初中数学60个几何模型专题复习：模型 14“中垂线”模型

模型14“中垂线”模型

模型展现

基轴模型

图示4

特点直线1是AB的垂直平分线，也称“中垂线”，点P是直线1上一点.连接PA,PB

结论PA=PB

结论分析

结论:PA=PB

证明:如图,AB交1于点

AZAOP=ZBOP=90°,

••P为AB的中点,・•・OA=OB,

在乙AOP与^BOP中.~~

0A=OBI

乙40P=4BOP,

0P=OP

J△AOP丝△BOP(SAS),JPA=PB.

模型拓展

拓展方向：中垂线的应用

三角形的外心

图示

特点点0是4ABC三边垂直平分线的交点

结论点0为^ABC外接圆的圆心,OA=OB=OC

?怎么用

1.找模型

题干中出现线段垂直平分线时使用“中垂线''模型，也常以尺规作图的形式出现

2.用模型

遇到中垂线,连接中垂线上的点与线段两端点，使用中垂线的性质（也常结合等腰三角形性质:解决线段问题

满分技法

线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等（或到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上）.

满分技法

锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外心位置.

模型典例

例1如图，在rABCD中,ABrAD,AC,BD相交于点0,过点0作0E_LBD,交AD于点E,若。ABCD的周长为16,

则^ABE的周长为

例1题图

例2如图，在△ABC中,NBAC=120。,分别以点A,B为圆心，大于:AB的长为半径画弧，过两弧的交点作直线，

交BC于点D,交AB于点E；分别以点A,C为圆心，大于的长为半径画弧，过两弧的交点作直线，交BC

于点F,交AC于点G,连接AD,AF厕NDAF的度数为

例2题图

例3如图，已知0是4ABC的外心.M,N分别是AB.AC的中点，连接0MQN,分别交BC于点E,D.若BE=5,DE=

4,CD=34!kABC的面积为

例3题图

针对训练

1.如图.在△ABC中,BC=6,NA=6Jo,NB=45o,BC边的垂直平分线分别交BC,AB于点D,E,则AE的长为

BDC

第1题图

2.模型迁移如图，在平面直角坐标系中，点A,B,P的坐标分别为(1,0),(2,5),(4,2).若点C在第一象限，且横坐

标、纵坐标均为整数，点P是仆ABC的外心，则点C的坐标为一.

0Ax

第2题图

3.如图Q为工ABC的外心,△0CP为等边三角形.OP与AC交于点D,连接OA,若NBAC=7()o,AB=AC,则/ADP

的度数为

A

第3题图

4.模型迁移如图，在平面直角坐标系中，AB二人0=2,/人130=30。直线MN经过原点O,点A关于直线MN

的对称点A1在x轴的正半轴上，点B关于直线MN的对称点为B一则点B］的坐标为

第4题图

5.如图在△ABC中点D是BC边上一点，连接八口把^ABD沿着AD翻折得到^AB'D,B'D交AC于点E、连接

交AD于点F,若DB=3DE,AB=2\!13,AF=的面积为12,求点B到DB，的距离.

第5题图

模型14”中垂线”模型

模型典例

例18【解析】•・•四边形ABCD是平行四边形.・・・AC.BD互相平分・・・0是BD的中点又・・・OE_LBD,・・・OE为线

E殳BD的垂直平分线,，BE=DE,.\ZXABE的周长为AB+AE+BE=AB-AE+DE=AB+AD,5.V°ABCD的周长为16,/.

AB+AD=8,・•・AABE的周长为8.

例260【解析】由尺规作图可知DE,FG分别垂直平分AB,AC,ADB=DA,FA=FC(+>^ffig),AZB=ZDAB,

ZC=ZFAC，SAABC中,NBAC=120o,，NB+NC=l80°-NBAC=1800-l20o=60°RPNDAB+NFAC=600JiHjNDAF=N

BAC-(ZDAB+ZFAC)=120°-60°=60°.

例318【解析】如解图.连接AE.ADMO是△ABC的外心,M.N分别是AB,AC的中点,・•・OM1AB.ON1AC,

222

/.AE=BE,AD=CD,VBE=5,CD=3,AAE=5,AD=3,VDE=4,/.DE+AD=AE,A乙ADE=90°,二BC=BE+DE+

11

CO=5十4十3=12,;SABC=30cA。=；x12x3=18.

A

BE\/DC

0

例3题解图

针对训练

1.V6【解析】如解图.连接CE,TDE是BC边的垂直平分线，..•.EB=EC,BD=DC*BC=3,/.ZDCE=ZB

=45°,/.ZBEC=ZAEC=90°,gRtADEC中,DC=3,，EC=3&在,RtaAEC中，z/1=60°,二AE=EC=斗=

tan60°v3

V6.

A

工

BDC

第1题解图

2.54)或(65)或(7.4)【解析】如解图，利用尺规作图，以点P为圆心,以PB长为半径作圆，所经过的格点即

为点C(外心到三角形三个顶点的距离相等)，，点C的坐标为(1.4)或(6,5)或(7.4).

0\A\yN

第2迹露图

3.85。【解析】•・•点0是4ABC的外心,・・・OA=OC,又,.•AB=AC,・・・OA所在直线垂直平分BC.且OA平分NB

AC,LOAC=^BAC=35。,，ZOCA=ZOAC=35°,V△OCP为等边三角形，,ZOCP=ZOPC=60°,AZACP=ZO

CP-ZOCA=25。,，ZADP=ZACP+乙DPC=25°+60°=85°

4.(3,一百)【解析】如解图.过点A作AC_Lx轴于点C,过点Bi作B】D_Lx轴于点D,：AB=AO=2,/ABO;

30°,AAC=1,OC=BC=y/3,OB=2\［3=OB”:•点A,A］关于直线MN对称,400M=-(180°-Z.AOB)=75。，

3

NBON=NDOM=75。」.•点B,B］关于直线MN对称.AD0B1=180-24BON=30。；NB】DO=90。,，BtD=

瓜OD=WB\D=3,，点Bi的坐标为((3，一遍).

第4题解困

5.樨:•・,AABD沿着AD翻折得到^ABD,

・・・AB:AB'.BF=B'F.BD=B'D,ADJLBB',

VAABE中边BE上的高与^ABD中边BD上的高相等.DB=3DE,

，BD=3DE,.・・BE=2DE,

:.SAB>E:SABiD=B'E'.B'D=2:3,

■:^AB'E=12,

^AB'D=2^AB，E=1&

在RsABF中根据勾股定理得,BF=V/1B2-AF2=4,

BB'=2BF=8,

SARD=^AB'D=18,