第二章 24-高考语文总复习资料-高考数学

§2.4二次函数与募函数

最新考纲考情考向分析

1.理解并掌握二次函数的定义，图象及性质.

以密函数的图象与性质的应用为主，常与指

2.能用二次函数，方程，不等式之间的关系解

数函数、对数函数交汇命题；以二次函数的

决简单问题.图象与性质的应用为主，常与方程、不等式

3.了解凝函数的概念.等知识交汇命题，着重考查函数与方程，转

4.结合函数产x,y=.F,y=.N,y=\y=x2化与化归及数形结合思想，题型一般为选择、

填空题，中档难度.

的图象，了解它们的变化情况.

基础知识自主学习

—回扣基础知识训练基础题目一

F知识梳理

i.二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式：

一般式：/Lr)=aF+〃x+c(aHO).

顶点式：Kr)=a(x—〃Z)2+〃3；O),顶点坐标为(m,〃).

零点式：,Kx)=a(x—xi)(x—X2)mW0)，汨，不为贯x)的零点.

(2)二次函数的图像和性质

解析式J(x)=ax2+c(a>0)7(x)=av2+bx-ic(a<0)

金二

图像

定义域(-8,+8)(-8,4-00)

~4ac~b2,、(4«(、-b2

值域Lm，+°°)[8,4a

在xe(一，一匍

在JL是减少的：_L是增加的;

单调性

--A+8、)上是增加的在闻哈+8)上是减少的

在“£.2/十，

函数的图像关于x=一8对称

对称性

2.帚函数

(1)需函数的定义

一般地，形如三Z的函数称为累函数，其中x是自变量，a是常量.

(2)常见的5种基函数的图像

(3)常见的5种事函数的性质

\函数

1

)，=/y=j?l

.y=%?y=x

定义域RRR[0,+°°){小£R,且xr0}

值域R[0,+8)R[0,+8)btvGR,且yWO}

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

【知识拓展】

I.痔函数的图像和性质

(1)黑函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第

二、三象限内，要看函数的奇偶性.

(2)甯函数的图像过定点(1』)，如果寤函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是原点.

(3)当a>0时，)，=广在［0,+8)上为增函数；当“V0时，)，=1在(0,+8)上为减函数.

«>O,t/<0,

2.若«［)=加+历+c(aWO),则当八时恒有形)>0,当八时，恒有«止。

J<0'd<0

■基础自测

题组一思考辨析

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)二次函数+法+c,b］的最值一定是一五一.(X)

(2)二次函数)，=aF+/»+c,不可能是偶函数.(X)

(3)在)，=aP+bx+c(aHO)中，a决定了图像的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大

小.(V)

（4）函数），=2/是呆函数.（x）

（5）如果累函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是原点.（v）

⑹当〃<0时，系函数），=f是定义域上的减函数.（X）

题组二教材改编

2.已知哥函数儿0=4了的图像过点0，孝），则k+a等于（）

13

A.5B.IC，2D.2

答案C

A—1,

解析由募函数的定义，知《也

.2

^.k=1,a=1./.^+a=|.

3.已知函数yU）=9+4ax在区间（-8,6）内是减少的，则〃的取值范围是（）

A.g3B.“W3

C.«<—3D.aW—3

答案D

解析函数凡t）=f+4or的图像是开口向上的抛物线，其对称轴是x=-2a,由函数在区间

（—8,6）内是减少的可知，区间（一8,6）应在直线％=—2〃的左侧，

.•・一2426,解得aW—3,故选D.

题组三易错自纠

4.某函数人“nYL+igEZ）为偶函数，且凡『）在区间（0,+8）上是减函数，则。等于（）

A.3B.4C.5D.6

答案C

解析因为苏一］04+23=（。-5）2—2,

Ax）=x<a~5）l~2（a£Z）为偶函数，

且在区间（0,+8）上是减函卷，

所以（“一5）2—2<0,从而『4,5,6,

又3—5）2—2为偶数，所以只能是。=5,故选C.

5.已知函数y="+〃x+c,如果且a+〃+c=0,则它的图像可能是（）

cD

答案D

解析由〃+b+c=O和知，a>0,c<0,

由”0,排除A,B,又a>0,排除C.

6.已知函数)，="-6工+3,xe[-l,l],则)，的最小值是.

答案T

解析函数y=25—6x+3的药像的对称轴为x=1>l,•,•函数y=25—6x+3在[-1,1]上是

减少的，

.*0^1=2­64-3=­I.

题型分类深度剖析

----------------------------------------------------H题典题深度剖析重点选点多维探究-------------------------------------------

题型一求二次函数的解析式-------师生共研

典例(1)已知二次函数的图像过点(0.1),对称轴为上=2,最小值为-1,则它的解析式为

答案AV)=1X2-2A+I

解析依题意可设人大)=。。-2)2—1,

又其图像过点(0,1),=

「.〃=：,.\/(x)=T(x—2/—1=*—2x+1.

⑵已知二次函数0)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(一2,0)且有最小值一1,则0)=

答案r+2x

解析设函数的解析式为贯幻=公0+2),

北…….4«X0-4«2

所以j[x}=ax-+2ax,由----诟----=—I,

得。=1,所以贝x)=f+2x

思维升华求二次函数解析式的方法

跟踪训练(1)已知二次函数/)=底+加+1(m6WR且a/0),xeR,若函数危)的最小值

为人-1)=0,则凡0=.

(2)若函数_/(x)=(x+a)Sx+253,b£R)是偶函数，且它的值域为(-8,4],则该函数的解

析式J(x)=•

答案(1)始+2[+1(2)-2F+4

解析(1)设函数/(x)的解析式为J(x)=a(x+1A=加+2«x+a,

由已知式用="£+/»+1,.*.o=l,

故人x)=f+2t+L

(2)由＜x)是偶函数知儿i)图像关于了轴对称，

,一(十)，即力=-2,・\/(；0=—20+242,

又儿0的值域为(一8,4],

；・2岸=4,故｛1)=一源+4.

多维

题型二二次函数的图像和性质探♦究

命题点I二次函数的图像

典例两个二次函数«t)="2-/»+c与gOOn/M+ax+c的图像可能是()

答案D

解析函数危)图像的对称轴为x=―总函数g(x)图像的对称轴为工=—枭显然一£与

一方同号，故两个函数图像的对称轴应该在)，轴的同侧.只有D满足.

命题点2二次函数的单调性

典例函数人6=，加+3—3n+1在区间[-1,+8)上是减少的，则实数a的取值范围是

()

A.(-3,0)B.(—8,-3]

c.1-2,0］D.［-3,0］

答案D

解析当a=0时，«t)=-3x+l在［-1,+8)上递减，满足题意.

3-ci

当“W0时，人幻的对称轴为x=W，

«<0,

由迷幻在［-1,十8)上是减少的知(3—”

RW-1,

解得一3W“V0.综上，a的取值范围为［-3,0］.

引申探究

若函数,/(工)=《*+(〃-3穴+1的递减区间是［―1,+°°),则a=,

答案一3

解析由题意知｛x)必为二次函数且a<0,

命题点3二次函数的最值

典例已知函数/U)=a¥2+2ar+1在区间［―1,2］上有最大值4,求实数a的值.

解Av)=a(x+I>+I—a.

(1)当a=0时，函数Av)在区间上的值为常数1,不符合题意，舍去；

3

(2)当a>0时，函数人幻在区间上是增函数，最大值为/⑵=8〃+1=4,解得〃=下

(3)当a〈0时，函数.心)在区间［-1,2］上是减函数，最大值为贸-1)=1一〃=4,解得。=一3.

综上可知，。的值为?或一3.

引申探究

将本例改为：求函数AOuY-Zar+l在区间上的最大值.

解©=(x+a)2+1—a2,

，Kr)的图像是开口向上的抛物线，对称轴为4=一口

(1)当一4<；即a>—g时，.人幻必=/(2)=4，，+5,

(2)当一即3时，/(公用=人—1)=2—2a,

卜a+5,t/>—

综上，.儿r)max=J［

(2-%，aW—亍

命题点4二次函数中的恒成立问题

典例⑴已知函数/)=/-4+1,在区间［一1口上,小等式/)>2x+m恒成立,则实数〃?

的取值范围是.

答案(一8,-1)

解析人x)>2x+机等价于即/一"+1—〃QC,

令^(x)=x2—3x+1—m,

要使g(x)=/-3x+l-/〃>0在［-1,1］上恒成立，

只需使函数ga)=r-3“+1-/〃在［-1口上的最小值大于0即可.

;g(x)=/-3"+1—，〃在［—1,1］上是减少的，

，g*)min=g6=一〃1.

由一〃?一1>0,得〃?v—1.

因此满足条件的实数，〃的取值范围是(-8,-1).

(2)已知〃是实数，函数儿1)=2办2+右一3在x£［-Ll］上恒小于零，则实数。的取值范围为

答案(_8,g

解析2〃『+21—3<0在［-1,1］上恒成立.

当x=0时，一3<0,成立；

当xWO时，1,因为长(—8,—1］U(1,+8),当工=|时，右边取最小值/

••

综上，实数”的取值范围是(一8,；).

思维升华解决二次函数图像与性质问题时要注意：

(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论：

(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草

图),再“定量”(看图求解).

(3)由不等式恒成立求参数取住危困的思路及关键

解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值

城.

跟踪训练(1)设“机>0,二次函数.人力=加+法+c的图像可能是()

答案D

解析由A,C,D知，,A0)=c<0,

从而由〃儿>0,所以a〃VO,所以对称轴.r=一夕>0,知A,C错误，D满足要求；由B

知J(0)=c>0，

所以(心>0,所以x=-5VO,B错误.

(2)已知函数40=/―2四+2a+4的定义域为R,值域为［1,48),则。的值为.

答案一1或3

解析由于函数yu)的值域为［1,+8),

所以y(x)mln=］.又八X)=(X—a)二一标+2a+4,

当x£R时，./U)min=/(。)=一/+加+4=1,

即2a—3=0,解得。=3或a=-I.

(3)设函数<x)=aF—2r+2,对于满足14<4的一切x值都有贸x)X),则实数。的取值范围

为.

答案&+°°)

22

解析由题意得对1<xV4恒成立，

又沁=-2”2+/

./2_2A_2.1

又;一刁'由=》AO>21

题型三塞函数的图像和性质--------自主演练

1.已知点停，虫)在幕函数1x)的图像上，则1A幻是()

A.奇函数B.偶函数

C.定义域内的减函数D.定义域内的增函数

答案A

(I

解析设/(幻=K，由已知得，解得。=一1,因此易知该函数为奇函

数.

2.若四个基函数y=d,.y=V,y=V,y=.，在同一坐标系中的图像如图所示，则a,b,c,

d的大小关系是()

y-xJ

A.d>c>b>aB.a>b>c>d

C.d>c>a>hD.a>b>d>c

答案B

解析由零函数的图像可知，在(0,1)上号函数的指数越大，函数图像越接近x轴，由题图知

a>b>c>d,故选B.

3.若a<0,则0.5“，5“，5一”的大小关系是()

A.5-"<5"<0.5"B.5u<0.5u<5-a

C.0.50<5D.5y5・y).5"

答案B

解析5"=(，因为《<0时，函数.尸d在(0,+8)上是减少的，且春<0.5<5,所以5“<0.5“<5一”.

思维升华⑴号函数的形式是尸d(a£R),其中只有一个参数a,因此只需一个条件即可确

定其解析式.

⑵在区间(0,1)上，寐函数中题数越大，函数图像越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间

(1,+8)上，簌函数中指数越大，函数图像越远离X轴.

(3)在比较寐值的大小时，必须结合林值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比杖，

准确掌握各个举函数的图像和性质是解题的关键.

-----------------■思想方法■-----------------

数形结合思想和分类讨论思想在二次函数中的应用

典例(12分)设函数儿K)=5-2A+2,x€[t,t+1],tGR,求函数人r)的最小值.

思想方法指导研究二次函数的性质，可以结合图像进行：对于含参数的二次函数问题，要

明确参数对图像的影响，进行分类讨论.

规范解答

解4r)=/-2x+2=3-1产+1,xe[f,f+1],/ER,函数图像的对称轴为x=l.[2分]

当/+1V1,即/V0时，函数图像如图(1)所示，函数人外在区间£t+1]上为减函数，

所以最小值为帅+1)=下+1；[5分]

当即OWrWI时，函数图像如图(2)所示，在对称轴x=1处取得最小值，最小

值为贝1)=1；[8分]

当/>1时，函数图像如图(3)所示，函数人幻在区间£t+1]上为增函数,

所以最小值为/(/)=产一2H•Z.Ql分]

/+1,/<o,

综上可知，Av）min=*1.OWrWl,Q2分］

/一2/+2,t>\.

课时作业

3基础保分练

1.若函数凡。=（〃?-1）炉+2〃犹+3为偶函数，则贝x）在区间（-5,—3）上（）

A.先减少后增加B.先增加后减少

C.是减少的D.是增加的

答案D

2.（2018•江西九江七校联考）若幕函数次用=（，/-4加+4）・x"'f”+8在（0,+8）上为增函数,

则m的值为（）

A.1或3B.1

C.3D.2

答案B

解析由题意得〃户—4〃1+4=1,〃，-6/〃+8>0,

解得m=\.

3.已知函数凡r）=aF+x+5的图像在x轴上方，则”的取值范围是（）

A.（0,却

D.（W，0）

呜+8）

答案C

4>0,1

解析由题意知八得za嘀

J<0,I-20«<0,

4.已知二次函数JU）满足贝2—工）=42—工），且人工）在[0,2]上是增函数，若_/（〃）小0）,则实数

〃的取值范围是（）

A.[0,+°°）B.（—8,0]

C.[0,4]D.（一8,0]U[4,4-oo）

答案C

解析由题意可知函数人1）的图像开口向下，对称轴为x=2（如图）,

若贝”)2./(0),从图像观察可知0WaW4.

5.已知二次函数ytQn⑦v2—av+l3<0),若月<b，x\+%2=0,则人口)与共⑸的大小关系为()

A..AX1)=A'2)B.J(X\)>J(X2)

C.D.与〃值有关

答案C

解析该二次函数的图像开口向下，对称轴为直线x=《，

又依题意，得片<0,X2>0,又Xl+X2=0,

••・当即，X2在对称轴的两侧时，

故TUi)勺&2).

当占，X2都在对称轴的左侧时，

由单调性知危］)<张2).

综上，J(X\)<J(X2).

6.若关于x的不等式如一心一2—。>0在区间(1,4)内有解，则实数〃的取值范围是()

A.(一8,-2)B.(-2,+8)

C.(-6>+°°)D.(―°°,—6)

答案A

解析不等式x2—4x—2—。>0在区间(1,4)内有解等价于aV(f—4x—2)max,

令一射一2,x£(l,4),

所以JU)Vyi4)=-2,所以“V—2.

7.已知P=2一"Q=(,)3,R=(§3,则P,Q,R的大小关系是.(用连接)

答案P>R>Q

解析尸=2*=惇>,根据函数产r是R上的增函数，且冬斗*，得(势>(/>(，

即P>R>Q.

8.已知金函数段)=/"若火a+l)«10-2a),则a的取值范围为.

答案(3,5)

_£

解析•・•篆函数/(x)=x3是减少的，定义域为(0,+8),・••由儿/+1)勺(10—%)，得

〃+1>0,

10-2«>0,

”+1>10一功,

解得3<a<5.

9.对于任意实数x,函数凡¥)=(5一。)/—6»+〃+5恒为正值,则a的取值范围是,

答案(-4,4)

5—a>0,

解析由题意可得

/=36—4(5—。)(〃+5)<0,

解得一4<a<4.

10.若火此=一《+2必与g(x)=詈j■在区间口Z上都是减函数，则a的取值范围是

答案(0,1］

解析由贝冷=一/+2磔在［1,2］上是减函数可得［1,2］［口，+=),

•・,)，=］-［在(-1,十8)上为城函数，

**.由g(x)=1片在[1,2]上是减药数可得a>0,

故0<aWl.

II.已知函数Kr)=-f+2orH—a在x£[0,l]时有最大值2,则。的值为

答案一I或2

解析A-r)=—(x—a)2+«2—«4-1,

当“21时，J(x)nux=/U)=a=2,即a=2；

2

当0<〃<1时，fix)maK=J(a)=a—a+1=2,此时无解;

当«<0时，人孙必=<0)=l—a=2,

.•.a=—l.综上，。=-1或a=2.

12.已知函数_/(工)=^+(24—1★一3.

(1)当a=2,x£[—2,引时，求函数<x)的值域；

(2)若函数/(外在上的最大值为1,求实数a的值.

解(1)当。=2时，儿0=好+3%—3,%£[—2,3],

3

对称轴A=—2^[-2,3],

/-99.21

•«y(A)min=J^-27=4-2-~~4"，

AOnm=A3)=15,

J函数府)的值域为[一号*,lb]

(2)对称轴为x=--^—.

①当一号"WI,即。力一义时，

Kr)max=/(3)=6a+3,

.•.64+3=1,即〃=-g满足题意；

②当一工1>八即。V—；时，

,A-^)max=/(-1)=_2rz—1,

-2a—1=1,即a=-1满足题意.

综上可知，a=-g或一1.

技能提升练

13.已知函数段)="+',则*V0”是“欣0)的最小值与加)的最小值相等”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

答案A

解析由题意知凡¥)=炉+/*=[+§2—

7(X)min=一了，令+-彳，

则欢x))=»/(r)=尸+的=,+92-3,

b2

当/)V0时，/("))的最小值为一彳，所以“V0"能推出“人/