2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案

一、选择题:1〜8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合

题目要求的，请将所选项前的字母填在答•题•纸•指定位置上.

1、设函数/(x)在(-00,+8)连续，其2阶导函数/"(x)的图形如下图所示，则曲线y=/(x)的

拐点个数为()

(A)0(B)1

(C)2(D)3

【答案】(C)

।

【考点】拐点的定义

【难易度】★★

【详解】拐点出现在二阶导数等于0,或二阶导数不存在的点上，并且在这点的左右两侧二阶导

数异号,因此,由广〃(幻的图形可知,曲线y=/(此存在两个拐点,故选(C).

2、设>=±62'+"是二阶常系数非齐次线性微分方程炉+冲'+外=。"的一个特解，

2\3>

则()

(A)a=—3,/?=-1,c=—1.(B)a=3,/?=2,c=-1.

(C)a=-3,/?=2,c=1.(D)a=3,/?=2,c=1.

【答案】(A)

【考点】常系数非齐次线性微分方程的解法

【难易度】★★

110

【详解】一/0x,-一，为齐次方程的解，所以2、1为特征方程万十^丸+人二。的根，从而

23

a=—(1+2)=—3力=以2=2,再将特解y=%/代入方程U—3旷+2)，=*得：c=—l

3、若级数〃条件收敛，则x=6与x=3依次为幕级数Z〃4（x—1）”的:

n=ln=l

（A）收敛点，收敛点（B）收敛点，发散点

（C）发散点，收敛点（D）发散点，发散点

【答案】（B）

【考点】级数的敛散性

【难易度】★★★

【详解】因为条件收敛，故工=2为事级数的条件收敛点，进而得

〃=1n=l

8

的收敛半径为L收敛区间为（0,2）,乂由于累级数逐项求导不改变收敛区间，故

71=1

—1）”的收敛区间仍为（0,2）,因而x=6与x=3依次为事级数1）”的收敛

〃=1〃=1

点、发散点.

4、设D是第一象限中曲线2肛=1,4肛=1与直线y=x,y=>/3x围成的平面区域，函数/（x,y）

在D上连续，则jjf(x,y)dxdy=

D

K1nI

(A)J/dejsinj。f(rcos3,rsin0)rdr(B)Jtd.jJsy/“cos。,/sin。)加/

42sin26»4丁疝20

K[n]

(C)d0^n；°f(rcos0,rsin0)dr(D)pd0^/(rcos0,rsm0)dr

42sin2。4>/2sin2^

【答案】（D）

【考点】二重积分的极坐标变换

【难易度】★★★

【详解】由y=x得，。=工；由），=J5x得，d=~

由2肛，=1得，2，cos8sine=l,r=

Vsin20

由^xy=1得，4/cos/?sin6=1,r=.

'd2sm29

所以口/（演）'地丫4）'=］7〃夕］千/（rcos6/,7sinO)rcir

J2sin2。

11］、

5、设矩阵4=12a,b=d,若集合。={1,2},则线性方程组Ar=〃有无穷多个

4*

解的充分必要条件为

(A)ae年Q(B)aeQ

(C)e。(D)。£Q,d£Q

【答案】（D）

【考点】非齐次线性方程组的解法

【难易度】★★

111111

【详解】［九句=12ad01

4a2d200

Av=〃有无穷多解oH(A)=R(A,〃)<3

OQ=1或。=2且d=l或d=2

6、设二次型/（%,々，43）在正交变换％=P.V下的标准形为2）:+£-£，其中

P=（e,,e2,e3）,若Q=（%一%,4），则/（芭,工2，工3）在正交变换工=。）'下的标准形为

(A)2y；-£+y；（B）2犬+£一），；

（C）2y；-），；-y

【答案】（A）

【考点】二次型

【难易度】★★

200-

【详解】由x=Ey,故了=工74丫=），7'（尸，4/＞）），=2必2+〉；一丁；且：PTAP=010

00-1

100200

Q=P001=PC,QTAQ=CT(PTAP)C=0-10

0-10001

所以/=/Ax=V(QZA))，=2y；-y；+y；,故选⑹

7、若AB为任意两个随机事件，则

(A)P(AB)<P(A)P(B)(B)P(AB)>P(A)P(B)

(C)2…⑷+尸⑹(D)依附之3^

22

【答案】(C)

【考点】

【难易度】★★

【详解】vP(A)>P(AB),P(B)>P(AB)

P(A)+P(B)>2P(AB)

P(AB)<P(A)+P(B)故选(c)

2

8、没随机变量X,Y不相关，且EX=2,Ey=l,OX=3,则E[X（X+Y—2）]=

（A）-3（B）3（C）-5（D）5

【答案】（D）

【考点】

【难易度】★★★

【详解】

E|_X（X+r-2）J=E[X2+Xy-2X]=E（X2）+E（Xr）-2E（X）

=D（X）+E2（X）+E（X）E（y）-2E（X）=5

二、填空题：9〜14小题,每小题4分洪24分.请将答案写在笥喀纳指定位置上.

八Incosx

9、limz-=

z。X2---------

【答案】一,

2

【考点】极限的计算

【难易度】★★

12

X

【详解】lim塔吧「ln(14-cosx-l)「cosx-l「2

=lim-;---；------=Inn----；——=hm——.1

XTOrx-»0工/工->0厂x->0厂2

乃sinx

国+国)公=

10、

2+COSX

1

【答案】一

4

【考点】积分的计算

1

【难易度】★★

【详解】［|(SinX+\y\)dx=2^xdx=—

J-1+cosx11J。4

11、若函数z=z(x,y)由方程+盯z+x+cosx=2确定，则必如)

【答案】

【考点】隐函数求导

【难易度】★★

【详解】令F(x,y,z)=，+A)，Z+X+COSX-2,则尸；=yz+1-sinxF；=xz,F；=xyt

一J

又当x=0,y=l时，z=(),所以电0,因而dz[(o])=-dr

dx(03)F；司。「一行

12、设Q是由平面x+y+z=l与三个坐标平面所围成的空间区域，则

JJJ(x+2y+3z)dxdydz

Q

【答案】-

4

【考点】三重积分的计算

【难易度】★★★

【详解】由轮换对称性，得

JJJ(x+2y+3z)c/xdyc/z=6JJJzclxdydz=6^1zclzdxdy

aa2

其中。二为平面z二z截空间区域Q所得的截面，其面积为g（l-Z『.所以

JJJ[x+2y+3z)dxdydz=f)|JJzdxdydz=6-z)2dz=3J^(z3-2z2+z^dz=—

oc°2。4

2002

-12…02

00■.22

13、0阶行列式00…-12=

【答案】2向一2

【考点】行列式的计算

【难易度】★★★

【详解】按第一行展开得

2002

-1202

1

D,「=2D1〃+一](-\ir/=271D-1.+2

0022

00-12

=2(221+2)+2=22%+2?+2=2"+2"，…+2

二2用一2

14、设二维随机变量（x,y）服从正态分布N（I,O,U,O）,则p（xy—y<o）=

【答案】-

2

【考点】

【难易度】★★

【详解】・.・（x,y）~N（i,o,ijo）,.・.x~Nai）,y~N（o,i）,且x,y独立

...x-1~N（O,1）,尸{xy_y<o}=尸{（X—i）y<0}

=p{x-i<o,r>o}+p{x-i>o,y<o}=^x1+|x|=l

三、解答题：15〜23小题，共94分.请将解答写在为典纲指定位置上.解答应写出文字说明、证明

过程或演算步骤.

15、(本题满分1()分)

设函数/0)=x+aln(l+x)+&r.sinx,g(x)=kx3,若/(x)与g(x)在xf0是等价无穷小,

求。，b,攵值。

【考点】等价无穷小量，极限的计算

【难易度】★★★

【详解】/(x)=x+。ln(l+%)+/?%•sinx

彳2I「d-

=X+QX------+—4-o(x3)+bxX--------4-o(x3)

23\[L3!\

=(l+a)x+一3+bX2+~^3

/(X)与g(x)=kx3是等价无穷小

16、(本题满分10分)

设函数在/(%)定义域I上的导数大于零，若对任意的X。£/,曲线y=f(x)在点(.%,/(%))处

的切线与直线x=x0及x轴所围成的区域的面积为4,且/(0)=2,求的表达式

【考点】微分方程

【难易度】★★★

【详解】如下图:

x=Xo处的切线方程为/：y=/'(玉))(工一玉))+/(工0)

/与无轴的交点为：了=0时,，x=x0—用1,则恒河="1=%一%,

小)11人%)

因此，5=34用"(%)=!孕4/(/)=4.即满足微分方程：4=7»解得:

22f(x0)y8

—=——x+c.

y8

1Q

又因y(0)=2,所以c=—,故y=

24-x

17、(本题满分10分)

已知函数f(x,y)=x+y+,曲线C:/+)/+盯=3,求/(x,y)在曲线。上的最大方向

导数.

【考点】方向导数，条件极值

%

【难易度】★★★

【详解】根据方向导数与梯度的关系可知，方向导数沿着梯度方向可取到最大值且为梯度的模

故

gra《f(x,y)=(l+y,l+x)

故/(x,y)在曲线C上的最大方向导数为加+4+(1+幻2,其中羽y满足―+),2+工),=3,

即就求函数z=(1+y)2+(1+x)2在约束条件/+/+x),—3=o下的最值.

构造拉格朗日函数F(x,y,2)-(1+y)2+(1+x)2+A(x2+y2+xy-3)

：2(1+x)+2Ax+Ay=0

2(1+y)+2Ay+疝=0可得(1,1),(-1-1),(2-2),(-1,2)

=Y+y2+町-3=。

其中z(l,l)=4,z(-l,-l)=0,z(2,-l)=9=z(-l,2)

综上根据题意可知/(x,y)在曲线C上的最大方向导数为3.

18、（本题满分10分）

（I）设函数"（X）,U（X）可导，利用导数定义证明

[u(x)v(x)]'=u*(x)v(x)+u(x)v(x\

（n）设函数%（x）,%（X）…（X）可导，/（X）=U\（x）〃2（X）…4〃（%），写出了（工）的求导公式.

【考点】导数定义

【难易度】★★

【详解】⑴

].W(X+AX)--〃(x)•v(x)

[w(x)-v(x)]=

..v->0AX

[w(x-〃(x)]•〃(x)•[uCr+,.x)-v(x)]

=lim

x->0..X

=u(A)-v(x)+w(x)-V(x)

(n)

/(x)={%(x).[〃2(x)〃“*)]}

=%(x)•[〃2*)…露(X)]+/(X),M(X)…(幻]

=%(x)•U2(x)"〃(x)+%(x)•{〃2(X),[%(X)⑸(X)]}

III

=U.(x)-w9(x)"+(x)〃.(1)+u(x)

19、（本题满分10分）

已知曲线L的方程为，z=，2-1一厂，起点为A（u,友,（j）,终点为次虎,。），计算曲线积

z=X,

分/=Jjy+z）公+92-x2+y）dy+（x2+y2）dz

【考点】曲线积分的计算

【难易度】★★★

X=cos0,

【详解】曲线L的参数方程为、丫=血5泊6\。从巴至|」一生

22

z=cos8,

/=f(y+z)dx+(z2-x2+y)dy+(x2+y2)dz

JL

=Ji2[—(正sin0+cos6)sin夕+0sin夕夜cos0-(cos29+2sin?夕)sin夕卜，

-V2sin26+；sin2。一sin6-sin*816

=V2sin2OdO=2V2fTsin2OdO=2^—

J。222

20、（本题满分11分）

设向量组%%，%是3维向量空间二一的一个基，口=24+2攵03,22=?a?,

又=a、+(k+l)%。

（I）证明向量组4,22,夕3是1的一个基;

（ID当k为何值时，存在非零向量g在基%,4，%与基丹，人，自下的坐标相同，并求出所有

的4。

【考点】线性无关，基下的坐标

【难易度】★★★

<201、

【详解】（I）（仇，氏险=（%乌，。3）020

2k0攵+1,

201

21

因为020=2=4w0,

2kA+1

2k0攵+1

所以月,人,尸3线性无关,夕“2次是M的一个基。

’201

(II)设尸=020，P为从基冈,%，％到基外42,夕3的过渡矩阵，又设4在基

{2k0攵+1,

%,%，%下的坐标为工=。，工2，工3)，，则4在基丹血，夕3下的坐标为尸一、，

由式=。1,得&=x,&|J(P-E)x=0

101㈠

11

由|尸一同=010=—k=0»得k=0,并解得x=c0，。为任意常数。

2kk

2k0k

从而J=-ca]+c%，。为任意常数。

21、(本题满分11分)

92-3、U-20、

设矩阵A=-13-3相似于矩阵8=0b0

J.2%93

(I)求〃，力的值.

(II)求可逆矩阵P,使得尸7AP为对角阵.

【考点】相似矩阵，相似对角化

【难易度】★★★

’02-3、勺-20、

【详解】由人二-13-3相似于B=0〃0

J一2<031，

0+3+。=1+Z?+1

020

则k，解得。=41=5

-130

121

2-23

fAW=\AE-A\=IA-33=（71—1）2（2—5）=0

-122-4

「1-23、-23、

当4=4=1,（4E—A）=1-23000

2-3;<000>

z—

特征向量4=1，&=0

loj11

（523）」0P

当4=5,（花一A）=121-011

3）、0

I12U15-200,

一、（2-3-1、100'

则特征向量4—-1，所以夕二（。看2，4）=10-1,得KAP-010

〈011,.005

22、（本题满分11分）