高考数学《基本不等式》专项复习

基本不等式

【课标要求】了解基本不等式的几何背景，熟记几种常用的不等式，并学会灵活

运用.

【学习目标】（1）了解基本不等式的代数和几何背景.

（2）会用基本不等式进行代数式大小的比较及求解简单的最值问题.

【重难点】用基本不等式进行代数式大小的比较及求解简单的最值问题.

【知识回顾】

1、由不等式性质可知，对任意a,b£R,（a-b）220,因此标子〃22附，当且

仅当〃时上式'='成立.

2、若以犯，出分别代替上述不等式中a,b,则可得到下列结论：

，：a+b—2ylm=（缶y+（加，—2ylm=（或一巾*20,

:・a+b—2ylm力0,即a-\~b^2y[ab,

当a>0,b>0时，粤》的）,这个不等式称为基本不等式，也可以称为均值不

等式.

3、基本不等式的几何解释：

如图，44是圆的直径，C是上一点，AC=a,BC=b,过。

点。作垂直于48的弦。乱连结4）,BD.由射影定理或三角

形相似可得。。=匹，由CO小于或等于圆的半径号，可得

不等式当且仅当点C与圆心重合，即当4=力时，

等号成立.通常，我们把F叫做正数a，b的算术平均数，4abE

叫做正数〃，6的几何平均数，所以不等式号（60,6>0）可以表述为：两

个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

4、利用均值不等式求解最值问题时要注意：

注意：利用基本不等式求函数最值时，必须满足三条：

a.一正，即x,y都是正数；

b.二定，即盯（或K+N）是定值；

c.三相等，x与歹必须能够相等.可理解为①当。=6时，必取“=”号；②当

取到“=，，号时，必有4=6.否则不能用基本小等式求最值.

4、不等式的推广：JK"+"Ka>（）,b>0,a=力时取等号）

1,12V2

一十一

ab

5、不等式的一些基本题型（已知x,y,a,b,c均为正数）

1）和定积最大

如果叶），是定值S,那么当x=y时，町有最大值扣.

2）积定和最小

如果号是定值P,那么当x=j，时，x+y有最小值2杯;

3）积定的变形

例如求以+^、—+—xat+—^―交2等的最小值.

xxyx-b

4)和定的变形

12x

例如、x（l-x）等的最大值.

(x+2)(x+3)

5）黄金数的运用

例如：x+y=l,求2+»的最小值.

xy

【随堂练习】

1.函数/*）=主的最大，直为（）

人I1

A.1B.1C*

D.1

。JJ

2.若a20,b20,且a+/）=2,则（）

22

A.abW：B.必2：C.a-\~b^2D.a2

乙乙

3.已知£>0,y>0,2x+3y=6,则孙的最大值为（）

A.：B.3

C.2D.1

4.下列函数中，最小值为2的是（)

A.产后十言B.y=lgt+；(l〈xv10)

C.y=3x+3~x（x^R）D.y=sinx++（0<xg）

5.设。>0,b>0,若于是3"与3b的等比中项，则十+［的最小值为（）

1

A84C-

*B.D.4

6.已知x>0,y>0,x、a>b、歹成等差数列，x、c、d、y成等比数列，则

的最小值是

A.0B.1C.2D.4

7.设a、6WR,且。方>0.则下列不等式中，恒成立的是（）

A.a2~\~b2>2abB.a+b22ylm

1I2

C-6-福D

。+■■>-鸿2

8.若0<〃<1,0幼<1,且。工儿则。+力,2匹，lab,/+〃中最大的一个是（）

A./+〃B.2砺C.2abD.a+b

9.某工厂第一年产量为4第二年的增长率为q第三年的增长率为/）,这两年

的平均增长率为x,则（）

。+力。+力

A.x=~-B.xW-z-

10.a=（x—1,2）,方=（4,p）（x、y为正数），若〃_1_力，则xy的最大值是（）

A.1B.

C.1D.-1

11.已知正数〃、b满足。5=10,则a+h的最小值是（）

A.10B.25C.5D.2回

12.己知机、〃£R，加?+〃2=100,则/〃〃的最大值是（）

A.100B.50

C.20D.10

13.若心0,6>0且a+b=4,则下列不等式恒成立的是（）

21.设f(x)=Inx,0<a<b,若p=q二f(竺也)，1-二"!■[f(a)+f(b)],则下

22

列关系式正确的是()

A.q=r<pB.q=r>p

C.p=r<qD.p=r>q

22、已知x>l,y>l,且，inx,—,Iny成等比数列，则xy()

44

A有最大值eB有最大值丘C有最小值eD有最小值人、

23、设函数f(x)-x+」一(x>2)在x-a处取最小值，则a等于()

x-2

A.1+V2B.1+>/3C.3D.4

。加入_3__工]<()恒成立，则的最大

24、已知a>0,b>0,若不等式m

3a+bab

值为()

A.4B.16C.9D.3

25.已知正数x,y满足x+2)，=2,则与殳的最小值为

尸—4/+1

26.已知/>0,则函数y=—;—的最小值是

23

已知7+：=2(X>0,y>0),则9的最小值是

xy

27已知则函数y=4x—2+1士的最大值是

28.已知不等式Q+y)d+:29对任意正实数x、y恒成立，则正实数。的最小值

为•

29、已知m=a+—!—(a>2),n=v2(x>—)»则m与n之间的大小关系为

a-2八2

30、已知x,ye(O,+8),2v3=(l)y,若4+乂(〃?>0)的最小值为3,贝Um的值为_

■2xy

31、已知a>0,b>0,ab=8,则当a的值为时，log2a・log?(2b)取得

最大值.

32.已知x>0,y>U.

(1)若2丫+5y=20,求w=lg¥+lgy的最大值;

(2)若lgx+lgy=2,求5x+2y的最小值.

33、.已知直角三角形两条直角边的和等于10cm,求面枳最大时斜边的长.

34、已知：a>0,b>0,a