高考数学 全国统考区（甘肃、贵州、云南）试题分类汇编9 圆锥曲线 理

备战年高考之届全国统考区（甘肃、贵州、云南）精选理科试题（大

部分详解）分类汇编9:圆锥曲线

一、选择题

1.（贵州省六校联盟届高三第一次联考理科数学试题）我们把焦点相同，且离心率互为倒

数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知片、乃是一对相关曲线的焦点，P是它们

在第一象限的交点，当鸟=60°时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（）

A.V3B.V2C.—D.2

3

【答案】A【解析】设椭圆的半长轴为q,椭圆的离心率为q,则6=£,《=£.双曲线

的实半轴为。，双曲线的离心率为e,e=->a=^.\PFl\=x]PF2\=y,（x>y>0）,则由

ae

余弦定理得4c2+）,2-2封cos60=/+）,2―封，当点P看做是椭圆上的点时，有

4/=（1+»-3刈=44_3xy,当点P看做是双曲线上的点时,有

4c2=（x-y）2+xy=4a:+xy,两式联立消去xy得4/=+3/,即

4°2=（£）2+3（与2,所以（_1）2+3（_1）2=4,又因为，=6,所以/+34=4,整理得

4Gqeqe"

eJ4e2+3=0,解得/=3,所以e=6,即双曲线的离心率为6,选A.

2.（甘肃省河西五市部分普通高中届高三第二次联合考试数学（理）试题）若P点是以A

（-3,0）、B（3.0）为焦点，实轴长为2有的双曲线与圆f+y'g的一个交点，则

阳+伊牛（）

A.4V13B.2V14C.2V13D.3V14

【答案】C

3.（【解析】云南省玉溪一中届高三上学期期中考试理科数学）已知抛物线方程为V=4x,

直线/的方程为X—y+4=0,在抛物线上有一动点P到y轴的距离为4,P到直线/的

距离为出，则4+42的最小值（)

5&.5>/2,5收.5>/2,

A.--------F2B.--------1-1C.———2D.———1

2222

【答案】D【解析】因为抛物线的方程为丁=4x,所以焦点坐标F（LO），准线方程为工二一1。

因为点尸到）,轴的距离为4,所以到准线的距离为4+1,又4+1=尸产，所以

4+乩=3+乩-l=PF+/一1,焦点到直线的距离d=1一丫4=三=之亚而

-V2V22

PF+d2>d=^Y，所以4+4=P尸+4—12乎一1，选D.

4.（云南省昆明市届高三复习适应性检测数学（理）试题）设抛物线C：/=2px（p〉0）,

直线/过抛物线。的.焦点产，且与。的对称轴垂直，/与。交于。、R两点，5为C的准线

上一点,若△QRS的面积为8,则〃=

（A）VI（B）2（C）20（D>4

【答案】C

5.（贵州省遵义四中届高三第四月考理科数学）设圆锥曲线C的两个焦点分别为《、工，

若曲线。上存在点尸满足怛耳|:I4周:\PF2\=

4：3：2,则曲线。的离心率等于（）

OOC11O

（A）彳或彳（B）；或2（C）7或2（D）7或；

323222

【答案】D【解析】因为|P用：.用：\PF2\=4：3:2,所以设归周=4孔|耳周=3x,

9

因为恒所以若曲线为椭圆，则有

\PF2\=2X.X>0O6|=3X=2C,X=1C。

2a=|P用+|尸周=6x即a=3x,所以离心率e=£=；=—1―=:。若曲线为双

a3x3x-c〜

3

曲线圆，则有2。=卜耳卜忙用|=2工即。=x,所以离心率e=5=：=；=T，所

3c

以选D.

6.（云南省部分名校（玉溪一中、昆明三中、楚雄一中）届高三下学期第二次统考数学（理）

X2V2

试题）设圆C的圆心与双曲线下--二1（。>0）的右焦点重合，且该圆与双曲线的渐近线

CL乙

相切,若直线/：X-Gy=0被圆。截得的弦长等于2,则a的值为

A.V2B.6C.2D.3

【答案】A

7.（贵州省贵阳市届高三适应性监测考试（二）理科数学word版含答案）已知点P是双

X2y2

曲线今=1上一点，过P作C的两条渐近线的垂线,垂足分别为A,B两点，则PAPB

36

等于

22

A.—B.---C.0D.1

33

【答案】A

8.（云南省昆明市届高三复习适应性检测数学（理）试题）过双曲线

X2v2

C:--^=1（〃>0,方〉0）左焦点尸斜率为a二的直线/分别与C的两渐近线交于点P

a-b-b

与。，若尸尸二PQ,则。的渐近线的斜率为

（A）±>/3（B）±2（0±1（D）土石

【答案】A

9.（【解析】云南省玉溪一中届高三上学期期中考试理科数学）椭圆的中心在原点，焦距为

4.一条准线为工=-4,则该椭圆的方程为（）

【答案】C【解析】因为椭圆的焦距是4,所以2c=4,c=2又准线为（=^,所以焦点在x

轴且-工=-4,解得"=8,所以从=42-2=8_4=4,所以椭圆的方程为工+£=1,

c84

选C.

22

10.（甘肃省届高三第一次诊断考试数学（理）试题）已知点F是双曲线=-3>0,

a-b

b>0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A.

B两点.若4ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是

A.（l,+8）B.（1,2）C.（1,1+0）D.（2,1+72）

【答案】B【解析】要使aABE是锐角三角形，，只需满足角NAEB为锐角，只需满足NAEF<45",

b2

Ar—

在&EF中，tanZAEF=——=-^―<1,KPc2-ac-2a2<0,两边同除以/,得

AEa+c

e2-e-2<0,有e>l,所以离心率e的取值范围是（1,2）。

11.（云南省玉溪一中届高三第四次月考理科数学）在抛物线y=—+6一5（。/0）上取横

坐标为玉=一4,々=2的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物

线和圆51+5）、=36相切，则抛物线顶点的坐标为（）

A.（-2-9）B.（0,-5）C.（2-9）D.（1,-6）

【答案】A【解析】解：两点坐标为(T/1—4"),(2,2a—1),两点连线的斜率

,ll-4a-2a+l

k=----------——=a-2n

-4-2

对丁)'=一十"―5(a=0),y'=2x+a,

2x+a=a-2解得x=-1

在抛物线上的切点为（-,切线方程为（。一2比一y一6二0

直线与圆相切，圆心（0,0）到直线的距离二圆半径，即76二（36

2

^（a-2）+1VT

解得a=4或0（0舍去）.所以抛物线方程为y=/+4x-5顶点坐标为（-2,-9）.故选A.

12.（【解析】贵州省四校届高三上学期期末联考数学（理）试题）双曲线

/*/>。,八。）的一条渐近线为k2乩则该双曲线的离心率等于（)

A.—B.V5C.V6I）.—

22

【答案】A【解析】双曲线的渐近线方程为y=三知双曲线的一条渐近为y=2],

b

所以f=2,

b

b=-,b2=—=c2-a2,即c?所以/=』,e=无，选A.

24442

13.（云南省昆明一中届高三第二次高中新课程双基检测数学理）已知直线

x=，与椭圆余+卷=1交于p,Q两点，若点F为该椭圆的左焦点，则尸尸■尸。取最

小值的t值为

,1005()「5()c100

A.——Bn.—C.—D.一

17171717

【答案】B【解析】椭圆的左焦点F(-4,0),根据对称性可设P(1,y),则

FP=(r+4,y).F0=(r+4,-y),所以=(f+4,)，)・(/+4,—)，)=(f+4>-尸，

产o

又因为)产二%1一石)二9一五产，所以

o34hS()

FP.Fe=(r+4)2-/=z2+8/+16-9+—/2=—r2+8/+7,所以当/=——=-一

25252a17

时，FP・FQ取值最小,选B.

14.(云南省玉溪一中届高三第三次月考理科数学)已知点片，尸2分别是双曲线

22

=-5=1(。>0/>0)的左、右焦点，过匕且垂直于工轴的直线与双曲线交于4,8两

crb~

点，若是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是()

A.(V2-l,+oo)B.(石+1,+8)C.(1+>/2,4-OO)D.(1J+V2)

【答案】C【解析】由题设条件可知△ABC为等腰三角形，只要乙AF2B为钝角即可，所以

有—>2j即〃>2H,所以<?一/>24，解得e>l+0,选C.

15.(甘肃省兰州一中高考冲刺模拟(一)数学(理))若曲线f(%y)=。上两个不同点处

的切线重合，则称这条切线为曲线f",回=0的“自公切线”.下列方程：①/-/=1；

②丁=丁一次|,③)，=3sinx+4cosx;④|x|+l=，4一(对应的曲线中存在“自公切

线”的有

A.①②B.②③C.®®D.@@

【答案】B

16.（甘肃省兰州一中高考冲刺模拟（一）数学（理））.椭圆0+3=1上有两个动点P、Q,

369

£（3,0）,EP1EQ,则EPQP的最小值为

A.6B.3-73C.9D.12-66

【答案】A

17.（云南师大附中届高三高考适应性月考卷（四）理科数学试题）设尸是双曲线

Y2v2

二一七二1（。>0,/?>0）的右焦点，双曲线两条渐近线分别为4,4,过户作直线4的垂线,

ab~

分别交44于A、3两点，且向量。尸与必同向.若|。4|,|4例,|。8|成等差数列，则双

曲线离心率G的大小为

A.2B.立C.且D.近

222

【答案】D【解析】设|43|=他|。回=加&由勾股定理，得（〃尸”+滔（〃升"解

得〃尸44.

该乙AO百a,贝IJcos2a=^=].cosa=2a=与所以离心率e=—^—=g.

\OB\5V2V5cosa2

选D.

18.（云南师大附中届高考适应性月考卷（八）理科数学试题（详解））已知点P在圆

22

C：f+（y_3）2=l上，点。在双曲线g-3=l的右支上，尸是双曲线的左焦点，则

|尸。|十|。用的最小值为

A.2710+1B.3+26C.4+2石D.5+26

22

【答案】设双曲线3-、=1的右焦点为E',则尸（-收0）,尸（疗，0）,由双曲线定义知

IQFRQW+2石,IQFI+I尸。R。尸I+IPQI+2百,

当CP,Q,尸共线时，（|»|PQ|）m"3,

・・・(|QF\+\PQ|濡=3+2百.故选B.

19.（云南省部分名校届高三第一次统一考试理科数学I玉溪一中、昆明三中、楚雄一中））

22

已知双曲线二一《二1（。>0/>0）的两条渐近线均与。：/+），2-6工+5=。相切，

db-

则该双曲线离心率等于（）

375763V5

A.-------B.-------C・——D.------

5225

【答案】A【解析】圆的标准方程为（x-3）2+y2=4,即圆心为（3,0）,半径r=2。双曲

线的一条渐近线为丁二2不，即〃x—纱=0。圆心到直线法一缈二0的距离

=r=2即962=4("+〃)所以

cr+b2

c2=a2+b2=a2+—a2=—a2,所以/=2,即e=选A.

55

20.（云南师大附中届高三高考适应性月考卷（三）理科数学试题）若在曲线f（x,y）;0

上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x,y）=0的“自公切线”。下列

方程：①/一）,2=1；②）,二X2_|刈，（3）j=3sinx+4cosx;④1x|+1=也-产对

应的曲线中存在“自公切线”的有

A.®®B.②③C.@@D.③④

【答案】B【解析】画图可知选B.①x'yJl是一个等轴双曲线，没有自公切线；

②）,二丁一以户x=-和x=-l处的切线都是y=-A,故②有自

(xU)

乙

公切线.

③y=3sinx+4cosx=5sin（x+6）,cos<b,sin<!>=—,此函数是周期函数，过图象的

55

最高点的切线都重合，故比函数有自公切线.

0由于|幻+1=，4一），2,即x2+2|x|+y2-3=0,结合图象可得，此曲线没有自公切线.

故答案为B.

21.（贵州省贵阳市届高三适应性监测考试（二）理科数学word版含答案）已知曲线

C:^=-（x>0）上两点和,其中X,>M.过4,A,的直线/与X轴交

于点4（%,。），那么

A.XX],当心成等差数列B.凡,/,々成等比数列

C.玉,刍，工2成等差数列D.王,七,々成等比数列

【答案】A

22.（云南省部分名校届高三第一次统一考试理科数学I玉溪一中、昆明三中、楚雄一中））

）2

则曲线不卜和匚+上

已知上<4,二1有（)

9-k4-k

A.相同的准线B.相同的焦点C.相同的离心率I）.相同的长轴

【答案】B【解析】当攵<4时，9-Q4-Q。，所以£+£=】为椭圆方程。所

以6=9一幺从=4一攵。又9-Z-（4-Q=9-4=5,所以两曲线有相同的j即有相同

的焦点，选B.

二、填空题

23.（云南师大附中届高考适应性月考卷（八）理科数学试题（详解））以AB为直径的圆有一

内接梯形A3CO,且.以A、8为焦点的椭圆恰好过C、。两点，当梯形ABC。

的周长最大时,此椭圆的离心率为_.

【答案】不妨设|A8|=2,圆心为0,ZBOC=Xefo,舒），

则|CD\=2cos夕|BC\=V2-2COS/9,

________/n\n

梯形力筋的周长为L=2+2cos0+2j2-28sO=2+2l-2sin2-+4sin-

l2J2

.(.0if_

=-4sin----+5,

I22)

当sin2=L6='时，梯形4腼的周长最大，此时，|AQ|二L|BD|二G,

223

椭圆的离心率e=^-=[=-i--=V3-1.

2a|DB|+1DA|>/3+1

24.（云南省昆明一中届高三第二次高中新课程双基检测数学理）已知点A（4,4）在抛物

线V=/“（，＞0）上，该抛物线的焦点为F,过点A作直线/：工二一；的垂线，垂足

为M,则4MAF的平分线所在直线的方程为。

【答案】x-2），+4=（）【解析】点A在抛物线上，所以16=4”，所以〃=4,所以抛物

线的焦点为F（L0）,准线方程为x=-1,垂足M（-L4），由抛物线的定义得|=|人,

所以NM4厂的平分线所在的直线就是线段M尸的垂直平分线，kMF=^-=-2,所以

NMAF的平分线所在的直线方程为y-4=l（x-4）,即X一2），+4=0。

25.（甘肃省届高三第一次诊断考试数学（理）试题）设F为抛物线y?=4x的焦点，AB.

C为该抛物线上三点，若FA+FB+FC=0,则

网+网+归C卜。

【答案】6【解析】因为E4+M+bC=0,所以点F为&BC的重心，所以A、B、C三点

的横坐标之和为点F的横坐标的三倍，即4+/+2=3,所以

FA+FB+FC=工八+1+/+1+Z+1=60

26.（云南省玉溪一中届高三第四次月考理科数学）过椭圆左焦点尸，倾斜角为土的直线交

3

椭圆于A,E两点，若忙4=］咫，则椭圆的离心率为

设椭圆的左准线为1,过A点

作AC_L1于C,过点B作BD_L1于D,再过B点作BG_LAC于G,

直角△ABG中，ZBAG=60°,所以AB=2AG,…①

由圆锥曲线统一定义得：巳龙里，

ACBD

VFA=2FB,AAC=2BD

直角梯形ABDC中，AG=AC-BD二1AC…②

2

①、②比较，可得AB=AC,

2

又・・・的=|址・・・巳4琛/故所求的离心率为3.

ACAB3,

27.（甘肃省天水一中届高三下学期五月第二次检测（二模）数学（理）试题）已知双曲线

过点（4,羊），渐近线方程为y=±*（,圆C经过双曲线的一个顶点和一个焦点且圆心在双曲

线上,则圆心到该双曲线的中心的距离是___________.

【答案】y

28.（云南省玉溪一中届高三第五次月考理科数学）若椭圆的短轴为/区它的一个焦点为四

则满足三角形月如'为等边三角形的椭圆的离心率是O

【答案】y-【解析】若三角形ABb为等边三角形，则有沙=〃，gpa2=4b2=4（a2-c2）,

所以4c2=3。2,即/=：，所以e=等，所以椭圆的离心率为当。

29.（贵州省贵阳市届高三适应性监测考试（二）理科数学word版含答案）已知F是抛物

线C:V=©的焦点，直线/:），=代1+1）与抛物线C交于A,B两点,记直线FA,FB的斜率分

别为k、,Q则k、+&2=_________.

【答案】0

30.（云南省昆明三中届高三高考适应性月考（三）理科数学）已知产是双曲线C：

22

T-5=1（Q＞（）［2＞（））的左焦点，与&是双曲线的虚轴，M是。当的中点，过RM

ab

的直线交双曲线C于4,且切0=2M4,则双曲线。离心率是_________________.

5F（-c,（））,M（（）,-）...—一

【答案】2【解析】由题意可知2，设A（x，）'），则由得

（c,g）=2（x,y-g）x=^y=^-bA（:为）

22,解得24,即24,因为点A在双曲线上，所以

c29b2।c29,?25c225,255

----------------=1-------------=1-----=——=—e-=—e——

4a216b2，即4a216,所以4a216,即/4,即4,所以2。

31.（云南师大附中届高三高考适应性月考卷（四）理科数学试题）在直角坐标系戈Oj中.

有一定点A（2,l）,若线段0A的垂直平分线过抛物线y2=2px（〃＞0）的焦点，则该抛物线

的准线方程是________________________.

【答案】x=~【解析】线段。A的斜率2=；,中点坐标为（1,g）。所以线段0A的垂直

平分线的斜率为一2,所以物的垂直平分线的方程是7-《=-令y=0得至ijx

2

=（•所以该抛物线的准线方程为工=-：.

44

32.（云南师大附中届高三高考适应性月考卷（三）理科数学试题）如图4,椭圆的中心在

坐标原点，F为左焦点，A,B分别为长轴和短轴上的一个顶点，当FB_LAB时，此类椭

圆称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”，可推出“焚金双曲线”的离心率

为____________________

【答案】上答【解析】由图知，（a+c）2=（b2+c2）+c2,整理得°2-收-/=0,

即

『々7=0,解得"竽,故e=W

三、解答题

22

33.（甘肃省兰州一中高考冲刺模拟（一）数学（理））椭圆「+3=1（。＞力＞0）的左、

a~b~

右焦点分别为©、F2,过大的直线/与椭圆交于力、8两点.

（।）如果点力在圆/+（C为椭圆的半焦距：上,旦田用=。，求椭圆的离心率；

（II）若函数旷=应+1咤1„大（〃7＞。旦〃­1）的图象，无论〃？为何值时恒过定点（”。），

求入A.入3的取值范围.

【答案】解：（1）・・,点H在圆/+〉'2=c2上,AAEE为一直角二角形，

22

••・IF.A\=C9\F}F2\=2CF2A\=^\F]F2\-\AF,\=瓜

由椭圆的定义知：\AFl\^\AP2\=2at

/.c+V3c=2a:.e=———^—j==V3-1..............................5分

a1+V3

⑵,・,函数y=正+log,"M勺图象恒过点(1,也)

/.a=V2,/?=l,c=1,

点、E(-1.0),R(1,0),

①ABIx轴，则4一|,_),B(-l「二),

22

・•・F2A=SF2B=（-2-y-）,F2AF2B=4-^=^..............................7分

②若/仍与x轴不垂直，设直线/仍的斜率为左则初的方程为产女（尸1）

由），,="（x：l）消去y得（112d）*2|4公工I2（公1）=0................（*）

r+2y-2=0

•••A=8T+8>0,.•.方程（*）有两个不同的实根.

设点力（乂，71）.B（照，㈤，则M,照是方程（*）的两个根

4二2（公一1）

X+X,=-----------,X,A=----7-

1-1+2-7121+2公

F2A=(xt-l,y1),Zs^=(x2-l,y2),

F2A-F2B=(x1-l)(x2T)+y>2=(1+欠2)苦工2+(A-1)(%+x2)+1+

2

Z1,2、2伏2—1)“，~4k2、1/27A-179

=(1+；：-)—-------+-1)(-----------7)+1+公=-------=------------—

1+2左2l+2k21+2公22(1+2公)

9

Io<

•••1+2左2之0<---------<1,0<--------------2-

7的

1+2-2(1+2分

——►——►797

-\<F^AF^B=----------

22(1+2左2)2

————*7

由®®知-1WF2A.........................................................................12分

34.（贵州省贵阳市届高三适应性监测考试（二）理科数学word版含答案）设椭圆

。：£+上=1（。>〃>0）过点用（1』），离心率6=¥，0为坐标原点.

a~b~3

（D求椭圆C的方程.

（II）若直线/是圆O：F+y2=i的任意一条切线且直线/与椭圆c相交于A,B两点，求

证：为定值.

【答案】解：（1）因为e=±=埋:./=3。2,・♦•椭圆C的方程为＜+《=l.

a33b-b~

9、4

又•••椭圆C过点代入方程解得/=4,^=-,

x23V2

・••椭圆C的方程为二+一二1

44

（II）①当圆。的切线/的斜率存在时,设直线/的方程为y="+m,

则圆心。到直线/的距离d=J''=1,.;1+代=〃,

将直线/的方程和椭圆C的方程联立,得到关于x的方程为

（i+3k2）x2+6攵〃tv+3M-4=0

设直线，与椭圆C相交于A（*，x）,。（々，必）两点，则

%+x,=---6-k-mr

1+3二

3m2-4

/.OA・OB=xyx2+y必=（1+欠2）Xw+内+W）+〃/

3〃『-46km

=（1+攵）+km-（）+nr

1+3/1+3公

4m2_4-4攵2

=-------：---=0，

\+3k2

②当圆的切线/的斜率不存在时,验证得OA-OB=0.

综合上述可得，OA-OB为定值0

35.（云南省昆明三中届高三高考适应性月考（三）理科数学）已知《（-1,0）、

2

F2（I,O）,圆F?：u-i）+r=i,一动圆在），轴右侧与），轴相切，同时与圆匕相外切,

此动圆的圆心轨迹为曲线C,曲线E是以尼为焦点的椭圆.

（1）求曲线C的方程；

7

（2）设曲线C与曲线E相交于第一象限点P,且仍用二可，求曲线E的标准方程；

（3）在（1）、（2）的条件下，直线/与椭圆E相交于A,B两点,若AB的中点必在

曲线C上，求直线/的斜率左的取值范围.

【答案】解：（I）设动圆圆心的坐标为（乂），）。>0）

因为动圆在y轴右侧与y轴相切，同时与圆行相外切，所以|。6|一工=1,.....1分

.-J（x-l）2+y=x+l,化简整理得）3=4X,曲线。的方程为），2=4X（X>0）;-3

分

72

（II）依题意，c=l.|P^|=-,可得品=4，.......4分

S75

.•.|尸段=于又由椭圆定义得2a=|产用+归国=鼻+1=4,4=2........5分

JJJ

22

:,b2=a2-c2=3,所以曲线E的标准方程为一+=二1；........6分

43

（III）（方法一）设直线/与椭圆E交点4（七,凹）,〃（》2，%），A,B的中点历的坐标为

（见，光），

设直线I方程为y=kx+m（k/0,/w*0）

与二+匕=1联立得（3+4%F+8A〃7x+4〃J-12=0

43

由/>0得4公-〃/+3>0①……8分

,qc—8km4km3m

由韦达V里将西+"2"一春本..・/=—二而）'。=丁本

3/4km3m、小16%（3+4/）八

将代k'由）代入2厂以整理得招一一―②…】。分

将②代入①得162A2（3+4/）<81令t=4k2（f>0）则64r2+192/-81<0

?.0<Z<-

8

为"。12分

（方法二）设直线，与椭圆E交点4M,必）,以全,为），43的中点M的坐标为（X。,），。）,

3x/+4j,-12=0

将4b的坐标代入椭圆方程中，得

22

3X2+4J2-12=0

两式相减得3（盯一工2）（占+*2）+4（为一%乂H+%）=0

2

•••Jo=4x0，.二直线AB的斜率k=2二"=一尚)’。........8分

xx-x216

由(ii)知牛=；，•••yj=4xp=：,♦••)〃=土半

由题设一半^<^-(y0¥0),.♦当〈二M)<络，......10分

3Jo10o

^--<k<—(k^6)........12分

XS

36.（云南师大附中届高考适应性月考卷（八）理科数学试题（详解））已知抛物线的顶点在原

点，准线方程为x=l,尸是焦点.过点4-2,0）的直线与抛物线交于产区，乂），。（々，力）两

点，直线夕/，QE分别交抛物线于点M,N.

（1）求抛物线的方程及y色的值：

（2）记直线PQ,MV的斜率分别为勺，k,,证明：与为定值.

k2

【答案】（【）解:依题意，设抛物线方程为丁=-2次〃>0）,

由准线x=垓=l,得〃=2,

所以抛物线方程为），2=Mx.

设直线PQ的方程为％=〃少-2,代入y2=-4x,

消去x,整理得V+4m），-8=0,

从而y%=-8・

（II）证明：设M（0y3\N（X〈,乂），

2i_g

则区二）一）'2「3匕=）广々，-4-4=为+也

hxi-x22L_2i>3-34y+%

-4-4

设直线PM的方程为4=冲=1，代入/=-4x,

消去x,整理得9+44一4=0,

所以y/=-4>

同理出北=T.

-4-4

故3=山=^_=±=三二，为定值.

hy+%y+刈x）3-82

37.（【解析】云南省玉溪一中届高三上学期期中考试理科数学）（本小题满分12分）已知椭

22

圆三~+1=1上任一点P,由点P向X轴作垂线段PQ,垂足为Q,点M在PQ上，且

49

户知=2仞。，点\1的轨迹为（：.

（I）求曲线C的方程；

4

（II）过点D（0,-2）作直线1与曲线C交于A、B两点，设N是过点（0,一石）且平行

于大轴的直线上一动点，满足ON=Q4+O8（。为原点），问是否存在这样的直线1,

使得四边形0ANB为矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在说明理由

【答案】

解：（I）设M（x,y）是曲线C上任一点，因为PMlz轴，而=2荻，所以点P的

坐标为（x,3y），

点p在椭圆二+日=1上，所以=+皿=1,〃

4949

因此曲线C的方程是土+/=1---5分~

（II）当直线I的斜率不存在时，显然不满足条件"

所以设直线，的方程为尸依-2与椭圆交于ACQ,〃），B（X2.1y2），经N点平行x轴的

y=kx-2

直线方程为y=-上曰I/得（1+4/）/-16H+12=0“

14

\6k12

X]1+X?2=1+4/>才1，2=1+41o-，。

由△=16°尸-48（1+4/）>畸1>2,即尢>走或之<一走，____8分。

422—

20.

因为丽=苏+丽，所以四边形OANB为平行四边形，

假设存在矩形OANB,则苏•丽二0

22

即MA：2+必为+kx}x2-2k（xi+x2）+4=（1+Z:）x（x2-2k（x、+々）+4=0,

所以（1+/）•—11^一2%.一^+4=0,即尸=4J=±2.........10

1+4H1+4匕

分

设N（的yo）,由丽=苏+丽，得

）'o=y+>2=k（X[+X）-4=监"、-4=-4=_A,即N点在直线y=,

70力'2，]+4攵2]+4公1717

所以存在四边形OANB为矩形，直线/的方程为y=±2x-2

38.（【解析】贵州省四校届高三上学期期末联考数学（理）试题）已知椭圆C：

£+4=1G?>b>0）的离心率为",其中左焦点尸（一2,0）。

a~b2

（I）求出椭圆C的方程；

（II）若直线y=X+m与曲线c交于不同的A、B两点，且线段AB的中点M在圆

才2+y2=i上，求川的值。

c

【答案】解：（1）由题意得，一=一，c=2………2分

a2

解得：［"=2痣………4分

h=2

2-

所以椭圆C的方程为：—x+2-=1……6分

84

（2）设点A,B的坐标分别为（西,必），（々,当），线段AB的中点为W%,%）,

My2।

由84,消去y得3，+4〃吠+2〃尸-8=0………8分

y=x+m

A=96-8/H2>0..-.-2V3<m<273........9分

x.+x-,2min

xx+/n10分

Q=—^=--^y