atan-o+19.25,

l6+1

14.设q£(0,5),££(0,5)，且tan0贝U()

A.3a—=­B.2o—P=—

C.3a+——D.2a+P=—

答案B

解析由条件得^-」'S"：',即sinacos£=cos。(1+sin£),sin(。一£)=

cosacosP

JIJInnn

,因为一方<a—,0<——^<—,所以a—fi=-—a,所以2a

n

—£=万故选B.

15.sin750°=.

答案2

解析sin750°=sin(2X360°+30°)=sin30°=*

16.已知sin。=W，0e—,n,则tan，=()

o乙

A.-2B.-72C.一半D.一小

答案C

解析因为夕G—,n,所以cosJ<0,tan6<0,又sin8=g,则cos=-yJl—sin20

2小田，一„sinOm,,3°

=—U—,进而有tan。=----77=~A9故选C

3cos04

j(tana

17.若sin(a+£)=3sin(n—〃+£),a,£e0,—>则7()

2tanP

A.2B.1C.3D.；

乙o

答案A

解析•.,sin(a+£)=3sin(n—a+£),/.sin4cosB=2cosasin£,/.tano=

2tan,即产口4=2,故选A.

tanp

18.已知函数f(x)=asin(nx+o)+Acos(n>+£),且F(4)=3,则*2018)的值为

()

A.-1B.1C.3D.-3

答案c

解析f(4)=asin(4n+。)+ZJCOS(4n+£)=asin。+Z>cos£=3,/./,(2018)=

asin(2018n+a)+Aos(2018五+£)=asino+bcos8=3.故选C.

5Ji1nJI

19.已矢口cos-j^-+。=鼻，且一JI<4<---,贝Ijcos行一。=()

1.乙JLaLLi

2j2112J2

A.-B.-C.—D――^―

o«J33

答案D

一,5nnJInnn5叮

解析因为-[5+a+逐一a=万，所以cos五一a=sin-——a=sin—+a.因

兀一一7n5nn5n1JI5nJI

为一n<a<——,所以---<a+—<——又cos—+。=1>0,所以--7Va+—<——,

乙JL4114］乙OL,tJ.乙1.乙

所以sin等"+a=-A/1-cos^ry+a=-A/1—12=—故选D.

20.已知2sin。=l+cosa,则tana的值为()

4444

A.--B-C.一鼻或0D.可或0

OOOo

答案D

解析l±l2sinci=l+coso得sina20,且《sin?a=l+2cosa+cos2a,因而5cos2a

34

+2cosa—3=0,解得cosa=三或cosa=-1,那么tana=?或0,故选D.

□J

21.已知a为锐角，且2tan(兀一。)一3cos5+£+5=0,tan(兀+。)+6sin(n+

£)-1=0,则sin。的值是()

A班B班C啦/

八.5D.7J10A

答案C

解析由已知可得一2tana+3sin£+5=0,tana—6sin£—1=0,可解得tana=3,

又a为锐角，故sina=叫2故选C.

22.已知tan。=2,则包上*sin?«的值为()

sinu

19162317

A—R—「—n—

551010

答案C

22

…।1।sin0(1,tan03,423…

解析原式=1+-----万十—:...z.=1+n+TT；―==5+7T7=77?故选C.

tan夕coszg+sin821+tan夕21+410

23.若tana=coso,贝---+cos'a=.

sina

答案2

解析解法——：Vtana=cosa,—=cosa,Asina=cos2a,-H-cos1a

cosasmo

1.sin2a+cos2..21,1.22-1.2c

=----+1sin2a=---------------tsin2a=tana+l+sma=cosa+l+sina=2.

smacosa

J

解?去二：VtanG=cosa,—=cosa,.'.sin=cos"=1-sin,BPsin"a

coso

+sina-1=0,解得sina1或sina=-4~~舍去)・]

..cos

sino

二、大题

1.已知丁粤三=一1,求下列各式的值:

tana—6

/、2cosa—3sina

⑴7--------------•

3COSO+4sina'

(2)1-3sinacosa+3cos2a.

解由；蹙~7=—1»得tana=3.

tana-6

2cos〃一3sisa2-3tana7

；3cosa+4sina3+4tana15,

1—3sin4cosa+3cos'a

(2)1—3sinacoso+3cos2

cos'a+sinJci

sin%+cos'o—3sin/cos。+3cos，a

cos2a+sin-a

sin'a—3sin4cosa+4cos'a

cos'1a+sin2a

tan'o-3tan〃+42

tana+15*

2.已知关于X的方程2?—（、月+l）x+w=0的两个根为sin0和cos。，《6（0,2页）,

求：

sin8cos8

的值;

⑴1-tan0

1

tan8

(2)%的值;

(3)方程的两根及，的值.

sin"+cos，'①

解⑴，

sin"cos8=?(2)

si，°+cos°_______sir?9+cos*e

]1-tan0sin〃一cos0cos，一sin0

1tanG

sin〃一cos0..一八馅+1

-:-------=sin夕+cos夕=7"7;—.

sin"-cos〃2

(2)将①式两边平方得1+2sin6cos。=为四

AsinJcos好平.

4

由②式得A坐.•.W=*.

(3)由⑵可知原方程变为

lx—(m+1)X+乎=0,解得无=坐，抱=g.

「•"®f

sin<7=2fcos=°2亚f

...<或v

cos0=-sin0=5

nJi

又0G(0,2n),。=丁或0=—,

36

3.已知一g<a〈0,且函数H°)=cosp^+a]—sin"一L

2\2J\j1—cosa

⑴化简f(〃)；

⑵若Aa)4求sinacos。和sina-cosa的值.

(1+cosa)~

解⑴f(。)=sin〃-sin。21

1—cosa

.1+cosa

=sino+sino•---：------l=sina+coso,

sina

(2)解法一：由/'(aMsina+cosaq

两边平方可得sin2a+2sinacosa+cos2a=—,

2412

nBn|J2sinacosa=——,Asinacosa,

/O

/・\249

V(sin—coso)=1_2sin＜7cosa=77,

Zo

又一下＜。＜0,Asino＜0,coso＞0,

7

Asino—cos。＜0，Asino—cosa=--

o

.,1

sma+cosa

解法二：联立方程1i)

sin'Q+cos2a=l,

127

Asmacoso—sina—cosa=

N3□

4.是否存在-p-yj,£e(0,n),使等式sin(3n—a)=/cos(-^■—£),

/cos(—a)=—mcos(n+万)同时成立？若存在，求出a,£的值；若不存在，请说

明理由.

解假设存在角。，£满足条件，

sina=V2sinP,①

则由已知条件可得＜LVL

73c