高考数学解答题专项特训：双曲线

高考数学解答题专项特训：双曲线

1.已知动点M与定点厂（的距离和它到定直线r二三的距离的比是常数J5,记动点M的轨

迹为曲线（'.

（1）求曲线C的方程：

（2）若直线/：p=与曲线C有且只有一个公共点，求X的值.

2.已知双曲线月的左、右焦点分别为£（-2,0）,£.（24））,点。,三在双曲线月上.

（1）求月的方程；

（2）过人作两条相互垂直的直线1和与£的右支分别交,4,C两点和夕，。两点，求四边

形H伙7）面积的最小值.

3.已知双曲线=b>Q）的条渐近线为."，、，且双曲线C的虚轴改为26.

lTD

（I）求双曲线C的方程；

（2）记o为坐标原点，过点0曲2）的直线/与双曲线。相交于不同的两点“、\,若

的面积为求直线/的方程.

4.已知点八依次为双曲线c：£-£=i（u>ab>o）的左右焦点，归身=6,

0-D

2（0,b）.

（1）若〃=、3，以/二（3.-4）为方向向量的直线/经过修，求尸、到/的距离.

（2）在（1）的条件下，双曲线C上是否存在点〃，使得瓯•恒二-2,若存在，求出点〃坐

标；若不存在，请说明理由.

5.已知双曲线；；［=1的渐近线方程为J二・v•日点V（2J）在该双曲线匕

（1）求双曲线C方程；

（2）若点与，人分别是双曲线c的左、右焦点，且双曲线c上一点/>满足尸石1。以，求

△『£尸：的面积.

6.已知半径为4的圆c与双曲线'”=1的渐近线相切，且圆心C在x轴正半轴上.

916

（D求圆C的方程；

（2）经过（&。）点，且斜率为4•的直线/交圆（'于4B两点,若•训二2J行，求直线/的方程.

7.已知双曲线（^>0,A>0）的实轴长为2,右焦点为（7&0）.

（1）求双曲线C的方程；

（2）已知直线p=x+2与双曲线C交于不同的两点4B，求

8.已知双曲线3=方>0）的离心率为8,且C的一个焦点到其一条渐近线的距离

为L

（I）求C的方程：

（2）设点/为C的左顶点，若过点（3.0）的直线/与（’的右支交于P,0两点，且直线4P,.1。

与圆。/♦/=/分别交于M.”两点，记四边形/0.VM的面积为S，的面积为S2,

求J■的取值范围.

9.已知双曲线的标准方程为三=13>0,6>0）,其中点〃为右焦点，过点〃作垂直于工粕

的垂线，在第一象限与双曲线相交于点力,过点〃作双曲线渐近线的垂线，垂足为M，若

AF6，卜仆S

（1）求双曲线的标准方程；

（2）过点V作•'的平行线/,在直线/上任取一点P，连接与双曲线相交于点??,求证点

P到直线BF的距离是定值.

10.已知双曲线'二/>>（））的离心率为、'，且经过点“（2・0）.

o*b*2

（I）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；

（2）已知过点G（h的直线《4与过点，［工，的直线

/：rv-4vi4的交点N在双曲线C上，直线。〃与双曲线C的两条渐近线分别交于P,Q两

点，证明410V广()P\为定值，并求出定值.

22<

11.已知双曲线C：毋=|(o>d8>0)过点/(3,且渐近线方程为X士小=0.

(1)求双曲线C的方程：

(2)如图，过点8(1・。)的直线1交双曲线C于点M、N.直线MA、NA分别交直线xI于点P、

Q，的值.

12.已知点是双曲线36>0)上一点，B与A关于原点对称，F是

LA-

右焦点，・力=彳.

(1)求双曲线的方程;

(2)已知圆心在y轴上的圆C经过点四W),与双曲线的右支交于点M,N,且直线VV经过

F,求圆C的方程.

13.已知双曲线'二1侬>0,6>0)的离心率为2,右焦点厂到其中一条渐近线的距离为

"6-

(1)求双曲线C的标准方程;

(2)过右焦点/,.作直线/月交双曲线于4R两点,过点4作直线/：r=、的垂线，垂足为

M，求证直线”8过定点.

14.已知小「：分别为双曲线G'.，-=l(u>0,6>0)的左、右焦点，点〃(2・3)在C上，且

(/*/>'

△P用：的面积为6.

(1)求C的方程;

(2)若过点7r:且斜率为k的直线I交双曲线C的右支于4B两点，Q为x轴上一点，满足

|伍|巾讣4

⑷■叫证明:为定值.

•I

答案解析部分

1.【答案】（1）设动点”（小y）,

同时平方，有（x-V5i♦、-“1

整理得：一■[=1

所以曲线c的方程为/；=1

,=Ax.I

1/吃・1

消去丁得Hr八二+2H-3,O（*）

①当2-1=0即A=±J5时，方程（*）有1个根，符合题意.

②当2-1、0即A¥0且八一、5时，

因为直线/与曲线C有1个公共点

故A-2）：*2・卜）（-3）二0

解得：k-,\3

综上所述，当人二土8或&二±&时，直线/与曲线C有且只有一个公共点

22_l_

=

2.【答案】（1）解：设双曲线尸：A>0）则J/一方";解得J-

a2b.D=

『♦"=4

所以双曲线£■的方程为三y:-1.

(2)解：根据题意，直线4，，的斜率都存在且不为0.

将《的方程与:-J1联立，可得("乂2卜：♦1然」3=0,

班〃\f't\nm—I2A.—\1k—3

设.4(孙»)・C(x:.rj,则马+&=;~n7，X1x,=--

I-SKI-3K

所以14cl=(mJ=Vl+^lxj-xJ=

=内岸与》正三=q.2千牙=24(")

Vll-3A2Jl-SA2||-MJ|3i2-l

用；替换A,可得到户3M川，

K3—jfr

所以$12同1)2』俨川6(.对

所以S"==7-^-・-=一匚加3二㈢

令SAn+1，所以公="1'

当卜々即-士1时，等号成立,

故四边形48（7）面积的最小值为6.

”IL

3.【答案】（1）解：由题意可得,可得〃一/>_J2，

2A=2&

因此，双曲线C的方程为=l.

（2）解：若宜线/与J轴重合，则直线/与双曲线（’没有交点，不合乎题意，

所以，直线/的斜率存在，设直线/的方程为，二心+2,设点”（与K）、.、'（，•外），

联立可得（&?T尸Zh+6=0,

o,解得丘卜6・1卜（-川”1,。），

则卜「与|=限十、I，24

I,1I2后小下

Scg=丁2%一引=-rpTj-=2G,解得4=士力，合乎题意,

所以，直线/的方程为i—V?t+2或一72T•2.

4.【答案】（1）解:由题意可知：c=3，3,0）,a=yfs»

则必=l-/=4,可知双曲线的方程为m-?二|.

因为「二（3-4）为直线/的方向向量，则直线/的斜率A=:，

且点4（a-2）在直线/上，则直线方程为F=-gx-2,即4-3」+6=0,

（2）解：由题意可知：4（0,-2）,区（@2）,设P（小，或），

则西=（-卬・2・打），颂=（・％2・乂）

因为丽,西=-2,整理得：4=2-4,

22

由点尸在双曲线上，则今一4三1,

54

可得：上西-左=],BP8-4v；-5r--2O,

54

所以£<0,无解，所以不存在.

、l

ha-v3

5.【答案】（1）解：由题知，解得，厂,

12

127V.11A=V3

所以双曲线C的方程为：y-^-=l

（2）解：

：

vPF、1PF2：.PF；+PF；=Ff；=（2r）=24

根据双曲线的定义得.\PF「PF：=2a=275

工/；飞：飞解方程得,PF产.

PF；*PF：■24

6.【答案】（1）解：因为圆心c点在》轴正半轴上，设圆心（（，川1，＞。）.圆C的标准方程为:

（.t/）"+y:=16.

双曲线的渐近线方程为：4C勾，二0.

因为双曲线的渐近线与圆C相切，所以圆心（（八0）到双曲线一条渐近线打♦»=0的距离与圆的半

径相等.

d=下=尸=「=4，解得，一5,

*W5

所以圆心坐标为（5.0）,圆的标准方程为（1-5『•『二16

（2）解：如图，设直线/的斜率为A,则直线/的方程为：＞，“（x・8）,即米-卜-粽二0.

因为直线/截圆C所得线段,4。长度IB2＜13,

设圆心C（5,0）到直线/的距离为d，则网・2—・2加-『・2布，解得4:75.

伙・0■阳frJi

由r^~1=力解得或A一—-.

22

故直线/的方程为：i-＞；八弓或I=-二主・4、e

22

7.【答案】（1）解：由已知2〃=2,1,又c=A，则〃=4匚/=2，所以双曲线方程为

/E】.

4

y=x^2

（2）解：由（//.，得3/7・8・0，

=1

则A=（4）：4x3x（8）=112＞0,

48

设M卬乂卜以孙H），则》与=・§，

所以Ms=vm，、工=e"、，=

8.【答案】（1）解：由题可知二0是双曲线C的一条渐近线方程，右焦点为（cQ）,

g-0|

所以右焦点到渐近线的距离〃-

又因为所以d:b,则依题意可得1=1,

由离心率C=—=Jl+4=41，解得4=I»

所以双曲线「的方程为一.v:-I.

(2)解：如图所示,

由⑴知,4(・L0),

设直线/中的方程：1=6*3,P(.rry,).。(,/)，

x・rv♦工.，、，

由22_.得(/8=。，

XT*y二

因为直线/与双曲线。的右支交于两点,

「-1*0,

所以A=(6/)32(fJ-l)>0.解得一1々<],

8

<0.

I-

8

皿K—ME

所以3一告T告T-4.)3但:")

8

M必

“科♦«(乂+必)，归8.168/2-2“，⑹】76

设/Ax■l.40।1,且I,

所以一--,即删1・f・2,所以=2,

999、^9*^/

又因为Ml*高＞1,所以1VMic2,

由，得(叫Tb-2叫、=0,

所以》二孕7,同理可得》b=孕；

IlJj-I/Wj-I

x»m,y-1.,、，

由｛22_得（z%+l）―-2%.F=0,

所以，“二孕7,同理可得以=孕7，

■4-1w,41“

I2ml2m.

S\|//||/。|$加///。„,“T:；~2\

所以2_=_Z_____________/=l।仍4.IL4!n£i!v%-A-1f-t

S.g-\AM||AN\sin£\4AN1AM114Vl^

21nt♦I♦I

（叫：+i）（n♦i）二就照;♦"+.；♦15.（肝+砌

（«）'-!）（/»；-I）rn；E：-m；-m；.15-（m；）

令”**M，由|网H/wJ=2J<网|<2,得”=*，3L|4・5）,

所以沁=独=10

L”£卜.5）,

[35-«5-/f

令/(〃)=-!----1./r€|4.5),

5-/»

因为/(〃)在区间口・9上为增函数，

所以/(〃)的取值范围为［9,・工),

又因为£=上1

JM*s

所以£■的取值范围为［8一工).

•»

9.【答案】(1)解：由双曲线:■-二=1">0,b>0),可得焦点尸(c，0),其中一条渐近线方程为

4rb"

则点F(c，O)到渐近线的距离为4=解得〃二2&，

又由力可得.1尸=一=6解得u-2，

故双曲线的标准方程为「-'=1.

412

(2)解：由双曲线!-(=],可得/(，。)・川4・6),

设点8(*%)，则直线外•的方程为卜=上7(・4)，即%K・(0・4)L4I;尸0,

由题意，设直线/的方程为0加，由点”在直线/上，可设点小如出川)，

又由FW1/,可得、占，解得刚一1，即直线/的方程为K.I，

m-43

X-6匕-63();.6)

设户(1)),由点儿/?,1共线，可得As・A”，即不=上7，得/.6，

即点时,_?普6).

则点P到直线。尸的距离为

d.|”+3(%二6)-6伍二4卜4”|.|Yq.6|6,一||.

业“30业;;(3W・I22卜7|

即点P到直线BF的距离为定值.

10•【答案】（1）解：因为双曲线r：W-E=l（o>0.h>Q）经过点.“（2・o）,所以0・2.

cr卜

乂因为（*='='、，所以c二Js，b2c2a2l«bI，

a2

所以双曲线C的标准方程为'-v=1,渐近线方程为「=士|«.

42

因为”'.>•5i.l为直线小工x・4片.厂4和直线/.：lr-4r:v4的交点，

x.x0+4r,va=4

所以A-A*所以点G〃都在直线乂'4.»",4上，

2o=4

所以G〃所在的直线方程为4J+4KJ•二4,

4

34.3*4"=

将宜线G〃与渐近线方程联立得JI，解得，

2［U+2”

即4，—J］，同理得'・］，

tI

所以4|。*|。小市=忖+4，入君丁焉7-君了-昌了

164164

（一♦2”）（…2〉。）（1-2%）（32义）

=-20

（仆・2”）

20（4・2乂）—（仆"21）

［（仆+2乂）（、・2弊）了

40&+皿）

一卜"4那

2

所以4|*-|O/fT阳=4、，人_5("4斯)=|(xi-4v-)=6.

2/

所以为定值6

11.【答案】（1）解：•・•双曲线C的渐近线方程为x±6r=0,则可设双曲线C的方程为

代入点彳（3.-行），即：-（-6/=1=入

故双曲线c的方程为',

3

⑵解：由双曲线C的方程为:-尸=1的方程可得u=b=l,c=m=2，

由题意可得点8（」Q）,则有：

当直线1与】'轴垂直时，则”（7&0卜、卜&0|,

可得直线1S.1，=-各i），令X=I，则y=-半,

即点小邛）.

同理可得:点小手），

故屈I平。|一争即需j

当直线1不与】'轴垂直时，设直线/：=\|七.工）,

x■IV+I

联立方程X2、.，消去X得（尸一3）/+如-2=0,

_一y*■I

3.

则,.n=・总.斯斯=・7^，

厂-3I•3

可得直线「IV：「=ZL±^（X-3）-&=^^（X-3）-&，

马・3加・2

令则止二与（_2）_a=」小小,

仍-2i，仍,-2

（缶M

即点『------7~，

3-2

同理可得：点小.叫斗

e・2

・・（、号一八（、弓♦小，（口/・”S.-2）K+S「2）K］（V2Z+2）［2乂「I

•--------+------------------------:-----:-------=------:-----------:-----

即点八0关于x轴对称，故|/利二%?|，即循=1;

I”用

综上所述：］“）的值为1.

件-苧）.件一苧卜。

4

32J.

.【答案】⑴解:由已知条件得：,

123b2

c=2&

a2

双曲线方程为：=-E=i.

84

（2）解：若直线”二的斜率不存在，则圆C的圆心不在y轴上，因此不成立.

设直线A£V的方程为，-kx^m,

p―扬

由//消元得：（2/-1）/-8折々-（241.8）=0

T-T~

2i'-U0

A*32（A、l）＞0

8&人〃一七/RL4辰

・•・VV的中点Q的坐标为

设C（0・m）,直线（0v=--x*m,

40（公+1）

又IMVbJFTL1^-

化简得5k2*2=0

解得K2或4=|（舍）

，C（（K±2〃），，圆C的方程为Fri1及广二的.

13.【答案】（1）解：由题意，设右焦点/「的坐标为（。0）,

双曲线。的渐近线方程为:Av-<n-0,

Ache

右焦点/「到其中一条渐近线的距离为/?/=；_h,可得〃二JR,

又因为c，=£=Z,解得〃工1,0工2，

a

故双曲线C的标准方程为/；=1.

(2)证明：当直线彳。的斜率不为0时，设.4(*.y,).V)./IA：v=/wr+2,则

呜“

x工my♦2

,v2，得贝加，2f・/二3

jr_J=I

i3

整理得：(3/1打；♦12"八+9-0.

J2

A=(I2JW)