高考数学大一轮复习 高考专题突破六 高考中的圆锥曲线问题用书-人教版高三数学试题

（浙江专用）版高考数学大一轮复习高考专题突破六高考中的圆锥

曲线问题教师用书

Q考点自测快速解答自查自纠

1.（•课标全国II）已知人少为双曲线少的左，右顶点，点必在/上，△/应M为等腰三角形,

且顶角为120°,则少的离心率为（）

A.4B.2C.小D.^/2

答案D

解析如图，设双曲线£的方程为F—9=1（40,力＞0）,则I阴=2a,由双曲线的对称性,

aD

可设点可为,为在第一象限内，过"作就VJLA■轴于点Mx,.O），

•.•△月笈犷为等腰三角形，且N/l8gl20°,

：.\BM\=\AB\=2atZ.W=60°,

I楸1=\BMsin/J伤\』2asin600=/a,

22

%=|庞|+|“=a+2acos60'=2a.将点J/（x”y）的坐标代入之一看=1,可得#=从.'.e

au

=1=选以

2.设b为抛物线C；「=3*的焦点，过尸且倾斜角为30°的直线交C于48两点，。为坐

标原点，则△。/出的面积为（）

平

芈639

AC---

B.32D.4

答案D

解析由已知得焦点坐标为网彳，0）,

因此直线池的方程为尸坐（*一，

即4x—4/y—3=0.

方法一联立直线方程与抛物线方程化简得4/-12娟y-9=0,

故ly.i—ysI=7典+ye'—4为1%=6.

i39

因此0F\"一#|=5乂彳乂6=彳.

乙乙s3

919

方法二联立方程得义—表+h=0，

乙10

山

故Xi+IA7r=—21

917

根据抛物线的定义有|月"=乂+刈+夕=丁+另

乙乙

=12,

3

同时原点到直线四的距离为h=

"十一4小

1,g

因此S^avt=-\AB\•h=-

3.（•山西质量监测）已知力，8分别为椭圆?+亲=136>0）的右顶点和上顶点，宜线y=

履（〃>0）与椭圆交于C,〃两点，若四边形力。切的面积的最大值为2占则椭圆的离心率为（）

11八水也

/VB-C-VD.V

3/JJ

答案I)

解析设C(M,y)(小＞0),设照,㈤,

ab—ab

将尸=履代入椭圆方程可解得汨=

则ICD\=71+41加一也IJ；"g

yjD-ra'k'

a4/?

又点月（a,0）到直线y=kx的跖离dt=-r===.点4（0.A）到直线y=kx的距离d=-F===.

所以S|H）地形"^产弓"CD+另4（刀I

乙乙

=51(.d,+.曲・附.而1•b后-\~aK.瑞2aZnJ齐l十左

,b+ak

=ab,/,..

机+aK

.b+ak

令餐后方，

…〃'+，〃+2a必…，k

则弋=-发+，＞=1+2劭*乔育

=l+2a/?・—:------Wl+2a〃・T-7=2

b.Zab

—+a2'kj

K

当且仅当下■=+4，即时，Z„,.=-J2»

Ka

所以5叫li形"w?的最大值为木ab.

由条件，有平ab=2一,

即2c=al）=ii{^—c）=a—cf（f'2c-Yac—a=0,2e'+e2—1=0,

解得或/=一1（舍去），所以。=乎，故选D.

乙乙

29

4.（•北京）双曲线W—《=16>0,〃>0）的渐近线为正方形〃仿C的边创，％所在的直线,

ciU

点6为该双曲线的焦点，若正方形勿回的边长为2,则9=.

答案2

解析设夕为双曲线的右焦点，如图所示.

;四边形。出。为正方形且边长为2,

：.c=\OB\=2y[2,

又/力仍=李

bn

.\-=tan—=1,fi|Ja=b.

又a2+Z/=c/=8,*.a=2.

题型分类深度剖析

题型一求圆锥曲线的标准方程

1（於核0）的左、右焦点为£、R,离心率为半，过K的直线，交

例1已知椭圆C：

。于力、8两点.若△/出8的周长为4/，则。的方程为（）

B.1+./=1

22

D二+j

~2十41

答案A

解析由e=坐,得三=坐①

Ja0

又△必〃的周长为4小，

由椭圆定义，得4a=4小,得〃=十，

代入①，得。=1,所以炉=/一/=2,

29

故椭圆。的方程为曰+5=1.

思维升华求圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，主要利用圆锥曲线的定义、几何性质，

解得标准方程中的参数，从而求得方程.

22

跟踪训练1（•天津）已知双曲线当一9=1（心0,力>0）的i个焦点为尸（2,0）,且双曲线的

ab

渐近线与圆5—2）2+/=3相切，则双曲线的方程为（）

A，*9"T3=1B-13-7=1

29

C.T-/=1D.V—《=1

答案D

解析双曲线《n的一个焦点为网2,。）,

则，+^=4,①

双曲线的渐近线方程为

由题意得~7名不小,②

联立①②解得匕=，5,a=1,

所求双曲线的方程为六一5=1,选|）.

题型二圆锥曲线的几何性质

例2（1）（•湖南）若双曲线二一套=1的一条渐近线经过点（3,-4）,则此双曲线的离心率

ab

为（）

，于n5八4八5

A.~~B.—C.~D.-

JTJ<5

x=2pf,

（2）（-天津）设抛物线.（t为参数，p>0）的焦点为F,准线为I.过抛物线上一点

[y=2pt

/作/的垂线，垂足为8.设0）,肝与勿相交于点£若[m=2AF\,且△月龙的面积

为队p,则o的值为________.

答案(DD⑵乖

解析(1)由条件知过点(3,—4),=4,

aa

即38=4a,.,.9Z/=16才，9a'=16a2,

5

25才=9/,e=j.故选D.

J

x=2pt2,

⑵由;(p>0)消去t可得抛物线方程为V=Z〃x(〃)O),

\y=2pt

3

IAB\=AF\=-pt

可得力（夕,y[2p）.

A।阳।羽1

易知△月£加>△田;，：t-=—=-t

故队片曝“尸;X3〃x啦〃xj

JJ，

=*方=3木,

.,.//=6,***p）Qt:•p="\^>.

思维升华圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、双曲线渐近线，是常

考题型，解决这类问题的关健是熟练掌握各性质的定义，及相关参数间的联系.掌握一些常

用的结论及变形技巧，有助于提高运算能力.

22

跟踪训练2已知椭圆2+?=1（a>/）〉0）与抛物线/=2px（〃〉0）有相同的焦点EP,0是椭圆

3U

22

与抛物线的交点，若偌经过焦点凡则椭圆卷+看=1（苏力0）的离心率为.

答案72-1

解析因为抛物线〃=2夕*（少0）的焦点”为《，0）,设椭圆另一焦点为五

当时，代入抛物线方程得y=±A

又因为用经过焦点凡所以,且分工处:

所以1加=d介-?+万=弧》,

\PF\=p,\EF\=p.

故2a=蛆0+夕,2。=夕，e=^=y12—l.

4a

题型三最值、范围问题

例3若直线7：过双曲线之一%=1（a>0,力0）的一个焦点,且与双曲线的一

3Jab

条渐近线平行.

（1）求双曲线的方程：

（2）若过点仅0,6）且与x轴小平行的直线和双曲线相交十小同的网点M.,帆的垂直平分

线为跖求直线用在y轴上的截距的取值范围.

解（1）由题意，可得。=2,-=坐，

所以才=3巨，且4+Z/=/=4,

解得。=1.故双曲线的方程为9一/=1.

O

（2）由（1）知以0,1）,依题意可设过点外的直线方程为

7=★>+］（杼0）,W（M,y）,做短，yi）.

y=kx+\,

由'V2得(1—3")V—6衣彳-6=0,

L=i,

”i、t.6k

所以川+&=j_，3点,

2

4=36片+24(1-3*)=12(2-3^)>0=>0<^<",

J

且1—3AgW0=k'

J

设蒯V的中点为0（即必）,

为+423A

则*)=~2~=T^y(>=〃必+1=]_3K

故直线m的方程为y—E=一去lR,

14

即尸7厂获.

4

所以直线加在y轴上的截距为口命，

由0＜芥＜|,且AV1,

得1一3作w(-l,O)U(O,l),

4

所以［_3/'£(一8,-4)U(4,+8).

故直线加在y轴上的截距的取值范围为(—8,-4)U(4,+8).

思维升华圆锥曲线中的最值、范围问题解决方法一般分两种：一是代数法，从代数的角度

考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和均值不等式法、换无法、导数法等

方法求最值：二是几何法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，1艮据圆锥曲线几何意义求最

值与范围.

2

跟踪训练3直线/：X—y=o与椭圆力+炉=1相交于九6两点,点C是椭圆上的动点，则

△力面积的最大值为_______.

答案事

解析由5{x—+y2=O~,=。，得"=2,

••・¥=土乎，设点力在第一象限，

.•・砰,第'8(—乎，普)一・.|加=挚

设与/平行的直线/'：y=x+勿与椭圆相切于2点.

则△/1储面积最大.

y=x+m,

由“f2得3f+4川*+2///—2=0,

万+y=i，

・•・4=(4m)2—4X3X(2m—2)=0,

:・m=土木.，尸到新的距离口】为/与r的距离,

•・d一志.，2XX近

题型四定值、定点问题

例4(•全国乙卷)设圆V+j?+2x-15=0的圆心为A,直线，过点8(1,0)且与x轴不重合,

/交圆/于。，〃两点，过6作力。的平行线交/I。于点£

⑴证明|龙||+附为定值,尹写出点£的轨迹方程；

⑵设点£的筑迹为曲线G,直线/交G于J/,N两点，过6且与/垂直的直线与圆力交于R

Q两点，求四边形J昭环面积的取值范围.

解⑴因为|/〃|=|力。，EB〃AC,故/EBD=/ACD=/ADC，所以|%|=|勿|,故|口|斗|加|

=\EA\+\ED\=\AD\.

又圆力的标准方程为Cr+1)2+/=16,从而|力〃|=4,所以|口|+以1=4.

22

由题设得力(-1,0),4(1,0),|必=2,由椭圆定义可得点£的轨迹方程为3+±1(尸0).

(2)当/与x轴不垂直时，设；的方程为1)(AW0),MM,M),"(照，H).

y=kx—\,

由1V/得(4〃+3)V-8〃x+4〃-12=0.

[V

nil,8-41一12

则M+*2=4,+3,加照=4尸+3，

所以|.极r=什1+"\x\-xz\—.

过点8(1,0)且与/垂直的直线加：y=—幺x—1),

K

2

点力到勿的距离为亍六，

所以।闻=2正(向卜

故四边形必?幡的面积

S4楙闺=12勺1+舟.

可得当/与x轴不垂直时，四边形，阳W面积的取值范围为(12,84).

当,与刀轴垂直时，其方程为x=l,|.也M=3,|/嘲=8,四边形J处跖的面积为12.

综上，四边形.仍V。面积的取值范围为［12,8^3).

思维升华求定点及定值问题常见的方法有两种

(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.

(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

跟踪训练4(.北京)已知椭圆a当+%=1(心人＞0)的离心率为半，/fUO),8(0,b),

3u乙

0(0,0),△创5的面积为1.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设尸是椭圆C上一点，直线四与y轴交于点M直线PB与x釉交于点A：求证：|力川•\BM\

为定值.

⑴解由己知9=坐，*=1.

QLL

又占解得a=2,b=l,c=y[3.

・•・椭圆方程为.+4=1.

⑵证明由(1)知，J(2,0),8(0,1).

2

设椭圆上一点尸(刖,H),则1+U=L

当加羊0时，直线PA方程为y=-^:(x-2),

Ab—乙

令x=0,得"

Ao乙

从而|£犷=|1-八1=1十三寸.

直线用方程为尸匕二1彳+1.令尸0,得加=三.

照yb~I

I力M=12一吊|=(2+(|.

•㈤加=〔2+号〔,1+检I

_|照+2%—2周+2K—2

"I次1一]XL2

_x；+4B+4xo*-4剧—8M+4

题小一照—2汽+2

4%)%-4而-8汽+8_

1刘次一照-2乂)+24'

当和=()时，ya=—\,|加/|=2,|/州=2,

••・|4V|・|即1=4.故14Vl・|划为定值.

题型五探索性问题

例5(•广东)已知过原点的动直线/与圆C；6彳+5=0相交于不同的两点44

(1)求圆G的圆心坐标；

(2)求线段4月的中点，"的轨迹。的方程；

(3)是否存在实数A,使得直线。y=*(x-4)与曲线。只有一个交点？若存在，求出A的取

值范围：若不存在，说明理由.

解(DIMIG：系+/—6%+5=0化为(％—3)2+>/=4,・••圆G的圆心坐标为(3,0).

(2)设W(才,0,

•・"，5为过原点的直线/与圆G的交点,且必为/步的中点，

工由圆的性质知.图L初，・•.丽•丽=0.

又；他=(3—x,~y)fMO=(—x,—y),

.••由向量的数量枳公式得r-3x+y=0.

易知直线/的斜率存在，

.•.设直线/的方程为夕=襁,

|3777~0|

当直线/与圆G相切时，d=

M后+1

解得m=±邛^.

把相切时直线/的方程代入圆C的方程,

5

化简得9/-30x+25=0»解得x=j.

当直线/经过圆。的圆心时，"的坐标为(3,0).

又•.•直线/与圆G交于48两点，J/为月8的中点，

5

...彳<启3.

O

••・点〃的轨迹。的方程为丁-3才+炉=0,其中3xW3.

<5

(3)由题意知直线/,表示过定点(4,0),斜率为A的直线，把直线£的方程代入轨迹。的方程

y-3x+V=0,其中可〈启3,化简得(片+1)y—(3+8/)％+16#=0,其中可〈启3,

JJ

5

记/*(*)=(如+1)*2—(3+8片)x+161，其中鼻<xW3.

若直线£与曲线。只有一个交点，令f(4)=0.

g3

当4=0时，解得芥=/，RI：k=±-,此时方程可化为25/一120*+144=0,即(5*—12/

104

=0,

10/51Q

解得x=有£(j,31.•.仁士,满足条件.

当工〉0时,

①若x=3是方程的解，则丹3）=0=4=0=另一根为x=0<*故在区间3上有且仅有一

个根，满足题意；

②若是方程的解,则/借=0=4=±挛=另外一根为二身得嫖W3,故在区间住3

J।/JJNJ

上有且仅有一根，满足题意：

③若x=3和彳=］均不是方程的解.，则方程在区间3）上有且仅有一个根，只需

司・汽3）<0=一¥<依乎.故在区间修，3上有且仅有一个根，满足题意.

综上所述，〃的取值范围是一芈WAW挛或4=土,.

思维升华（1）探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设

满足条件的元素（点、直线、曲线或参数）存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方

程组，若方程组有实数解，则元素（点、直线、曲线或参数）存在；否则，元素（点、直线、曲

线或参数）不存在.

（2）反证法与验证法也是求解挨索性问题常用的方法.

跟踪训练5（.山东枣庄八中月考）已知椭圆G2+卷=1出£>0）的离心率为〈，且过点（1,

ab2

权若点J/Cm㈤在椭圆。上，则点M彗给称为点"的一个''椭点”.

2ab

（1）求椭圆。的标准方程.

（2）若直线/：/=履+勿与椭圆。相交于48两点,且48两点的“椭点”分别为〃，Q,

以闻为直径的圆经过坐标原点，试判断△/如的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若

不为定值，说明理由.

解（1）由题意知:*=刍=&

a乙aa、

Aiq

即入我乂V后i

.,.才=4,5?=3,.,.椭圆C的标准方程为［+］=L

（2）△力防的面积为定值.理由如下：

蜴打啮方，

设力（汨，yi）,B{X2,㈤，则

•・•以收为直径的圆经过坐标原点,

・•・苏•威=0,即一华=。

y=Ax+m,

由,片+?_]得(3+4〃)/+8萩x+4(痛-3)=0,

/=64病，-16(3+4曲(，-3)>0,

得3+4A~一苏>0.

8mk4m—3

小+照=一中/汨也=3+42.

3ni-M<

yij2={kx\-\~m)•(幺用+㈤+Mr(xi+&)+/=—3+

3

代入4+3=0,即y刑=一：乂小，得

3而一4必3，13；4系~»即2方一42=3,

-3+4〃-=

IAH\=[1+[•I*―心I=、/I+♦•个~M+龙:~2—4xiX2=yj\+/c•~黄

OIZ1A

Hl\

由点。到直线月8的距离公式得d=

VTT?'

,_1,,1J,..4——M+3|加|1«4844—一+3|加

••5^^=-1AB\ci=-^\+k•X3+42

3+六23+4如

把2/—4〃=3代入上式，得5&*用=木.

课时训练

1.（•陕西）如图，椭圆'54=i（,>/»o）,经过点水。，-3且离心率为坐

（1）求椭圆£的方程;

（2）经过点（1,1）,且斜率为〃的直线与椭圆〃交于不同的两点巴。（均异于点冷，证明：直

线//与力。的斜率之和为2.

（1）解由题设知£=乎，b=\,

a2

结合ii=l）+?，解得a=y[2,

所以椭圆的方程为白+炉=1.

乙

（2）证明由题设知，直线〃。的方程为尸内才-1）+1（4工2）,代入5+4=1，

得（1+2扃/一44（女一1）斤+24（〃-2）=0,由已知A>0,

设P（M,yi）,0（*2,度），乂照*0,

从而直线/伊，的斜率之和

,,,yi+1,%+1«击+2—Akx?+2—k

攵俨十KAQ-r=i

Ai42AiA2

=2%+(2—^)f-+—1=2A+(2—A+A

\XIXL)X\Xi

.、4Ak—1/.

=2〃+(2-^).,_=2k-2{k~\)=2.

Z9nK/9

22

2.(♦金华十校联考)椭圆G*+£=1(8力0)的上，下顶点分别为儿B,右焦点为凡点

/吟络噂)在椭圆C上，且02L"：

（1）求椭圆。的方程：

（2）设不经过顶点44的直线/与椭圆交于两个不同的点。（汨，y）,*（如％）,且,+'=2,

X1Xz

求椭圆右顶点〃到直线/距离的取值范围.

解（D•••点:（与早，5:，k后季,

乂<AF1OP,一^乂第=一1,：.c=^b,：.a=41f.

又点〃（笔士噂）在椭圆上，

_4_j222

"13（1313,1313

‘了+产需+了=嬴

解得3=4,讨=1,故椭圆方程为"+4=1.

（2）（i）当直线）的斜率不存在时，方程为x=l,此时41.

5）当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为尸履+加（礴±1）,

联立椭圆方程得（4尸+1）f+8痴x+45-1）=0,

旧jk如红”l.-8km4nf—1

由根与系数的关系得汨+即=4尸+],xix2=­[六十]—,

由△》()=44'一方+1>0,①

.11।—8km4zzf—1

MXi4/+14Ar4-1

即km=1一而0k==—m(mWO)，②

m

把②式代入①式得病片或

椭圆右顶点〃(2,0)到直线/的距离

综上可知收[0,2).

3.(•浙江新高考预测)已知曲线。的方程是加+4=1(〃》0,皮0),且曲线。过

赠当两点，。为坐标原点.

(1)求曲线c的方程;

⑵设做石，乃)，*(照，度)是曲线C上两点，且〃归_。此求证：直线副V恒与一个定圆相切.

1.1

-m±-n=1,

(1)解由题可得解得加=4,/?=1.

!勿+!〃=1,

O6

所以曲线。的方程为/+4f=L

(2)证明由题得4+4#=1,员+4於=1,汨用+乂度=0,

原点〃到直线脚的距离

1。“•i〃viq必+/总+]

M17~~x\—xz一旺―y\—yz~5

=v-1+、+♦+其

1-3#1-3点

2—3矛;+定：

1-3尤+云+9*-

2—3#+北,

由M照+乂%=0，得

/点=)又=(1-4#)(1—4面

=1—4«+/)4-16At卷

所以戏=2(4+向一白，

/—3'+■+乌1?+■H-?

d=V2-3

一飞刘+生小

_\12—3xi十•一5，

所以直线网.恒与定圆/+/=:相切.

0

29

4.己知椭圆?十号=1的左顶点为儿右焦点为R过点产的宜线交椭圆于8,。两点.

(1)求该椭圆的离心率：

⑵设直线力〃和〃分别与直线彳=4交于点MA：问：x轴上是否存在定点尸使得郎L