高考数学压轴题精解100题(答案)

高考数学压轴题汇总详细解答

/、[1-ax,1<x<2

1.解：(I)g(x)=V/\

)[(l-^z)x-l,2<x<3

(1)当。<0时，函数g(x)是[1,3]增函数，此时，go.=g(3)=2—3a,

g(x)min=g(l)=l-〃，所以=1;----2分

(2)当〃>1时，函数g(x)是[1,3]减函数,此时，g(x)min=^(3)=2-3a,

g(xL«=g(D=l一入所以〃(。)=2”一1；-------4分

(3)当04aAi时，若xe[l,2],则g(x)=l—ax,有g(2)4g(x)Wg⑴；

若xe[2,3],贝ijg(x)=(l-a)x-l,有g(2)<g(x)Wg⑶：

因此，g(x)而“=g(2)=l—2a,-------6分

而g(3)-g⑴=(2-3。)-(1-a)=l-2a,

故当时，=g(3)=2-3a,有％(a)=l-a；

当时,g(力m”=g(l)=l—a,有h(a)=a；--------8分

数形结合，可得"我一〃图［。——14分

2.解:(I)先用数学归纳法证明0<an<l,neN\

(1)当n=l时,由已知得结论成立；

(2)假设当n=k时，结论成立，即0<%<1.则当n=k+l时，

1Y

因为0<xv1时,/'(X)=1------=——>0,所以f(x)在(0,1)上是增函数.

X+lX+1

又f(x)在[0,1]上连续，所以f(0)<f(ak)<f(l),即0<4+1<1-。2<1.

故当n=k+l时,结论也成立.即0<《,<1对于一切正整数都成立.--------4分

又由0<a“<1,得=a“-ln(l+a“)-a”=一m(1+4)<0,从而4+1<4.

综上可知0<an+]<an<l.--------6分

V2X2

(II)构造函数g(x)=--f(x)=—+ln(14-x)-x,0<x<l,

由g'(x)=±T>0，知g(x)在(0,1)上增函数.又g(x)在[0,1]上连续，所以g(x)>g(0)=0.

因为0<<1,所以g)>0,即当•一/(%)>0,从而an+]<--------10分

(111)因为a=；也+斗〃+地，所以",行中，

hhhI

所以6———•n]…—,h,N—•n!--------①,--------12分

%心242〃

2

由知:&±L<%所以%%今卬生。“一1

an2和an-\222

因为q,n>2,0<an+]<cin<1.

,a,a、ci„ict,"2•a；1-

所以句〈」」…-L=-------------------14分

n2222"~'2"2"

由①②两式可知：bn>ann\.--------16分

Y—Q

3.(I)在/(X]+X,)+/(X]—/)=2/(X])cos2%2+44sin?%中，分别令v'

x2=x

/(x)+/(-x)=2cos2x+4〃sin2x,①

-rr

f(-+x)+f(x)^2a,②

/(y+A:)+f(-x)=2(ce^3x)+4^zsin2(x③

由①+②—③，

TC

1_,21-cos2(—Fx)

得力(尤)=2Q+2COS2X_2COS(1+2X)+4〃[^—JX4。-------------

=2a+2(cos2x+sin2x)-2tz(cos2x+sin2x)Af(x)=〃+J^(l-a)sin(2x+—)

4

(11)当x£[(3,—时，sin(2x4—)e[—,1].

442

/y

(1)当〃vl时，1=a+>/^[—^―(1—〃)]W/(x)Wa+—a)W2.

即1一后W(l—收)aW2-VL-y/iWaC

(2)V|/(x)|^2,当〃21时，一2W〃+依1-a)W/(x)WL即1WQW4+30.

故满足条件〃的取值范围[-应，4+3收].

4.(1)2b=2b=l,e=土='°也==a=2.e=6

aa2

椭圆的方程为/■+/=1(2分)

4

(2)设AB的方程为y=履+

y=kx+6

-2y/3k-1

由(J=(女2+4)尤22^kx-1=0^

++九2

^—+X2=l

I4

(4分)

由己知

0=+，，:2=XtX2+；(储+百)(丘2+V3)=(1+-^-)%1%2+—^-(x,+》2)+]

6k-2y/3k3Azg,,.’r八、

+-------；---+—，解2得％=±2(7分)

4k2+44

(3)当A为顶点时，B必为顶点.S〃AOB=1(8分)

当A,B不为顶点时，设AB的方程为y=kt+b

y=kx+h

-2kh

222

v2,^(k+4)x+2kbx+/?-4=+x2=—

+x=1kL+4

I4

"4

“2k2+4

x/2=必乃=0ox/2+(3+份(丘2+b)=0代入整理得：2b1+k2=4(11分)

c1.1,,,/,,2.,1川4"2_折+164.

XX==1

5=--l&llx,-x2\=-\b\y](x[+x2)-4,21=------------------ljT7

所以三角形的面积为定值.(12分)

12

MnM

5(1)an=1(10-l)10+1-(10-l)........................(2分)

110〃_110〃_1

=-(10〃-1)•(10〃+2)=+1)...........................(4分)

933

记：A=------,则A=33……3为整数

3'~~"'

“个

•an=A(A+l),得证...............................................(6分)(2)

"999

112

242/,2

Sn=-(10+10+……+10)+-(10+10+……10")--/1

=—(102,,+2+11-10,,+1-198/7-210)...................................(12分)

6、解：(I)易知a=J~5,b=2,c=1,.,.F[=(-l,0),F2(1,0)

设P(x,y),则丽•丽=(-l—x,-y)-(l—x,-y)=x2+/一1

x2+4--x2-i=-x2+3

55

X€[~\/5^,A/5]，

.•.当x=0,即点P为椭圆短轴端点时，丽•所有最小值3；

当x=±旧,即点P为椭圆长轴端点时，丽•所有最大值4

(II)假设存在满足条件的直线/易知点A(5,0)在椭圆的外部，当直线/的斜率不存在时,

直线/与椭圆无交点，所在直线/斜率存在，设为k

直线/的方程为y=A(x—5)

f22

二+匕=1

由方程组454一，得(5公+4)/—50-%+]25%2-20=0

y=k(x-5)

依题意公=20(16—80/)>0,得—].<%<?

当-----<k<•时，设交点C（X],y1）、。（/，为），CD的中点为R（Xo，y（））,

nil50k2%+%225k2

则/=—o——，X。=-——=———

125女2+4°25k2+4

八，，25k2--20k

••y(\=k-5)=A(z5)=~

°°51+451+4

又IF2cl=IF?DIOF述[IOk&R=-1

20&

0-(-

5/+420k2

・・k•kF#k--------

25k24-2042

5k2+4

.*.20k2=20k2-4,而20k2=201?-4不成立，所以不存在直线/，使得IF2c1=回口1

综上所述，不存在直线/,使得IF2CITF2DI

7、解：（1）依题意，曲线M是以点P为焦点，直线/为准线的抛物线，所以曲线M的方程为y2=4x.

（2）⑴由题意得,直线AB的方程为：y=-V3（x-匚卢（x-1）消去丫得:

——X

11Q/Q16

2

3X-10X+3=0,解得X1=—,X2=3.所以A(-,*),B(3,解石),1ABI=x.+x2+2=—.

3333

假设存在点C(-1,y),使AABC为正三角形，则IBCITABI且IACI=IABI,即

(3+1)2+(y+2内7=g)2,「4?H14R

■.9A相减得：42+(丫+26)2=(£)2+(丫一包)2,解得丫=—4(不符,舍)

(_+l)2+(y)2.(_)2339

因此，直线/上不存在点C,使得aABC是正三角形.

（ii）解法一：设C（一1,y）使aABC成钝角三角形，

由｛（:I*'T）得y=2△此时A,B,C三点共线，故y=2石

又IAC|2=（-l-；）2+（y_竽）2=y-^y^+y2,IAB|2=（y）2

当IBC|2>|AC|2+IAB|2,即28+4再y+y?>^-^y+y2+—,即y>£百时,

NCAB为钝角.

当IAC|2>IBC|2+1ABF,即获一^^y+y2>28+4V5y+y2+—

y<时/CBA为钝角.

3

又IAB|2>|ACF+出。2,即§>曰一^^+丫2+28+4百丫+丫2

即：y2+ggy+g<0,(y+-^)2<0

该不等式无解，所以NACB不可能为钝角.

因此，当aABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是：

)'<或y>¥(y丰2折

解法二：以AB为直径的圆的方程为：

(X-g)2+(y+yV3)2=(])2圆心到直线L:x=-1的距离为g

所以，以AB为直径的圆与直线L相切于点6(-1,-孚).

当直线/上的C点与G重合时，/ACB为直角，当C与G点不重合，且A,B,C三点不共线时，ZACB

为锐角，即aABC中/ACB不可能是钝角.因此，要使AABC为钝角三角形，只可能是NCAB或N

CBA为钝角.

过点A且与AB垂直的直线为:y_孚=#(x-令x=-1得丫=半

过点B且与AB垂直的直线为:y+26=*(x-3),令x=-1得y=~y/3

又由上二二p(x-1)解得y=2瓜所以,当点C的坐标为(-1,26)时，

A,B,C三点共线，不构成三角形.

因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是：

"一^^或y>■^■(尸2折.

8、解：(1)令a=b=O,则f(0)=[f(0)]2；f(0)#0二f(O)=l

(2)令2=*,b=-x则f(O)=f(x)f(-x):.f(-x)=—

f(x)

由已知x>0时,f(x)>l>0,当x<0时,-x>0,f(-x)>0

.•・f(x)=—'―>0又x=0时，f(0)=l>0

f(-x)

对任意x£R,f(x)>0

(3)任取X2>X1，则f(X2)>0,f(Xi)>0,X2-Xi>0

当W=f(X2)，f(-X|)=f(X,-X|)>1

f(X1)

r.f(x2)>f(xO；.f(x)在R上是增函数

(4)f(x)•f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x)又l=f(O),f(x)在R上递增

由f(3x-x2)>f(0)W：x-x2>0/.0<x<3

9、解：(1)由题意知/(l)=l+2b+c=0,：.c^-l-2b

一记g(x)=f(x)+x+b-x1+Qb+Y)x+b+c-x'+(2b+\)x-b-\

贝ij向(-3)=5-78>0

g(—2)=l—5b<0

g⑴=A+1>0

即建(建)

(2)令u=/(x)。*.,0<^</?<y<l，log/,〃在(0,+°°)是减函数

而一l-c=2b>-b,函数/1(x)-x2+2bx+c的对称轴为x=-h

/(x)在区间(―1—c,l—c)上为增函数，

从而F(x)=log%/(x)在(―1—c,l-c)上为减函数。

且/(x)在区间(-l-c,l-c)上恒有f(x)>0,只需/(—1—c)20,

且c=—2b—14<力<5)所以一号<cW—2

2x1

10、解：(1),・,1+x；N21xIz.l-----又再=一.

〃“1+片2

5年)=-1

而/(3)=/(卢7)==/(x“)+/(X„)=2/(x„).

l+x“1+X”X”

为0=2.・・{/(x,,)}是以-1为首项，以2为公比的等比数列，故/口,)=-2-

“X")

(2)由题设，有/(0)+/(0)=/(g)=/(0),邮(0)=0

1+0

Y—Y

又Xe(-1,1),</1(%)+/(-x)=/(-~~)=/(0)=0,

i-x-?

得/(—X)=—"x),故知/1(X)在(—1,1)上为奇函数.由

11_____1

]=]=伙+1)伙+2)=IZPm

T+3&+]-(々+l)(k+2)—1-।1-.1

1-------------------------1-------------------------------

(k+1)(&+2)(女+1)(2+2)

「产仁If/时；/

——)=f\

»+3火+i

〃1

于是--------：=可)-〃])­一勺；2)・

仁k2+3k+\

故1+/(()+/()■，,+/c^-1——)+/(—!—)=o.

〃2+3〃+1〃+2

11.解：(1)设C(x,y),・・・科+南=2的，由①知面二一2血，,G为ZXABC的重心，

・xV

••G(,)...........................................(2分)

33

X

由②知M是AABC的外心,・•・M在x轴上。由③知M(-,0),

3

由1研1=\MA\得,空+1=^(x-1)2+/化简整理得：y+y2=1(xWO)…(6分)

LV2

(2)F(J2,0)恰为一+y2=1的右焦点

3

设PQ的斜率为k#0月.kW±}—,则直线PQ的方程为y=k(x-y/2)

由Iy="x-72)(3k2+l)x2-6y/2k2x+6k2-

3=0

x2+3y2-3=0

,6vI/

VLn68-3z八、

设P(xi,yO，Q(X2,y2)贝ijx1+x2=-—-,x「X2=3d](8分)

JKI1

2

则1PQ1=11+k?,；(须+工2)2—44工2=Jl+K16亚226k-326(公+1)

寸3k?+13k2+1~3k2+1

•.^RNJ_PQ,把k换成一■!■得IRNI=坐出”

..................(10分)

k3+%2

16(^2+l)2

.-.S=-IPQIIRNI=-?--------/——=2------------1---------

(3J12+1)(^2+3)

23(A:2+—)+10

,18

.•.3(%2+F)+K)=—2_

k22-S

।83

k~H—r-22,-------216,—WS<2,（当k=±1时取等号）（12分）

k22-S2

又当k不存在或k=0时S=2

33

综上可得—WSW2,/.Smax=2，Smin=—（14分）

22

12.解：(1)tan2ah2tan?_=2(V1-1)=]

又为锐角

1-tan-cul-(72-l)2

.♦.2a=:sin(2a+^-)=1/W=X2+X

a=a+a*.*a.=—***g1。3，都大于0>0・・〃“+]>a

⑵n+ln"12n

1111111

⑶—2

a“(l+%)a„\+a„1+%%

%+i«n+i

11111111111

------------1------------+•••+-----1------------—...~2--—

1+/1+41+%a।a2^^3%%+i4%4+i

2+・，仆3

.a+4>1,乂.•.〃22a>a

2243n+in

I11<2

之牝>1，・二1<2--------<2,・'.1<--------+---------+・・・+---------

%+]1+ax1+g1+%

13(本小题满分14分)解：(1),.•％+]=2%+1,，％+]+1=2(%+1)2分

故数列+1｝是首项为2,公比为2的等比数列。……3分%+1=2",%=2"—1…4分

(2)4"'T4"2T43T...4"T=(a+])',4(瓦+与+…+%-")=2"耳5分

2(d+b2+--+bn)-2n=nbn①

2(。+b2+---+bn+b“+i)—2(n+1)=(n+l)bn+l②

②TD得2%-2=(〃+l)fe„+1-nbn,即nbn-2=(n-l)bn+l③8分

.•.(〃+1)仇,+1-2=〃a+2④

b

④一③得2血+]=nhn+血_|，即2bz=„+%9分所以数列仍“｝是等差数列

(3)•••——;—v—；=-----Il分

an2n+1-12n+l-22a“t

..............13分

。21212一八

S<------------=-----------<.................................................14分

a

23an+i3

14.(本小题满分16分2

(1)当a-1时，"’(彳—丁)+<计丁.

g'(x)=-x~+x+c

・・・8（幻在（一1,1）上为单调递增函数，.・.8'（工）20在（一1,1）上恒成立........2分

—x?+x+c20在（—1,1）上恒成立.......3分c>2...........4分

（2）设g'（x）=/（x）,则

■:

：•0V—<1•即^6（0,1].

当5时“山（击）-—十.

充分性”Y序，

4

：•*£10,口时，/（了）忘「+4"工1.

4

二/（.r>Cl（xe[0.1J）.

必要性：；工610.11时.，（工）&1.而「t（0.J],

da

：•/（[l+Xi.

・i3•

•・~rq.

（2）：次函数/“）的图象开”向卜.对称轴方程为,1.

,,,心丸

：■基[i，i;

'八.

|，€「一l.4+]>.

(s0/(7)=°的网根a.尸在［一］，］］内—I2“」

“向91/(1X0.

1/(—))<o

金一十.

匕不一尸一十，0j

Id,&.，+a

•••lal<l且⑶&1的充要条件是一:，，“

4

4

15、①q=l：③a=§

16、解：(1)由f(m.n)=［f(m)『得：f(0)=f(0x0)=lf(0)J°

•函数f(x)的图象均在x轴的上方,.,.f(0)>0,.•/(())=1……3分

•.•f(2)=f(lx2)=［f(l)?=4,又f(x)>0...f(l)=2,f(—l)=f(l)=2……3分

⑵

2

'kx+2、履+2'kx+2、,设+2|、

fN2o/2>2«/>f(±l)^f

、、

、2&+4,2&+47J/+4,、&+4)

又当xNO时，其导函数/八）>0恒成立，・・.y=/（x）在区间[0,+8）上为单调递增函数

.M+Z>10

••/-1>—»<版+2|zJ/+4=(左2一1)犬+4-0

7777

①当女=0时，xe{0}；

(4ky4k「41

②当一1＜女＜0时，X\X-----7＜0=----**•x€---------------7,0

(l-k2)l-k2\_\-k2

(4k、4k「4Z-

③当0＜兀＜1时，xx-------＜0«＞0＜x＜-----,/.xG0,----r

(1-k2)i-k2Li—女」

,「4k

综上所述：当攵=0时，xG{0}；当一1＜女＜0时，xG----r,0；

J

"4k'

当0＜女＜1时，XG0,----o

1-k2

17、解：⑴工(X),力(X)是“保三角形函数”，力(》)不是“保三角形函数”.1分

任给三角形，设它的三边长分别为a,4c,则a+b>c,不妨假设a领Jc,6c,

由于G+JF>J币>五>0,所以/(x)/(x)是“保三角形函数”.3分

对于力(x),3,3,5可作为一个三角形的三边长，但3?+3?<52，所以不存在三角形以32,32,52

为三边长，故力(x)不是“保三角形函数”.4分

(II)设T〉0为g(x)的一个周期，由于其值域为(0,+8),所以，存在〃>机〉0,使得

g(m)=l,g(〃)=2,

n-m

取正整数-----,可知；IT+九47+见〃这三个数可作为一个三角形的三边长，但

T

g("+m)=l,g("+〃?)=l,g(〃)=2不能作为任何一个三角形的三边长.故g(x)不是“保三

角形函数8分

57r

(III)A的最大值为之.9分

6

57r

一方面，若4〉——，下证尸(x)不是“保三角形函数”.

6

rrSrrSjr

G(O,A),显然这三个数可作为一个三角形的三边长，但

266

jri7TIiTT1

sin-=l,sin—=-,sin---不能作为任何一个三角形的三边长，故尸(x)不是“保三角形

26262

函数

另一方面，以下证明A="时，/(x)是“保三角形函数”.

6

57r

对任意三角形的三边a/,c,若。力4£（0,——），则分类讨论如下：

6

（1）a-^b+c...2），

此时4・・.2万一匕一。>2万一包一包二生，同理，/?,（?>—,

6633

."，口邑吗,故sina,sinb,sinee（—,1],sina+sin/?>—+—=1...sinc.

36222

同理可证其余两式.

sina,sinb,sinc可作为某个三角形的三边长.

（2）a+b+c<2TI:

此时，空2+£<〃，可得如下两种情况：

22

a+b7T上十,什…八ca+bz兀

----W一时，由于a+8>c,所以，0<一<-----W—.

22222

TFCCl+h

由sinx在（0,勺］上的单调性可得0<sin-<sin土上W1；

222

同样，由sinx在（0,工］上的单调性可得0<sin£<sin"2<1；

L2）22

总之，0<sinA<sin"+'W1.

22

s兀

又由卜一同〈C（二及余弦函数在（0,万）上单调递减，得

a-b\a~^\c571c

cos------=cos-------L>cos—>cos——>0,

22212

・..,0・a^ba-b_.cc

..sina+sin/?=2sin-----cos------->2sin—cos-=sine.

2222

同理可证其余两式，所以sina,sin%,sinc也是某个三角形的三边长.故4=——时，F（x）是“保三

6

角形函数”.

57r

综上，A的最大值为二.

6

18、解：（I）•.•S|=2（4-1）,Aa=a,

a—\t

当"22时，a=S-S,,.1一~

nna-\a-\

2=a,即｛a,J是等比数列.Aan=a-a"-'=a",...........................4分

an-\

2.旦(俄-1)n

(II)由(I)知，b"="L+1=(3。T"'-2a,若也｝为等比数列,

aa(a-1)

EI士..2...3。+2.3a~+2a+2

则有b：=1>四,而仄=3,b?-------,b=---------------,

a3a~

,,.3。+2、2-3Q~+2a+2,1_

故(-----厂=3--------z------，解得tzl。二一，.........................7分

aa~3

再将“=!代入得"=3"成立，所以........8分

33

知/(，所以％3"

（III）证明：山（II）=5=7-+—7-

31+(-)"1-二严-3"+1

立匕1+*11=1，+]+-=2「―)，.......

9分

3"+13"+,-13"+13,,+'-13”+13n+,-1

11

由------<----------->---------------

3"+13"3"+1_]3"13"+1

1311

所以c“=2-(----------------)>2-(--------万)，................12分

3"+13n+,-13"3向

从而7；=q+c2+---+cn>[2_(U[+[2-g-*)]+…[2-("一击)]

=2〃T(g_f+(*/)+…+(*击)]=2"_(g一击)>2"；.

即7；>2〃一；...................14分

19、解：(I)q=2,a2=2+c,%=2+3C,因为q,a2,%成等比数列，

所以(2+C)2=2(2+3C),解得C=0或C=2.

当c=0时，〃]=。2=。3，不符合题意舍去，故c=2..........4分(文6分)

(H)当〃22时，由于出一胃二。，a3-a2=2c,......

〃(〃—1)

一，"一1二(〃-l)c>所以〃“-q=[1+2+…+(〃-l)]c————co

又6=2,c=2,故。〃=2+〃(〃—1)=—〃+2(〃=2,3♦•・).当n=l时，上式也成立，所以

an=—〃+2(〃=1,23•・)......8分

2n2n

(III)bn=3--3-'+2,Hm皿=9........12分

〃T8bn

NP=2NQ

20、解：(1)___.}=>Q为PN的中点且GQLPN

GQPN=0

=>GQ为PN的中垂线nlPGI=IGNI

.1.IGNI+IGMI=IMPI=6,故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其长半轴长a=3,半焦距

22

，=有，.•.短半轴长b=2,.•.点G的轨迹方程是±•+1-=1.....5分

94

(2)因为诟=3+而，所以四边形OASB为平行四边形

若存在/使得IO5HA5L则四边形OASB为矩形.,.3•丽=0

x=2x=2

若/的斜率不存在，直线/的方程为x=2,由J22得J9Z7

—+^=1Iy=±—

94173

,—*16.—*

.•.04・。6=瓦>0,与04-。8=0矛盾，故/的斜率存在......7分

设I的方程为y=k(x-2),A(x,,y,),B(x2,y2)

y=k(x-2)

由1犬22n(9女2+4»2—36/x+36伏2—1)=0

—+2-=1

36k236(d—1)

X]+=—----,x.x=------------①

129k2+4'2296+4

yty2=伙(再一2)]伏*2-2)]

2

-k[xlx2-2(X]+x2)+4]-~-②..........9分

3

把①、②代入Xi/+必为=。得k

存在直线/:3x—2y—6=0或3x+2y—6=0使得四边形OASB的对角线相等.

21、解：(1)以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则

A(—3,0),8(3,0),C(5,2有)则|AC|=J(5+31+(2有丫=2晒.

即A、C两个救援中心的距离为2MAm

(2)'：\PC\=\PB\,所以P在BC线段的垂直平分线上

又•.•IP6I—1尸川=4,所以P在以A、B为焦点的双曲线的左支上，且|A8|=6

.,.双曲线方程为-----———1(x<0)

45

BC的垂直平分线的方程为x+J5y-7=0

联立两方程解得：工=-8

.,.P(-8,5")，kPA=tanZPAB=-VI

.,.ZPAB=120°所以P点在A点的北偏西30°处

⑶如图，设|尸°|=力，|尸8|=x,|PA|=yV\QB\-\QA\=six2+h2-yjy2+h2

22

X——=