高考数学之几何体的外接球与内切球十大模型对点突破四 垂面模型(原卷版)

高考数学之几何体的外接球与内切球十大模型对点突破

专题四垂面模型

【方法总结】

垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知球心。的位置是

△CBD的外心Oi与△人80的外心O?连线的中点，算出小圆。1的半径从0|=r,。0|=t,R2=r+—.

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【例题选讲】

［例］(I)已知在三棱锥S—A3C中，SA_L平面ABC,且NAC8=30。，AC=2AB=2小，SA=\.则该

三棱锥的外接球的体积为()

A.兀B.13nC.D.冗

答案D解析•••/AC8=30。，AC=2A8=26，•••△A8C是以AC为斜边的直角三角形，其外接

圆半径，=^=5，则三棱锥外接球即为以△/4。为底面，以SA为高的三棱柱的外接球，.•.三棱维外接

故三棱锥外接球的体积片飙3=邛&故选口.

第(2)小题图2

(2)三棱锥2一八8。中，平面出C_L平面ABC,ABA.AC,PA=PC=AC=2,AB=4,则三棱锥产一ABC

的外接球的表面积为()

「23n64

A.23nB.丁C.647rD.TTT

答案D解析如图1,设。为三棱锥外接球的球心，Oi为正△必C的中心，则。Oi=；48=2.2力。1

?4、巧2、巧41664

==」=华，A0产平，/?2=0八2=0小+0。2=升4=与故几何体外接球的表面积S=4兀肄=号兀.

s,n3

另解：如图2,设。为正△限。的中心，。为RtA48C斜边的中点，”为AC中点.由平面附C_L平

面ABC,则O，H1•平面ABC.作00〃HD,OD//OrH,则交点。为三横锥外接球的球心，连接OP,又。孑

=*7/=专坐乂2=邛^,OO'=DH=\AB=2.R2=OP2=O,P2+O'O2=^+4=^.故几何体外接球的表

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面积S=4nR2=—n.

(3)在三棱锥S-/WC中，侧棱SA_L底面八8C,48=5,8C=8,N48C=60。，S4=2小，则该三楂锥

的外接球的表面积为()

s64D256厂436C2048也

A•3'B•3•3—兀•27一九

答案B解析由题意知，AB=5,BC=S,Z4BC=60°,则在“8C中，由余弦定理得ACW'"

+^C2-2x4/?xRCxex^7ARC,解得AC=1,HAARC的外挂阅半裙为r,0']A4/?C的外挂同首符2r=

/“=­，••"=不，又:侧枝SA_L底面ABC,・•.三棱锥的外接求的球心到平面ABC的距离人=太4

sm，A8C\3\32

,则外接球的半径/?=q财+的=整则该三棱锥的外接球的表而积为S=4nR2=.

(4)在三枝锥。一ABC中，己知用_L底面ABC,N8AC=120°,f3A=AB=AC=2,若该三极锥的顶点

都在同一个球面上，则该球的表面积为()

A.\0\f3nB.18TCC.20nD.9\[?)n

答案C解析如图1,先由余弦定理求出BC=2小,再由正弦定理求出r=AOi=2,外接球的直

径R=yj\2+22=3,所以该球的表面枳为4nR2=2On.

另解如图2,该三棱锥为图中正六棱柱内的三楂锥P—A8C,PA=AB=AC=2,所以该三楂聚的外

接球即该六棱柱的外接球，所以外接球的直径2R=木寿5=23今R=3,所以该球的表面积为4兀R?=

207r.

(5)在三棱锥尸-ABC中，P4_L平面ABC,ZBAC=12(f,AC=2,AB=1,设。为8C中点，且直

线电)与平面八8。所成角的余弦值为手，则该三棱锥外接球的表面积为.

答案—7T解析在AA3C中，NB4C=120°,AC=2,AB=\,由余弦定理得：BC-=.AC2-

3

AB--2AC-BC-cosZBAC,HpBC2=22+12-2x2xlxcosl20°=7,解得：BC=«.设AA8C的外接圆

梁解得八2考;且c°SC=AB2+BC2-AC2

半役为,•，由正弦定理得2r

sin/BACsin12002AB.BC

]2f(")2-2?_2"

又。为BC中点，在△A3。中，BD=-BC=—,AB=\,cosZ45D=—.由

2x1x>/77227

余弦定理得：AD2=AB1+BEr-2A«-BDCOSZABD,即：/tD2=12+(—)2-2xlx—x—=-,解得

2274

AD=—.又因为F4_L平面ABC,所以NPQ4为直线灯)与平面ABC所成角，由cos/PDA=正，得

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sinZPDA=—,tanNm4=2,所以在RtAPAD中，PA=AD・tan4PDA==6设三棱锥P-ABC

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的外接球半径为R,所以R三楼锥P-ABC外接球表面积为

S=4^R-=—7r.

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【对点训练】

I.三棱锥S—A8C中，SAJL底面A3C,若SA=AB=8C=AC=3,则该三棱锥外接球的表面积为（）

21兀

A.187tB.C.2\nD.42兀

2.四面体A8CO的四个顶点都在球。的表面上，A8_L平面BC。，△BCD是边长为3的等边三角形，若

八8=2,则球。的表面积为（）

A.4兀B.12冗C.16兀D.3271

3.已知三棱锥S-A8C的所有顶点都在球O的球面上，SA_L平面ABC,SA=2y[3,AB=\,AC=2,Z

BAC=60。,则球。的表面积为（）

A.4兀B.12rtC.16兀D.64H

4.在三棱锥P-ABC中，已知雨_L底面力9C,ZBAC=60°,PA=2,AB=AC=y[3,若该三棱锥的顶点

都在同一个球面上，则该球的表面积为（）

A也R幽1CXKnl?n

A・3D•3Cw*•oTtL/•127r

5.在三极锥A-8C。中，AC=CD=y[2,AB=AD=BD=BC=1,若三极锥的所有顶点，都在同一球面

上，则球的表面积是.

6.如图，在△八8。中，AB=BC=«,Z/1BC=9O°,点。为AC的中点，将△ABO沿8。折起到△P8。

的位置，使/（=/）〃，连接PC,得到三棱锥/>-8CQ,若该三楼钱的所有顶点都在同一球面上，则该

球的表面积是（）

P

A.InB.5iC.37rD.n

7.已知点P,A,B,C,。是球O表面上的点，B4_L平面ABC。，四边形A5C。是边长为2省的正方形.若

幺=2后，则△OA8的面积为（）.

A.6B.20C.36D.6>