初中数学知识点专项解读 菱形性质与判定

初中数学知识点专项解读菱形性质与判定

中考命题解读

菱形是一种特殊的平行四边形,也是中考的必考内容.为考查同学们分析能力、

想象能力、探究能力和创新能力，菱形开放题便成了各地中考命题的热点。

考标要求》

----------------/1.掌握菱形的概念、判定和性质，会用菱形的性质

和判；

2.会运用菱形的知深解决有关菱形定解决简单问题问题。

考点精济

考点1：菱形的定义

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

考点2：菱形的性质

（1）菱形的四条边都相等；

（2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

考点3：菱形的判定定理

（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；

（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

（3）四条边相等的四边形是菱形。

考点4：菱形的面积

S=ah=mn/2（菱形底边长为a,高为h,两条对角线长分别为m和n）

母题精讲

【典例1】(2022•西宁)如图，四边形ABCD是菱形，AE_LBC于点E,”J_CQ于点

F.

(1)求证：ZX/WE四△ADF；

(2)若AE=4,CF=2,求菱形的边长.

【变式1-1](2022•青海)如图，四边形人8c。为菱形，E为对角线AC上的一个动点

(不与点A,。重合)，连接。E并延长交射线A5于点尸，连接。E.

(1)求证：/XDCE^/XBCE,

(2)求证：ZAFD=ZEBC.

【变式1-2](2020•桂林)如图，在菱形A8CO中，点、E,尸分别是边AO,A8的中点.

(1)求证：AABE^AADF；

(2)若BE=a,ZC=60°,求菱形ABC。的面积.

E

【典例2】（2022•张家界）如图，菱形A5c。的对角线4C、相交于点。，点E是

8的中点，连接02过点C作。尸〃“。交OE的延长线于点兄连接。尸.

（1）求证：/\ODE^/\FCEx

（2）试判断四边形OOR7的形状，并写出证明过程.

【变式2-1]（2022•遂宁）如图，在菱形A8C。中，对角线AC、8。相交于点O,点E

是A。的中点，连接OE,过点。作。E〃AC交。石的延长线于点凡连接AF.

（1）求证：△AOE丝△/）尸E；

（2）判定四边形AODF的形状并说明理由.

【变式2-2]（2019•聊城）在菱形A/3CD中，点F是"C边上一点，连接4P,点£,F

是AP上的两点，连接。E,BF,使得NAEO=NA8C,NABF=/BPF.

求证：（1）/^ABF^/\DAE；

（2）DE=BF+EF.

E

【典例3】(2022•北京)如图，在。A8CZ)中，AC,BD交于点O,点、E,尸在AC上,

AE=CF.

(1)求证：四边形E8/7)是平行四边形；

(2)若N84C=ND4C,求证：四边形£8对)是菱形.

【变式3-1](2019•兰州)如图，AC=8,分别以A、C为圆心，以长度5为半径作弧,

两条弧分别相交于点8和。.依次连接A、B、C、。，连接8。交AC于点O.

(1)判断四边形A8C。的形状并说明理由；

(2)求8。的长.

【变式3-2］（2022•舟山）小惠自编一题：“如图，在四边形ABC。中，对角线AC,

BD交于点O,AC±BDfOB=OD.求证：四边形43CO是菱形”，并将自己的证

明过程与同学小洁交流.

小惠：小洁：

证明：VAC1BD,OB=OD,这个题目还缺少条件，需要补充一个条

・・・AC垂直平分3D件才能证明.

：.AB=ADfCB=CD,

・・・四边形A8CQ是菱形.

若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“J”；若赞成小洁的说法，请你补充

一个条件，并证明.

AA--------------77。

O

BC

真题精选

命题点1菱形的判定

I.(2022•襄阳)如图，oABCO的对角线AC和8。相交十点。，卜列说法止确的是

A.若OB=OD,则uA8C。是菱形

B.若AC=8O,则DABCO是菱形

C.若OA=OD,则口A8C。是菱形

D.若AC_L8O,则口A8CO是菱形

2.(2019•青海)如图，在AAB。中，N8AC=90°,。是8c的中点，E是AO的中

点，过点A作AF〃8c交8E的延长线于点F,连接CK

(I)求证：丛AEF^ADEB：

(2)证明：四边形4OC/是菱形.

命题点2菱形的性质及其应用〉

3.(2022•兰州)如图，菱形48CQ的对角线4c与B。相交于点O,E为AO的中点,

连接OE,ZABC=60°,BD=4心则。E=()

A

1)

A.4B.2V3C.2D.V3

4.（2022•河池）如图，在菱形A8CO中，对角线AC,8。相交于点O,下列结论中

错误的是（）

A.AB=ADB.AC±BDC.AC=BDD.ZDAC=ZBAC

5.（2022•自贡）如图，菱形ABCQ对角线交点与坐标原点O重合，点A（-2,5）,

则点C的坐标是（）

6.（2022•乐山）已知菱形A5CO的两条对角线AC3。的长分别是8cm和6cm.则

菱形的面积为c〃也

7.（2022•大连）如图，四边形A3CO是菱形，点E,「分别在48,AZ）上，AE=AF.求

证：CE=CF.

A

B

C

8.(2022•广元)如图，在四边形A8CO中，AB//CD,AC平分ND48,AB=2CD,

上为力8中点，连结CE.

(I)求证：四边形A£Z7)为菱形：

(2)若NO=120°,DC=2,求△ABC的面积.

专题23菱形性质与判定（考点解读）

中考命题解读

菱形是•种特殊的平行四边形,也是中考的必考内容.为考查同学们分析能力、

想象能力、探究能力和创新能力，菱形开放题便成了各地中考命题的热点。

考标要求）

----------------/1.掌握菱形的概念、判定和性质，会用菱形的性质

和判；

2.会运用菱形的知设解决有关菱形定解决简单问题问题。

考点精济

考点1：菱形的定义

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

考点2：菱形的性质

（1）菱形的四条边都相等；

（2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

考点3：菱形的判定定理

（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；

（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

（3）四条边相等的四边形是菱形。

考点4：菱形的面积

S=ah=mn/2（菱形底边长为a,高为h,两条对角线长分别为m和n）

母题精讲

【典例1】(2022•西宁)如图，四边形4BCD是菱形，AE_L8C于点E,Af_LCD于点

F.

(1)求证：XABEQXAOF、、

(2)若4E=4,CF=2,求菱形的边长.

【解答】(1)证明：•・•四边形48CD是菱形,

:.AB=BC=CD=AD,/B=ND,

VAE±BC,AF±CDf

・•・NAEB=NAFD,

在aABE和△AQF中，

rZAEB=ZAFD

<ZB=ZD,

AB二AD

A^XABE^^ADF(/LAS)：

(2)解：设菱形的边长为x,

9：AB=CD=x,CF=2,

：.DF=x-2t

:.BE=DF=x-2,

在RtZXABE中，根据勾股定理得，

22

AE+BEr=ABf

即44(x-2)2=f,

解得x=5,

・•.菱形的边长是5.

【变式1-1](2022•青海)如图，四边形AACD为菱形，E为对角线4c上的一个动点

(不与点A,。重合)，连接QE并延长交射线于点F,连接BE.

(1)求证：XDCE这匕BCE,,

(2)求证：ZAFD=ZEBC.

【解答】证明：(1)•・•四边形48CQ是菱形,

：.CD=CB,ZDCE=ZBCE,

VCE=CE,

:ADCEmABCE(SAS)；

(2)•・•四边形ABC。是菱形，

：.DC//AF,

：.ZCDF=ZAFDf

VADCE^ABCE,

:,NCDF=NEBC,

:.NAFD=NEBC.

【变式1-2](2020•桂林)如图，在菱形八3。中，点E,尸分别是边A。，48的中点.

(1)求证：△ABE空△4DF；

(2)若BE=M，ZC=60°,求菱形A8CD的面积.

E

BC

【解答】（1）证明：•・•四边形ABC。是菱形，

•・•点七，尸分别是边AD,A3的中点，

：.AF=AE,

rAB=AD

在△A3E和△AO/中，•NA=NA，

AE=AF

A/\ABE^/\ADF（SAS）；

（2）解:连接8。，如图：

♦・•四边形A8CD是菱形，

：.AB=AD,NA=NC=60°,

•••△A8。是等边三角形，

♦・•点E是边A。的中点，

:.BELAD,

：.ZABE=30°,

AAE=tan30°BE=^-BE=1,AB=2AE=2f

3

：.AD=AB=2t

・•・菱形A3C£＞的面积=AQXBE=2XM=2«.

【典例2】（2022•张家界）如图，菱形ABC。的对角线4C、3。相交于点。，点E是

CD的中点，连接OE.过点C作CF〃&）交OE的延长线于点F,连接QF.

(1)求证：△0。“丝△产CE；

(2)试判断四边形OOFC的形状，并写出证明过程.

【解答】(1)证明：丁点E是CO的中点，

:.CE=DE,

又YCFHBD

:.ZODE=ZFCE,

在△ODE和△氏;£中，

rZ0DE=ZFCE

«DE=CE,

ZDE0=ZCEF

:AODE学AFCE(ASA)；

(2)解：四边形ODFC为矩形，证明如下：

■:△ODE9XFCE,

：・OE=FE,

又,：CE=DE,

・•・四边形OQFC为平行四边形，

又•・•四边形ABCD为菱形，

：.ACVBD,

即NOOC=90°,

・•・四边形OQFC为矩形.

【变式2-1](2022•遂宁)如图，在菱形ABC。中，对角线AC、BO相交于点O,点E

是AO的中点，连接。上，过点。作OF〃AC交OE的延长线于点凡连接4F.

(1)求证：△AOEgZ\QFE；

(2)判定四边形40DP的形状并说明理由.

F

C

【解答】(1)证明：IE是AD的中点,

:・AE=DE,

*：DF//AC,

：.ZOAD=ZADFf

:ZAEO=ZDEFf

：.AAOE^ADFE(ASA).

(2)解：四边形AODF为矩形.

理由：*：AAOE^/\DFEf

：.AO=DF,

*：DF//AC,

・・・四边形A。。b为平行四边形，

♦・♦四边形A8CD为菱形，

工AC工BD,

即乙4。。=90°,

.♦.平行四边形AO/»为矩形.

【变式2・2】(2019•聊城)在菱形A8C。中，点夕是BC边上一点，连接”，点E,F

是AP上的两点，连接OE,BF,使得NAEO=NA8C,NABF=NBPF.

求证：(1)AABF^ADAE；

(2)DE=BF+EF.

A

【解答】证明：(I)・・,四边形A8C。是菱形,

：.AH=AD.AD//BC.

・・.NBPA=NDAE,

NA8C=/AED,

:.NBAF=ZADEf

■:ZABF=NBPF,/BPA=/DAE,

:.ZABF=ZDAE,

9

：AB=DAf

••.△ABF0ADAE(ASA)；

(2)VAABF^ADAE,

:.AE=BF,DE=AF,

*：AF=AE+EF=BF+EF,

：.DE=BF+EF.

【典例3】(2022•北京)如图，在0ABe。中，AC,BD交于点。，点、E,尸在AC上,

AE=CF.

(1)求证：四边形£6尸。是平行四边形；

(2)若N84C=ND4C,求证：四边形匹尸。是菱形.

D

【解答】证明：（1）在口ABCQ中，Q4=0C,OB=OD,

\9AE=CF.

：・OE=OF,

・・・四边形"尸。是平行四边形；

（2）•・•四边形A3。是平行四边形，

：.AB//DC,

：.ZBAC=ZDCA,

ZBAC=ZDAC,

：.ZDCA=ZDAC,

：.DA=DC,

・•・平行四边形A3CQ为菱形，

：・DB±EF,

・•・平行四边形石竹。是菱形.

【变式3-1］（2019•兰州）如图，AC=8,分别以A、C为圆心，以长度5为半径作弧,

两条弧分别相交于点8和。.依次连接A、B、C、D,连接8。交AC于点O.

（1）判断四边形A3CO的形状并说明理由；

（2）求8。的长.

【解答】解：（1）四边形A8CZ）为菱形;

由作法得A8=AO=C8=CO=5,

所以四边形A8CQ为菱形；

(2)♦・•四边形A8CQ为菱形，

：.0A=0C=4fOB=OD,AC工BD,

在RtZXAOB中，。8=后彳=3,

:.BD=2OB=6.

【变式3-2](2022•舟山)小惠自编一题：“如图，在四边形A3CD中，对角线AC,

BD交于点0,AC.LBD,OB=OD.求证：四边形4BCO是菱形”，并将自己的证

明过程与同学小洁交流.

小惠：小洁：

证明：・・・ACJ_BD,0B=0D,这个题目还缺少条件，需要补充一个条

・・・AC垂直平分8/1.件才能证明.

：.AB=ADfCB=CD,

・•・四边形A8CO是菱形.

若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“J”；若赞成小洁的说法，请你补充

【解答】解：赞成小洁的说法，补充条件：OA=OC,证明如下:

,：OA=OC.OB=OD,

・•・四边形ABC。是平行四边形，

・・・平行四边形人是菱形.

真题精选

命题点1菱形的判定>

1.（2022•襄阳）如图，OA8C。的对角线AC和以湖交于点O,下列说法正确的是

()

A.若OB=OD,则uABCO是菱形

B.若AC=BD,则口ABC。是菱形

C.若04=0。，则口ABC。是菱形

D.若AC_LBO,则口A3CD是菱形

【答案】D

【解答】解：A、•・•四边形A6CD是平行四边形,

：,OB=OD,故选项A不符合题意；

B、•・•四边形ABCO是平行四边形，AC=BD,

•••0ABC。是矩形，故选项8不符合题意；

C、•・•四边形ABC。是平行四边形，

••・OA=OC=LC,OB=OD=1BD,

22

•：OA=OD,

：.AC=BD,

•••0ABC。是矩形，故选项C不符合题意；

。、•・•四边形A3CO是平行四边形，ACLBD,

•••0ABC。是菱形，故选项。符合题意；

故选：D

2.（2019•肯海）如图，在△ABC中，ZBAC=90°,。是3c的中点，E是AO的中

点，过点A作AF〃BC交BE的延长线于点凡连接CF.

(1)求证：△AEF/MDEB，,

(2)证明：四边形A力CF是菱形.

:.ZAFE=ZDBE

•・・△ABC是直角三角形，AO是8C边上的中线，E是的中点,

:・AE=DE,BD=CD

在庄和△/)跖1中，

rZAFE=ZDBE

<ZAEF=ZBED，

AE=DE

:.△AFEQXOBE(AAS)

(2)由(1)知，AF=BD,且3O=CO,

：.AF=CD,Q.AF//BC,

・•・四边形AZXT是平行四边形

VZBAC=90°,。是BC的中点,

：.AD=^BC=CD,

2

・•・四边形AQb是菱形.

命题点2菱形的性质及其应用，

3.(2022•兰州)如图，菱形A8CO的对角线AC与8。相交于点O,E为AO的中点,

连接OE,NABC=60°,3。=4正，则OE=()

B

A.4B.2V3C.2D.

【答案】C

【解答】解：•・,四边形ABC。是菱形，ZABC=eO°,

：.BO=DO,ZABO=30°,ACA.BD,AB=AD,

・・.8。=2如，

・・・AO=^"BO=2，

J

・・・4B=2AO=4,

•・・E为4。的中点，ZAOD=90°,

:.0E=L/）=2,

2

故选：C

4.（2022•河池）如图，在菱形A8CQ中，对角线公，8Q相交于点O,下列结论中

错误的是（）

A.AB=ADB.AC1BDC.AC=BDD.ZDAC=ZBAC

【答案】C

【解答】解：•・•四边形ABCQ是菱形，

：,ZBAC=ZDAC,AB=AD,ACLBD,

故A、B、。正确，无法得出AC=BO,

故选：C.

5.（2022•自贡）如图，菱形ABCD对角线交点与坐标原点。重合，点A（-2,5）,

则点C的坐标是（）

【答案】B

【解答】解：•・•四边形A3CQ是菱形，

：.OA=OC,即点A与点。关于原点对称，

•・,点A（-2,5）,

・••点C的坐标是（2,-5）.

故选：B.

6.（202