第五章第一讲-相交线与平行线-基本概念

相交线与平行线根本概念

【知识点1.余角、补角、互为余角、互为补角的性质】

1.互为余角、互为补角

如果两个角的和为90。（直角），那么这两个角互为余角

如果两个角的和为180。〔一个平角），那么这两个角互为补角

注意：1）余角和补角都是相对于两个角而言的，强调的是两个角的数量关系，与两个角的相互位置没

有关系。

主要性质：同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等

2.互为余角的有关性质：①N14N2=00°,那么Nl、N2互余；反过来，假设Nl,N2互余，那么N

l+N2=90°：②同角或等角的余角相等，如果/I十N2=90°,Z1+Z3=

90°,那么N2=N3.

3.互为补角的有关性质：①假设//1+/月=180°,那么/力、互补；反过来，假设/力、N8互补，那

么/月+/8=180°.②同角或等角的补角相等.如果N4+NQ180°,NA+NB

=180°,那么NA=NC

典型例题

1.一个角是70°39,，它的余角和补角分别是多少度？

假设一个角的余角是67°41',这个角是多少度？

假设一个角的补角是150”，那么这个角的余角是多少度？

2.一个角的余角比它的补角的g少20°.那么这个角为（）

A.30°B.40°C.60°D.75°

3.如图，直线AR与CD相交于一点，那么N1=N2吗？试说明理由.

4.如图，NAOB是直角，ZCOD=90°,OB平分NDOE,那么N3与N4

是什么关系？并说明理由.

【稳固练习】

1.Ztz=5O°17\那么它的余角等于._；N♦的补角是102°38'12〃,

2.下面4个命题中正确的选项是（)

A、相等的两个角是对顶角B、和等于90。的两个角互为余角

C如果Nl+N2+N3=l80。，那么/I,N2,N3互为补角。、一个角的补角一定大于这个角

3.一个角的补角是它的3倍，求这个角是多少度？

4.一个角的补角比这个角的余角的4倍大15°,那么这个角是多少度？

5.如下图，直线AB、CD相交于点O,ZAOC=70°,0E把/BOD分成两个角，且/BOE：ZE0D=2：

3.求EOD的度数。

C

【知识点2.对顶角与邻补角】

1.对顶角：如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角.

邻补角：两条直线相交后所得的有一个公共顶点且有一条公共边的两个角。

角的名称特征性质

①两条直线相交而成的角

对顶角②有一个公共顶点对顶角相等

③没有公共边

①两条直线相交而成的角

邻补角②有一个公共顶点邻补角互补

③有一条公共边

【典型例题】

1.如下图，Z1和N2是对顶角的图形有()

ZY二、a

/D

A.1个B.2个C.3个D.4个/

2.如图，直线AB、CD、EF都经过点0,图中凄______对对顶角oR---------------------B

史点个数是()。C图1F

3.在同一平面内互不重合的三条直线,它们的?

A.可能是0个，1个，2个B.可能,走0个，2个，3个

A

C.可能是0个，1个，2个或3个D.可'能是1，个那或3么个「c\Xf

4.如图，直线A8与。。交于。点，

5.将一副三角板按图中方式叠放，那么角。甯£于()、、出

A.30°2s.

C.60°D.75°

6.如图，假设NAOB与NBOC是一对邻补角，01）平分ZAOB,0£在/8%内部,并且

NB0拄一4COE,N〃循72°。求NC庞的度数。

2

BE

A0C

【稳固练习】

1.如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上,如果N1=32°,--------/八"—

那么N2的度数是1]

A.32°B.58"C.68'D.60"

2.将一副三角板如图放置，使点力在龙上BC//DE,那么NW的度数为（）

-75「A0

A.45°B.50°

BcC

于。点，ZEOD=130°,那么N8。/，E\l

3.如图，直线川3、%'相交于。点，

A13［卜'

4.如图，ZA0C=ZB0D=78°,ZB0C=30°,那么NAOD的度数是_________.

°cD

/F

,EF经过点O,N2=2N1,那么N2=________度，2/

5.如图，AB_LCD,垂足为0

N3=________度

D

6.如图，Zl=-Z2,Zl+Z2=162°,求N3与N4的度数。\Q/

2

7.如下图，OA_LOB于点0,ZA0C--ZC0D,NB0O3/A0D。求NC0D的度数。

2

【知识点3.垂线】

1.垂线的概念：两条直线相交，假设其所形成的四个角中有一个角等于90°,

那么称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的

垂线，他们的交点叫做垂足

注：（1）垂直是相交的一种特殊情形

（2）两直线垂直必具备两个要点：A.相交B.有一个角为直角

2.垂线的性质：

（1）在平面门内，过一点有且只有一条直线与直线垂直

（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短

【典型例题】

1.如图1所示，以下说法不正确的选项是（）

A.点B到AC的垂线段是线段AB;B.点C到AB的垂线段是线段AC

C.线段AD是点D到BC的垂线段；D.线段BD是点B到AD的垂线段

2.以下说法正确的有（）

①在平面内，过直线上一点有且只有一条直线垂直于直线;

②在平面内，过直线外一点有且只有一条直线垂直于直线;

③在平面内，过一点可以任意画一条直线垂直于直线；

④在平面内，有且只有一条直线垂直于直线.

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.如右图所示,AD_LBD,BC_LCD,AB=acm,BC=bcm,那么BD的范围是（）

A.大于acmB.小于bcm

C.大于acm或小于bcmD.大于bcm且小于acm

4.如右图所示,直线AB与直线CD的位置关系是,记作,此时,

ZAOD=Z=Z_______=Z=90°.

例5.如右以下图所示,直线AB,CD,EF交于点0,OG平分NBOF,且CD_LEF,ZA0E=70°,求NDOG的度数.

【稳固练习】

1.如图1所示，能表示点到直线（线段）的距离的线段有（）

A.2条B.3条C.4条D.5条

2.到直线L的距离等于2cm的点有（）

A.0个B.1个；C.无数个D.无法确定

3.三条直线a,b,c,以下命题中错误的选项是（）

A.如果a〃b,b〃c，那么a〃cB.如果a_Lb,b_Lc,那么a_Lc

C.如果a_Lb,b_Lc,那么a〃cD.如果a_Lb,a〃c,那么b_Lc。

4.点P为直线m外一点，点A,B,C为直线m上三点,PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,那么点P到直线ni的距离为

（）

A.4cmB.2cm;C.小于2cmD.不大于2cm

5.如下图.村庄A要从河流L引水入庄，

需修筑一水渠,请你画出修筑水渠的路线图.•A

----------1

6.如下图,0为直线AB上一点，ZAOC=-ZBOC,0C是NAOD的平分线.

3

（1）求NCOD的度数；⑵判断0D与AB的位置关系，并说明理由.

7.如下图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶,M,N分别是位于公路AB两侧的村庄,设汽车行

驶到P点位置时，离村庄M最近,行驶到Q点位置时，离村庄N最近,请你在AB上

分别画出P,Q两点的位置.皿

AB

N

【知识点4.同位角、内错角、同旁内角】

定义：同位角：两个角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线(截线)的同旁，这样的一对角叫做同

位角

内错角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线(截线)的两旁，这样的一对角叫做内错

角

同旁内角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线(截线)的同旁，这样的一对角叫做同

旁内角

注：“同”指两角位于第三直线的同侧，“错”指两角位于笫三直线两侧

“内”指两角位于两被截直线之间

同一平面内两条直线的位置关系是：相交或平行.

“三线八角”的识别：

三线八角指的是两条直线被第三条直线所截而成的八个角.

正确认识这八个角要抓住：同位角位置相同，即“同旁”和“同规”；内错角要抓住“内部，两旁”；

同旁内角要抓住“内部、同旁”.

【典型例题】

1.如图，按各角的位置，以下判断错误的选项是()

(A)N1与N2是同旁内角(B)N3与N4是内错角

(C)/5与N6是同旁内角(D)N5与/8是同位角

2.如以下图，Z1和N2是直线与直线被直线

—所截形成的

(选填“同位角”“内错角”“同旁内角”);N3和N4是

直线_____与直线—

被直线—所截形成的_______［选填“同位角”“内错角”

“同旁内角”)

3.一条直线与另两条平行线的关系是()

A.一定与两条平行线平行

R.可能与两条平行线中的一条平行、一条相交

C.一定与两条平行线相交

D.与两条平行线都平行或都相交。

4.(1)如图2-46,N1与N2是同位角的个数有(

(2)如图2-47,()是内错角

/3和N4C.N2和N3D.N1和N4

(3)如图2-48,图中的同位角的对数是()

A.4B.6C.8D.12

(4)如图2-49,Z1的同旁内角等于57。28',求N1的内错的度数.

【稳固练习】

1.(Dim02-43,直线AB、CD被DE所截，那么N1和是同位角，N1和是内错角，Z

1和是同旁内角，如果N1=N5.那么N1N3.

蝇2-43)

(2)上题中(图2-43)如果N5=N1,那么N1=N3的推理过程如下，请在括号内注明理由:

VZ5=Z1()

又・・・N5=N3()

・・・N1=N3()

(3)如图2-44,Z1和N4是AB、被所截得的角，Z3和N5

是、被所截得的角，N2和N5是—、_

所截得的角，AC、BC被AB所截得的同旁内角是.

02-45)

[4）如图2-45,ABJ）C被BI）所截得的内错角是,AB、CD被AC所截是的内错角是

AD、BC被BD所截得的内错角是,AD、BC被AC所截得的

内错角是.

2.如图，假设两条平行线EF,MN与直线AB,CD相交，那么图中共有

同旁内角的对数为（）

A、4B、8C、12D、16

3.如图2-50图中，共有几对内错角？这几对内错角分别是哪两条直线

被哪一条直线所截构成的？

4.如图2-51,直线AB、CD被EF所截，如果N1与N2互补,

EZl=110°,那么N3、N4的度数是多少？

平行线的性质和判定1

【知识点1.平行线的定义】：在同一平面内，不相交的两条直线是平行线.

【知识点2】过直线外一点有且只有一条直线和直线平行.

如果两条直•线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.

两条平行线之间的距离是指在一条直线上任意找一点向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是

两条平行线之间的距离.

【典型例题】

1.以下说法正确的选项是()

(A)有且只有一条直线与直线垂直

IB)经过一点有且只有一条直线与已经直线垂直

(C)连结两点的线段叫做这两点间的距离

(D)过点A作直线m的垂线段，那么这条垂线段叫做点A到直线m的距离

2.以下说法中，正确的选项是()

A.一条射线把一个角分成两个角，这条射线叫做这个角的平分线；

B.P是直线L外一点，A、B、C分别是L上的三点，PA=1,PB=2,PC=3,那么点P到L的距离一定是

1;

C.相等的角是对顶角；

D.钝角的补角一定是锐角.

3.以下说法正确的有()个.

①不相交的两条直线是平行线；②在同•平面内，两条不相交的线段是平行线；③过•点可以而且只可

以画一条直线与直线平行；④如果一条直线与两条平行线中的一条平行，那么它与另一条直线也互相平

行.

A、1B、2

C、3D、4

4.以下.与垂直相交的说法：①平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②一条直线如果它与两

条平行线中的一条垂直，那么它与另一条也垂直；③平面内，一条直线不可能与两条相交直线都垂直，

其中说法错误的个数有()

A、3个B、2个

C、1个D、0个

例5.以下说法正确的有()

①不相交的两条直线是平行线；②在同一平面内，两条直线的位置关系有两种；

③假设线段AB与CD没有交点，那么AB〃CD；④假设a〃b,b〃c,那么a与c小相交.

A、1个B、2个

C、3个D、4个

【稳固练习】

1.以下说法中错误的个数是()

(1)过一点有且只有一条直线与直线平行.

(2)过一点有且只有一条直线与直线垂直.

(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交，平行两种.

(4)不相交的两条直线叫做平行线.

(5)有公共顶点且有一条公共边的两个角互为邻补角.

A、1个B、2个

C、3个D、4个

2.以下说法错误的有几个()

(1)不相交的两直线一定是平行线；

12)点到直线的垂线段就是点到直线的距离；

(3)两点之间直线最短；

(4)过一点有且只有一条直线与直线垂直/一,

A、1个B、2个(

C、3个D、4个I

上如下图立体图形，是由一个面组成，面与面相交成一条线（）

A、3,6B、4,5

C、4,6D、5,7

4.以下说法中正确的个数有（）

（1）在同一平面内，不相交的两条直线必平行.

（2）在同一平面内，不相交的两条线段必平行.

（3）相等的角是对顶角.

（4）两条直线被第三条直线所截，所得到同位角相等.

15）两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的角平分线互相平行.

A、1个B、2个

C、3个D、4个

5.过一点画直线的平行线（）

A、有且只有一条B、不存在

C、有两条I）、不存在或有且只有一条

6.与相交的两条直线距离相等的点在（）

A、一条直线上B、两条互相垂直的直线上

C、一条射线上D、两条互相垂直的射线上

7.以下语句属于命题的是（）

（1）两点之间，线段最短；（2）不许大声喧哗；（3）连接P、Q两点；（4）花儿在春天开放；（5）不相

交的两条直线叫做平行线；［6）无论n取怎样的自然数，式子2”+1的值都是质数吗？

A、2B、3

C、4D、5

8.以下语句中：①一条直线有且只有一条垂线；②不相等的两个角一定不是对顶角；③两条不相交的直

线叫做平行线；④假设两个角的一对边在同一直线上，另一对边互相平行，那么这两个角相等：⑤不在

同一直线上的四个点可画6条直线；⑥如果两个角是邻补角，那么这两个角的平分线组成的图形是直

角.其中错误的有（）

A、2个B、3个

C、4个I）、5个

［知识点3.平行线的判定】：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；如

果内错角相等.那么这两条直线平行：如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。

［知识点4.平行线的性质】：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补.

【典型例题】

1.两个角的两边分别平行，其中一个角为52°,那么另一个角为.

2.如图，要说明AB〃CD,需要什么条件？试把所有可能的情况写出来，并说明理

由。

AB

3.以下图形中，由能得到N1=N2的是（）

4.如右图，以下判断中错误的选项是(

(A)由NA+/ADC=180°得到AB〃CD

(B)由AB〃CD得到NABC+NC-180。

(C)由N1=N2得到AD〃BC

(D)由AD〃BC得到N3=N4

5.如图，£点为加上的点，j为力C上的点,Z1=Z2,"ND,求证加'〃月C

证明:VZ1=Z2()

N2=N3Z1=Z4()

AZ3=Z4(

・•・〃()

AZC=ZABD(

VZC=ZD(

••・ND=/ABD(

，DF〃AC()

6.,如图11,ZBAE+ZAED=180°,ZM=ZN

试说明：Z1=Z2.

解：VZBAE+ZAED=180,()

:.〃(

/.ZBAE=ZAEC(

又・・・/M=NN()

.・.〃(

AZNAE=ZAEM(

.\ZBAE-ZNAE=-

J即N1=N2

7.直线AB、CD被直线EF所截，EF分别交AB、CD于M、N,ZEMB=50°,MG平分NBMF,MG交CD于G.

⑴如图1,假设AB〃CD,求/I的度数;

(2)如图2,假设NMNC=140°,求N1的度数.

EE

FF

图1图2

［稳固练习】

1.如图，在以下给出的条件中，不能判定AB〃DF的是()

A.ZA+Z2=180JB.Z1=Z4C.ZA=Z3D.Z1=ZA

2.如图，直线EF分别与直线AB.CD相交于点G.H,Zl=Z2=90°,GM平分NHGB

交直线CD于点M.那么N3=()

A.60°B.65°C.70°D.130°

3.Z\ABC是等腰三角形，NA是顶角，分析如下说法：

①如果NB与NC的平分线相交十0,那么AOBC是等腰三角形.

②如果AB,AC两边上的高线相交于0,那么△OBC是等腰三角形.

③如果AB,AC两边上的中线相交于0,那么AOBC是等腰三角形.

④在上述任何一种情况下，都有AOJ_BC.

以上说法中，正确的有()

A、4个B、3个

C、2个D、1个

4.如图，在4ABC中，AB=7,AC=5,BC=6,ZABC和NACB的平分线相交于点D,过点D作BC的平行线

交AB于点E,交AC于点F.那么AAEF的周长为()

A、9B、11C、12D