北京市首都师范大学某中学七年级下册数学期末试卷测试卷附答案

北京市首都师范大学附属中学七年级下册数学期末试卷测试卷附答案

一、解答题

1.问题情境：

（1）如图1,ABI/CD,NPA/?=128。，ZPCD=119°.求/APC度数.小颖同学的解题思

路是：如图2,过点P作PE//AB,请你接着完成解答.

问题迁移：

（2）如图3,AQ/4C,点P在射线0W上运动，当点P在A、B两点之间运动时，

ZADP=Na,4PCE=4。.试判断NCP。、Nc、夕之间有何数量关系？（提示：过点

P作PFHAD）,请说明理由；

（3）在（2）的条件下，如果点尸在A、。两点外侧运动时（点尸与点A、B、。三点不

重合），请你猜想NCP。、Na、之间的数量关系并证明.

福用图

2.如图，直线PQNMN,点、C是PQ、MN之间（不在直线0Q,MN上）的一个动点.

（1）如图1，若N1与Z2都是锐角，请写出NC与Nl,Z2之间的数量关系并说明理由；

（2）把直角三角形A8C如图2摆放，直角顶点。在两条平行线之间，CB与PQ交于点

D,C4与MN交于点E,84与尸。交于点尸，点G在线段CE上，连接OG,有

/BDF=NGDF,求三黑的值；

（3）如图3,若点。是MNF方一点，BC平分/PBD,AM平分NC4。，已知

ZPBC=25°,求NAC8+ZAO3的度数.

3.综合与探究

（问题情境）

土老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动

(1)如图1,EF//MN,点A、“分别为直线£/、上的一点，点P为平行线间一点,

请直接写出NQ4/、NPBN和NAP3之间的数量关系；

图1图2

备用图备用图

(问题迁移)

(2)如图2,射线OM与射线ON交于点。，直线〃?//〃，直线”分别交QM、ON于点A、

。，直线〃分别交。W、ON于点、B、C,点P在射线0M上运动，

①当点〃在A、B(不与A、6重合)两点之间运动时，设/4£>P=Na,

4BCP=40.则NCPO,Na,4之间有何数量关系？请说明理由.

②若点/>不在线段A8上之动时(点〃与点A、B、。三点都不重合)，请你画出满足条

件的所有图形并直接写出NCPO，Na，”之间的数量关系.

4.已知：直线48IICD,M,/V分别在直线48,CD±,H为平面内一点，连HM,HN.

(1)如图1,延长H/V至G,N8MH和NGND的角平分线相交于点E.求证：24MEN-

ZMHN=180°；

(2)如图2,N8MH和NHN。的角平分线相交于点E.

①请直接写出NMEN与NMH/V的数量关系：；

②作MP平分/AMH,NQWMP交ME的延长线于点Q,若/H=140。，求/ENQ的度

数.(可直接运用①中的结论)

图1图2

5.如图，已知直线AB//射线CD,NCEB=100。.P是射线E8上一动点，过点P作

PQ//EC交射线8于点Q,连接CP.作/PC/=NPCQ,交直线A8于点F,CG平分

ZECF.

(3)在点P的运动过程中，是否存在这样的情形，使/EGC；/瓦、。=4;3?若存在，求出

NCPQ的度数；若不存在，请说明理由.

二、解答题

6.如图1所示：点£为8c上一点，N4=N。，ABWCD

(1)直接写出N4C8与N8E。的数量关系；

(2)如图2,ABWCD,8G平分NA8E,8G的反向延长线与NEOF的平分线交于H点，若

ZDEB比/GHD大60。，求/DEB的度数;

(3)保持(2)中所求的/DEB的度数不变，如图3,8M平分NEBK,D/V平分NCOE,作

BPWDN,则/P8M的度数是否改变？若不发生变化，请求它的度数，若发生改变，请说明

理由.(本题中的角均为大于0°且小于180。的角).

7.已知宜.线AB〃C£>,M,/V分别为宜线人〃，上的两点且NA/N£>=70。，户为直线

上的一个动点.类似于平面镜成像，点N关于镜面所成的镜像为点Q此时

NNMP=ZQMP2NPM=4QPM,4MNP=NMQP.

(图2)

(1)当点P在/V右侧时：

①若镜像Q点刚好落在直线A4上(如图1),判断直线MN与直线PQ的位置关系，并说

明理由；

②若镜像Q点落在直线与C力之间(如图2),直接写出NBM。与NDPQ之间的数量

关系；

(2)若镜像PQLCD,求/AMQ的度数.

8.已知ABIICD,点M在直线AB上，点N、Q在直线CD上，点P在直线AB、CD之间，

ZAMP=ZPQN=a,PQ平分NMPN.

（1）如图①，求NMPQ的度数（用含a的式子表示）；

（2）如图②，过点Q作QEIIPN交PM的延长线于点E,过E作EF平分/PEQ交PQ于点

F.请你判断EF与PQ的位置关系，并说明理由；

（3）如图③，在（2）的条件下，连接EN,若NE平分NPNQ,请你判断NNEF与NAMP

的数量关系，并说明理由.

（1）如图1,若点D在边BC上，

①补全图形；

②求证：Z4=Z£DF.

（2）点G是线段AC上的一点，连接FG,DG.

①若点G是线段AE的中点，请你在图2中补全图形，判断4FG,NEDG,NZX7F之间

的数量关系，并证明；

②若点G是线段EC上的点，请你直接写出/AFG,NEDG，/ZX/之间的数量关系.

10.（感知）如图①，AB//CD,ZAEP=40,ZPFD=130°,求NE尸尸的度数.小明想到了

以下方法：

.•.Nl=ZAEP=40°（两直线平行,内错角相等）

QAB//CD（已知），

s.PMUCD（平行于同一条直线的两直线平行），

.•.N2+N/77）-180（两直线平行，同旁内角互补）.

•・・NPFO=130（已知），

.,.N2=180-130'=50,（等式的性质）.

.•.Nl+N2=40'+50'=90'（等式的性质）.

即NEW=90°（等量代换）.

（探究）如图②，AB//CD,/AEP=50°,NPR7=120°，求/好平'的度数.

（应用）如图③所示，在（探究）的条件下，NPE4的平分线和NPR7的平分线交于点

G,则/G的度数是°.

三、解答题

11.（1）如图1所示，△48C中，NAC8的角平分线CF与NE4：的角平分线4。的反向延

长线交于点F；

①若N8=90。则/F=；

②若/8=a,求NF的度数（用。表示）；

（2）如图2所示，若点G是C8延长线上任意一动点，连接4G,/AG8与NG48的角平

分线交于点儿随着点G的运动，/F+/H的值是否变化？若变化，请说明理由；若不

12.如图，己如直线allb,ZABC=100°,BD平分NABC交直线a于点D,线段匚「在线段

AB的左侧，线段EF沿射线AD的方向平移，在平移的过程中BD所在的直线与EF所在的

直线交于点P.问/1的度数与/EPB的度数又怎样的关系？

（特殊化）

（1）当N1=40。，交点P在直线a、直线b之间，求NEPB的度数;

（2）当N1=70。，求NEPB的度数;

D

(一般化)

(3)当Nl=n。，求NEPB的度数(直接用含n的代数式表示).

13.如图.直线PQ//MN.一副直角三角板AA8cAz必产中，

/ACB=ZEDF=90,/A8C=N3AC=45\ZDFE=30,ZDEF=60.

(1)若ADE/如图1摆放，当EO平分NPE/时，证明：FD平分NEFM.

图1

(2)若AABCADEF如图2摆放时，则NP/g=

图2

(3)若图2中AA8C固定，将ADE/沿着AC方向平移，边。厂与直线PQ相交于点G,

作ZFG。和NG/%的角平分线G"、"相交于点”(如图3),求NG”厂的度数.

图3

(4)若图2中的周长350几4尸=5"〃，现将A/WC固定，将AD痔沿着C4方向平

移至点尸与A重合，平移后的得到点。、E的对应点分别是。、£,请直接写

出四边形。£4。'的周长.

(5)若图2中AD£产固定，(如图4)将AA3C绕点A顺时针旋转，1分钟转半圈，旋转

至AC与直线AN首次重合的过程中，当线段AC与AD即的一条边平行时，请直接写出旋

转的时间.

14.互动学习课堂上某小组同学对一个课题展开了探究.

小痉：已知，如图三角形48C,点。是三角形ABC内一点，连接/〃），CD,试探究

NBDC与ZA,Zl,N2之间的关系.

小明：可以用三角形内角和定理去解决.

小丽：用外角的相关结论也能解决.

（1）请你在横线上补全小明的探究过程：

1/ZBDC+ZDBC+ZBCD=180°,（）

ZBDC=180°-ZDBC-ZBCD,（等式性质）

「ZA+Zl+Z2+ZDBC+ZBCD=180°,

ZA+N1+N2=180°-NOBC-N8CD,

Z«DC=Z4+Z1+Z2.（）

（2）请你按照小丽的思路完成探究过程；

（3）利用探究的结果，解决下列问题：

①如图①，在凹四边形A8CO中，N8力C=135。，ZB=ZC=25°,求NA=；

②如图②，在凹四边形A8CO中，NA8D与NA8的角平分线交于点E,Z4=60°,

ZBDC=140°,则ZE=_____；

③如图③，ZABD,4CD的十等分线相交于点、"、F2、…、居，若N80c=120。，

ABF.C=64°,则4的度数为；

④如图④，/BAC,/8DC的角平分线交于点E,则BB,NC与NE之间的数量关系是

⑤如图⑤，ZABD,44C的角平分线交于点E,NC=40°,ZBDC=140°,求的

度数.

A

15.已知MV//G”,在R心ABC中，44。8=90。,/区4。=30。，点A在MN上，边BC在

GH上，在心△。所中，N。在1=90°,边。石在直线4B上，ZEDF=45°；

（1）如图1,求N84N的度数；

（2）如图2,将R/AOE尸沿射线8A的方向平移，当点尸在M上时，求NA庄度数；

（3）将自△OEF在直线A8上平移，当以4D、尸为顶点的三角形是直角三角形时，直

接写出NFAN度数.

【参考答案】

一、解答题

1.（1）见解析；（2）,理由见解析：（3）①当在延长线时（点不与点重合），；②

当在之间时（点不与点，重合），.理由见解析

【分析】

（1）过P作PEIIAB,构造同旁内角，利用平行线性质，可得NAPC=

解析：（1）见解析；（2）NCPO=Na+180。-/，，理由见解析；（3）①当尸在胡延

长线时（点P不与点A重合），ZCPD=18O0-Z/7-Za；②当P在BO之间时（点P不与

点B,。重合），NCPO=N。—180。+/4.理由见解析

【分析】

（1）过P作PEIIA8,构造同旁内角，利用平行线性质,可得N4PC=113。；

（2）过过?作ZYV/AO交CO于产，，推出AO///¥7/8C,根据平行线的性质得出

?BCP180??〃，即可得出答案；

（3）画出图形（分两种情况：①点P在84的延长线上，②当P在80之间时（点P不与

点3,。重合）），根据平行线的性质即可得出答案.

【详解】

解：（1）过尸作庄//4人

AB//CD,

：.PE//AB//CDt

\?APEW^4B=180,NCPE+/PCD='8O。,

N"3=128。，NPCD=119。

：.ZAPE=52°,NCPE=61。,

/.Z4PC=52O+61O=113°；

（2）ZCPD=Za+180°-Z/7,理由如下：

如图3,过〃作7Y7/AO交CO于尸，

AD//BC,

.'.AD//PF//BC,

:.ZADP=/DPF,/BCP=NCPF,

NBCP+ZPCE=180°,NPCE=邛,

/.ZZ?CP=1800-Z/?

又.ZADP=Za

\?CPD1DPF代PF=a+180??b；

（3）①当尸在胡延长线时（点?不与点A重合），ZCPD=1800-Z/?-Z^;

理由：如图4.过。作P尸//4。交。。千户，

AD//BC,

:.AD//PF//BC,

:.ZADP=/DPF,ABCP=NCPF,

VZ5CP+ZPCE=180°,4PCE=4。，

.♦.N8CP=18。。—//,

又•.ZADP=/a,

/CPD=NCPF-4DPF=180°-Z«-Z/7;

②当P在8。之间时（点。不与点入。重合），ZCPD=Za-180°+Zy9.

理由：如图5,过P作ZW/AO交C。十尸，

AD/IBC,

AD/IPFI/BC,

:.ZADP=NDPF,/BCP=NCPF,

.ZfiCP+ZPCE=180°,ZPCE=Z/y,

/.Z^CP=180°-Z/?,

又•.NA£>P=Na

/.NCPD=ZDPF-ZCPF=Na+-180。.

本题考查了平行线的性质的应用，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线

构造内错角以及同旁内角.

2.（1）见解析；（2）；（3）75°

【分析】

（1）根据平行线的性质、余角和补角的性质即可求解.

（2）根据平行线的性质、对顶角的性质和平角的定义解答即可.

（3）根据平行线的性质和角平分线的定义以

解析：（1）见解析：（2）J；（3）75°

【分析】

（1）根据平行线的性质、余角和补角的性质即可求解.

（2）根据平行线的性质、对顶角的性质和平角的定义解答即可.

（3）根据平行线的性质和角平分线的定义以及三角形内角和解答即可.

【详解】

解：（1）NC=Z1+Z2,

证明：过C作川MN,如卜.图所示，

,//IIMN,

AZ4=Z2（两直线平行,内错角相等）,

•//IIMN,PQIIMN,

/./IIPQ,

AZ3=Z1(两直线平行，内错角相等)，

/.Z3+Z4=Z1+Z2,

ZC=Z1+Z2；

(2)Z8DF=/GDF,

,：ZBDF=NPDC,

ZGDF=APDC,

1/ZPDC+ZCDG+ZGDF=180°,

/.ZCDG+2ZPDC=180°,

ZPDC=90°-yZCDG,

由(1)可得，NPDC+NCEM=NC=90°,

ZAEN=iCEM,

：,CAENNCEM_90°-ZPDC_900~(90°~ZCDG)_1,

ICDG~ZCDG-NCDG-NCDG-2

(3)设8D交M/V于J.

,/8c平分NPBD,AM平分NGA。，NPBC=2S0,

ZP8D=2NPBC=5Q°,ZCAMMMAD,

'：PQIIMN,

ZBJA=NPBD=50°,

ZAO8=NAJB-Z.JAD=50a-AJAD=50°-ACAM,

由(1)可得，N2C8=NPBC+NCAM,

/.Z4CB+NADB=NPBC+AC4/V/+500-ZC4M=250+50°=75°.

【点睛】

本题考查了平行线的性质、余角和补角的性质，解题的关键是根据平行找出角度之间的关

系.

3.(1)；(2)①，理由见解析；②图见解析，或

【分析】

(1)作PQIIEF,由平行线的性质，即可得到答案；

(2)①过作交于，由平行线的性质，得到，，即可得到答案；

②根据题意，可对点P进行分类讨论

解析：(1)Z.PAF+zlPBN+ZAPB=3600；(2)①NCTO-Na+N/7,理由见解析；

②图见解析，4CPD=40—4a或4CPD=4a-4。

【分析】

(1)作PQIIEF,由平行线的性质，即可得到答案；

(2)①过。作PE//AO交CD于E,由平行线的性质，得到Na=NOPE,"=/CPE,

即可得到答案；

②根据题意，可对点P进行分类讨论：当点P在及延长线时；当户在BO之间时；与①

同理，利用平行线的性质，即可求出答案.

【详解】

解：(1)作PQIIEF,如图：

图1

,/EF//MN,

/.EF//MN//PQ,

ZPAF+ZAPQ=180°,4PBN+NBPQ=180°,

•「ZAPB=ZAPQ+/BPQ

/.ZPAF+ZPI3N+ZAPI3=360°；

(2)①NCPD=Na+"；

理由如下：如图，

过P作PE//AD交CD于E,

•/AD//BC,

：.AD//PE//BC,

4a=/DPE,"=/CPE,

NCPD=NDPE+NCPE=/a+N/3；

②当点”在8A延长线时，如备用图1：

M

备用图1

•/PEWADW8C,

•NEPC=0,ZEPD=a,

ZCPD=Z/?-ZfZ；

ZEPD=a,ZCPE=。,

乙CPD=4a-40.

【点睛】

本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行同旁内角互补，两直线平行

内错角相等，从而得到角的关系.

4.（1）见解析；（2）①2NMEN+NMHN=360°；②20°

【分析】

（1）过点E作EPIIAB交MH于点Q,利用平行线的性质、角平分线性质、邻

补角和为180。，角与角之间的基本运算、等量代换等即

解析：（1）见解析；（2）①2NMEN+NMHN=360。；②20。

【分析】

（1）过点E作EPII48交于点Q,利用平行线的性质、角平分线性质、邻补角和为

180%角与角之间的基本运算、等量代换等即可得证.

（2）①过点H作G川航，利用（1）中结论2NM£N・NMHN=180°,利用平行线的性

质、角平分线性质、邻补身和为180。，角与角之间的基本运算、等量代换等得出NAMH+

ZHNC=360°-QBMH+4HND）,进而用等量代换得出2/ME/V+/MHN=360。.

②过点H作HTWMP,由①的结论得2ZMEN+NMHN=36Q°,ZH=140。，ZMEN=

110°.利用平行线性质得NENQ+NENH+N/VH7=180。，由角平分线性质及邻补角可得

NE/VQ+NENH+140。-g(180°-ZBMH)=180°.继续使用等量代换可得/E/VQ度数.

【详解】

解：(1)证明：过点E作EPII48交MH于点Q.如答图1

ZMEQ=Z.BME=；NBMH.

,/EPWAB,ABWCD,

：.EP\lCD,又NE平分NGND,

：.£QEN=乙DNE=%GND.(两百线平行,内错角杆等)

ZMEN=Z.MEQ+NQEN=g/8MHGND=^(ZBMH+NGND).

/.2ZMEN=ABMH+NGND.

,/ZGNO+NDNH=130°,ZDNH+NMHN=NMON=ZBMH.

ZDHN=ZBMH-ZMHN.

/.ZGA/D+ZBMH-ZMHN=180°,

即2ZMEN-ZMHN=180°.

答图2

由(1)可得NMEN=J(Z8/WH+ZHND),

由图可知/MHN=Z.MHI+NNHL

,：GIWAB,

ZAMH=Z.MHI=1800-ZBMH,

,/6/IIAB,4811CD,

GIWCD.

：.ZHA/C=ZNHI=180°-ZHND.

Z4MH+/HNC=1300-ZBMH+180°-ZHND=360°-(ZBMH+Z.HND).

又NAMH+NHNC—Z."H/+NNHI-KMHN,

ZBMH+ZHND=360°-ZMHN.

即2NMEN+NMHN=360°.

故答案为：2/MEN+NMHN=360°.

②：由①的结论得2/MEN+NMHN=360°,

ZH=ZMHN=140°,

/.2ZMEN=360°-140°=220°.

ZMEN=110°.

过点/■/作“rilMP.如答图2

,/MPWNQ,

HTWNQ.

E/VQ+NENH+NNHT=180。(两直线平行，同旁内角互补).

•「Mp平分/AMH,

:/PMH=；/AMH=g(180°-ZBMH).

,/ZNHT=Z.MHN-ZMHT=140°-ZPMH.

：.Zf/VQ+zE/VH+1400-；(180°-ZBMH)=180°.

,/ZENH=；/HND.

ZE/VQ+g/H/VD+1400-90°+BMH=180°.

：.ZE/VQ+y(HND+ZEMH)=130。.

/.ZE/VQ+^-ZMEN=130".

/.ZENQ=1300-11O0=2O°.

【点睛】

本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，邻补角，等量代换，角之间的数量关系运

算，辅助线的作法，正确作出辅助线是解题的关键，本题综合性较强.

5.(1)40°；(2)65°：(3)存在，56°或20。

【分析】

(1)依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到NPCG的度数；

(2)依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到NECG=NG

解析：(1)40。；(2)65°；(3)存在，56。或20。

【分析】

(1)依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到NPCG的度数；

(2)依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到NECG=NGCF=25。，再根据

PQIICE,即可得出/CPQ=ZECP=65°；

(3)设NEGC=4x,ZEFC=3x,则NGCF=4x-3x=x,分两种情况讨论：①当点G、F在点E

的右侧时，②当点G、F在点E的左侧时，依据等量关系列方程求解即可.

【详解】

解：(1)/ZC£B=100°,ABWCD,

ZECQ=80°,

•「ZPCF=ZPCQ,CG平分NECF,

ZPCG=NPCF+NFCG=^ZQCF+^ZFCE=yZ£CQ=40°；

(2),/ABWCD

ZQCG=ZEGC,ZQCG+ZECG=NECQ=80",

/.ZEGC+ZECG=80°,

又•「ZFGC-ZECG=30°,

ZEGC=55V,ZECG=25V.

ZECG=ZGCF=25°,NPCF=NPCQ=；(800-50°)=15°,

,/PQIICE,

ZCPQ=ZECP=65°；

(3)设N£GC=4x,NEFC=3x,则NGCF=NFCD=4x-3x=x,

①当点G、F在点E的右恻时，

ZECD=80°,

x+x+—x+—x=80°,

22

解得x=16。，

②当点G、F在点E的左侧时,

,/ZCGF=180°-4x,ZGCQ=800+x,

1800-4x=800+x,

解得x=20。，

...ZFCQ=ZECF+NECQ=4C0+80°=120°.

ZPCQ=-jZFCQ=60°,

ZCPQ=NECP=80°-60°=20<,.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，

内错角相等.

二、解答题

6.(1);(2)；(3)不发生变化，理由见解析

【分析】

(1)如图1,延长DE交AB于点F,根据平行线的性质推出；

(2)如图2,过点E作ESIIAB,过点H作HTIIAB,根据ABIICD,ABIIE

解析：⑴ZAC8+N8EO=18()。；(2)100。；(3)不发生变化，理由见解析

【分析】

⑴如图1,延长交48于点F,根据平行线的性质推出NAC3+/BED=180。；

(2)如图2,过点E作臼IIA8,过点H作HTII48,根据八811CD,4811£S推出

十NC7)£,再根据A8II7片，A8IIC。推出NG〃/)=NTT/D-N7™,最后根

据ZBED比ZBHD大600得出ZBED的度数；

⑶如图3,过点E作EQIIDN,根据=得出力一仪的度数，根据条件

再逐步求出NP8W的度数.

【详解】

⑴如答图1所示，延长DE交AB于点、F.

4fillCD,所以ND=NEFB,

又因为N4=NO,所以NA=N£/话，所以ACIIDF,所以ZACB=NCED.

因为NCED+NBED=180°,所以ZACB+NBED=180°.

⑵如答图2所示，过点E作的M8,过点H作H7II4B.

设ZABG=N£BG=a,/FDH=NEDH=0,

因为A8IICD,ABWES,所以=ZSED=ZCED,

所以ZBED=NBES+ZSED=ZABE+NCDE=2«+180°-2/7,

因为A8IITH,ABWCD,所以乙ABG=NTHB,NFDH=4DHT,所以

4GHD=Z.THD-Z.THB=〃-a,

因为N8£O比/却〃)大60。，所以2。+180。-2/7一(《一0=60。，所以/7—a=40。，所以

NBHD=40。,所以/8切=100。

⑶不发生变化

如答图3所示，过点E作EQIIDN.

设4CDN=4EDN=a,4EBM=4KBM=p,

由⑵易知N0E8=NCDE+ZABE,所以20+180。-2〃=100。，所以〃—a=40。，

所以NDEB=NCDE+NEDN+180°一(NEBM+NPBM)=a+18()。一/一/PBM,

所以4PBM=80°-(//-a)=40°.

【点睛】

本题考查了平行线的性质，求角的度数，正确作出相关的辅助线，根据条件逐步求出角度

的度数是解题的关键.

7.(1)①，证明见解析，②，(2)或.

【分析】

⑴①根据和镜像证出，即可判断直线与直线的位置关系，②过点Q作

QFIICD,根据平行线的性质证即可；

⑵过点Q作QFIICD,根据点P的位置不同，

解析：(1)①MN//PQ,证明见解析，②N8MQ+NOPQ=70。，(2)160。或20°.

【分析】

⑴①根据A4〃C。和镜像证出=即可判断直线MN与直线尸。的位置关

系，②过点Q作QFIICO,根据平行线的性质证=即可；

⑵过点Q作QFIICD,根据点P的位置不同，分类讨论，依据平行线的性质求解即可.

【详解】

(1)①MN//PQ,

证明：AB//CD,

：.4NPM=4QMP,

•「4NMP=NQMP*NNPM=NQPM,

4NMP=4QPM,

：.MN//PQ；

②过点Q作QFIICD,

AB//CD,

ABHCDUQF,

NBMQ=Z1,N2=ZQPD,

ZBMQ+ZDPQ=ZMQP,

4MNP=4MQP=10。，

：.N8MQ+NOPQ=70。：

(2)如图，当点P在N右侧时，过点Q作QFIICD,

同(1)得，AB//CD//QF,

：.Z.FQP+NNPQ=180°,ZFQM=NBMQ,

•「PQ±CD,

NNPQ=90。，

ZFQP=90°f

•/4MND=/PQM=10。,

4FQM=20°,

/BMQ=70°,

如图，当点P在/V左侧时，过点Q作QFIICD,同（1）,AB//CD//QF,

同理可得，NFQP=90。，

1/NMND=70。，

/MNP=/PQM=\\2。,

/FQM=20°,

•「ABI/QFf

：.N/'QM+N4MQ=180。，

NBMQ=16O。；

综上，N8MQ的度数为160。或20。.

【点睛】

本题考查了平行线的性质与判定，解题关键是恰当的作埔助线，熟练利用平行线的性质推

导角之间的关系.

8.（1）2a；（2）EFJ.PQ,见解析；（3）ZNEF=ZAMP,见解析

【分析】

1）如图①，过点P作PRIIAB,可得ABIICDIIPR,进而可得结论；

（2）根据已知条件可得2ZEPQ+2NPEF=

解析：（1）2a；（2）EFJLPQ,见解析：（3）NNEF=g/AMP,见解析

【分析】

1）如图①，过点P作PRIIAB,可得ABIICDIIPR,进而可得结论；

（2）根据已知条件可得2NEPQ+2NPEF=180。，进而可得EF与PQ的位置关系；

（3）结合（2）和已知条件可得NQNE=NQEN,根据三角形内角和定理可得NQNE=g

（180°-ZNQE）=；（180°-3a）,可得NNEF=1800-NQEF-NNQE-NQNE,进而可

得结论.

【详解】

图①

•••ABIICD,

ABIICDIIPR,

/.ZAMP=ZMPR=a,ZPQN=ZRPQ=a,

/.ZMPQ=ZMPR+ZRPQ=2a；

（2）如图②，EFJLPQ,理由如下：

E

AA/B

图⑵

,/PQ平分NMPN.

ZMPQ=ZNPQ=2a,

QEIIPN,

/.ZEQP=ZNPQ=2a,

/.ZEPQ=ZEQP=2a,

,/EF平分NPEQ,

...ZPEQ=2NPEF=2ZQEF,

•「ZEPQ+NEQP+NPEQ=180°,

2ZEPQ+2NPEF=180°,

ZEPQ+NPEF=90",

ZPFE=180°-90*=90°,

/.EFJ_PQ：

(3)如图③，ZNEF=^ZAMP,理由如下:

图③

由(2)可知：ZEQP=2a,ZEFQ=90°,

ZQEF=90°-2a,

ZPQN=a,

ZNQE=ZPQN+ZEQP=3a,

丁NE平分/PNQ,

ZPNE=ZQNE,

,/QEIIPN,

ZQEN=NPNE,

/.ZQNE=NQEN,

ZNQE=3a,

/.ZQNE=y(180°-ZNQE)=y(180°-3a),

/.ZNEF=180°-ZQEF-ZNQE-ZQNE

=180°-(90°-2a)-3a-J(180°-3a)

3

=180°-90°+2a-3a-904-a

2

=?a

/AMP.

/.ZNEF=yZAMP.

【点睛】

本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，熟悉相关性质是解题的关键.

9.（1）①见解析；②；见解析（2）①NAFG+NEDG=NDGF；（2）ZAFG-

ZEDG=ZDGF

【分析】

（1）①根据题意画出图形；②依据DEIIAB,DFIIAC,可得

ZEDF+ZAFD=180°,Z

解析：（1）①见解析；②；见解析（2）①iAFG"EDG=NDGF；②/4FG-

ZEDG二，DGF

【分析】

（1）①根据题意画出图形；②依据DEIIA8,DFWAC,可得NEDF+NAFD=180°,

ZA+N4FD=180°,进而得出NEDF=NA：

（2）①过G作GHIIA8,依据平行线的性质，即可得到

ZAFG+NEDG=NFGH+NDGH=ZDGF；②过G作GHII48,依据平行线的性质，即可得到

ZAFG-4EDG=/FGH-NDGH必DGF.

【详解】

解：（1）①如图,

②:DEWAB,DFWAC,

EOF+NAFO=180°,Z,4+ZAFD=180°,

：.ZEDF=ZA；

(2)①NAFG+NEDG=NDGF.

如图2所示，过G作GHIM8,

・「4811DE,

GHWDE,

：.ZAFGMFGH,ZEDG"DGH,

ZAFG+NEDG=NFGH+ZDGHMDGF；

②NAFG-/EOG=NDGF.

如图所示，过G作GHWAB,

,：AB\\DE,

/.GHWDE,

/.ZAFG"FGH,ZEDG=4DGH,

ZAFG-4EDG=WFGH-40GH=NDGF.

【点睛】

本题考查了平行线的判定和性质：两直线平行，内错角用等.正确的作出辅助线是解题的

关键.

10.［探究］70。；［应用］35

【分析】

［探究］如图②，根据ABIICD,ZAEP=50°,ZPFC=120°,即可求NEPF的度数.

［应用］如图③所示，在［探究］的条件下，根据NPEA的平分线

解析：［探究］70。；［应用］35

【分析】

［探究］如图②，根据ABIICD,ZAEP=50°,ZPFC=120°,即可求NEPF的度数.

［应用］如图③所示,在［探究］的条件下，根据NPEA的平分线和NPFC的平分线交于点G,

可得NG的度数.

【详解】

AZMPE=ZAEP=50°（两直线平行，内错角相等）

ABHCD（已知），

APMIICD（平行于同一条直线的两直线平行），

AZPFC=ZMPF=120°（两直线平行,内错角相等）.

ZEPF=ZMPF-MPE=120-50o=70o（等式的性质）.

答:NEPF的度数为70。；

［应用汝口图③所示，

,/EG是NPEA的平分线，PG是NPFC的平分线，

图③

过点G作GMIIAB,

ZMGE=ZAEG=25。（两直线平行，内错角相等）

VABHCD（已知），

AGMIICD（平行于同一条直线的两直线平行），

/.ZGFC=ZMGF=60°（两直线平行，内错角相等）.

ZG=ZMGF-MGE=60°-25°=35<>.

答：NG的度数是35。.

故答案为；35.

【点睛】

本题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论，解决本题的关键是掌握平行线的判定

与性质.

三、解答题

11.（1）①45。；②/F=a；（2）NF+NH的值不变，是定值180。.

【分析】

（1）①②依据AD平分NCAE,CF平分NACB,可得NCAD二NCAE,

NACF:NACB,依据NCAE是△ABC

解析：（1）①45°；②（2）NF+NH的值不变，是定值180。.

【分析】

（1）①②依据AD平分NCAE,CF平分NACB,可得NCAD=；NCAE,ZACF=yZACB,

依据/CAE是AABC的外角，可得NB=NCAE-/ACB,再根据NCAD是△ACF的外角，即可

得到/F=ZCAD-ZACF=-ZCAE--ZACB=-(ZCAE-ZACB)=-ZB；

2222

(2)由(1)可得，NF=g/ABC,根据角平分线的定义以及三角形内角和定理，即可得

到/H=90°+^-ZABG,进而得到/F+ZH=90°+^-ZCBG=180°.

22

【详解】

解：(1)①/4?平分/CAE,CF平分NACB,

ZCAD=-Z.CAE,ZACF=-Z.ACB,

22

•・,/6£是4ABC的外角，

/.ZB=ZCAE-ZACB,

•.•/。八。是447尸的外角，

「•NF=NGW・NACF=』NCAE-4C8=!(ZCAE-ZZ^CB)=-Z8=45°,

2222

故答案为45。；

②4。平分/CAE,CF平分NACB,

1I

ZCAD=—Z.CAE,ZACF=—Z.ACB,

22

••1ZCAE是△ABC的外角，

Z8=NCAE-ZACB,

,/ZCAD是AACF的外角，

111/、11

ZF=NCAD-ZACF=-ZCAE--ZACB=—(ZCAE-ZACB)=-Z8=-a；

22222

(2)由(1)可得，ZF=yZ4BC,

ZAGB与/GAB的角平分线交于点H,

11

二.NAGH—/AGB,Z6AH=~ZGAB,

22

ZH=180°-(Z4GH+ZGAH)=180°--(Z>4G8+ZGAB)=180°--(180°-

22

ZABG)=90°+-AABG,

2

III

/.ZF+ZH=-NA8c+9(T+-NA8G=9(T+-NCBG=180\

222

ZF+ZH的值不变，是定值180°.

【点睛】

本题主要考查了三角形内侑和定理、三角形外角性质的综合运用，熟练运用定理是解题的

关键.

12.(1)ZEPB=170°；(2)①当交点P在直线b的下方时：ZEPB=20°,

②当交点P在直线a,b之间时：ZEPB=160°,③当交点P在直线a的上方

时：ZEPB=Z1-50o=20o；(3)①当

解析：（1）NEPB=170。；（2）①当交点P在直线b的下方时：ZEPB=20°,②当交点

P在直线a,b之间时：ZEPB=16O°,③当交点P在直线a的上方时：ZEPB=Z1-500=

20。；（3）①当交点P在直线a,b之间时：ZEPB=180°-|n°-50°|；②当交点P在直

线a上方或直线b下方时：ZEPB=|n0-50°|.

【分析】

（1）利用外角和角平分线的性质直接可求解：

（2）分三种情况讨论：①当交点P在直线b的下方时；②当交点P在直线a,b之间

时：③当交点P在直线a的上方时：分别画出图形求解：

（3）结合（2）的探究，分两种情况得到结论：①当交点P在直线a,b之间时；②当交

点P在直线a上方或直线b下方时；

【详解】

解：（1）,/BD平分NABC,

/.ZABD=ZDBC=yZA3c=50。，

,/Z£「8是4PFB的外角,

ZEPB=NPFB+ZPBF=Z1+（180°-50°）=170°；

（2）①当交点P在直线b的下方时：

ZEPB=Z1-50°=20°；

②当交点P在直线a,b之间时:

ZEPB=50°+(180°-Z1;=160°；

③当交点P在直线a的上方时：

ZEPB=Z1-50°=20°；

(3)①当交点P在直线a,b之间时：ZEPB=180°-|no-50°|；

②当交点P在直线a上方或直线b下方时：ZEPB=|n0-50。|；

【点睛】

考查知识点：平行线的性质；三角形外角性质.根据动点P的位置.，分类画图，结合图形

求解是解决本题的关键.数形结合思想的运用是解题的突破口.

13.(1)见详解；(2)15°；(3)67.5°；(4)45cm；(5)10s或30s或40s

【分析】

(1)运用角平分线定义及平行线性质即可证得结论；

(2)如图2,过点E作EKIIMN,利用平行线性

解析：(1)见详解：(2)15°；(3)67.5°；(4)45cm；(5)10s或30s或40s

【分析】

(1)运用角平分线定义及平行线性质即可证得结论；

(2)如图2,过点E作EKIIMN,利用平行线性质即可求得答案；

(3)如图3,分别过点F、H作FLIIMN,HRIIPQ,运用平行线性质和角平分线定义艮J可

得出答案；

(4)根据平移性质可得D2=DF,DD,=EE/=AF=5cm,再结合DE+£F+DF=35cm,可得

出答案；

(5)设旋转时间为t秒，由题意旋转速度为1分钟转半圈，即每秒转3。，分三种情况：

①当时，②当8GIEF时，③当8cliDF时，分别求出旋转角度后，列方程求解

即可.

【详解】

(1)如图1,在^DEF中，ZEDF=90°,ZOFE=30。，ZDEF=60°,

图1

,/ED平分/PEF,

ZPEF=2ZPED=2ZD£F=2x60°=120°,

PQIIMN,

：.ZMF£=180o-ZPEF=180°-120°=60°,

/.ZMFD=NMFE-Z.OFE=60°-30°=30°,

/.ZMFD=Z.DFE,

FD平分/EFM；

(2)如图2,过点E作EKIIMN,

D

图2

,/Z%C=45°,

/.ZKEA=484C=45°,

,/PQIIMN,EKWMN,

：.PQIIEK,

ZPDE=Z.DEK=Z.DEFYKEA,

又•「ZDEF=60°.

：.ZPDE=60°-45°=15°,

故答案为：15。；

(3)如图3,分别过点F、H作FillMN,HRIIPQ,

D

图3

ZLFA=Z.BAC=45°,，RHG=NQGH,

FL\lMN,HRIIPQ,PQIMN,

FLIIPQIIHR,

：.ZQGF+NGFL=130°,ZRHF=N