高考复习数学多维层次练41

多维层次练41

［巩固提升练］

i.（多选题）下列说法正确的是（）

A.垂直于同一个平面的两条直线平行

B.若两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的

直线与另一个平面垂直

C若一个平面内的两条相交直线均与另一个平面平行，则这两个

平面平行

D.一条直线与一个平面内的无数条直线垂直,则这条直线和这个

平面垂直

解析：由线面垂直的性质定理知，垂直于同一个平面的两条直线

平行，故A中说法正确；由面面垂直的性质定理知，若两个平面垂

直，则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面垂

直，故B中说法正确；由面面平行的判定定理知，若一个平面内的

两条相交直线均与另一个平面平行，则这两个平面平行，故C中说

法正确；当一条直线与一个平面内无数条相互平行的直线垂直时，该

直线与平面不一定垂直，故D中说法错误.故选ABC.

答案：ABC

2.如图所示，。为正方体的底面A5CD的中心,

则下列直线中与BxO垂直的是（）

A.A1DB.AA1

C.AiDiD.A1C1

解析：连接B1O1,由题易知A1GJ■平面33101。，又081U平

面ABiOiO,所以A]G_L5]。.故选D.

答案：D

3.将图①中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起，得

到四面体ABCD（如图②），则在四面体A6C0中，A0与3c的位

置关系是（）

A.相交且垂直B.相交但不垂直

C异面且垂直D.异面但不垂直

解析：在翻折前的等腰直角三角形A8C中，斜边上的中线4。

就是斜边上的高，则翻折后，AD与变成异面直线，且

AD±BD9AD±CD9又BDC\CD=D,所以AD工平面BCD,所以

A0_L5C.故选C.

答案：c

4.如图，在斜三棱柱A3C・Ai3iG中，ZBAC=90°,3GJL4C,

则Ci在底面ABC上的射影〃必在（）

A.直线A8上

B.直线BC上

C.直线AC上

□.△ABC内部

解析：连接ACi（图略），由AC_LA6,AC±BCi,ABC}BCI=B9

得4C-L平面ABG.因为ACU平面ABC,所以平面ABGJ■平面ABC.

所以Cl在平面上的射影//必在两平面的交线A〃上.

答案：A

5.（多选题）如图，4。为圆。的直径，NPC4=45。，R1垂直

于圆0所在的平面，〃为圆周上不与点A,C重合的点，ASLPC于

S,ANJLM于N,则下列选项正确的是（）

A.平面ANS_L平面PBC

B.平面ANS_L平面PAB

C.平面_1_平面PBC

D.平面A3C_L平面PAC

解析：因为R1J■平面45GR1U平面R1C,所以平面A5CJL

平面B4C,故D正确；因为8为圆周上不与A,。重合的点，AC为

直径，所以3c_L4B,因为B4J■平面ABC,3CU平面A5C,所以

BC.LPA,又48（1^4=4,所以〃CJ■平面又〃CU平面P8C,

所以平面m平面DBC,故C正确；因为AB_LbC,BC±PA9又

PAr]AB=A,所以BC上平面PAB,所以5c_LAN,又因为AN_LP3,

PBQBC=B9所以ANJ»平面PBC,又ANU平面ANS,所以平面

ANSI■平面PBC,故A正确.因无法判断PB_LAS（或P6_LNS）,故

B不正确.

答案：ACD

6.在矩形A3CO中，AB=1,将△A8O沿矩形的对角线

60所在直线进行翻折，在翻折过程中（）

A.存在某个位置，使得直线AC与直线〃。垂直

ZACB=90°,。是的中点，尸是〃囱上的动点，ABi9O尸交于

点£.要使AM_L平面GOF,则线段外尸的长为.

解析：设用/=占因为ABJL平面GDF,

。尸u平面GO忆所以ABJ■。尸,由已知可得431=啦,

设RtAAAiBi斜边ABi上的高为九则DE=T瓦

又2乂也=周2?+（啦）2,所以入=平,DE=g

JJ

在RtADBiE中,BiE=

在Rt/kOZJI中，由面积相等得乎X

解得x=：.即线段BiF的长为：.

答案"

9.（2020•江苏卷）在三棱柱A5GA/1G中，AB±AC,平

面E,产分别是4C,为C的中点.

（1）求证：£尸〃平面4B】G.

（2）求证：平面A3CJ_平面ABB.

证明：（1）因为E,尸分别是AC,的中点,

所以EF//ABi.

又ERt平面ABiG,ABiU平面AHiCi,

所以屈F〃平面ABxCi.

(2)因为BiCL平面ABC,ABU平面ABC,所以艮

5LAB±AC9BICU平面ABC,

ACU平面A6C,BiCDAC=C,

所以平面AHC.

又因为Abu平面AbBi,

所以平面A31CJ■平面ABBx.

10.(2019•北京卷)如图，在四棱锥P-ABCD中，如，平面ABCD,

底面A6C。为菱形，£为。。的中点.

(1)求证：B。，平面R1C；

(2)若NA5C=60。，求证：平面以3_L平面B4E；

(3)棱尸B上是否存在点尸，使得。尸〃平面R1E?说明理由.

(1)证明：因为帖平面ABCD,

所以PA±BD.

因为底面4BCD为菱形，

所以BD±AC.

又必C1AC=4

所以ADJ-平面PAC.

(2)证明：因为以，平面A3C0,

AEU平面ABCD,

所以PA±AE.

因为底面A3。为菱形，ZABC=60°,且E为CD的中点、,

所以A£«LCD,所以A3«LA£.

又48nB4=4,所以A£J■平面R1A

因为AEU平面R1E,所以平面平面R1E.

（3）解：棱尸3上存在点尸，使得。尸〃平面B4E.

取的中点KPA的中点、G,连接CF,FG,EG,

则FG//AB,且FG=^AB.

因为底面A3C。为菱形，且£为CD的中点,

所以CE//AB,且CE=；A5.

际协FG//CE,且bG=C£.

所以四边形CEGF为平行四边形.所以CF//EG.

因为CFQ平面RIE,£GU平面州£,

所以。尸〃平面PAE.

［综合应用练］

H.（2020•临汾模拟）如图，已知四边形A5C3是边长为1的正

方形，MD_L平面43CD,N3_L平面A3CD,且MD=NB=1,E为

MC的中点，则下列结论不正确的是（）

A.平面5。£_1_平面ABN

B.MCLAN

C.平面CMNJL平面AMN

D.平面BDE〃平面AMN

解析：如图，分别过A,C作平面4BCD的垂线AP,CQ9使得

AP=CQ=19

连接PM,PN,QM9QN,将几何体补成棱长为1的正方体.

所以3CJ■平面A3N,

又3CU平面BCE,

所以平面8CaL平面A8N,故A正确；

连接PH,则PZ?〃MC,显然，PB1AN,

所以MC_LAN,故B正确；

取MN的中点尸，连接A尸，CF9AC.

因为4AMN和4CMN都是边长为啦的等边三角形，

所以AFJLMN,CF工MN,

所以NAFC为二面角AMNC的平面角，因为AF=CF=哗,

AC=也,所以A-+C尸2W4。2,即NAB若，所以平面CMN与

平面AMN不垂直，故C错误；

因为DE//AN,MN〃BD,DEC\BD=D,MNC\AN=N,所以

平面8DE〃平面AMN,故D正确.

答案：C

12.（多选题）如图所示，梯形A5CD中，AD//BC,AD=AB=19

AD±AB9ZBCD=45°,将△AHO沿对角线〃。折起.设折起后点A

的位置为并且平面<50,平面BCD,贝！J()

\.AfDA.BC

B.三棱锥火力8的体积为早

C.CD_L平面480

D.平面A/CJL平面AfDC

解析：因为N54O=90。，AD=AB,所以NA03=NA5Z>=45。，

因为AO〃BC,NBCD=45。,所以.因为平面A/OJ-平面

BCD,CDU平面BCD,所以CD_L平面.因为A，OU平面<BO,

所以CDJ»AT>,故A，O_L〃C不成立，故A错误，C正确.由AB=

AD=1,ZBAD=90°,可得〃。=也，CD=BD=y/l9三棱锥

的体积为三棱锥C・A/O的体积，即为:CDS△,，Bo=；X，ixJxiX

1=手，故B错误.因为CDJ-平面A，BD,45U平面A，RD,所以

CD_LA'氏又A'H«LA'O,ArDACD=D,所以A'BL平面A'DC.又

A/U平面A/C,所以平面A/CL平面A7)C,故D正确,故选CD.

答案：CD

13.正四棱锥S-ABCD的底面边长为2,高为2,E是BC的中点，

动点P在四棱锥的表面上运动，并且总保持PELAC,则动点P的

轨迹的长为.

解析：如图，设ACn3O=。，连接SO,取CO的中点尸，SC

的中点G,连接EF,EG,FG,设E尸交AC于点连接G",

CI)

HEC

易知GH〃SO,所以GH工平面ABCD,

所以4C_LGH,又易知AC-LE尸，且E尸nGH=H,所以AC,

平面

EFG9

故动点P的轨迹是△EFG,

由已知易得石尸=也，

GE=GF=¥，所以△后/G的周长为也+#,

故动点尸的轨迹的长为也十而・

答案：啦+短

14.以，夕是两个平面，ABfCO是两条线段，已知aG£=EF,

AB.La于B,CDla于D,若增加一个条件，就能得出BD±EF9

现有四个条件：

®AC±fi；

②AC与处/?所成的角相等；

③AC与CD在/J内的射影在同一条直线上；

@AC//EF.

其中能成为增加的条件的序号是.

解析：由题意得，AB//CD,所以A,B,C,D四点共面，①

因为AC«L/?,EFU。,

所以ACJ_EP;又因为EFUa,

所以尸，

因为A6DAC=A,所以£户_L平面ABDC,

又因为BOU平面ABOC,所以〃O_LEj%故①能；②由①可知，

若BD±EF成立，则有E尸_L平面ABDC,则有EF±AC成立，而

AC与“，夕所成角相等是无法得到£尸_L4C的，故②不能；③由AC

与CD在夕内的射影在同一条直线上可知E尸，AC,由①可知③能；

④仿照②的分析过程可知④不能.

答案：①③

15.如图，在三棱柱ABC-AiBiCi中，侧棱AAi_L底面ABC,M

为棱AC的中点.A5=5C,AC=29AAI=5.

(1)求证：〃平面小3M；

(2)求证:AG_L平面ACM；

(3)在棱5以上是否存在点N,使得平面AGN,平面AAiCiC?

如果存在，求此时箫的值；如果不存在，请说明理由.

(1)证明：连接与A],两线交于点Q连接OM.

在△MAC中，因为M,0分别为AC,AW的中点，

所以

又因为OMU平面AMM,B1C。平面A由M,

所以3iC〃平面AIM.

(2)证明：因为侧棱AAiJ"底面平面

所以

又因为M为棱4c的中点，AB=BCf所以〃M_LAC.

因为AA】nAC=A,AAi,ACU平面ACGA],

所以3Ml■平面ACCiAi,

所以BM±ACu

因为AC=2,AM=1.

又因为44i=也，在RtZUCC和RtZkAiAM中，

tanZACiC=tanNAiMA=&,

所以NAGC=NAiMA,

即ZAC1C+ZCiAC=N4M4+NGAC=90。，

所以4M«LACi.

因为3MnAi"=/M,BM9AIMU平面AI5M,

所以AG«L平面AIM.

(3)解：当点N为52的中点，即需=；时，

DD\L

平面AGNJ■平面AAiCiC.

证明如下:

设AG